Analisi dei sistemi dinamici , UNITEXT / Ingegneria

536 Pages·2005·6.97 MB·Italian

by  Alessandro Giua

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Analisi dei sistemi dinamici
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A. Giua, C. Seatzu
Analisi dei sistemi dinamici
1 3
Analisisistdinam_primepag 29-09-2005 14:11 PaginaIV
ALESSANDROGIUA
Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica
Università di Cagliari,Cagliari
CARLASEATZU
Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica
Università di Cagliari,Cagliari
In copertina:“Senza titolo”,olio su tela,riprodotto per gentile concessione
del maestro Antonio Mallus.
Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media
springer.it
© Springer-Verlag Italia,Milano 2006
ISBN 10 88-470-0284-2
ISBN 13 978-88-470-0284-25
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utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio.
Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori
Progetto grafico della copertina:Simona Colombo,Milano
Stampato in Italia:Signum,Bollate (Mi)
Prefazione
Il nuovoordinamentodidatticoha resonecessariounrapidoadeguamentodeipro-
grammidegliinsegnamentiedeimanualiuniversitari.Laprincipalenovitàintrodotta
dalnuovoordinamentoconsistenellaframmentazionedeicorsimonoliticidellavec-
chia laurea in corsi più semplici, ripartiti su più anni o addirittura su più corsi di
studio:laureadibaseelaureaspecialistica.
I classici testi che hanno formato la scuola dell’Automatica in Italia non sono
adeguatiallalaureadibase,nonsoloperchépresuppongonounamaturitàmatematica
cheglistudentinonpossonoancoraavereraggiunto,maancheperchépresentanoi
variargomentiadunlivellodidettagliomoltosuperioreaquellocheitempiristretti
dellalaureadibasepermettonodiadottare.
D’altrocanto,perlostudentecheprosegueglistudifinoalconseguimentodel-
la laurea specialistica è utile disporre di un unico manuale inteso come guida ed
approfondimentoper lo studio di una disciplina. L’esperienza delle università an-
glosassoni, in cui da sempre esiste un percorso di base (bachelor) seguito da uno
specialistico(master),cihainsegnatol’utilitàdimanualichepossanoessereusatia
piùlivelli.
Iltestochepresentiamoèdedicatoall’analisideisistemiatempocontinuo.Esso
èprincipalmentededicatoallostudiodeisistemilineari,macontieneanchequalche
cennoaisisteminonlineari.Inessosonotrattatisiaimodelliingresso-uscitachei
modelliinvariabilidistato.Letecnichedianalisipresentatecopronosia lostudio
nel dominio del tempo, che nel dominio della variabile di Laplace e nel dominio
dellafrequenza.Benchésisiacercatodimostrareleinterconnessionitratuttequeste
tecnichedianalisi,ivariargomentisonotrattatiincapitoliesezioniaséstanti:nelle
nostreintenzioniciòconsentealtestodivenirutilizzatoqualesussidiodidatticoper
uninsegnamentocheaffrontisolounaparteditaliargomenti.
Iltestocopreicontenutidi:
uninsegnamentodianalisideisistemi(oteoriadeisistemi)dedicatoall’analisi
(cid:0)
deisistemilineariatempocontinuoperlalaureadibase;
uno o più insegnamenti di complementi di analisi dei sistemi per la laurea
(cid:0)
specialistica.
VI Prefazione
Ciòharesonecessariounaristrutturazionedellapresentazioneperconsentiredue
diversipercorsidilettura.
Perprimacosa,si è postaparticolareattenzionenelpresentareogniargomento
attraverso una serie di risultati che vengonodapprimachiaramenteenunciati e poi
dimostrati.Adunaprimaletturaèsemprepossibilesaltareladimostrazione,perché
unoopiùesempichiarisconocomeilrisultatodebbaessereapplicato.Tuttavia,lad-
doveillettorevogliaapprofondirel’argomento,ladimostrazionecostituisceunutile
complemento:grandecuraèstatapostanelpresentareognidimostrazioneintermini
semplicieintuitivi,perquantopossibile.
Insecondoluogo,sisonoprevistedelleinteresezioni(eperfinouninterocapito-
lo,ilnumero12)dedicateadargomentidiapprofondimento.Talisezionisonoindi-
cateconunasteriscoepossonoesseresaltatesenzacomprometterelacomprensione
delrestantemateriale.
Acomplementodelmaterialedidatticopresentatoneltestosonodisponibilisul
sito http://www.diee.unica.it/ giua/ASD una serie di esercizi svolti e di
(cid:0)
programmiMATLABcheriteniamoessereutiliaglistudenti.
Vorremmoringraziare i colleghi Maria Maddalena Pala e Elio Usai che hanno
letto le bozze di alcuni capitoli di questo libro, suggerendoci utili modifiche. Un
ulterioreringraziamentovaancheatuttiglistudentieitutoridelcorsodiAnalisidei
Sistemidell’UniversitàdiCagliari,cheneglianni2000-2005hannolettoecorretto
unaseriediappuntiedispensedacuipoiquestotestohapresocorpo.
Infineunringraziamentospecialevaallenostrefamigliechecihannosostenuto
colmando quelle mancanze che il lavoro impegnativo svolto per realizzare questo
librohainevitabilmentegenerato.
Cagliari,settembre2005
AlessandroGiuaeCarlaSeatzu
Indice
Prefazione V
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
1 Introduzione 1
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
1.1 Automaticaesistemi........................................ 1
1.2 Problemiaffrontatidall’Automatica ........................... 2
1.2.1 Modellazione ....................................... 2
1.2.2 Identificazione ...................................... 3
1.2.3 Analisi ............................................. 3
1.2.4 Controllo........................................... 4
1.2.5 Ottimizzazione ...................................... 4
1.2.6 Verifica ............................................ 5
1.2.7 Diagnosidiguasto ................................... 5
1.3 Classificazionedeisistemi ................................... 5
1.3.1 Sistemiadavanzamentotemporale...................... 6
1.3.2 Sistemiadeventidiscreti.............................. 8
1.3.3 Sistemiibridi........................................ 9
2 Sistemi,modellieloroclassificazione 11
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
2.1 Descrizionedisistema ...................................... 11
2.1.1 Descrizioneingresso-uscita............................ 12
2.1.2 Descrizioneinvariabilidistato......................... 14
2.2 Modellomatematicodiunsistema ............................ 16
2.2.1 Modelloingresso-uscita............................... 17
2.2.2 Modelloinvariabilidistato ........................... 18
2.3 Formulazionedelmodellomatematico......................... 19
2.3.1 Sistemiidraulici ..................................... 19
2.3.2 Sistemielettrici...................................... 21
2.3.3 Sistemimeccanici.................................... 23
2.3.4 Sistemitermici ...................................... 26
2.4 Proprietàdeisistemi ........................................ 28
2.4.1 Sistemidinamicioistantanei........................... 28
VIII Indice
2.4.2 Sistemilineariononlineari............................ 30
2.4.3 Sistemistazionariononstazionari...................... 33
2.4.4 Sistemiproprioimpropri ............................. 35
2.4.5 Sistemiaparametriconcentratiodistribuiti .............. 37
2.4.6 Sistemisenzaelementidiritardooconelementidiritardo.. 39
Esercizi................................................... 40
3 Analisineldominiodeltempodeimodelliingresso-uscita 45
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
3.1 Modelloingresso-uscitaeproblemadianalisi................... 46
3.1.1 Problemafondamentaledell’analisideisistemi ........... 46
3.1.2 Soluzioneinterminidievoluzioneliberaeevoluzioneforzata 47
3.2 Equazioneomogeneaemodi ................................. 48
3.2.1 Radicicomplesseeconiugate.......................... 51
3.3 L’evoluzionelibera ......................................... 54
3.3.1 Radicicomplesseeconiugate.......................... 56
3.3.2 Istanteinizialediversoda0............................ 58
3.4 Classificazionedeimodi..................................... 60
3.4.1 Modiaperiodici ..................................... 60
3.4.2 Modipseudoperiodici ................................ 64
3.5 Larispostaimpulsiva ....................................... 69
3.5.1 Strutturadellarispostaimpulsiva ....................... 69
3.5.2 Calcolodellarispostaimpulsiva[*]..................... 71
3.6 L’evoluzioneforzatael’integralediDuhamel................... 75
3.6.1 IntegralediDuhamel ................................. 76
3.6.2 Scomposizioneinevoluzioneliberaedevoluzioneforzata .. 78
3.6.3 Calcolodellarispostaforzatamedianteconvoluzione ...... 79
3.7 Altriregimicanonici[*]..................................... 81
Esercizi................................................... 83
4 Analisineldominiodeltempodellerappresentazioniinvariabilidi
stato 87
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
4.1 Rappresentazioneinvariabilidistatoeproblemadianalisi........ 87
4.2 Lamatriceditransizionedellostato ........................... 88
4.2.1 Proprietàdellamatriceditransizionedellostato[*] ....... 89
4.2.2 LosviluppodiSylvester .............................. 90
4.3 FormuladiLagrange........................................ 95
4.3.1 Evoluzioneliberaeevoluzioneforzata .................. 96
4.3.2 RispostaimpulsivadiunarappresentazioneinVS......... 98
4.4 Trasformazionedisimilitudine ............................... 99
4.5 Diagonalizzazione.......................................... 102
4.5.1 Calcolodellamatriceditransizionedellostatotramite
diagonalizzazione.................................... 106
4.5.2 Matriciconautovaloricomplessi[*] .................... 107
4.6 FormadiJordan............................................ 110
4.6.1 Determinazionediunabasediautovettorigeneralizzati[*] . 114
Indice IX
4.6.2 Matricemodalegeneralizzata .......................... 119
4.6.3 Calcolodellamatriceditransizionedellostatotramite
formadiJordan...................................... 121
4.7 Matriceditransizionedellostatoemodi ....................... 124
4.7.1 Polinomiominimoemodi............................. 124
4.7.2 Interpretazionefisicadegliautovettori................... 126
Esercizi................................................... 129
5 LatrasformatadiLaplace 131
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
5.1 DefinizioneditrasformataeantitrasformatadiLaplace ........... 131
5.1.1 TrasformatadiLaplace ............................... 132
5.1.2 AntitrasformatadiLaplace ............................ 133
5.1.3 Trasformatadisegnaliimpulsivi........................ 134
5.1.4 Calcolodellatrasformatadellafunzioneesponenziale...... 135
5.2 ProprietàfondamentalidelletrasformatediLaplace.............. 136
5.2.1 Proprietàdilinearità.................................. 136
5.2.2 Teoremadelladerivatain ............................ 137
(cid:0)
5.2.3 Teoremadelladerivataneltempo....................... 139
5.2.4 Teoremadell’integraleneltempo....................... 142
5.2.5 Teoremadellatraslazioneneltempo .................... 143
5.2.6 Teoremadellatraslazionein .......................... 145
(cid:0)
5.2.7 Teoremadellaconvoluzione ........................... 146
5.2.8 Teoremadelvalorefinale.............................. 147
5.2.9 Teoremadelvaloreiniziale ............................ 149
5.3 Antitrasformazionedellefunzionirazionali..................... 150
5.3.1 Funzionistrettamenteproprieconpolidimolteplicitàunitaria151
5.3.2 Funzionistrettamenteproprieconpolidimolteplicità
maggiorediuno ..................................... 156
5.3.3 Funzioninonstrettamenteproprie ...................... 160
5.3.4 Antitrasformazionedifunzioniconelementidiritardo ..... 161
5.3.5 Esistenzadelvalorefinalediunaantitrasformata.......... 162
5.4 Risoluzionediequazionidifferenzialimedianteletrasformatedi
Laplace................................................... 163
Esercizi................................................... 166
6 AnalisineldominiodellavariabilediLaplace 171
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)
6.1 Analisideimodelliingresso-uscitamediantetrasformatediLaplace 171
6.1.1 Rispostalibera ...................................... 174
6.1.2 Rispostaforzata ..................................... 175
6.2 Analisideimodelliinvariabilidistatomediantetrasformatedi
Laplace................................................... 175
6.2.1 Lamatricerisolvente ................................. 177
6.2.2 Esempiodicalcolodell’evoluzioneliberaeforzata ........ 179
6.3 Funzioneditrasferimento.................................... 181
6.3.1 Definizionedifunzioneematriceditrasferimento......... 181
X Indice
6.3.2 Funzioneditrasferimentoerispostaimpulsiva............ 182
6.3.3 Rispostaimpulsivaemodelloingresso-uscita............. 183
6.3.4 Identificazionedellafunzioneditrasferimento............ 184
6.3.5 Funzioneditrasferimentopermodelliinvariabiledistato .. 184
6.3.6 Matriceditrasferimento .............................. 185
6.3.7 Matriceditrasferimentoesimilitudine .................. 187
6.3.8 PassaggiodaunmodelloinVSaunmodelloIU .......... 187
6.3.9 Sistemiconelementidiritardo......................... 189
6.4 Formefattorizzatedellafunzioneditrasferimento ............... 189
6.4.1 Rappresentazioneresidui-poli.......................... 189
6.4.2 Rappresentazionezeri-poli ............................ 190
6.4.3 RappresentazionediBode............................. 192
6.5 StudiodellarispostaforzatamedianteletrasformatediLaplace.... 195
6.5.1 Rispostaforzataadingressicanonici .................... 196
6.5.2 Larispostaaregimepermanenteelarispostatransitoria.... 199
6.5.3 Rispostaindiciale.................................... 201
Esercizi................................................... 209
7 Realizzazionedimodelliinvariabilidistatoeanalisideisistemi
interconnessi 215
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
7.1 RealizzazionedisistemiSISO................................ 215
7.1.1 Introduzione ........................................ 215
7.1.2 Caso .................................... 217
(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
7.1.3 Caso e ................................. 217
(cid:0)(cid:2)(cid:1) (cid:1)(cid:0)(cid:1)
7.1.4 Caso .................................... 221
7.1.5 Passag(cid:0)g(cid:0)io(cid:1)da(cid:2)un(cid:1)insiemedicondizioniinizialisull’uscita
adunostatoiniziale .................................. 227
7.2 Studiodeisistemiinterconnessi............................... 229
7.2.1 Collegamentielementari .............................. 231
7.2.2 Algebradeglischemiablocchi......................... 234
7.2.3 Determinazionedellamatriceditrasferimentopersistemi
MIMO ............................................. 237
Esercizi................................................... 240
8 Analisineldominiodellafrequenza 243
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)
8.1 Rispostaarmonica.......................................... 244
8.1.1 Rispostaaregimeaduningressosinusoidale ............. 244
8.1.2 Definizionedirispostaarmonica ....................... 246
8.1.3 Determinazionesperimentaledellarispostaarmonica ...... 246
8.2 RispostaasegnalidotatidiserieotrasformatadiFourier.......... 247
8.3 DiagrammadiBode ........................................ 248
8.3.1 RegoleperiltracciamentodeldiagrammadiBode ........ 251
8.3.2 Esempinumerici..................................... 265
8.4 Parametricaratteristicidellarispostaarmonicaeazionifiltranti .... 269
8.4.1 Parametricaratteristici................................ 269