Table Of Contenturso
de aná
vol
PROJETO
(v)
EUCLIDES
elon lages lima
curs
de análise
volume 2
Décima primeira edição
segunda impressão
impa
INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Lima, Elon Lages
Curso de análise vol.2 / Elon Lages Lima. 11.ed. Rio
de Janeiro : IMPA, 2010.
547 p.; (Projeto Euclides)
ISBN 978-85-244-0049-0
1. Análise matemática. 2. Cálculo. I, Título. II. Série
CDD-512
elon lages lima
curso
S análise
v lume 2
Décima primeira edição
segunda impressão
impa
n
ar.59 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Copyright @ 2010 by Elon Lages Lima
Direitos reservados, 2010 pela Associação Instituto
Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA
Estrada Dona Castorina, 110
22460-320 Rio de Janeiro, RJ
Impresso no Brasil / Printed in Brazil
Capa: Noni Geiger
Projeto Euclides
Comissão Editorial:
Elon Lages Lima (Editor)
S. Colher Coutinho
Paulo Sad
Títulos Publicados:
• Curso de Análise, Volume 1 - Elon Lages Lima
• Medida e Integração - Pedro Jesus Fernandez
• Aplicações da Topologia à Análise - Chaim Samuel Hónig
• Espaços Métricos - Elon Lages Lima
• Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Djairo Guedes de Figueiredo
• Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Junior e Wellington C. de Melo
• Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves
• Aspectos Teóricos da Computação - Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon,
Istvan Simon, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski
• Teoria Geométrica das Folheações - Alcides Lins Neto e César Camacho
• Geometria Riemanniana - Manfredo P. do Carmo
• Lições de Equações Diferenciais Ordinárias - Jorge Sotomayor
• Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário - Barry R. James
• Curso de Análise, Volume 2 - Elon Lages Lima
• Teoria Ergódica - Ricardo Mané
• Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler
• Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais - Javier Thayer
• Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução - Rafael Já rio Jr. e Valéria Iório
• Álgebra: Um Curso de Introdução - Arnaldo Leite P. Garcia e Yves Albert E. Lequain
• Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Elon Lages Lima
• Funções de uma Variável Complexa - Alcides Lins Neto
• Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain
• Introdução à Geometria Analítica Complexa - Marcos Sebastiani
• Curso de Teoria da Medida - Augusto Armando de Castro Júnior
• Introdução à Teoria da Medida - Carlos Isnard
• Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica - Johann Baumeister e Antonio Leitão
• Homologia Básica - Elon Lages Lima
Distribuição:
IMPA
Estrada Dona Castorina, 110
22460-320 Rio de Janeiro, RJ
e-mail: [email protected]
http://www.impa.br
Prefácio da primeira edição
Que outrem possa louvar esforço alheio,
Cousa é que se costuma e se deseja;
Mas louvar os meus próprios, arreceio
Que louvor tão suspeito ma/ me esteja;
E, para dizer tudo, temo e creio
Que qualquer longo tempo curto seja;
Mas, pois o mandas, tudo se te deve;
Irei contra o que devo e serei breve.
L. Camões "Os Lusíadas", Canto III.
Este segundo volume do Curso de Análise trata das funções de diver-
sas variáveis reais. Como é natural, sua leitura pressupõe uma certa fa-
miliaridade com funções de uma variável. Além disso, admitem-se conhe-
cidas algumas noções básicas de Álgebra Linear. O primeiro volume do
Curso é a referência óbvia (mas não necessária) para os pré-requisitos de
Análise. Para a Álgebra Linear, basta a leitura dos primeiros capítulos
de qualquer dos bons livros existentes na praça.
As principais diferenças entre a Análise de uma e a de n variáveis
têm suas origens em dois fatos. O primeiro é que a topologia dos subcon-
ir"
juntos de fica muito mais complicada quando n> 1. (Por exemplo,
os únicos subconjuntos conexos da reta são os intervalos, mas é im-
possível classificar topologicamente os subconjuntos conexos de Rn se
n > 2.) Em segundo lugar, a Álgebra Linear, que em dimensão 1 é
desnecessária, (pois as matrizes 1 x 1 e as transformações lineares de
IR em R se confundem com números reais) torna-se indispensável para
formular os conceitos e demonstrar os teoremas do Cálculo Diferencial
das funções com mais de uma variável.
A infinita variedade de tipos topológicos de subconjuntos do espaço
R', que servirão de domínios para as funções que estudaremos, em-
presta a este livro um conteúdo bastante geométrico, em contraste com o
caráter predominantemente aritmético do Volume 1, e nos leva a dedicar
todo o primeiro capítulo à topologia do espaço euclidiano. Os conceitos
ali apresentados e o ponto de vista adotado situam-se no contexto da To-
pologia Geral. (No espírito de [8], por exemplo.) Salvo a circunstância
de serem mais complexas em dimensão maior do que um, estas noções
não diferem muito das suas homônimas em dimensão 1.
Entretanto, a presença da Topologia se faz mais conspícua e profunda
nos Capítulo IV e VII, onde surgem de modo natural as questões que
levaram Gauss, Riemann, Kronecker e outros a abordarem problemas
de Análise com métodos que mais tarde viriam a fazer parte da Topolo-
gia Diferencial. Seria inútil tentar evitar perguntas naturais de Análise,
como as consideradas naqueles capítulos, sob a alegação de que as respos-
tas envolvem conceitos não-triviais de Topologia, tais como homotopia,
grau, etc. A atitude mais adequada nos parece a de enfrentar os proble-
mas com as ferramentas criadas para esses fins, as quais posteriormente
se difundiram e foram definitivamente incorporadas à Matemática de
hoje.
Acreditamos que a exposição aqui feita das integrais curvilíneas e de
superfície é suficientemente elementar para ser acessível a quem leu o
-primeiro volume e tenha alguma experiência com Álgebra Linear. De
resto, é bom lembrar que esses assuntos não são novos em livros de
Análise. A integral de Kronecker, por exemplo, já aparece no primeiro
volume do "Traité d'Analyse" de Picard, em 1891.
Quanto à Álgebra Linear, sua posição no ensino de hoje é bem me-
lhor do que era para os estudantes da minha geração. Não foi necessário
incluir no livro uma introdução a essa disciplina, pois ela já se encon-
tra suficientemente difundida, tanto na literatura disponível (mesmo em
língua portuguesa) como em vários cursos em nível de graduação. É de
se esperar que vetores, matrizes, transformações lineares, etc. consti-
tuam a linguagem natural para tratar o Cálculo Diferencial pois, afinal
de contas, este se baseia na idéia de aproximar, na vizinhança de cada
ponto de seu domínio, uma função "arbitrária" por uma função linear
(chamada sua derivada) e, a partir das propriedades desta, (presumivel-
mente mais fáceis de constatar) obter informações sobre aquela.
Apenas a circunstância de que, em dimensão 1, uma transformação
linear se confunde com um número real é que leva a considerar a deri-
vada como sendo um número. Em dimensões superiores a verdade se
revela: a derivada é uma transformação linear. Com base nesta ob-
servação, os resultados e métodos da Álgebra Linear são ubíquos nos
tratamentos modernos do Cálculo Diferencial. Seu uso sistemático traz
grandes vantagens de conceituação, notação, unificação e generalização.
Menos divulgada do que a Álgebra Linear propriamente dita, é seu
prolongamento conhecido como Álgebra Exterior. Esta fornece o forma-
lismo adequado para o tratamento algébrico de certas noções geométricas
elusivas, como a orientação, e o fundamento para o estudo das formas
diferenciais. Como se sabe desde Elie Cartan, as formas constituem os
objetos mais convenientes para serem colocados sob o sinal de integral,
principalmente quando não se deseja assumir compromisso com algum
sistema de coordenadas.
Admitindo conhecidas as propriedades elementares dos determinan-
tes, começamos o último capítulo deste livro com uma exposição sucinta
de Álgebra Exterior, a qual usamos como base para o estudo das integrais
de superfície. Procuramos manter a generalidade e o formalismo dentro
de limites aceitáveis enquanto que, por outro lado, exploramos algumas
das excelsas virtudes do Cálculo Diferencial Exterior. Esperamos que o
leitor possa sentir a elegância e a força dos métodos ali esboçados e se
aposse desse poderoso instrumento para usos posteriores.
Ainda que isto não pareça claro nas páginas que se seguem, ao es-
crevê-las fui muito influenciado pelos livros de Picard, Courant, Phillips,
Valiron e Graves citados na lista de referências. Cada um deles tem sido
para mim um professor solícito, um conselheiro sábio, uma fonte de ins-
piração, um modelo a imitar.
Em termos mais concretos, fui também bastante estimulado por um
grupo de amigos, temporariamente meus alunos num curso do IMPA,
cujo entusiasmo pelo assunto e interesse pelo prosseguimento do livro
foram uma importante ajuda. Não podendo mencionar a todos, gosta-
ria pelo menos de destacar os que mais fiscalizaram meus descuidos e
me auxiliaram na correção do manuscrito e das provas. Deixo consigna-
dos, pois, meus agradecimentos a Jonas de Miranda Gomes, José Felipe
Voloch, Katia Frensel e Paulo Ney de Souza, aos quais deve também o
leitor a ausência de alguns cochilos desagradáveis.
No plano da elaboração gráfica, sou grato a Wilson Góes, pela boa
vontade e eficiência no preparo de mais um dos inúmeros manuscritos que
já lhe entreguei. Agradeço ainda aos senhores João D. Affonso e Wilson
Siviero, da AM Produções Gráficas Ltda. e Gráfica Editora Hamburg
Ltda., respectivamente, e às excelentes equipes que eles comandam, pela
competência, pela boa vontade e pelo excepcional acolhimento que têm
dado às nossas publicações.
Rio de Janeiro, 14 de julho de 1981
ELON LAGES LIMA
Prefácio da décima edição
As sucessivas edições deste livro se beneficiaram da colaboração de
leitores atentos, que apontaram várias correções a serem feitas. Dentre
eles, quero agradecer a Florêncio Guimarães, Pedro Zühke de Oliveira,
Diógenes Justo e Rick Rischter.
A oitava edição foi redigitada eletronicamente por Wilson Góes, e
as figuras executadas por Francisco Petrúcio Cavalcante. Rogério Dias
Trindade encarregou-se de incorporar as revisões. A todos esses amigos
quero agradecer cordialmente.
Por último, mas não por menos, registro aqui minha gratridão a
todos os colegas que adotaram o livro em seus cursos e aos leitores que
nele estudaram.
Rio de Janeiro, dezembro de 2007
ELON LAGES LIMA
Conteúdo
Capítulo I Topologia do Espaço Euclidiano 1
1 O espaço vetorial R 1
2 Produto interno e norma 3
3 Números complexos 8
4 Bolas e conjuntos limitados 11
5 Seqüências no espaço euclidiano 14
6 Pontos de acumulação 2.0
7 Aplicações contínuas 21
8 Homeomorfismos 28
9 Limites 31
10 Conjuntos abertos 35
11 Conjuntos fechados 39
12 Conjuntos compactos 44
13 Distância entre dois conjuntos; diâmetro 50
14 Conexidade 55
15 A norma de uma transformação linear 64
Exercícios 67
Capítulo II Caminhos no Espaço Euclidiano 80
1 Caminhos diferenciáveis 80
2 Integral de um caminho 85
3 Os teoremas clássicos do Cálculo 87
4 Caminhos retificáveis 93
5 O comprimento de arco como parâmetro 101
6 Curvatura e torção 104
7 A função-ângulo 107
Exercícios 109
Capítulo III Funções Reais de n Variáveis 116
1 Derivadas parciais 116
2 Derivadas direcionais 119
3 Funções diferenciáveis 124
