Análise No Espaço Rn

140 Pages·2014·1.747 MB·Portuguese

by  Elon Lages Lima

n
Análise no Espaço R
Lima, Elon Lages
Análise no espaço Rn / Elon Lages Lima. 1 ed. Rio de
Janeiro : IMPA, 2014.
128 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária)

Inclui bibliografia.
e-ISBN 978-85-244-0382-8

1. Análise Matemática 2. Cálculo I. Título. II. Série.

CDD-512
COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA

n
Análise no Espaço R

Elon Lages Lima

INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Copyright  2014 by Elon Lages Lima

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Sérgio R. Vaz, Rodolfo Capeto e Noni Geiger

Coleção Matemática Universitária
Comissão Editorial:
Elon Lages Lima
S. Collier Coutinho
Paulo Sad

Títulos Publicados:
• Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável – Elon Lages Lima
• EDP. Um Curso de Graduação – Valéria Iório
• Curso de Álgebra, Volume 1 – Abramo Hefez
• Álgebra Linear – Elon Lages Lima
• Introdução às Curvas Algébricas Planas – Israel Vainsencher
• Equações Diferenciais Aplicadas – Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves
• Geometria Diferencial – Paulo Ventura Araújo
• Introdução à Teoria dos Números – José Plínio de Oliveira Santos
• Cálculo em uma Variável Complexa – Marcio G. Soares
• Geometria Analítica e Álgebra Linear – Elon Lages Lima
• Números Primos: Mistérios e Recordes – Paulo Ribenboim
• Análise no Espaço Rn – Elon Lages Lima
• Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis – Elon Lages Lima
• Álgebra Exterior – Elon Lages Lima
• Equações Diferenciais Ordinárias – Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes
• Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial – Elon Lages Lima
• Álgebra Linear. Exercícios e Soluções – Ralph Costa Teixeira
• Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes – Paulo Ribenboim

Distribuição:
IMPA
Estrada Dona Castorina, 110
22460-320 Rio de Janeiro, RJ
e-mail: [email protected]
http://www.impa.br
Pref´acio da edi¸c˜ao original
Este livro reproduz as lic¸˜oes que proferimos durante o S´etimo
Col´oquio Brasileiro de Matem´atica, em Poc¸os de Caldas, julho de
1969.
Nele s˜ao desenvolvidos os fundamentos do C´alculo para fun-
c¸˜oes de v´arias vari´aveis reais, em forma intr´ınseca.
Isto significa que usamos a linguagem de vetores, segundo a
qual uma func¸˜ao real f(x1,x2,x3) de 3 vari´aveis reais passa a ser
uma func¸˜ao f(x) do vetor x = (x1,x2,x3), pertencente a R3, en-
quanto, porexemplo, duasfunc¸˜oesreaisf1(x1,x2,x3), f2(x1,x2,x3)
s˜ao consideradas como uma func¸˜ao vetorial f: R3 R2, onde
→
f(x) = (f1(x),f2(x)), x = (x1,x2,x3). Analogamente, em vez da
matriz jacobiana (∂fi/∂xj), i = 1,2; j = 1,2,3, consideraremos a
transformac¸˜ao linear correspondente f′(x): R3 R2, que desem-
→
penhar´a o papel da derivada de f.
A notac¸˜ao vetorial simplifica as f´ormulas, esclarece os enunci-
ados, “limpa” as demonstrac¸˜oes e contribui para uma compreens˜ao
melhor dos fenˆomenos diferenciais. (Vide, por exemplo, a Regra
da Cadeia e o Teorema da Func¸˜ao Inversa.) Al´em disso, ela d´a
maior amplitude `a validez dos resultados. Quase todos os teore-
mas aqui demonstrados se mantˆem verdadeiros, com as mesmas
demonstrac¸˜oes, para o C´alculo em Espac¸os de Banach. Na reali-
dade, apenas por motivos did´aticos ´e que consideramos os espac¸os
euclidianos Rn em vez de espac¸os normados mais gerais.
Usamos livremente a linguagem e os resultados elementares
´
da Algebra Linear e n˜ao nos abstemos de usar tamb´em alguns fatos
simples da Topologia dos Espac¸os Euclidianos. Estes s˜ao os princi-
pais pr´e-requisitos para a leitura deste livro.
Os originais deste trabalho foram notas de aula de um curso
que lecionei numa universidade estrangeira. A traduc¸˜ao para o
portuguˆes foi feita por Henrique Browne Filho, Israel Vainsencher,
Jair Koiller e Milton Kelmanson. A redac¸˜ao final foi revista por
Jorge Sotomayor, Cesar Camacho e Rubens Le˜ao de Andrade. A
todas estas pessoas registro meu cordial agradecimento.
Elon Lages Lima
Pref´acio da nova edi¸c˜ao
A origem deste livro remonta `as notas mimeografadas nas
quais se baseou o curso que lecionei no S´etimo Col´oquio Brasileiro
de Matem´atica, em Poc¸os de Caldas, 1969. No ano seguinte, com
pequenosaperfeic¸oamentosdotextoeacr´escimodealgunsexerc´ıcios,
ele foi publicado pela Universidade de Bras´ılia.
A edic¸˜ao de 1970 esgotou-se j´a faz v´arios anos. Diversos cole-
gas e alunos, vez por outra, me sugerem que h´a interesse em ter
dispon´ıvel uma exposic¸˜ao dos princ´ıpios e fatos b´asicos do C´alculo
a n vari´aveis que seja ao mesmo tempo concisa e intelig´ıvel. Bon-
dosamente me d˜ao a entender que a presente exposic¸˜ao cumpre tais
requisitos. A sugest˜ao decisiva coube ao meu colega Paulo Sad, que
me convenceu a corrigir os erros de impress˜ao e alguns outros des-
cuidos, fazer a correc¸˜ao das provas e ultimar a presente publicac¸˜ao.
A ele cabe um reconhecimento especial.
Agradec¸o o interesse dessas pessoas e ao Rog´erio Trindade,
que digitou e ilustrou esta edic¸˜ao.
Rio de Janeiro, 1 de julho de 2002.
Complemento ao pref´acio
Nesta edic¸˜ao de 2010, foram feitas v´arias correc¸˜oes, de acordo
com a lista minuciosa fornecida pelo professor Claus Ivo Doering
ao qual apresento meus agradecimentos.
Rio de Janeiro, Agosto de 2010.

Contents
1 Aplicac¸˜oes diferenci´aveis 7
1 Definic¸˜ao de aplicac¸˜ao diferenci´avel . . . . . . . . . 7
2 Generalizac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Exemplos 12
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Classes de diferenciabilidade 22
1 Derivadas de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . 25
3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Observac¸˜ao sobre caminhos seccionalmente diferenci´aveis 28
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 A regra da cadeia 31
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 A desigualdade do valor m´edio 40
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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