AMC Solutions Manual

565 Pages·2005·5.91 MB·English

Copyright © by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Except as
permitted under the United States Copyright Act, no part of this publication may be
reproduced or distributed in any form or by any means, or stored in a database or
retrieval system, without prior permission of the publisher.
Send all inquiries to:
Glencoe/McGraw-Hill
8787 Orion Place
Columbus, OH 43240-4027
ISBN: 0-02-834177-5
Printed in the United States of America.
4 5 6 7 8 9 10 024 08 07 06 05 04
Chapter 1 Linear Relations and Functions
8.
1-1 Relations and Functions y
x y
(cid:1)4 (cid:1)7
12
Pages 8–9 Check for Understanding (cid:1)3 (cid:1)4
1. (cid:1)2 (cid:1)1 8
x y y (cid:1)1 2 4
(cid:1)4 2 4 0 5
6 1 1 8 (cid:1)4 O 2 4x
2
0 5 2 11 (cid:1)4
8 (cid:1)4 (cid:1)8 (cid:1)4 O 4 8x 3 14
2 2 (cid:1)2 4 17
(cid:1)4 0 (cid:1)4 9.
y
2. Sample answer: x y
1 (cid:1)5
y
2 (cid:1)5
3 (cid:1)5 O x
4 (cid:1)5
5 (cid:1)5
O x 6 (cid:1)5
7 (cid:1)5
8 (cid:1)5
3. Determine whether a vertical line can be drawn 10. {(cid:1)3, 0, 1, 2}; {(cid:1)6, 0, 2, 4}; yes; Each member of the
through the graph so that it passes through more
domain is matched with exactly one member of
than one point on the graph. Since it does, the
the range.
graph does not represent a function.
11. {(cid:1)3, 3, 6}; {(cid:1)6, (cid:1)2, 0, 4}; no; 6 is matched with
4. Keisha is correct. Since a function can be
two members of the range.
expressed as a set of ordered pairs, a function is
12a. domain: all reals; range: all reals
always a relation. However, in a function, there is
12b. Yes; the graph passes vertical line test.
exactly one y-value for each x-value. Not all
relations have this constraint. 13. f((cid:1)3) (cid:2)4((cid:1)3)3(cid:3)((cid:1)3)2(cid:1)5((cid:1)3)
(cid:2)(cid:1)108 (cid:3)9 (cid:3)15 or (cid:1)84
5. Table: Graph:
14. g(m(cid:3)1) (cid:2)2(m(cid:3)1)2(cid:1)4(m(cid:3)1) (cid:3)2
x y y
(cid:2)2(m2(cid:3)2m(cid:3)1) (cid:1)4m(cid:1)4 (cid:3)2
1 (cid:1)3 (cid:2)2m2(cid:3)4m(cid:3)2 (cid:1)4m(cid:1)4 (cid:3)2
2 (cid:1)2 (cid:2)2m2
3 (cid:1)1 O x 15. x(cid:3)1 (cid:4)0
4 0 x(cid:4)(cid:1)1
5 1 The domain excludes numbers less than (cid:1)1.
6 2 The domain is {xx(cid:5)(cid:1)1}.
7 3 16a. {(83, 240), (81, 220), (82, 245), (78, 200),
(83, 255), (73, 200), (80, 215), (77, 210), (78, 190),
Equation: y(cid:2)x (cid:1)4
(73, 180), (86, 300), (77, 220), (82, 260)}; {73, 77,
6. {((cid:1)3, 4), (0, 0), (3,(cid:1)4), (6, (cid:1)8)}; D(cid:2){(cid:1)3, 0, 3, 6};
78, 80, 81, 82, 83, 86}; {180, 190, 200, 210, 215,
R(cid:2){(cid:1)8, (cid:1)4, 0, 4}
220, 240, 245, 255, 260, 300}
7. {((cid:1)6, 1), ((cid:1)4, 0), ((cid:1)2, (cid:1)4), (1, 3), (4, 3)};
D(cid:2){(cid:1)6, (cid:1)4, (cid:1)2, 1, 4}; R(cid:2){(cid:1)4, 0, 1, 3}
1 Chapter 1
16b. 22. {(4, 0), (5, 1), (8, 0), (13, 1)};
300 D(cid:2){4, 5, 8, 13}; R(cid:2){0, 1}
280 23. {((cid:1)3, (cid:1)2), ((cid:1)1, 1), (0, 0), (1, 1)};
260 D(cid:2){(cid:1)3, (cid:1)1, 0, 1}; R(cid:2){(cid:1)2, 0, 1}
24. {((cid:1)5, 5), ((cid:1)3, 3), ((cid:1)1, 1), (2, (cid:1)2), (4, (cid:1)4)};
Weight 240
(lb) D(cid:2){(cid:1)5, (cid:1)3, (cid:1)1, 2, 4}; R(cid:2){(cid:1)4, (cid:1)2, 1, 3, 5}
220
25. {(3, (cid:1)4), (3, (cid:1)2), (3, 0), (3, 1), (3, 3)}; D(cid:2){3};
200 R(cid:2){(cid:1)4, (cid:1)2, 0, 1, 3}
180 26. y
x y O x
O 70 72 74 76 78 80 82 84 86
(cid:1)4 (cid:1)9
Height (in.)
(cid:1)3 (cid:1)8
16c. No; a vertical line at x(cid:2)77, x(cid:2)78, x(cid:2)82, or (cid:1)2 (cid:1)7
x(cid:2)83 would pass through two points.
(cid:1)1 (cid:1)6
0 (cid:1)5
Pages 10–12 Exercises 1 (cid:1)4
17. Table Graph: 27.
x y y x y y
1 3 24 1 (cid:1)1
2 6 2 (cid:1)2 O x
3 9 18 3 (cid:1)3
4 12 12 4 (cid:1)4
5 15 5 (cid:1)5
6
6 18 6 (cid:1)6
7 21 O 2 4 6 8 10x 28.
8 24 x y y
9 27 (cid:1)5 5
Equation: y(cid:2)3x (cid:1)4 4
18. Table: (cid:1)3 3
x y y (cid:1)2 2
O x
(cid:1)6 (cid:1)11 (cid:1)1 1
O x
(cid:1)5 (cid:1)10 0 0
(cid:1)4 (cid:1)9 1 1
(cid:1)3 (cid:1)8 29.
(cid:1)2 (cid:1)7 x y y
(cid:1)1 (cid:1)6 1 0
Equation: y(cid:2)x(cid:1)5 2 3
19. Table: Graph: 3 6
x y y 4 9
(cid:1)4 4 5 12
(cid:1)3 5
(cid:1)2 6
(cid:1)1 7
0 8
O x
1 9
30.
2 10
3 11 x y y
4
4 12 O x 11 3
Equation: y(cid:2)8 (cid:3)x 11 (cid:1)3 2
20. {((cid:1)5, (cid:1)5), ((cid:1)3, (cid:1)3), ((cid:1)1, (cid:1)1), (1, 1)};
D(cid:2){(cid:1)5, (cid:1)3, (cid:1)1, 1}; R(cid:2){(cid:1)5, (cid:1)3, (cid:1)1, 1} O 4 8 12 x
–2
21. {((cid:1)10, 0), ((cid:1)5, 0), {0, 0), (5, 0)};
D(cid:2){(cid:1)10, (cid:1)5, 0, 5}; R(cid:2){0} –4
Chapter 1 2
31. x y y 51a. x(cid:9)1
4 2
4 (cid:1)2
O x
51b. x(cid:9)(cid:1)5
32. {4, 5, 6}; {4}; yes; Each x-value is paired with
exactly one y-value.
33. {1}; {(cid:1)6, (cid:1)2, 0, 4}; no; The x-value 1 is paired with
more than one y-value.
34. {0, 1, 4); {(cid:1)2, (cid:1)1, 0, 1, 2}; no; The x-values 1 and 4
are paired with more than one y-value.
35. {0, 2, 5}; {(cid:1)8, (cid:1)2, 0, 2, 8}; no; The x-values 2 and 5
are paired with more than one y-value. 51c. x(cid:9)(cid:1)2, 2
36. {(cid:1)1.1, (cid:1)0.4, (cid:1)0.1}; {(cid:1)2, (cid:1)1}; yes; Each x-value is
paired with exactly one y-value.
37. {(cid:1)9, 2, 8, 9}; {(cid:1)3, 0, 8}; yes; Each x-value is paired
with exactly one y-value.
38. domain: all reals; range: all reals; Not a function
because it fails the vertical line test.
39. domain: {(cid:1)3, (cid:1)2, (cid:1)1, 1, 2, 3}; range: {(cid:1)1, 1, 2, 3};
52a. {(13,264, 4184), (27,954, 4412), (21,484, 6366),
Afunction because each x-value is paired with
(23,117, 3912), (16,849, 2415), (19,563, 5982),
exactly one y-value.
(17,284, 6949)}; {13,264, 16,849, 17,284, 19,563,
40. domain: {x(cid:1)8 (cid:6)x(cid:6)8}; range: {y(cid:1)8 (cid:6)y(cid:6)8};
21,484, 23,117, 27,954}; {2415, 3912, 4184, 4412,
Not a function because it fails the vertical line
5982, 6366, 6949}
test.
52b.
41. f(3) (cid:2)2(3) (cid:3)3 7
(cid:2)6 (cid:3)3 or 9
42. g((cid:1)2) (cid:2)5((cid:1)2)2(cid:3)3((cid:1)2) (cid:1)2 6
(cid:2)20 (cid:1)6 (cid:1)2 or 12 Number 5
43. h(0.5) (cid:2)(cid:7)1(cid:7) Attending
0.5 (thousands)4
(cid:2)2
3
44. j(2a) (cid:2)1 (cid:1)4(2a)3
(cid:2)1 (cid:1)4(8a3) 2
(cid:2)1 (cid:1)32a3 O 12 16 20 24 28
45. f(n(cid:1)1) (cid:2)2(n(cid:1)1)2(cid:1)(n(cid:1)1) (cid:3)9 Number Applied
(cid:2)2(n2(cid:1)2n(cid:3)1) (cid:1)n(cid:3)1 (cid:3)9 (thousands)
(cid:2)2n2(cid:1)4n(cid:3)2 (cid:1)n(cid:3)1 (cid:3)9
(cid:2)2n2(cid:1)5n(cid:3)12 52c. Yes; no member of the domain is paired with
46. g(b2(cid:3)1) (cid:2)(cid:7)35(cid:1)(cid:3)((bb(cid:7)22(cid:3)(cid:3)11)) 53. xm(cid:2)o2rme t(cid:3)ha1n, osno e(cid:7)x m(cid:1)(cid:7)e1m(cid:2)bemr. of the range.
(cid:2)(cid:7)3(cid:1)6(cid:3)b(cid:7)2b(cid:1)21 or (cid:7)26(cid:1)(cid:3)(cid:7)bb22 Substitute (cid:7)x(cid:1)(cid:7)1 fo2r min f(2m(cid:3)1) to solve for f(x),
47. f(5m) (cid:2)(5m)2(cid:1)13 2
24m3(cid:3)36m2(cid:3)26m
(cid:2)25m2(cid:1)13
48. x2(cid:1)5 (cid:2)0 (cid:2)24(cid:3)(cid:7)x(cid:1)(cid:7)1(cid:4)3(cid:3)36(cid:3)(cid:7)x(cid:1)(cid:7)1(cid:4)2(cid:3)26(cid:3)(cid:7)x(cid:1)(cid:7)1(cid:4)
2 2 2
x2(cid:2)5 (cid:2)24(cid:3)(cid:7)x3(cid:1)3(cid:7)x2(cid:3)3(cid:7)x(cid:1)1(cid:4)(cid:3)36(cid:3)(cid:7)x2(cid:1)2(cid:7)x(cid:3)1(cid:4)(cid:3)26(cid:3)(cid:7)x(cid:1)(cid:7)1(cid:4)
8 4 2
x(cid:2)(cid:8)(cid:1)5(cid:2); x (cid:9)(cid:8)(cid:1)(cid:2)5 (cid:2)3x3(cid:1)9x2(cid:3)9x(cid:1)3 (cid:3)9x2(cid:1)18x(cid:3)9 (cid:3)13x(cid:1)13
49. x2(cid:1)9 (cid:4)0 (cid:2)3x3(cid:3)4x(cid:1)7
x2(cid:4)9 54a. t(500) (cid:2)95 (cid:1)0.005(500)
(cid:1)3 (cid:4)x(cid:4)3; x(cid:4)(cid:1)3 or x(cid:5)3 (cid:2)92.5°F
50. x2(cid:1)7 (cid:6)0 54b. t(750) (cid:2)95 (cid:1)0.005(750)
x2(cid:6)7 (cid:2)91.25°F
(cid:1)(cid:1)7(cid:2)(cid:6)x(cid:6)(cid:1)7(cid:2); x(cid:4)(cid:1)(cid:1)(cid:2)7or x(cid:10)(cid:1)(cid:2)7 54c. t(1000) (cid:2)95 (cid:1)0.005(1000)
(cid:2)90°F
54d. t(5000) (cid:2)95 (cid:1)0.005(5000)
(cid:2)70°F
3 Chapter 1
54e. t(30,000) (cid:2)95 (cid:1)0.005(30,000) 3.
(cid:2)(cid:1)55°F
55a. d(0.05) (cid:2)299,792,458(0.05)
(cid:2)14,989,622.9 m
d(0.02) (cid:2)299,792,458(0.2)
(cid:2)59,958,491.6 m
d(1.4) (cid:2)299,792,458(1.4)
(cid:2)419,709,441.2 m
d(5.9) (cid:2)299,792,458(5.9)
(cid:2)1,768,775,502 m
55b. d(0.008) (cid:2)299,792,458(0.08)
(cid:2)23,983,396.64 m
56. P(4) (cid:2)(cid:7)(1)(2)(cid:7)(cid:3)1 (cid:2)1
3
P(5) (cid:2)(cid:7)(2)(3)(cid:7)(cid:3)1 (cid:2)7
1
P(6) (cid:2)(cid:7)(3)(1)(cid:7)(cid:3)1 (cid:2)(cid:7)4(cid:7) 4. Sample answer: The (sum/difference/product/
7 7 quotient) of the function values is the function
57. 72(cid:1)(32(cid:3)42) (cid:2) 49 (cid:1)(9 (cid:3)16) values of the (sum/difference/product/quotient)
(cid:2)49 (cid:1)25 or 24 of the functions.
The correct choice is B. 5. Sample answer: For functions f(x) and g(x),
(f(cid:3)g)(x) (cid:2)f(x) (cid:3)g(x); (f(cid:1)g)(x) (cid:2)f(x) (cid:1)g(x);
(f(cid:11)g)(x) (cid:2)f(x) (cid:11)g(x); and (cid:3)(cid:7)f(cid:7)(cid:4)(x) (cid:2)(cid:3)(cid:7)f(x(cid:7))(cid:4), g(x) (cid:9)0
g g(x)
1-2 Composition of Functions
Page 17 Check for Understanding
Page 13 Graphing Calculator Exploration 1. Sample answer: f(x) (cid:2)2x(cid:1)1 and g(x) (cid:2)x(cid:3)6;
1. Sample explanation: Factor 2x2(cid:3)11x(cid:1)6.
2. Iteration is composing a function on itself by
evaluating the function for a value and then
evaluating the function on that function value.
3. No; [f(cid:1)g](x) is the function f(x) performed on g(x)
and [g(cid:1)f](x) is the function g(x) performed on f(x).
See students’counter examples.
4. Sample answer: Composition of functions is
performing one function after another. An
everyday example is putting on socks and then
putting shoes on top of the socks. Buying an item
on sale is an example of when a composition of
functions is used in a real-world situation.
5. f(x) (cid:3)g(x) (cid:2)3x2(cid:3)4x(cid:1)5 (cid:3)2x(cid:3)9
(cid:2)3x2(cid:3)6x(cid:3)4
2. f(x) (cid:1)g(x) (cid:2)3x2(cid:3)4x(cid:1)5 (cid:1)(2x(cid:3)9)
(cid:2)3x2(cid:3)2x(cid:1)14
f(x) (cid:11)g(x) (cid:2)(3x2(cid:3)4x(cid:1)5)(2x(cid:3)9)
(cid:2)6x3(cid:3)35x2(cid:3)26x(cid:1)45
(cid:3)(cid:7)f(cid:7)(cid:4)(x) (cid:2)(cid:7)f(x(cid:7))
g g(x)
(cid:2)(cid:7)3x2(cid:3)4(cid:7)x(cid:1)5, x(cid:9)(cid:1)(cid:7)9(cid:7)
2x(cid:3)9 2
6. [f(cid:1)g](x) (cid:2)f(g(x))
(cid:2)f(3 (cid:3)x)
(cid:2)2(3 (cid:3)x) (cid:3)5
(cid:2)2x(cid:3)11
[g(cid:1)f](x) (cid:2)g(f(x))
(cid:2)g(2x(cid:3)5)
(cid:2)3 (cid:3)(2x(cid:3)5)
(cid:2)2x(cid:3)8
Chapter 1 4
7. [f(cid:1)g](x) (cid:2)f(g(x)) f(x) (cid:1)g(x) (cid:2)(cid:7)x(cid:7)(cid:1)(x2(cid:1)1)
(cid:2)(cid:2)2f((xx22(cid:1)(cid:1)22xx)) (cid:1)3 (cid:2)(cid:7)xx(cid:3)(cid:3)x(cid:7)11 (cid:1)(cid:7)(x2(cid:1)x1(cid:3))(cid:7)(x1(cid:3)1)
(cid:2)2x2(cid:1)4x(cid:1)3 (cid:2)(cid:7)x(cid:7)(cid:1)(cid:7)x3(cid:3)x2(cid:1)(cid:7)x(cid:1)1
x(cid:3)1 x(cid:3)1
[g(cid:1)f](x) (cid:2)(cid:2)gg((f2(xx)(cid:1)) 3) (cid:2) (cid:7)(cid:1)x3(cid:1)(cid:7)xx2(cid:3)(cid:3)12(cid:7)x(cid:3)1, x(cid:9)(cid:1)1
(cid:2)(2x(cid:1)3)2(cid:1)2(2x(cid:1)3) f(x) (cid:3)g(x) (cid:2)(cid:7)x(cid:7)(cid:11)(x2(cid:1)1)
(cid:2)(cid:2)4(4xx22(cid:1)(cid:1)1162xx(cid:3)(cid:3)195) (cid:1)4x(cid:3)6 (cid:2)(cid:7)xx((cid:3)x(cid:3)1x1(cid:3))(cid:7)(x1(cid:1)1)
8. Domain of f(x): x(cid:9)1 (cid:2)x2(cid:1)x, x(cid:9)(cid:1)1
Domain of g(x): all reals (cid:7)x(cid:7)
(cid:3)(cid:7)f(cid:7)(cid:4)(x) (cid:2) (cid:7)x(cid:3)1
g(x) (cid:2)1 g x2(cid:1)1
x(cid:3)3 (cid:2)1 (cid:2)(cid:7)x(cid:3)x(cid:7)1 (cid:11)(cid:7)x21(cid:1)(cid:7)1
x(cid:2)(cid:1)2 (cid:2)(cid:7)x(cid:7), x(cid:9)(cid:1)1 or 1
x3(cid:3)x2(cid:1)x(cid:1)1
Domain of [f(cid:1)g](x) is x(cid:9)(cid:1)2.
13. f(x) (cid:3)g(x) (cid:2)(cid:7)3(cid:7)(cid:3)x2(cid:3)5x
9. x (cid:2)f(x ) (cid:2)f(2) x(cid:1)7
1 0 (cid:2)2(2) (cid:3)1 or 5 (cid:2)(cid:7)3(cid:7)(cid:3)(cid:7)(x2(cid:3)5x(cid:7))(x(cid:1)7)
x(cid:1)7 x(cid:1)7
x2(cid:2)f(x1) (cid:2)f(5) (cid:2) (cid:7)3 (cid:3) (cid:7)x3(cid:1)7x(cid:7)2(cid:3)5x2(cid:7)(cid:1)35x
(cid:2)2(5) (cid:3)1 or 11 x(cid:1)7 x(cid:1)7
x3(cid:2)f(x2) (cid:2)f(11) (cid:2) (cid:7)x3(cid:1)2(cid:7)xx2(cid:1)(cid:1)735(cid:7)x(cid:3)3, x(cid:9)7
(cid:2)2(11) (cid:3)1 or 23 f(x) (cid:1)g(x) (cid:2)(cid:7)3(cid:7)(cid:1)(x2(cid:3)5x)
5, 11, 23 x(cid:1)7
(cid:2)(cid:7)3(cid:7)(cid:1)(cid:7)(x2(cid:3)5x(cid:7))(x(cid:1)7)
10a. [K(cid:1)C](F) (cid:2)K(C(F)) x(cid:1)7 x(cid:1)7
(cid:2)K(cid:3)(cid:7)5(cid:7)(F(cid:1)32)(cid:4) (cid:2) (cid:7)3 (cid:1) (cid:7)x3(cid:1)7x(cid:7)2(cid:3)5x2(cid:7)(cid:1)35x
9 x(cid:1)7 x(cid:1)7
10b. K((cid:1)40) (cid:2)(cid:2)(cid:7)5(cid:7)((cid:1)(cid:7)59(cid:7)(4F0(cid:1) (cid:1)3322) )(cid:3) (cid:3)227733.1.155 (cid:2)(cid:1)(cid:7)x3(cid:1)2(cid:7)xx2(cid:1)(cid:1)735(cid:7)x(cid:1)3, x(cid:9)7
(cid:2)(cid:1)940 (cid:3)273.15 or 233.15 f(x) (cid:11)g(x) (cid:2)(cid:7)x(cid:1)3(cid:7)7 (cid:11)(x2(cid:3)5x)
K((cid:1)12) (cid:2)(cid:7)59(cid:7)((cid:1)12 (cid:1)32) (cid:3)273.15 (cid:2)(cid:7)3xx2(cid:3)(cid:1)(cid:7)175x, x(cid:9)7
(cid:2)(cid:1)24.44 (cid:3)273.15 or 248.71 (cid:7)3(cid:7)
K(0) (cid:2)(cid:7)59(cid:7)(0 (cid:1)32) (cid:3)273.15 (cid:3)(cid:7)gf(cid:7)(cid:4)(x) (cid:2) (cid:7)x2x(cid:3)(cid:1)75x
(cid:2)(cid:1)17.78 (cid:3)273.15 or 255.37 (cid:2)(cid:7)3(cid:7)(cid:11)(cid:7)1(cid:7)
x(cid:1)7 x2(cid:3)5x
K(32) (cid:2)(cid:7)59(cid:7)(32 (cid:1)32) (cid:3)273.15 (cid:2)(cid:7)x3(cid:1)2x32(cid:7)(cid:1)35x, x(cid:9)(cid:1)5, 0, 7
(cid:2)0 (cid:3)273.15 or 273.15 14. f(x) (cid:3)g(x) (cid:2)x(cid:3)3 (cid:3)(cid:7)2(cid:7)x
K(212) (cid:2)(cid:7)59(cid:7)(212 (cid:1)32) (cid:3)273.15 (cid:2)(cid:7)(x(cid:3)3)((cid:7)x(cid:1)x5(cid:1)) (cid:3)5 (cid:7)2(cid:7)x
(cid:2)100 (cid:3)273.15 or 373.15 (cid:2)(cid:7)x2(cid:1)x2(cid:1)x(cid:7)(cid:1)515 (cid:3)(cid:7)x2(cid:1)(cid:7)x 5
x(cid:1)5 x(cid:1)5
(cid:2)(cid:7)x2(cid:1)(cid:7)15, x(cid:9)5
x(cid:1)5
Pages 17–19 Exercises
f(x) (cid:1)g(x) (cid:2)x(cid:3)3 (cid:1)(cid:3)(cid:7)2(cid:7)x (cid:4)
11. f(x) (cid:3)g(x) (cid:2)x2(cid:1)2x(cid:3)x(cid:3)9 x(cid:1)5
(cid:2)x2(cid:1)x(cid:3)9 (cid:2)(cid:7)(x(cid:3)3)((cid:7)x(cid:1)5) (cid:1)(cid:7)2(cid:7)x
x(cid:1)5 x(cid:1)5
f(x) (cid:1)g(x) (cid:2)x2(cid:1)2x(cid:1)(x(cid:3)9) (cid:2)(cid:7)x2(cid:1)2x(cid:7)(cid:1)15 (cid:1)(cid:7)2(cid:7)x
(cid:2)x2(cid:1)3x(cid:1)9 x(cid:1)5 x(cid:1)5
f(x) (cid:11)g(x) (cid:2)(x2(cid:1)2x)(x(cid:3)9) (cid:2)(cid:7)x2(cid:1)x4(cid:1)x(cid:7)5(cid:1)15, x(cid:9)5
(cid:2)x3(cid:3)7x2(cid:1)18x f(x) (cid:11)g(x) (cid:2)(x(cid:3)3) (cid:1)(cid:3)(cid:7)2(cid:7)x (cid:4)
(cid:3)(cid:7)gf(cid:7)(cid:4)(x) (cid:2)(cid:7)xx2(cid:1)(cid:3)(cid:7)29x, x(cid:9)9 (cid:2)(cid:7)2x2(cid:3)(cid:7)6x, x(cid:9)x(cid:1)55
12. f(x) (cid:3)g(x) (cid:2)(cid:2)(cid:7)(cid:7)x(cid:3)xx(cid:7)(cid:7)1 (cid:3)(cid:3)x(cid:7)(x22(cid:1)(cid:1)11)(cid:7)(x(cid:3)1) (cid:3)(cid:7)gf(cid:7)(cid:4)(x) (cid:2) (cid:7)x(cid:7)(cid:3)2(cid:7)x3x(cid:1)5
x(cid:3)1 x(cid:3)1 x(cid:1)5
(cid:2)(cid:7)x(cid:7)(cid:3)(cid:7)x3(cid:3)x2(cid:1)(cid:7)x(cid:1)1 (cid:2)x(cid:3)3 (cid:11)(cid:7)x(cid:1)(cid:7)5
x(cid:3)1 x(cid:3)1 2x
(cid:2)(cid:7)x3(cid:3)x(cid:7)2(cid:1)1, x(cid:9)(cid:1)1 (cid:2)(cid:7)x2(cid:1)2x(cid:7)(cid:1)15, x(cid:9)0 or 5
x(cid:3)1 2x
5 Chapter 1
15. [f(cid:1)g](x) (cid:2)f(g(x)) 21. [f(cid:1)g](x) (cid:2)f(g(x))
(cid:2)f(x(cid:3)4) (cid:2)f(cid:3)(cid:7)1(cid:7)(cid:4)
(cid:2)(x(cid:3)4)2(cid:1)9 x(cid:1)1
(cid:2)x2(cid:3)8x(cid:3)16 (cid:1)9 (cid:2)(cid:7)x(cid:1)1(cid:7)1 (cid:3)1
(cid:2)x2(cid:3)8x(cid:3)7 (cid:2)(cid:7)1(cid:7)(cid:3)(cid:7)x(cid:1)(cid:7)1
[g(cid:1)f](x) (cid:2)g(f(x)) x(cid:1)1 x(cid:1)1
(cid:2)g(x2(cid:1)9) (cid:2)(cid:7)x(cid:1)x(cid:7)1, x(cid:9)1
(cid:2)x2(cid:1)9 (cid:3)4 [g(cid:1)f](x) (cid:2)g(f(x))
(cid:2)x2(cid:1)5 (cid:2)g(x(cid:3)1)
16. [f(cid:1)g](x) (cid:2)f(g(x)) (cid:2)(cid:7)1(cid:7)
(cid:2)f(x(cid:3)6) x(cid:3)1(cid:1)1
(cid:2)(cid:7)1(cid:7)(x(cid:3)6) (cid:1)7 (cid:2)(cid:7)1x(cid:7), x(cid:9)0
2
22. Domain of f(x): all reals
(cid:2)(cid:7)1(cid:7)x(cid:3)3 (cid:1)7
2 Domain of g(x): all reals
(cid:2)(cid:7)12(cid:7)x(cid:1)4 Domain of [f(cid:1)g](x): all reals
[g(cid:1)f](x) (cid:2)g(f(x)) 23. Domain of f(x): x(cid:9)0
(cid:2)g((cid:7)1(cid:7)x(cid:1)7) Domain of g(x): all reals
2
(cid:2)(cid:7)1(cid:7)x(cid:1)7 (cid:3)6 g(x) (cid:2)0
2 7 (cid:1)x(cid:2)0
(cid:2)(cid:7)12(cid:7)x(cid:1)1 7 (cid:2)x
17. [f(cid:1)g](x) (cid:2)f(g(x)) Domain of [f(cid:1)g](x) is x(cid:9)7.
(cid:2)f(3x2) 24. Domain of f(x): x(cid:5)2
(cid:2)3x2(cid:1)4
Domain of g(x): x(cid:9)0
[g(cid:1)f](x) (cid:2)g(f(x))
g(x) (cid:5)2
(cid:2)g(x(cid:1)4)
(cid:2)3(x(cid:1)4)2 (cid:7)14(cid:7)x(cid:5)2
(cid:2)3(x2(cid:1)8x(cid:3)16) 1 (cid:5)8x
(cid:2)3x2(cid:1)24x(cid:3)48 (cid:7)1(cid:7)(cid:5)x
18. [f(cid:1)g](x) (cid:2)f(g(x)) 8
(cid:2)f(5x2) Domain of [f(cid:1)g](x) is x(cid:6)(cid:7)1(cid:7), x(cid:9)0.
8
(cid:2)(5x2)2(cid:1)1 25. x (cid:2)f(x ) (cid:2)f(2)
(cid:2)25x4(cid:1)1 1 0 (cid:2)9 (cid:1)2 or 7
[g(cid:1)f](x) (cid:2)g(f(x)) x (cid:2)f(x ) (cid:2)f(7)
(cid:2)g(x2(cid:1)1) 2 1 (cid:2)9 (cid:1)7 or 2
(cid:2)5(x2(cid:1)1)2
x (cid:2)f(x ) (cid:2)f(2)
(cid:2)5(x4(cid:1)2x2(cid:3)1) 3 2
(cid:2)9 (cid:1)2 or 7
(cid:2)5x4(cid:1)10x2(cid:3)5
7, 2, 7
19. [f(cid:1)g](x) (cid:2)f(g(x))
(cid:2)f(x3(cid:3)x2(cid:3)1) 26. x1(cid:2)f(x0) (cid:2)f(1)
(cid:2)2(x3(cid:3)x2(cid:3)1) (cid:2)(1)2(cid:3)1 or 2
(cid:2)2x3(cid:3)2x2(cid:3)2 x2(cid:2)f(x1) (cid:2)f(2)
[g(cid:1)f](x) (cid:2)g(f(x)) (cid:2)(2)2(cid:3)1 or 5
(cid:2)g(2x) x3(cid:2)f(x2) (cid:2)f(5)
(cid:2)(2x)3(cid:3)(2x)2(cid:3)1 (cid:2)(5)2(cid:3)1 or 26
(cid:2)8x3(cid:3)4x2(cid:3)1 2, 5, 26
20. [f(cid:1)g](x) (cid:2)f(g(x)) 27. x (cid:2)f(x ) (cid:2)f(1)
1 0
(cid:2)f(x2(cid:3)5x(cid:3)6) (cid:2)1(3 (cid:1)1) or 2
(cid:2)1(cid:3)x2(cid:3)5x(cid:3)6 x (cid:2)f(x ) (cid:2)f(2)
(cid:2)x2(cid:3)5x(cid:3)7 2 1 (cid:2)2(3 (cid:1)2) or 2
[g(cid:1)f](x) (cid:2)g(f(x)) x (cid:2)f(x ) (cid:2)f(2)
(cid:2)g(1 (cid:3)x) 3 2 (cid:2)2(3 (cid:1)2) or 2
(cid:2)(x(cid:3)1)2(cid:3)5(x(cid:3)1) (cid:3)6
2, 2, 2
(cid:2)x2(cid:3)2x(cid:3)1 (cid:3)5x(cid:3)5 (cid:3)6
(cid:2)x2(cid:3)7x(cid:3)12
Chapter 1 6
28. $43.98 (cid:3)$38.59 (cid:3)$31.99 (cid:2)$114.56 34a. I(cid:2)prt
Let x(cid:2)the original price of the clothes, or (cid:2)5000(0.08)(1)
$114.56. (cid:2)400
Let T(x) (cid:2)1.0825x. (The cost with 8.25% tax rate) I(cid:2)prt
(cid:2)5400(0.08)(1)
Let S(x) (cid:2)0.75x. (The cost with 25% discount)
(cid:2)432
The cost of clothes is [T(cid:1)S](x).
I(cid:2)prt
[T(cid:1)S](x) (cid:2)T(S(x)) (cid:2)5832(0.08)(1)
(cid:2)T(0.75x) (cid:2)466.56
(cid:2)T(0.75(114.56))
I(cid:2)prt
(cid:2)T(85.92)
(cid:2)6298.56(0.08)(1)
(cid:2)1.0825(85.92)
(cid:2)503.88
(cid:2)93.0084
I(cid:2)prt
Yes; the total with the discount and tax is $93.01.
(cid:2)6802.44(0.08)(1)
29. Yes; If f(x) and g(x) are both lines, they can be (cid:2)544.20
represented as f(x) (cid:2)m x(cid:3)b and g(x) (cid:2)
1 1 (year, interest): (1, $400), (2,$432), (3, $466.56),
m x(cid:3)b . Then [f(cid:1)g](x) (cid:2)m (m x(cid:3)b ) (cid:3)b
2 2 1 2 2 1 (4, $503.88), (5, $544.20)
(cid:2)m m x(cid:3)m b (cid:3)b
1 2 1 2 1
34b. {1, 2, 3, 4, 5}; {$400, $432, $466.56, $503.88,
Since m and m are constants, m m is a
1 2 1 2 $544.20}
constant. Similarly, m , b , and b are constants,
1 2 1
so m b (cid:3)b is a constant. Thus, [f(cid:1)g](x) is a 34c. Yes; for each element of the domain there is
1 2 1
exactly one corresponding element of the range.
linear function if f(x) and g(x) are both linear.
30a. W (cid:2)W (cid:1)W 35. {((cid:1)1, 8), (0, 4), (2, (cid:1)6), (5, (cid:1)9)}; D(cid:2){(cid:1)1, 0, 2, 5};
n p f R(cid:2){(cid:1)9, (cid:1)6, 4, 8}
(cid:2)F d(cid:1)F d
(cid:2)d(pF (cid:1)Ff) 36. D(cid:2){1, 2, 3, 4}; R(cid:2){5, 6, 7, 8}; Yes, every element
p f in the domain is paired with exactly one element
30b. W (cid:2)d(F (cid:1)F)
n p f of the range.
(cid:2)50(95 (cid:1)55)
(cid:2)2000 J 37. g((cid:1)4) (cid:2)(cid:7)((cid:1)44()(cid:1)3(cid:7)4(cid:3))5
31a. h[f(x)], because you must subtract before (cid:2)(cid:7)(cid:1)64(cid:7)(cid:3)5
(cid:1)16
figuring the bonus (cid:2)(cid:7)(cid:1)5(cid:7)9 or 3(cid:7)11(cid:7)
31b. h[f(x)] (cid:2)h[f(400,000)] (cid:1)16 16 y
(cid:2)h(400,000 (cid:1)275,000) 38.
x y
(cid:2)h(125,000)
(cid:1)2 6
(cid:2)0.03(125,000)
(cid:2)$3750 (cid:1)1 3
32. (f(cid:1)g)(x) (cid:2)f(g(x)) 0 0
(cid:2)f(1 (cid:1)x2) 1 3
(cid:2)(cid:7)x2(x2(cid:7)(cid:3)1) 2 6
1(cid:3)x2
3 9
(cid:2)x2 O x
(cid:2)(cid:1)(1 (cid:1)x2) (cid:3)1
So, f(x) (cid:2)(cid:1)x(cid:3)1 and f(cid:3)(cid:7)1(cid:7)(cid:4)(cid:2)(cid:1)(cid:7)1(cid:7)(cid:3)1 (cid:2)(cid:7)1(cid:7). 39. f(n(cid:1)1) (cid:2)2(n(cid:1)1)2(cid:1)(n(cid:1)1) (cid:3)9
2 2 2 (cid:2)2(n2(cid:1)2n(cid:3)1) (cid:1)n(cid:3)1 (cid:3)9
33a. v(p) (cid:2)(cid:7)74p7(cid:7) 33b. r(v) (cid:2)0.84v (cid:2)2n2(cid:1)5n(cid:3)12
33c. r(p) (cid:2)r(v(p)) The correct choice is C.
(cid:2)r(cid:3)(cid:7)7p(cid:7)(cid:4)
47
(cid:2)0.84(cid:3)(cid:7)7p(cid:7)(cid:4)
47
1-3 Graphing Linear Equations
(cid:2)(cid:7)5.8(cid:7)8p or (cid:7)147(cid:7)p
47 1175
33d. r(423.18) (cid:2)(cid:7)147(42(cid:7)3.18)
1175
Page 23 Check for Understanding
(cid:2)$52.94
1. mrepresents the slope of the graph and b
r(225.64) (cid:2)(cid:7)147(22(cid:7)5.64)
1175 represents the y-intercept
(cid:2)$28.23 2. 7; the line intercepts the x-axis at (7, 0)
r(797.05) (cid:2)(cid:7)147(79(cid:7)7.05) 3. Sample answer: Graph the y-intercept at (0, 2).
1175
(cid:2)$99.72 Then move down 4 units and right 1 unit to graph
a second point. Draw a line to connect the points.
7 Chapter 1
4. Sample answer: Both graphs are lines. Both lines 9. (cid:7)1(cid:7)x(cid:3)6 (cid:2)0
have a y-intercept of 8. The graph of y(cid:2)5x(cid:3)8 2
slopes upward as you move from left to right on (cid:7)1(cid:7)x(cid:2)(cid:1)6
2
the graph and the graph of y(cid:2)(cid:1)5y(cid:3)8 slopes x(cid:2)(cid:1)12
downward as you move from left to right on the
y
graph.
12
5. 3x (cid:1)4(0) (cid:3)2 (cid:2)0 3(0) (cid:1)4y(cid:3)2 (cid:2)0
3x(cid:3)2 (cid:2)0 (cid:1)4y(cid:3)2 (cid:2)0 8
3x(cid:2)(cid:1)2 (cid:1)4y(cid:2)(cid:1)2 4
x(cid:2)(cid:1)(cid:7)2(cid:7) y(cid:2)(cid:7)1(cid:7)
3 2
y (cid:1)12 (cid:1)8 (cid:1)4 O x
(cid:1)4
10. Since m(cid:2)0 and b(cid:2)19, this function has no
((cid:1)23,0) (0, 1) x-intercept, and therefore no zeros.
2
O x y
24
16
6. x(cid:3)2(0) (cid:1)5 (cid:2)0 0 (cid:3)2y(cid:1)5 (cid:2)0
8
x(cid:1)5 (cid:2)0 2y(cid:1)5 (cid:2)0
x(cid:2)5 2y(cid:2)5
(cid:1)4 (cid:1)2 O 2 4x
y(cid:2)(cid:7)5(cid:7)
2
11a. (38.500, 173), (44.125, 188)
y
11b. m(cid:2)(cid:7)188(cid:1)(cid:7)173
44.125(cid:1)38.500
(0, 52) (cid:2)(cid:7)15(cid:7)or about 2.667
5.625
x 11c. For each 1 centimeter increase in the length of a
man’s tibia, there is an 2.667-centimeter
O (5, 0)
increase in the man’s height.
7. The y-intercept is 7. Graph (0, 7). Pages 24–25 Exercises
The slope is 1. 12. The y-intercept is (cid:1)9. The slope is 4.
y y
(1, 8)
(0, 7) O x
y (cid:2) 4x (cid:1) 9
O x
8. The y-intercept is 5. Graph (0, 5).
The slope is 0.
13. The y-intercept is 3. The slope is 0.
y
y
y (cid:2) 3
(0, 5)
O x
O x
Chapter 1 8
14. 2x(cid:1)3y(cid:3)15 (cid:2)0 19. 2x(cid:3)y(cid:2)0
(cid:1)3y(cid:2)(cid:1)2x(cid:1)15 y(cid:2)(cid:1)2x
y(cid:2)(cid:7)2(cid:7)x(cid:3)5 The y-intercept is 0. The slope is (cid:1)2.
3
The y-intercept is 5. The slope is (cid:7)2(cid:7). y
3
y
O x
2x (cid:1) 3y (cid:3) 15 (cid:2) 0
2x (cid:3) y (cid:2) 0
O x 20. The y-intercept is (cid:1)4. The slope is (cid:7)2(cid:7).
3
15. x(cid:1)4 (cid:2)0 y
x(cid:2)4
There is no slope. The x-intercept is 4. O x
y
y (cid:2)2x (cid:1) 4
3
x (cid:1) 4 (cid:2) 0
O x
21. The y-intercept is 150. The slope is 25.
y
y (cid:2) 25x (cid:3) 150
100
16. The y-intercept is (cid:1)1. The slope is 6.
y 50
(cid:1)6 (cid:1)4 (cid:1)2 O 2x
y (cid:2) 6x (cid:1) 1
50
O x 22. 2x(cid:3)5y(cid:2)8
5y(cid:2)(cid:1)2x(cid:3)8
y(cid:2)(cid:1)(cid:7)2(cid:7)x (cid:3)(cid:7)8(cid:7)
5 5
17. The y-intercept is 5. The slope is (cid:1)2. The y-intercept is (cid:7)85(cid:7). The slope is (cid:1)(cid:7)25(cid:7).
y y
y (cid:2) 5 (cid:1) 2x 2x (cid:3) 5y (cid:2) 8
x
O
O x
18. y(cid:3)8 (cid:2)0 23. 3x(cid:1)y(cid:2)7
y(cid:2)(cid:1)8 (cid:1)y(cid:2)(cid:1)3x(cid:3)7
The y-intercept is (cid:1)8. The slope is 0. y(cid:2)3x(cid:1)7
The y-intercept is (cid:1)7. The slope is 3.
y
O x y
O x
3x (cid:1) y (cid:2) 7
y (cid:3) 8 (cid:2) 0
9 Chapter 1