Table Of ContentMichiel Bertsch
Roberta Dal Passo
Lorenzo Giacomelli
Analisi matematica
Seconda edizione
McGraw-Hill
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Indice breve
J
'-(_P_A_R_T_E_I _E_le_m_e_n_ti_d_i_b_as_e_ ___________
Capitolo 1 Introduzione 1
Capitolo 2 Funzioni 34
J
.(._..P _A_R_T_E_I_I _Fu_n_z_io_n_i_d_i_u_n_a_v_a_ri_a_b_il_e __________
Capitolo 3 lntroduzi_one alle proprietà locali e al concetto di limite 73
Capitolo 4 Successioni e serie 109
Capitolo 5 Ulteriori elementi della teoria dei limiti 145
Capitolo 6 Funzioni continue da IR in IR 163
Capitolo 7 Calcolo differenziale: funzioni da IR in IR 179
Capitolo 8 Integrali 231
Capitolo 9 Complementi su successioni e serie 277
)
( PARTE lii Funzioni di più variabili e funzioni vettoriali
Capitolo 10 Limiti e continuità 302
Capitolo 11 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 327
Capitolo 12 Curve e integrali curvilinei 357
Capitolo 13 Funzioni implicite ed estremi vincolati 383
Capitolo 14 Integrali multipli -412
Capitolo 15 Superfici e integrali di superficie 452
Capitolo 16 I teoremi della divergenza e del rotore 468
J
.(._..P _A_R_T_E_I_V _E _q_u_a_zi_o_ni _d_i_ff_e_re_n_z_ia_l_i _________
Capitolo 17 Equazioni differenziali ordinarie 482
'-(_P_A_R_T_E__V _F _u_n_z_io_n_i_o_lo_m_o_rf_e_e_t_r_a_sf_o_r_m_a_t_e _______)
Capitolo 18 Funzioni olomorfe 525
Capitolo 19 Trasformata di Laplace 555
Capitolo 20 Serie e trasformata di Fourier 579
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Grafica di copertina: Editta Gelsomini
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Stampa: Vincenzo Bona, Torino·
ISBN 978-88-386-6281-2
Printed in Jtaly
123456789VIBVIB4321
Indice generale
Prefazione Xlii
xv
Ringraziamenti dell'Editore
Guida alla lettura XVI
J
,__(_P_A_R_T_E_I_ El_e_m_e_n_ti_d_ib _a_s_e ___________
Capitolo 1 Introduzione 1
l.1 Richiami di insiemistica 2
1.2 Insiemi numerici 6
1.3 Numeri reali 8
1.3.1 Valore assoluto 10
1.3.2 Estremo superiore, inferiore - la proprietà di completezza 12
1.3.3 Radici, potenze e logaritmi · 1S
1.4 Numeri complessi 19
1.4.1 Radici complesse 24
1.5 Principio di induzione 28
Appendice 1.A Grandezze trigonometriche 30
Appendice 1.B Coefficienti binomiali 32
Capitolo 2 Funzioni 34
2.1 Funzione; dominio, immagine, grafico 35
2.2 Funzioni reali di una variabile reale 39
2.2.1 Funzioni monotone 39
2.2.2 Fwizioni sinunetriche, funzioni periodiche 41
2.2.3 Funzioni elementari 42
2.3 Funzione limitata, estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo 46
2.4 Funz~one iniettiva, suriettiva 50
2.5 Funzione composta 51
2.6 Funzione inversa 55
2.6.1 Le funzioni arcoseno, arcocoseno, arcotangente 58
2.6.2 Invertibilità e monotonia 60
2.7 Operando con le funzioni 61
2.8 Equazioni e disequazioni: metodo grafico 68
Appendice 2.A Funzioni lineari e funzioni quadratiche 71
.(._..P _A_R_T_E_I_I _F_u_nz_i_o_n_i _d_iu _n_a_va_r_ia_b_i_le_ _________)
Capitolo 3 Introduzione alle proprietà locali e al concetto di limite 73
3.1 Intorni 75
3.1.1 Insiemi aperti e chiusi 80
VIII Indice generale
3.2 Limite 82
3.3 Proprietà elementari dei limiti 87
3.4 Fwizioni infinitesime e infinite; il simbolo o(l) 97
3.5 Limiti notevoli di funzioni trigonometriche 100
3.6 Infiniti, infinitesimi e confronti 103
Capitolo 4 Successioni e serie 109
4.1 Successioni a valori in IR 110
4.2 Il numero e 113
4.3 Sottosuccessioni 115
4.4 Criterio di Cauchy 116
4.5 Successiorù ricorsive 117
4.6 Sommatorie 119
4. 7 Serie numeriche: definizione e proprietà elementari 121
4.8 Serie numeriche a termini positivi 125
4.8.1 Criterio del confronto 126
4.8.2 Criterio della condensazione 128
4.8.3 Criterio del rapporto, criterio della radice 130
4.9 Serie a termini dì segno variabile 132
4.9.1 Convergenza assoluta, criterio di convergenza assoluta, criterio di Cauchy 132
4.9.2 Serie a termini di segno alterno 135
4.10 Riordinamenti 141
4.11 Prodotto di Cauchy di due serie 143
Capitolo 5 Ulteriori elementi della teoria dei limiti 145
5.1 Ulteriori limiti notevoli 146
5.1.1 Funzioni iperboliche e loro inverse 150
5.2 Asintoto orizzontale, obliquo, ve1ticale 151
5.3 I simboli di Landau 153
5.4 Ordini di infinitesimo e infinito 156
5.5 Non esistenza di limiti 160
5.6 Insiemi compatti 161
Capitolo 6 Funzioni continue da IR in IR 163
6.1 Continuità: definizione e proprietà elementari 164
6.2 Punti di discontinuità 167
6.3 Teorema degli zeri 169
6.4 Continuità delle fmizioni inverse 172
6.5 Funziorù continue su w1 intervallo chiuso e limitato 174
6.6 Continuità lipschitziana, continuità uniforme 175
Capitolo 7 Calcolo differenziale: funzioni da IR in IR 179
7.1 Retta tangente, derivata 180
7.2 Derivata destra e sinistra, punto angoloso, cuspide 186
7 .3 Proprietà elementari della derivata 187
7 .4 De1ivate delle funzioni elementari 191
7 .5 Calcolo delle derivate 192
7 .6 Estremi locali e derivate 195
7.7 Teorema del valor medio e applicazioni 197
7.7.1 Monotonia e derivata 198
7.7.2 Teorema di de l'Hopital 200
7 .8 Derivate successive 205
Indice generale IX
7 .9 Funzioni convesse e concave 207
7.10 Studio di funzione 209
7.11 Polinomio di Taylor 215
7 .12 Applicazioni del teorema di Peano 222
7.12.1 Limiti e ordini di infinitesimo/infmito 222
7.13 Approssimazione di funzioni con polinomi di Taylor 227
Capitolo 8 Integrali 231
8.1 Definizione di integrale di Riemann 233
8.2 Un criterio di integrabilità e classi di funzioni integrabili 237
8.3 Proprietà dell'integrale 239
8.4 Funzi01ù integrali. Il teorema fondamentale del calcolo integrale 241
8.4.1 Studio di funzioni integrali 244
8.5 Funzio1ù p1imitive - i11tegrale indefinito 246
8.6 Calcolo degli integrali 249
8.6.1 Integrazione per parti 249
8.6.2 Integrazione per sostituzione 251
8.6.3 Integrazione delle funzioni razionali 255
8.6.4 Alcw1e sostituzioni di base 261
8.6.5 Alcune fommle 1icorsive e altre primitive 266
8. 7 Integrabilità in senso improprio 267
8.7.1 Criteri di convergenza: criterio del confronto 270
8.7.2 Assoluta integrabilità in senso improprio 274
Capitolo 9 Complementi su successioni e serie 277
9.1 Serie numeriche e integrali impropri 278
9.2 Successioni e serie a valori complessi 280
9.3 Serie di potenze 284
9.4 Serie di Taylor 290
9.5 Successioni e serie di funzioni 294
9.5.1 Successioni di funzioni 294
9.5.2 Convergenza uniforme 296
9.5.3 Serie di funzioni 299
(._ _P_a_r_t_e_ll_l _F_u_n_z_io_n_i_.d... ..i._ p_i_ù_v_a_r_ia_b_il_i_ e_f_u_n_z_io_n_i_v_e_t_to_r_ia_l_i_ ___)
Capitolo 10 Limiti e continuità 302
10.1 Introduzione 303
10.2 Concetti di base 305
10.2.1 Dominio naturale 305
10.2.2 Distanza, intorni, insiemi aperti e chiusi 306
10.2.3 L'elemento oo 310
l 0.2.4 Alcune disuguaglianze notevoli 311
11r
10.3 Limiti e continuità di fimzioni da IRn in 312
10.3.1 Successioni a valori in !Rn; insiemi compatti 314
10.3.2 Funzioni continue su un compatto 316
10.3.3 Curve para.metiizzate 316
10.4 Limiti e continuità di fonzioni a valori scalari 318
10.4.1 Uso dei teoremi di carattere generale 319
10.4.2 FtmZioni discontinue: alcuni esempi 320
10.4.3 Calcolo dei limiti 323
X Indice generale
Capitolo 11 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
11.1 Derivate direzionali e parziali di funzioni a valori scalari 3;:s
11.2 Differenziabilità di funzioni a valori scalari 332
11.2.1 Il teorema del valor medio sui segmenti 3:',f:
11.2.2 Integrali dipendenti da un parametro 3~·9
11.3 Derivate di ordine superiore 361
11.4 Polinomio di Taylor 343
11.5 Insiemi convessi e funzioni convesse 346
11.6 Estremi liberi di funzioni a valori scalari 350
11.7 Derivabilità e differenziabilità di funzioni a valori vettoriali 354
Capitolo 12 Curve e integrali curvilinei 357
12.1 Curve in !Rn 358
12.1.1 Cambiamento di parametro 361
12.1.2 Integrabilità di funzioni vettoriali 362
12.2 Curve rettificabili, lunghezza 363
12.3 Integrali curvilinei di I a specie 367
12.4 Integrali curvilinei di 2a specie. Fo1me differenziali 368
12.4.1 Forme differenziali esatte e chiuse 371
12.4.2 Insiemi semplicemente connessi 377
12.5 Normale, curvatura, binonnale, torsione 380
Capitolo 13 Funzioni implicite ed estremi vincolati 383
13.1 Sistemi lineari e non lineari 384
13.1.1 Introduzione 384
13.1.2 m = n: il teorema di inversione locale 386
13.1.3 m < n: il teorema delle funzioni implicite 387
13.1.4 m = l, n = 2: curve di livello 388
13.1.5 m = I, n = 3: l'equazione f(x, y, z) = e 392
13.1.6 m = 2, n = 3: 2 equazioni in 3 incognite 394
13.2 Estremi vincolati di funzioni. di due variabili 396
13.2.1 Nozione di estremo vincolato 396
13.2.2 Estremi vincolati: metodo diretto 396
13.2.3 Punti critici vincolati: metodo dei moltiplicatori dj Lagrange 398
13.3 Estremi di funzioni di due variabili 401
13.3.1 Estremi assoluti di funzioni continue su un compatto 401
13.3.2 Estremi relativi su insiemi chiusi con intemo non vuoto 403
13:4 Estremi vincolati di funzioni di tre vruiabili 406
13.5 Il caso di funzioni di tre variabili con due vincoli 408
13.6 Estremi vincolati di funzioni di n variabili: il caso di m vincoli (m < n) 410
Capitolo 14 Integrali multipli 412
14.1 Integrali doppi su rettangoli 414
14.2 Integrali doppi: il caso generale 418
14.2.1 Domini semplici e formule di riduzione 420
14.3 Cambiamento delle variabili di integrazione per gli integrali doppi 426
14.3.1 Coordinate polari 428
14.3.2 Altri cambiamenti di variabili 432
14.4 Integrali doppi impropri 435
14.4.1 Misura di insiemi non limitati 435
14.4.2 Integrabilità in senso improprio: funzioni non negative 436
14.4.3 Integrabilità in senso improprio: il caso generale 439
14.5 Integrali tripli 440
14.5.1 F.òrmùle ,di riduzione 442
---------------------------Indice generale Xl
14.5.2 Cambiamento di variabili.
Coordinate cilindriche e sferiche -446
Capitolo 15 Superfici e integrali di superficie 452
15.1 Superfici in IR3 453
15.2 Integrali di superficie 458
15.3 Superfici elementari orientabili 461
15.4 Orientazione del bordo di superfici elementari 463
15.5 Superfici composte 465
Capitolo 16 I teoremi della divergenza e del rotore 468
16.1 Divergenza e rotore 469
16.2 Il teorema della divergenza nel piano 471
16.3 Il teorema della divergenza nello spazio 476
16.4 Il teorema del rotore 480
( PARTE VI Equazioni differenzili ___)
Capitolo 17· Equazioni differenziali ordinarie 482
17.1 Equazioni Iinéari del }!)rimo ordine 485
17.2 Equazioni e sistemi in forma normale 490
17.2.1 Equazioni del primo ordine a variabili separabili 490
17.2.2 Risultati di esistenza e unicità per il problema di Cauchy 492
17.~.3 Sistemi di equazioni del priino ordine ed equazioni di ordine n 496
17.3 Equazioni lineari del secondo ordine 498
17.3.1 Equazioni omogenee a coefficienti costanti 500
17.3.2 Equazioni non omogenee a coefficienti costanti 502
17.4 Equazioni lineari di ordine n 506
17.5 Cenno ad alcune altre equazioni e meto4i risolutivi 508
17.5.1 Riduzioni dell'ordine, equazioni di Legendre 508
17.5.2 Cambiamenti di variabile, equazioni di Eulero 509
17.5.3 Equazioni autonome del secondo ordine 510
17.5.4 Metodo di Frobe1tius, equazioni di Besse! 511
17.6 Sistemi di equazioni lineari del primo ordine 514
17.6.1 Sistemi di equazimti lineari omogenee del primo ordine a coefficienti
costanti 516
17.7 Cenno al concetto di stabilità 519
e
( PARTE V Funzioni olomorfe trasformate )
Capitolo 18 Funzioni olomorfe 525
lb.1 Derivata complessa; funzione olomorfa 526
18.2 Significato geometrico della derivata complessa 531
18.3 Integrali curvilinei di funzioni complesse 533
18.4 Teorema e fonnula integrale di Cauchy 536
18.5 Derivate di ordine superiore di funzioni olomorfe 540
18.6 Funzioni primitive 541
18.7 Serie di potenze e funzioni olomorfe 542
18.7.1 Setie di potenze complesse 542
18.7.2 Sviluppabilità in serie di potenze di funzioni olomorfe 544
18.8 Singolarità isolate: le serie di Laurent 545
18.9 Singolarità isolate: il teorema dei residui 548
Xli Indice generale
Capitolo 19 Trasformata di Laplace 555
19.1 Definizione di trasformata di Laplace (unilatera) 557
19.2 Trasformata inversa 558
19.3 Prime proprietà; trasformate di funzioni elementari 562
19.4 Applicazioni 566
19.4.1 Equazioni differenziali ordinarie lineari 566
19.4.2 Serie di Laurent e trasfo1mata di Laplace 570
19.4.3 Prodotto di convoluzione; equazioni integro-differenziali 571
19.4.4 Delta di Dirac; fenorneni impulsivi 573
19.5 La trasformata bilatera 576
Capitolo 20 Serie e trasformata di Fourier 579
20.1 Serie di Fourier 581
20.2 Un'applicazione delle serie di Fourier 587
20.3 Trasformata di Fourier 593
20.3.1 Introduzione e definizione 593
20.3.2 Proprietà elementari della trasfonnata di Fourier 596
20.4 Trasf01mata di Fourier e serie di Fourier 597
20.5 Teorema di campionamento 598
20.5.1 Delta di Dirac e altre funzioni singolari 600
Crediti 603
Indice analitico 605
Appendice Elementi di algebra lineare
Prefazione
Il testo si propone di offnre una gamma completa degli argomenti classici dei corsi
di base di Analisi matematica e, accogliendo le esigenze degli ordinamenti didattici,
un'introduzione alle funz10ru olomorfe, alle serie di Fourier, alle -trasformate di
Laplace e di Fourier e al concetto di stabilità per soluzioni di equazioni differenziali
ordinarie. Il testo nasce con l'ambizione di raccogliere una così vasta area di compe
tenze in un singolo volume che
• sia scritto in modo accessibile per lo studente, ma senza rinunciare al rigore mate-
matico
• lasci un alto grado di libertà al docente nell'impostazione delle lezioni.
Per raggiungere il primo obiettivo è necessario selezionare con attenzione i contenuti
e calibrarne il taglio e la presentazione. Riteniamo sia utile descrivere anzitutto i prin
cipali criteri che abbiamo adottato sin dalla prima edizione del 2007; subito dopo illu
streremo brevemente le modifiche apportate in questa.
Anzitutto il testo è ricco di esempi e controesempi ( ovvero esempi che fanno capi
re perché una certa ipotesi sia essenziale per la validità di un risultato, o. più in gene
rale perché una certa affermazione sia falsa). L'aspetto fenomenologico ci pare essen
ziale per far capire allo studente a che cosa serva o come si usi un enunciato, per ap
profondire un concetto importante ecc. Il libro contiene una vasta selezione di dimo
strazioni degli enunciati, indispensabili sia per acquisire fanùliarità con il linguaggio
e le tecniche del ragionamento logico-deduttivo, sia per apprezzare i fondamenti del
calcolo differenziale e integrale. Altre volte abbiamo preferito dare l'idea principale
di una dimostrazione: si tratta di casi in cui, a nostro avviso, l'aspetto intuitivo o
quello "fomiale" prevalgono su quello "tecnico". Infine, in altri casi abbiamo scelto
di ometterla del tutto, spesso rimandando lo studente interessato al sito internet
www.ateneonline.it/bertsch2e, creato come sostegno all'utilizzo del libro. Il libro
contiene un'ampia gamma di esercizi alla fine di ogni paragrafo: soluzioni e svolgi
menti sono disponibili sul sito internet dedicato àl libro. Per venire incontro alle esi
genze di alcuni corsi di studio, in rete si trova anche una sintetica appendice conte
nente elementi di algebra lineare. La gran pmte dei concetti sono introdotti in modo
rigoroso attraverso una Definizione e sono tutti segnalati dal grassetto. Il corsivo è
1iservato ai concetti di cui si fornisce (spesso solo temporaneamente) una descrizione
intuitiva. Allo stesso modo, alcune osservazioni non sono introdotte da un enunciato,
ma sono segnalate dal colore o dal segnale di "pericolo".
Rispetto alla prima edizione, siamo intervenuti solo marginalmente sulla selezione
dei contenuti, includendo per esempio la convergenza (uniforme) di successioni e se
rie di funzioni, gli integrali doppi impropri e le equazioni differenziali lineari di ordi
ne superiore al secondo. Per quanto riguarda la presentazione abbiamo invece opera
to molte modifiche puntuali, sia rimodtùando il testo sulla base delle esperienze accu
mulate (fra l'altro abbiamo aggiunto vari esempi più semplici e ne abbiamo modifica-
