Amour, Mémoire et Modélisation

23 Pages·2010·0.19 MB·French

by  Pablo Crotti

Amour, Mémoire & Modélisation
Pablo Crotti
Printemps 2010
Sous la direction du Prof. Christian Mazza
Département de Mathématiques
Chemin du Musée 23
CH-1700 Fribourg, Switzerland
2
Table des matières
Introduction 4
1 Quelques rappels 5
1.1 Chaînes de Markov, Loi initiale & Répartitions finies . . . . . . . . . . . 5
1.2 Un peu de théorie des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Lien entre chaînes de Markov et théorie des graphes . . . . . . . . . . . . 8
2 Le modèle Coello-Crotti 11
2.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Algorithme de rencontre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Données réelles & Processus de rencontres . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Propriétés du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 Connexité et irréductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2 Récurrence positive, Loi stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Résultat numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Le Modèle du Memory 15
3.1 Le Jeu du Memory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Données de base et données recherchées . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Stratégie du joueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.3 Calcul de la matrice de transition en fonction de N,L et ⋆ . . . . 17
3.2.4 Durée du jeu et probabilité de le finir en k pas . . . . . . . . . . . 18
3.3 Modèle statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1 Améliorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Conclusion 21
Bibliographie 21
3
4 TABLE DES MATIÈRES
Introduction
Les modèles mathématiques sont largement utilisés dans l’industrie, les compagnies
d’assurance, en finance ou plus récemment dans l’explication de phénomènes biologiques.
Le but de ce séminaire est de donner aux étudiants une première approche de la
modélisation mathématique en utilisant dans un premier temps des notions de base de
probabilités, puis en introduisant des concepts de la théorie des graphes et finalement
un peu de programmation mathématique pour obtenir des résultats numériques.
Nous donnons d’abord quelques définitions et concepts de base puis nous étudierons un
modèle simple reflétant le comportement social de la population Suisse.
Nous continuerons ensuite avec un modèle cette fois beaucoup plus sérieux et utile,
permettant de quantifier la mémoire spatiale chez l’être humain.
Chapitre 1
Quelques rappels
Dans ce séminaire nous allons principalement étudier des modèles probabilistes en
nous aidant de la théorie des graphes et du calcul scientifique par ordinateur.
Pour commencer, nous donnons quelques définitions importantes pour la suite de ce
projet.
1.1 Chaînes de Markov, Loi initiale & Répartitions fi-
nies
Définition. Un Processus Stochastique est un quadruplet (Ω,F,P,(X ) ) où Ω est un
i i∈I
espacedeprobabilité,F saσ−algèbre,Psamesuredeprobabilitéet(X ) unecollection
i i∈I
de variables aléatoires de (Ω,F) vers (E,G) (où E est un ensemble quelconque et G sa
σ−algèbre) et I est un ensemble quelconque.
Une propriété intéressante des processus stochastiques est celle de Markov, énoncée
ci-dessous
Définition. Un processus stochastique (X ) est une une chaîne de Markov ou (Mar-
t t∈I
kovien) si ∀t < t < ... < t , t ∈ I et ∀i ,...,i ∈ E
1 2 n i 1 n
(M) P(X = i |X = i ,...,X = i ) = P(X = i |X = i )
tn n tn−1 n−1 t1 1 tn n tn−1 n−1
Définition. Soit (X ) une chaîne de Markov. Les expressions
t t∈I
p (s,t) = P(X = j|X = i) ,0 ≤ s < t , i,j ∈ E
i,j t s
sont les probabilités de transition de la chaîne. Sous forme matricielle nous avons
.
.
.
 
P(s,t) = ··· p (s,t) ···
i,j
 . 
.
 . 
qu’on appel matrice de transition.
5
6 1.1. CHAÎNES DE MARKOV, LOI INITIALE & RÉPARTITIONS FINIES
Remarque. La matrice de transition d’une chaîne de Markov est stochastique
(i.e p (s,t) = 1).
j i,j
P
Démonstration. On voit clairement que
p (s,t) = P(X = j|X = i)
X i,j X t s
j j
P(X = j,X = i)
t s
=
X P(X = i)
s
j
1
= P(X = j,X = i) = 1
P(X = i) X t s
s
j
On montre, qu’il est possible de déterminer complètement les probabilités de transi-
tion en utilisant le principe des répartitions finies du processus. En effet, en utilisant la
propriété de Markov, nous avons
(M)
P(X = i ,...,X = i ) = P(X = i |X = i ,...,X = i )P(X = i ,...,X = i )
tn n t1 1 tn n tn−1 n−1 t1 1 tn−1 n−1 t1 1
= P(X = i |X = i )P(X = i ,...,X = i )
tn n tn−1 n−1 tn−1 n−1 t1 1
= ... = P(X = i )p (t ,t )...p (t ,t )
t1 1 i1,i2 1 2 in−1,in n−1 n
En écrivant
Proba.totale
P(X = i ) = P(X = i)P(X = i |X = i) = P(X = i)p (0,t )
t1 1 X 0 t1 1 0 X 0 i,i1 1
i∈E i∈E
et en définissant π (0) := P(X = i) (qu’on appel loi initiale du processus) on obtient
i 0
P(X = i ,...,X = i ) = π (0)p (0,t )p (t ,t )...p (t ,t ).
tn n t1 1 X i i,i1 1 i1,i2 1 2 in−1,in n−1 n
i∈E
On appel cette relation, les répartitions finies du processus X . On peut désormais dé-
t
terminer la probabilité de la chaîne de se trouver dans un état précis après un certain
temps. Sous forme vectoriel, π (0) n’est autre que la composante d’un vecteur π(0). Ce
i
vecteur est très important car il va nous permettre de déterminer la probabilité de se
trouver dans un état au temps t.
CHAPITRE 1. QUELQUES RAPPELS 7
Nous allons considérer dans ce séminaire des chaînes de Markov dîtes homogènes (ou
stationnaires), c’est-à-dire que
P(X = j|X = i) = P(X = j|X = i).
t s t−s 0
Pour une chaîne de Markov donnée, l’équation de Chapman-Kolmogorov
p (s,t) = p (s,u)p (u,t) ,s < u < t,
i,j X i,k k,j
k∈E
nous permet de montrer que (dans le cas homogène)
P(s+t) = P(s)P(t).
En connaissant notre loi initiale ainsi que notre matrice de transition, nous pouvons
déterminer la probabilité de se trouver dans un état après un temps t par
π(t) = Ptπ(0) , P := P(1)
Dans le cas de la modélisation, il est intéressant de regarder le cas où notre chaîne ne
changera plus son comportement à l’infini. Ainsi, nous introduisons la notion de "station-
narité".
Définition. Soit(X ) unechaînedeMarkovdematricedetransitionPetπ unemesure
t t∈I
de probabilité sur E. On dit que π est stationnaire sir
πP = π
1.2 Un peu de théorie des graphes
Nous avons vu précédemment que nous pouvons déduire des chaînes de Markov cer-
taines propriétés très intéressantes (par exemple, déterminer la loi stationnaire de la
chaîne).
Nous introduisons maintenant quelques notions de théorie des graphes qui vont nous per-
mettre de travailler plus facilement avec les processus markoviens en ne regardant que les
graphes donnés par leurs matrices de transition.
Définition. Un graphe G = (E,V) est un ensemble où E est l’ensemble des sommets et
V l’ensemble des arrêtes. On dit que le graphe est orienté si les arrêtes sont dirigées. Par
exemple,
a b c
8 1.3. LIEN ENTRE CHAÎNES DE MARKOV ET THÉORIE DES GRAPHES
Définition. On dit que le graphe est connexe quand tous ses sommets sont interconnec-
tés. Par exemple,
b
a c
Un graphe peut avoir plusieurs composantes connexes.
Il existe plusieurs algorithmes permettant de déterminer le nombre de composantes
connexes d’un graphe. Nous laissons le lecteur regarder certains ouvrages de théorie des
graphes pour plus d’informations.
1.3 Lien entre chaînes de Markov et théorie des graphes
Dans le cas d’une chaîne de Markov où l’ensemble E (appelé ensemble des états) est
fini,onpeutreprésenterlachaînesousformegraphique.Eneffet,lessommetsreprésentent
les états de la chaîne et les arrêtes représentent les probabilités de transition. Ainsi, en
connaissant la matrice de transition, on peut déterminer le graphe associé à la chaîne.
Exemple. Si nous avons E = {a,b}, que la probabilité de passer de a à b (ou de b à a)
est 1 et la probabilité de rester en a ou b est aussi 1, la matrice de transition sera
2 2
1 1
P 2 2
=
1 1
1 2 2
et le graphe associé 2
b
1 1
2 2
1
a 2
Définition. On dit qu’une châine est irréductible si son graphe associé ne possède qu’une
composante connexe.
Nous tentons ici d’amener le lecteur à la découverte d’un lien entre le graphe d’une
chaîne de Markov et sa loi stationnaire. Pour se faire, nous devons encore introduire deux
définitions qui vont nous mener au théorème final de ce chapitre.
CHAPITRE 1. QUELQUES RAPPELS 9
Définition. On dit que T est le temps de premier passage dans l’état i si
i
T = inf{n ≥ 1;X = i}.
i n
Le temps moyen de premier retour en i (si on est partit de l’état i) est défini comme
E (T ).
i i
On dira qu’une chaîne est positivement récurrente si pour tous les états i on a la propriété
suivante
E (T ) < ∞.
i i
Avec cela, nous pouvons désormais énoncer un théorème primordial dans la suite de
ce séminaire
Théorème. Une chaîne de Markov irréductible est positivement récurrente si et seule-
ment si elle possède une unique loi stationnaire
Cela signifie que pour une chaîne de Markov possédant une composante connexe dans
son graphe, il y a une loi stationnaire unique.
Nous pouvons maintenant, construire et regarder le comportement de modèles possédants
de telles caractéristiques et ainsi déterminer quelle sera la loi stationnaire.
10 1.3. LIEN ENTRE CHAÎNES DE MARKOV ET THÉORIE DES GRAPHES