Análise Combinatória e Probabilidade

198 Pages·1991·6.188 MB·Portuguese

by  Augusto César de Oliveira Morgado, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cesar Pinto Carvalho, Pedro Fernadez

Análise Combinatória e
Probabilidade
Augusto César de Oliveira Morgado
João Bosco Pitombeira de Carvalho
Paulo Cesar Pinto Carvalho
Pedro Fernandez
Análise Combinatória e
Probabilidade
Augusto César de Oliveira Morgado
João Bosco Pitombeira de Carvalho
Paulo Cesar Pinto Carvalho
Pedro Fernandez
Conteúdo
1. Introdução
1.1 43 que é Combinatória?
1.2 Um Pouco de Histbria
1.3 Conjuntos
2. Combinações e Permutaçcies 17
A Q ~ I S I C A ~ ~ ~ ~ 2.1 Introdução 17
A D Q DEU I R I D O
2.2 Permutações Simples 27
2.3 CombinaçõesS imples 31
2.4 Permutações Circulares 41
2.5 Permutações de Elementonse m Todos Distintos 45
2.6 Combinações Completas 48
3. Outros Métodos de Contagem 56
3.1 O Princípio da t nclusão-Exclusão 56
3.2 Permutações Caóticas 68
3.3 0 s L e m ades K aplansky 72
3.4 O Princípio da Reflexão 77
3.5 O princípiod e Dirichlet 81
4. Números Binomiais
4.1 O Triângulo de Pascal
4.2 O Binômiod e Newton
4.3 Polinômio de Leibniz
5. Probabilidade 118
5.1 Introdução 118
5.2 Espaço Amostrat e Probabilidades de laplace 119
5.3 Espaços de Probabilidade 125
5.4 Probabilidades Condicionais 140
5.5 A Distribuição Binomial 165
Conteúdo
1. Introdução
1.1 43 que é Combinatória?
1.2 Um Pouco de Histbria
1.3 Conjuntos
2. Combinações e Permutaçcies 17
A Q ~ I S I C A ~ ~ ~ ~ 2.1 Introdução 17
A D Q DEU I R I D O
2.2 Permutações Simples 27
2.3 CombinaçõesS imples 31
2.4 Permutações Circulares 41
2.5 Permutações de Elementonse m Todos Distintos 45
2.6 Combinações Completas 48
3. Outros Métodos de Contagem 56
3.1 O Princípio da t nclusão-Exclusão 56
3.2 Permutações Caóticas 68
3.3 0 s L e m ades K aplansky 72
3.4 O Princípio da Reflexão 77
3.5 O princípiod e Dirichlet 81
4. Números Binomiais
4.1 O Triângulo de Pascal
4.2 O Binômiod e Newton
4.3 Polinômio de Leibniz
5. Probabilidade 118
5.1 Introdução 118
5.2 Espaço Amostrat e Probabilidades de laplace 119
5.3 Espaços de Probabilidade 125
5.4 Probabilidades Condicionais 140
5.5 A Distribuição Binomial 165
Apêndice 1
Apêndice 2
Prefácio
Apêndice 3
Respostas dos Exercícios
Bibliografia
Este lexto foi escrito como parte. de iim projeto de treina-
mento de professores de Matemática do 2Q grau, financiado pela
Fundasão VITAE, e iniciadon o Rio de Janeiro, em janeiro de
1991. Aproveitamos para agradecer h VITAE por esta iniciativa.
A Analise Combinatória tem sido frequentemente indicada
por professoresd o 2Q grau como sendo a parte da Matemática
mais difícil de ensinar.
Apesar de repleta de problemas capazes de motivar os alunos,
é considerada uma disciplina complicada, em que os alunos têm
dificuldade de encontrar a fórmula correta para cada problema.
Neste texto procuramos resolver problemas de contagem através
do uso de alguns princípios fundamentais, evitando, sempre que
possível,r ecorrer ao uso de fórmiilas.
O livro incorpora a experiência dos autores em ensinar Análise
Combinatória a alunos de 2Q grau, especialmente por parte do
primeiro autor.
Rio de Janeiro, marco de 1991.
Augusto César de Oliveira Morgado
João Bosco Pitombeira de Carvalho
Paulo Cezar Pinto Carvalho
Pedro Fernandez
Apêndice 1
Apêndice 2
Prefácio
Apêndice 3
Respostas dos Exercícios
Bibliografia
Este lexto foi escrito como parte. de iim projeto de treina-
mento de professores de Matemática do 2Q grau, financiado pela
Fundasão VITAE, e iniciadon o Rio de Janeiro, em janeiro de
1991. Aproveitamos para agradecer h VITAE por esta iniciativa.
A Analise Combinatória tem sido frequentemente indicada
por professoresd o 2Q grau como sendo a parte da Matemática
mais difícil de ensinar.
Apesar de repleta de problemas capazes de motivar os alunos,
é considerada uma disciplina complicada, em que os alunos têm
dificuldade de encontrar a fórmula correta para cada problema.
Neste texto procuramos resolver problemas de contagem através
do uso de alguns princípios fundamentais, evitando, sempre que
possível,r ecorrer ao uso de fórmiilas.
O livro incorpora a experiência dos autores em ensinar Análise
Combinatória a alunos de 2Q grau, especialmente por parte do
primeiro autor.
Rio de Janeiro, marco de 1991.
Augusto César de Oliveira Morgado
João Bosco Pitombeira de Carvalho
Paulo Cezar Pinto Carvalho
Pedro Fernandez
I.
Introdução
1.1 O que é Combinatória ?
O que é Análise Combinatória ou simplesmente Combinatória?
A maior parte dos alunos do 2Q grau responderia que ela é o es-
tudo das combinações, arranjos e permutações. Isso no entanto é
uma resposta parcial pois, embora conibinações, arranjos e per-
mutações façam parte da Análise Combinatória, são conceitos
que permitem resolver um tipo de problemas de Analise Com-
binatória: os de contagem de certos tipos de subconjuntos de um
conjunto finito, sem que seja necessário enumerar seus elemen-
tos. No entanto, a Análise Combinatória trata de vários outros
tipos de problemas e dispõe, além das combinações, arranjos e
permutações, de outras técnicas para atacá-los: o princípio da in-
clusk-exclusão, o principio das gavetas de Dirichlet, as funções
geradoras, a teoria de Ramsey são exemplos de técnicas poderosas
de Análise Combinatória. Pelo menos uma delas, o princípio das
gavetas de Dirichlet, é mais simples ou pelo menos tão simples
quanto o estudo das combinações, arranjos e permutações.
De maneira mais geral, podemos dizer que a Análise Com-
binatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações
discretas.
Dois tipos de problemas que ocorrem frequentemente em
I.
Introdução
1.1 O que é Combinatória ?
O que é Análise Combinatória ou simplesmente Combinatória?
A maior parte dos alunos do 2Q grau responderia que ela é o es-
tudo das combinações, arranjos e permutações. Isso no entanto é
uma resposta parcial pois, embora conibinações, arranjos e per-
mutações façam parte da Análise Combinatória, são conceitos
que permitem resolver um tipo de problemas de Analise Com-
binatória: os de contagem de certos tipos de subconjuntos de um
conjunto finito, sem que seja necessário enumerar seus elemen-
tos. No entanto, a Análise Combinatória trata de vários outros
tipos de problemas e dispõe, além das combinações, arranjos e
permutações, de outras técnicas para atacá-los: o princípio da in-
clusk-exclusão, o principio das gavetas de Dirichlet, as funções
geradoras, a teoria de Ramsey são exemplos de técnicas poderosas
de Análise Combinatória. Pelo menos uma delas, o princípio das
gavetas de Dirichlet, é mais simples ou pelo menos tão simples
quanto o estudo das combinações, arranjos e permutações.
De maneira mais geral, podemos dizer que a Análise Com-
binatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações
discretas.
Dois tipos de problemas que ocorrem frequentemente em
2 Introdução Cap.1 Cap.1 h Introdução 3
Anklise Comhinatorja são: torno dc: 300 a.C. O triângulo de Pascal era conhecido por Chu
Shih-Chieh, na China, (cm torno de 1300) e antcs disso pelos
1) Demonstrar a existência de suhconjiintos de elementos de
hindiis e árabes. O matemático hindu Báskhara (1 11 4-11 85?),
um conjunto finito dado e que satisfazem certas condições
conhecido geralmente pela "fórmula dc B áskhara" para a solução
2) Contar ou classificaro s subconjuntos de um conjunto finito
de equações do 2Q graii, sabia calcular o níimcro de permutações,
e que satisfazem certas condições dadas.
de combinações c dc arranjos de 71 objetos. O mesmo aconte-
Embora a Análise Combinatória disponha de técnicas gerais ceu com o matemático e filósofo religoso francês Levi ben Gerson
que permitem atacar certos tipos de problemas, é verdade cluc a (1288-1 344), que nasceu e trabalhou no siil da França, e que, entre
soliição de iim problema combinatório cxige qiiase sempre enge outras coisas, tentou demonstrar o 5" Postulado de Euelides.O
nhosidade e a compreensão plena da situaqão descrita pela pro- nome coeficiente binomial foi introduzido mais tardc por Michael
blema. Essc i! um dos encantos desta parte da matemática, em Stifel (1486'7-1567), yiie mostrou, em torno dc 1550, como calcu-
que problemas fáceis de eniinciar revelam-se por vezes difíceis, lar (I + s)'&a partir do desenvolvimento de (1 i x)''-'. Sabemos
exigindo uma alta dose de criatividade para sua solução. também qiie o matemático árabe Al-Karaji (fins do seciilo X) co-
nhecia a lei de ror.mação dos elementos do triângulo de Pascal,
Por que privilegiar o estudo das combinaqões,a rranjos e
i
permutações em um primeiro curso de Análise Combinatória?
Em primeiro lugar, entre os vários tipos de "números para
O primeiro aparecimento do triângulo de Pascal no Ocidente foi
contagem" da AnáliseC ombinatória, eles são certamente os mais
no fsontispício de um livro de Petrus Apianus (1495-1552). Nic-
simples e de liso mais amplo. Além disso, eles permitem resolver
cal8 Fontana Tartaglia (1499-1559) relacionou os clernentos do
uma grande quantidade de problemas de Análise Combinatória. +
trihgulo de Pascal com as potências de (a: ZJ). Pascal (1623-
Outra razão para sei1 estiido é a aplicalriilidade desses números
1662) piiblicou um tratado em 1654 mostrando como iitilizblos
a problemas de probabilidades finitas, um campo de aplicaqão +
para achar os coeficientes do desenvolvimento de (a h)". Jaime
impoi-tantc da Análise Combinatória.
Bernoulli (1654-1705), em seu Ars Conjectandi, de 1713, usou a
Por outro lado, se a aprendizagem destes conceitos se faz inlerpretação dc Pascal para demonstrar que
de maneira mecânica, limitando-se a empregá-los em situações
padronizadas, sem procurar habituar o aluno com a análise cuida-
dosa de cada problema, cria-sea impressão dc que a AnáliseC om-
binakória é somente um jogo de fórmulas complicaclas. A segunda parte deste livro de Jaime. Bernoiill6i dcdicada h teoria
das combinaqões e permiitações.
1.2 Um pouco de Hist8ria Isaac Newton (1646-1727) mostrou como calciilar direta-
+
mentc (1 2)" sem antes calciilar (1 -t- s)"-'. Ele mostrou que
c.ada coeficiente pode ser detei-minado, iisando o anterior, pela
+
O desei~volvimcntod o binômio (1 z)" esth entre os primeiros
fósmilla
problemas estudados ligados à Análise Combinatória. O caso
n = 2 já pode ser encontrado nos Elementos de Euclides, em
2 Introdução Cap.1 Cap.1 h Introdução 3
Anklise Comhinatorja são: torno dc: 300 a.C. O triângulo de Pascal era conhecido por Chu
Shih-Chieh, na China, (cm torno de 1300) e antcs disso pelos
1) Demonstrar a existência de suhconjiintos de elementos de
hindiis e árabes. O matemático hindu Báskhara (1 11 4-11 85?),
um conjunto finito dado e que satisfazem certas condições
conhecido geralmente pela "fórmula dc B áskhara" para a solução
2) Contar ou classificaro s subconjuntos de um conjunto finito
de equações do 2Q graii, sabia calcular o níimcro de permutações,
e que satisfazem certas condições dadas.
de combinações c dc arranjos de 71 objetos. O mesmo aconte-
Embora a Análise Combinatória disponha de técnicas gerais ceu com o matemático e filósofo religoso francês Levi ben Gerson
que permitem atacar certos tipos de problemas, é verdade cluc a (1288-1 344), que nasceu e trabalhou no siil da França, e que, entre
soliição de iim problema combinatório cxige qiiase sempre enge outras coisas, tentou demonstrar o 5" Postulado de Euelides.O
nhosidade e a compreensão plena da situaqão descrita pela pro- nome coeficiente binomial foi introduzido mais tardc por Michael
blema. Essc i! um dos encantos desta parte da matemática, em Stifel (1486'7-1567), yiie mostrou, em torno dc 1550, como calcu-
que problemas fáceis de eniinciar revelam-se por vezes difíceis, lar (I + s)'&a partir do desenvolvimento de (1 i x)''-'. Sabemos
exigindo uma alta dose de criatividade para sua solução. também qiie o matemático árabe Al-Karaji (fins do seciilo X) co-
nhecia a lei de ror.mação dos elementos do triângulo de Pascal,
Por que privilegiar o estudo das combinaqões,a rranjos e
i
permutações em um primeiro curso de Análise Combinatória?
Em primeiro lugar, entre os vários tipos de "números para
O primeiro aparecimento do triângulo de Pascal no Ocidente foi
contagem" da AnáliseC ombinatória, eles são certamente os mais
no fsontispício de um livro de Petrus Apianus (1495-1552). Nic-
simples e de liso mais amplo. Além disso, eles permitem resolver
cal8 Fontana Tartaglia (1499-1559) relacionou os clernentos do
uma grande quantidade de problemas de Análise Combinatória. +
trihgulo de Pascal com as potências de (a: ZJ). Pascal (1623-
Outra razão para sei1 estiido é a aplicalriilidade desses números
1662) piiblicou um tratado em 1654 mostrando como iitilizblos
a problemas de probabilidades finitas, um campo de aplicaqão +
para achar os coeficientes do desenvolvimento de (a h)". Jaime
impoi-tantc da Análise Combinatória.
Bernoulli (1654-1705), em seu Ars Conjectandi, de 1713, usou a
Por outro lado, se a aprendizagem destes conceitos se faz inlerpretação dc Pascal para demonstrar que
de maneira mecânica, limitando-se a empregá-los em situações
padronizadas, sem procurar habituar o aluno com a análise cuida-
dosa de cada problema, cria-sea impressão dc que a AnáliseC om-
binakória é somente um jogo de fórmulas complicaclas. A segunda parte deste livro de Jaime. Bernoiill6i dcdicada h teoria
das combinaqões e permiitações.
1.2 Um pouco de Hist8ria Isaac Newton (1646-1727) mostrou como calciilar direta-
+
mentc (1 2)" sem antes calciilar (1 -t- s)"-'. Ele mostrou que
c.ada coeficiente pode ser detei-minado, iisando o anterior, pela
+
O desei~volvimcntod o binômio (1 z)" esth entre os primeiros
fósmilla
problemas estudados ligados à Análise Combinatória. O caso
n = 2 já pode ser encontrado nos Elementos de Euclides, em