Análise Matemática II

214 Pages·2017·3.95 MB·Portuguese

AnÆlise MatemÆtica II
Feliz Minh(cid:243)s
ii
Conteœdo
Introdu(cid:231)ªo 1
Objectivos Gerais 3
Programa 5
1 Fun(cid:231)ıes de Rn em Rm 7
1.1 Espa(cid:231)o vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 No(cid:231)ıes topol(cid:243)gicas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Intervalos em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Tipos de fun(cid:231)ªo, dom(cid:237)nio e grÆ(cid:133)co . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 De(cid:133)ni(cid:231)ªo de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Propriedades algØbricas dos limites . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Limites relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Continuidade. Propriedades das fun(cid:231)ıes cont(cid:237)nuas . . . . . . 28
1.9 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.10 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 CÆlculo diferencial em Rn 39
2.1 Deriva(cid:231)ªo parcial de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Signi(cid:133)cado geomØtrico das derivadas de 1a ordem . . . . . . . 42
2.3 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Fun(cid:231)ıes diferenciÆveis. Diferencial e gradiente . . . . . . . . . 48
2.6 Fun(cid:231)ıes vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7 Regra de deriva(cid:231)ªo de fun(cid:231)ıes compostas . . . . . . . . . . . 63
2.8 Derivada de uma fun(cid:231)ªo composta de ordem superior . . . . . 68
2.9 Algumas aplica(cid:231)ıes das derivadas em Rn . . . . . . . . . . . . 72
2.9.1 Fun(cid:231)ıes homogØneas. Teorema de Euler . . . . . . . . 72
2.9.2 Plano tangente e recta normal a uma superf(cid:237)cie . . . . 75
iii
iv CONTE(cid:218)DO
2.9.3 Operadores diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.10 Invertibilidade de fun(cid:231)ıes em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.11 Fun(cid:231)ıes impl(cid:237)citas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.12 Derivada da fun(cid:231)ªo impl(cid:237)cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.13 Diferenciais de ordem superior para fun(cid:231)ıes reais em Rn . . . 94
2.14 Estudo dos extremos de fun(cid:231)ıes reais de n variÆveis reais . . 102
2.14.1 Extremos em pontos interiores do dom(cid:237)nio . . . . . . . 103
2.14.2 Classi(cid:133)ca(cid:231)ªo dos pontos cr(cid:237)ticos . . . . . . . . . . . . . 105
2.15 MÆximos e m(cid:237)nimos de fun(cid:231)ıes de(cid:133)nidas implicitamente . . . 112
2.16 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.16.1 MØtodo dos multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . 116
2.16.2 MØtodo do Hessiano orlado . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.17 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3 Integrais de linha ou curvil(cid:237)neos 131
3.1 De(cid:133)ni(cid:231)ªo e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.2 Integrais de linha em rela(cid:231)ªo ao comprimento de arco . . . . 135
3.3 Aplica(cid:231)ıes do integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.4 Campo conservativo e potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.5 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4 Integrais duplos 151
4.1 De(cid:133)ni(cid:231)ªo de integral duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 Propriedades do integral duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3 Integrais duplos inferior e superior . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.4 O integral duplo por integra(cid:231)ªo iterada . . . . . . . . . . . . 156
4.5 Interpreta(cid:231)ªo geomØtrica do integral duplo . . . . . . . . . . . 157
4.6 Integrabilidade de fun(cid:231)ıes cont(cid:237)nuas . . . . . . . . . . . . . . 158
4.7 Integrabilidade de fun(cid:231)ıes limitadas com descontinuidades . . 160
4.8 Integrais duplos em regiıes mais gerais . . . . . . . . . . . . . 162
4.9 Aplica(cid:231)ıes a Æreas e volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.10 Outras aplica(cid:231)ıes dos integrais duplos . . . . . . . . . . . . . 169
4.11 Teorema de Green no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.12 Mudan(cid:231)a de variÆveis num integral duplo . . . . . . . . . . . 174
4.12.1 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.12.2 Transforma(cid:231)ıes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.13 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
CONTE(cid:218)DO v
5 Integrais triplos 183
5.1 Propriedades do integral triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.2 CÆlculo de integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3 Aplica(cid:231)ıes dos integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.4 Mudan(cid:231)a de coordenadas em integrais triplos . . . . . . . . . 189
5.4.1 Coordenadas cil(cid:237)ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.4.2 Coordenadas esfØricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.5 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6 Integrais de superf(cid:237)cie 195
6.1 De(cid:133)ni(cid:231)ªo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.2 Aplica(cid:231)ıes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.2.1 `rea de uma superf(cid:237)cie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.2.2 Centro de massa e momento de inØrcia . . . . . . . . . 196
6.2.3 Fluxo de um (cid:135)uido atravØs de uma superf(cid:237)cie . . . . . 199
6.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.4 Teorema de Gauss ou Teorema da divergŒncia . . . . . . . . . 203
6.5 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
vi CONTE(cid:218)DO
Introdu(cid:231)ªo
Unidade Curricular: AnÆlise MatemÆtica II
Tipo: Obrigat(cid:243)ria
N(cid:237)vel: Base
Ano: 1o
Semestre: 2o
CargahorÆriasemanal: 3horasdeAulasTe(cid:243)ricase2horasdeAulas
PrÆticas
CrØditos (ECTS): 6
1
2
Objectivos Gerais
Considerando esta unidade curricular no (cid:226)mbito da forma(cid:231)ªo pessoal e cien-
t(cid:237)(cid:133)ca, em geral, e da forma(cid:231)ªo matemÆtica em particular, o aluno deverÆ:
Desenvolver capacidades de abstrac(cid:231)ªo, dedu(cid:231)ªo l(cid:243)gica e anÆlise.
(cid:15)
Adquirir mØtodos e tØcnicas estruturantes do racioc(cid:237)nio cient(cid:237)(cid:133)co e
(cid:15)
matemÆtico que proporcione um esp(cid:237)rito cr(cid:237)tico.
Dominar conteœdos matemÆticos associados (cid:224) AnÆlise real vectorial,
(cid:15)
nomeadamente sucessıes, fun(cid:231)ıes, CÆlculo Diferencial e Integral em
Rn, ao n(cid:237)vel de conceitos e aplica(cid:231)ıes.
Utilizar conhecimentos matemÆticos na resolu(cid:231)ªo de problemas e in-
(cid:15)
terpreta(cid:231)ªo da realidade.
AdquirircompetŒnciasmatemÆticasquepossamviraserdesenvolvidas
(cid:15)
eaplicadasemcontextopro(cid:133)ssionalempresarial, deinvestiga(cid:231)ªooude
ensino.
3
4