An introduction to non-abelian discrete symmetries for particle physicists

288 Pages·2012·2.85 MB·English

by  Hajime Ishimori

Lecture Notes in Physics
Volume 858
FoundingEditors
W.Beiglböck
J.Ehlers
K.Hepp
H.Weidenmüller
EditorialBoard
B.-G.Englert,Singapore,Singapore
U.Frisch,Nice,France
P.Hänggi,Augsburg,Germany
W.Hillebrandt,Garching,Germany
M.Hjort-Jensen,Oslo,Norway
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H.vonLöhneysen,Karlsruhe,Germany
M.S.Longair,Cambridge,UK
M.L.Mangano,Geneva,Switzerland
J.-F.Pinton,Lyon,France
J.-M.Raimond,Paris,France
A.Rubio,Donostia,SanSebastian,Spain
M.Salmhofer,Heidelberg,Germany
D.Sornette,Zurich,Switzerland
S.Theisen,Potsdam,Germany
D.Vollhardt,Augsburg,Germany
W.Weise,Garching,Germany
Forfurthervolumes:
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The Lecture Notes in Physics
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• to serve as an accessible introduction to the field to postgraduate students and
nonspecialistresearchersfromrelatedareas
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mats,theelectronicarchivebeingavailableatspringerlink.com.Theseriescontent
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Hajime Ishimori (cid:2) Tatsuo Kobayashi (cid:2)
Hiroshi Ohki (cid:2) Hiroshi Okada (cid:2) Yusuke Shimizu (cid:2)
Morimitsu Tanimoto
An Introduction
to Non-Abelian
Discrete
Symmetries for
Particle Physicists
HajimeIshimori HiroshiOkada
DepartmentofPhysics SchoolofPhysics
KyotoUniversity KoreanInstituteforAdvancedStudy
Kyoto,Japan Seoul,Korea
TatsuoKobayashi
DepartmentofPhysics YusukeShimizu
KyotoUniversity DepartmentofPhysics
Kyoto,Japan NiigataUniversity
Niigata,Japan
HiroshiOhki
Kobayashi-MaskawaInstitute
fortheOriginofParticles MorimitsuTanimoto
andtheUniverse(KMJ) DepartmentofPhysics
NagoyaUniversity NiigataUniversity
Nagoya,Japan Niigata,Japan
ISSN0075-8450 ISSN1616-6361(electronic)
LectureNotesinPhysics
ISBN978-3-642-30804-8 ISBN978-3-642-30805-5(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-30805-5
SpringerHeidelbergNewYorkDordrechtLondon
LibraryofCongressControlNumber:2012944594
©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2012
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Preface
The purpose of these lecture notes is to introduce the basic framework of non-
Abeliandiscretesymmetries,andtopresentsomeimportantapplicationsinparticle
physics.Discretenon-Abeliangroupshaveinfactplayedanimportantroleinparti-
clephysics.However,theymaynotbesofamiliartoparticlephysicistsascontinu-
ousnon-Abeliansymmetries.Theselecturenotesarewrittenforparticlephysicists
anddifferinthisrespectfromstandardbooksongrouptheory.However,preliminary
knowledge of group theory is not required to understand the non-Abelian discrete
symmetries.
Wehopeourlecturenoteswillserveasahandbookforseriouslearners,andalso
asahelpfulreferencebookforexperts,aswellperhapsastriggeringfutureresearch.
It is pleasure to acknowledge fruitful discussions with H. Abe, T. Araki,
K.S. Choi, Y. Daikoku, K. Hashimoto, J. Kubo, H.P. Nilles, F. Ploger, S. Raby,
S.Ramos-Sanchez,M.Ratz,andP.K.S.Vaudrevange.
HajimeIshimori
TatsuoKobayashi
HiroshiOhki
HiroshiOkada
YusukeShimizu
MorimitsuTanimoto
v
Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 BasicsofFiniteGroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
N
3.1 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3
3.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4
3.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
N
4.1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4
4.2 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5
4.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
(cid:2)
5 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
N
6.1 D withN Even. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
N
6.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
vii
viii Contents
6.1.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 D withN Odd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
N
6.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4
6.4 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5
7 Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
N
7.1 Q withN =4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
N
7.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.1.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.1.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2 Q withN =4n+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
N
7.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3 Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4
7.4 Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6
8 QD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2N
8.1 GenericAspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.1.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.1.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 QD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
16
9 Σ(2N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1 GenericAspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.1.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.2 Σ(18) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.3 Σ(32) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.4 Σ(50) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10 Δ(3N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.1 Δ(3N2)withN/3(cid:2)=Integer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.1.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.1.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.2 Δ(3N2)withN/3Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.2.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.2.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.3 Δ(27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Contents ix
11 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
N
11.1 GenericAspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.1.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.1.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.2 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7
11.3 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13
11.4 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
19
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12 Σ(3N3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12.1 GenericAspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
12.1.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 111
12.1.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.2 Σ(81) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
13 Δ(6N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.1 Δ(6N2)withN/3(cid:2)=Integer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.1.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 126
13.1.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.2 Δ(6N2)withN/3Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.2.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 133
13.2.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
13.3 Δ(54) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.3.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.3.2 CharactersandRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.3.3 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
14 SubgroupsandDecompositionsofMultiplets . . . . . . . . . . . . . 147
14.1 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3
14.1.1 S →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3 3
14.1.2 S →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3 2
14.2 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4
14.2.1 S →S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4 3
14.2.2 S →A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4 4
14.2.3 S →Σ(8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4
14.3 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4
14.3.1 A →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4 3
14.3.2 A →Z ×Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4 2 2
14.4 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5
14.4.1 A →A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5 4
x Contents
14.4.2 A →D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5 5
14.4.3 A →S (cid:4)D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5 3 3
(cid:5)
14.5 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
14.5.1 T(cid:5)→Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6
14.5.2 T(cid:5)→Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4
14.5.3 T(cid:5)→Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4
14.6 GeneralD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
N
14.6.1 D →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
N 2
14.6.2 D →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
N N
14.6.3 D →D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
N M
14.7 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4
14.7.1 D →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4 4
14.7.2 D →Z ×Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4 2 2
14.7.3 D →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4 2
14.8 GeneralQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
N
14.8.1 Q →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
N 4
14.8.2 Q →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
N N
14.8.3 Q →Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
N M
14.9 Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4
14.9.1 Q →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4 4
14.10 QD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2N
14.10.1 QD →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2N 2
14.10.2 QD →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2N N
14.10.3 QD →D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2N N/2
14.11GeneralΣ(2N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.11.1 Σ(2N2)→Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2N
14.11.2 Σ(2N2)→Z ×Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
N N
14.11.3 Σ(2N2)→D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
N
14.11.4 Σ(2N2)→Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
N
14.11.5 Σ(2N2)→Σ(2M2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.12 Σ(32) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
14.13GeneralΔ(3N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
14.13.1 Δ(3N2)→Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3
14.13.2 Δ(3N2)→Z ×Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
N N
14.13.3 Δ(3N2)→T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
N
14.13.4 Δ(3N2)→Δ(3M2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14.14 Δ(27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
14.14.1 Δ(27)→Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3
14.14.2 Δ(27)→Z ×Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3 3
14.15GeneralT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
N
14.15.1 T →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
N 3
14.15.2 T →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
N N
14.16 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7
14.16.1 T →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7 3
14.16.2 T →Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7 7