Alguns Problemas Geométricos de Papo de Alexandria

131 Pages·2015·2.02 MB·Portuguese

Alguns Problemas

Geométricos de Papo

de Alexandria

Carla Maria Marques Soares Albuquerque

Dissertação de Mestrado em Matemática para Professores
apresentada à Faculdade de Ciências da Univers idade do Porto

2014
Alguns Problemas

Geométricos d e Papo

de Alexandria

Carla Maria Marques Soares Albuquerque

Mestrado em Matemática para Professores

Departamento Matemática
2014

Orientador
Professor Doutor Carlos Correia de Sá
Professor Auxiliar Aposentado, Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Coorientador
Professora Doutora Maria do Rosário Machado Lema Sinde Pinto
Professora Auxiliar, Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
Todas as correções determinadas
pelo júri, e só essas, foram efetuadas.
O Presidente do Júri,
Porto, ______/______/_________
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Aos meus pais:
Joaquina Celeste Marques e
Carlos Alberto Soares Silvério
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AGRADECIMENTOS

Um reconhecimento especial de gratidão à Professora Doutora Maria do Rosário
Machado Lema Sinde Pinto, minha co-orientador da tese, pelo apoio e disponibilidade
total na orientação e sugestão de todo este trabalho.
Agradeço reconhecidamente a todos os professores das Unidades Curriculares do
Mestrado em Matemática para Professores, da Faculdade de Ciências da Universidade
do Porto, em particular à Professora Doutora Leonor Moreira, a Diretora do Mestrado,
pela força e apoio moral que me deu para a continuidade da tese e ao Professor Doutor
Carlos Sá, que foi inicialmente o meu orientador da tese.
Aos meus filhos por terem compreendido o motivo do pouco tempo que lhes dediquei
durante este longo percurso.
Aos meus colegas do Mestrado, com quem partilhei momentos de estudo e
aprendizagens, em especial ao Isidro Ernesto, que me fez avivar as memórias de
Moçambique, a terra onde nasci, com a sua simpatia e apoio.

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RESUMO

Esta dissertação foi elaborada no âmbito do Mestrado em Matemática para Professores
na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, com o seguinte tema: Alguns
Problemas Geométricos da Coleção Matemática de Papo de Alexandria.
Tem como principal finalidade divulgar alguns problemas geométricos da Coleção
Matemática de Papo de Alexandria e criar recursos sobre esta temática para os alunos,
em ambiente de sala de aula.
A importância de se criar situações didáticas pertinentes, no âmbito da geometria, que
facilitam as aprendizagens dos alunos levou-nos ao estudo de alguns aspectos da
história da matemática no sentido de se compreender as origens dos conceitos a ensinar,
o tipo de problema que procuravam resolver, as dificuldades que surgiram e o modo
como foram superadas.
A escolha dos problemas na área da Geometria, considerada um dos pilares da
abordagem científica da realidade ([BGOT], p.7), e em particular da Matemática, teve
como base essencialmente o caráter didático dos mesmos. Quer pela diversidade, na
forma de resolução, ou seja, no método utilizado, e nos conceitos envolvidos, quer pelas
aplicações a novos problemas, procuramos apresentar uma construção sequencial e
coerente desta área do conhecimento.
Estruturada em três capítulos, apresentamos no primeiro capítulo uma breve referência à
vida e obra de Papo de Alexandria. No segundo capítulo desta dissertação,
apresentamos o estudo sobre alguns lugares geométricos de curvas, como as cónicas, a
espiral de Arquimedes, a concóide de Nicomedes e a quadratriz de Hípias e de
Dinóstrato. Estas curvas permitiram resolver muitos problemas geométricos,
nomeadamente os Três Problemas Clássicos da Geometria Grega. No terceiro capítulo,
apresentamos como exemplos de Problemas Planos, resultados sobre a Geometria do
Triângulo e sobre a Geometria do Círculo. Este capítulo prossegue com a exposição de
alguns resultados relacionados com A divisão de um arco ou de um ângulo numa razão
dada, e com o problema da Retificação da Circunferência, como exemplos de Problemas
Lineares. Como exemplo de um Problema Sólido apresentamos alguns resultados
relacionados com a trisseção do ângulo.
Problemas relacionados com a semelhança e a congruência de triângulos bem como com
o teorema de Pitágoras assumem um papel central, nos problemas apresentados nesta
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dissertação, pois são fundamentalmente estes conceitos que utilizamos para
justificar/demonstrar resultados, no Ensino Básico.
Neste sentido, construímos algumas tarefas que poderão ser exploradas em contexto de
sala de aula, com o objetivo de os alunos construírem geometricamente um segmento de
reta de comprimento igual ao número irracional (cid:2024) e apresentarem um valor aproximado
deste número.
A axiomática utilizada neste trabalho é a de Euclides.
As figuras geométricas - conjunto de pontos do espaço ([BGOT], p.10) - foram
desenhadas com o Geogebra versão 4.0. e encontram-se em ficheiros, no mesmo CD-
ROM que o trabalho.

Palavras-chaves: Papo de Alexandria, Alguns Problemas Geométricos.

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ABSTRACT

This dissertation was written as part of the Master’s Degree in Mathematics for School
Teachers, from the Faculty of Sciences of Universidade do Porto, and it is entitled Alguns
Problemas Geométricos da Coleção Matemática de Papo de Alexandria.
Its main purpose is to disclose and spread some of the geometrical problems from the
Mathematical Collection de Pappus of Alexandria as well as to create further resources for
students to use in class, on this same theme.
The importance of creating didactic and pertinent situations, in geometry, that will allow
students to easily understand them and learn, drove us to the study of some aspects of
the history of mathematics, leading to the comprehension of the origin of some concepts,
the problems they aimed to solve, the difficulties they found, and how they overcame
them.
The choice of the problems, in geometry, considered as one of the supports for the
scientific approach of reality ([BGOT], p.7), and in particular for mathematics, had as a
starting point their own didactic features. Having in mind the diversity, methodical and
conceptual, and the possible applications on new rising problems, we try to present a
sequential and cohesive construction of this field of knowledge.
Structured in three chapters, we present in the first one a brief reference to the life and
work of Pappus of Alexandria.
In the second chapter of this dissertation, we present the study of some curve geometrical
places that allowed solving a lot of geometrical problems, namely The Three Classical
Problems of Greek Geometry.
In the third chapter, we deal with some of the main subjects of Pappus work. Framed in
the Plan Problems, we approach these relevant themes, being the first about the
Geometry of the Triangle, following the Geometry of the Circle and some of its results.
This chapter also follows up with some examples of Solid Problems and Linear Problems,
namely with angle trisection, the geometrical construction of a line segment with the same
length as the perimeter of a circumference – The Rectification of the Circumference – and
the division of and arch or angle of a given reason.

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Problems related to the similarity and congruence of triangles, as well as the Pythagorean
Theorem, assume a central role in the general problems presented in this dissertation, as
they are used from early school years to demonstrate and justify some of these results.
In this sense, we built some tasks that could possibly be explored in the classroom
environment. The goal would be for students to geometrically build a line segment with the
same length as (cid:2024) and present an approximate value to this number.
The axiomatic used in this dissertation belongs to Euclid.
The geometric forms – set of points in a particular space ([BGOT], p.10) – were drawn
with Geogebra, version 4.0 and can be found in the same file/ CD as this paper.

Keywords: Pappus of Alexandria, Geometrical Problems.

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ÍNDICE

Dedicatória…………………………………………………………………………………………..i
Agradecimentos……………………………………………………………………………………ii
Resumo…………………………………………………………………………………………….iii
Abstract……………………………………………………………………………………………..v
Índice…………………………………………………………………………………………..…..vii
Índice das figuras ……………………………………………………….………………………..ix
Introdução…………………………………………………………………………………………..1

CAPÍTULO 1 – A COLEÇÃO MATEMÁTICA DE PAPO DE ALEXANDRIA

1.1 Papo de Alexandria: Vida e Obra……………………………………………………………2
1.2 Coleção Matemática……………………………………………………………………….....3

CAPÍTULO 2 – LUGARES GEOMÉTRICOS DE ALGUMAS CURVAS

2.1 Curvas Especiais…………………………………………………………………………….10
2.1.1 As cónicas…………………………………………………………………………..…10
2.1.2 Espiral de Arquimedes………………………………………………………………..24
2.1.3 Concóide de Nicomedes…………………………………………………………..…36
2.1.4 Quadratriz de Hípias e Dinóstrato…………………………………………………..39

CAPÍTULO 3 – ALGUNS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS DA COLEÇÃO
MATEMÁTICA DE PAPO DE ALEXANDRIA

3.1 Problemas Planos……………………………………………………………………………46
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