Algoritmos heurísticos en optimización

94 Pages·2013·0.89 MB·Spanish

Universidad de Santiago de Compostela
Facultad de Matem´aticas
M´aster en T´ecnicas Estad´ısticas
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TRABAJO FIN DE MASTER
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ALGORITMOS HEURISTICOS
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EN OPTIMIZACION
Realizado por Aitana Vidal Esmor´ıs
Dirigido por
Mar´ıa Luisa Carpente Rodr´ıguez
Balbina Casas M´endez
1 de Julio de 2013

El presente documento recoge el Trabajo Fin de Ma´ster para el Ma´ster
InteruniversitarioenT´ecnicasEstad´ısticas,realizadoporDon˜aAitanaVidal
Esmor´ıs bajo el t´ıtulo “Algoritmos Heur´ısticos en Optimizaci´on”.
Ha sido realizado bajo la direcci´on de Don˜a Mar´ıa Luisa Carpente
Rodr´ıguez y Don˜a Balbina Virginia Casas M´endez, que lo consideran
terminado y dan su conformidad para su presentacio´n y defensa.
Santiago de compostela, a 1 de julio de 2013.
a
Fdo.: M Luisa Carpente Rodr´ıguez Fdo.: Balbina Virginia Casas M´endez
Fdo.: Aitana Vidal Esmor´ıs

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Indice general
Resumen 7
1. Introduccio´n a la Optimizacio´n 9
1.1. ¿Qu´e es la Investigaci´on Operativa? . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Evoluci´on histo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Problemas de optimizacio´n y su complejidad. . . . . . . . . . 12
1.4. Algoritmos y complejidad computacional . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1. Tipos de algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2. Medicio´n de la complejidad de un algoritmo . . . . . . 20
1.5. T´ecnicas de resolucio´n. Clasificacio´n . . . . . . . . . . . . . . 22
2. T´ecnicas heur´ısticas de optimizacio´n 27
2.1. Algoritmos exactos y heur´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Bu´squeda Exhaustiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1. Aplicacio´n al ejemplo de referencia . . . . . . . . . . . 33
2.3. Bu´squeda Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2. Descripcio´n del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.3. Aplicacio´n al ejemplo de referencia . . . . . . . . . . . 37
2.4. Bu´squeda Tabu´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2. Descripcio´n del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.3. Aplicacio´n al ejemplo de referencia . . . . . . . . . . . 42
2.5. Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.2. Descripcio´n del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.3. Aplicacio´n al ejemplo de referencia . . . . . . . . . . . 47
2.6. Algoritmos gen´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.2. Descripcio´n del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.3. Aplicacio´n al ejemplo de referencia . . . . . . . . . . . 54
2.7. Colonias de hormigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5
2.7.2. Descripcio´n del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7.3. Aplicacio´n al ejemplo de referencia . . . . . . . . . . . 60
3. Aplicacio´n a un ejemplo real 67
3.1. Definici´on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2. Soluci´on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3. Resolviendo el TSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4. Conclusiones 83
A. Co´digo de programacio´n en MATLAB 85
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Resumen
Dadoquegranpartedelosproblemaspr´acticosquesenecesitanresolver
son de los denominados NP-hard, los algoritmos heur´ısticos o de aproxima-
cio´n desempen˜an un papel importante en la resolucio´n de problemas de
optimizacio´n discreta con la idea de encontrar buenas soluciones factibles
de manera r´apida. Se pretende fundamentalmente realizar una revisio´n de
algunos de los heur´ısticos ma´s utilizados recientemente en la literatura co-
mo son la bu´squeda local, bu´squeda tabu´, simulated annealing, algoritmos
gen´eticos y algoritmos de hormigas.
Esta memoria comienza con una breve introduccio´n a la Investigaci´on
Operativa que recoge la definici´on, contenido y evoluci´on histo´rica. Seguida-
mente se presentara´n algunos problemas de optimizacio´n y su complejidad,
entre ellos, el problema del viajante, problemas de asignacio´n y planifica-
cio´n, as´ı como las t´ecnicas cla´sicas de resolucio´n ma´s utilizadas.
En el siguiente apartado, se explicar´an detalladamente cada uno de los
m´etodos heur´ısticos de resolucio´n de problemas de optimizacio´n que aqu´ı se
presentan. Mediante un pequen˜o ejemplo, comu´n a todos ellos, se tratara´ de
comprender las diferentes t´ecnicas utilizadas y, finalmente, sobre un ejemplo
de mayor envergadura discutiremos los resultados obtenidos en funci´on de
su val´ıa para llegar a la mejor soluci´on posible.
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Cap´ıtulo 1
Introduccio´n a la
Optimizacio´n
1.1. ¿Qu´e es la Investigacio´n Operativa?
Definicio´n 1. Investigaci´on Operativa.
La Investigaci´on Operativa, abreviando IO, es una ciencia moderna
interdisciplinaria que mediante la aplicaci´on de teor´ıa, m´etodos y t´ecnicas
especiales, busca la “solucio´n ´optima” de problemas complejos de adminis-
traci´on, organizacio´n y control que se producen en los diversos sistemas
existentes en la naturaleza y los creados por el ser humano (sistemas orga-
nizados, sistemas f´ısicos, econo´micos, ecolo´gicos, educacionales, de servicio
social, etc), permitiendo de esta forma la “toma de decisiones”.
Objetivo
El objetivo ma´s importante de la aplicaci´on de la investigaci´on operati-
va es dar apoyo en la “toma ´optima de decisiones” en los sistemas y de la
planificaci´on de sus actividades.
Enfoque
El enfoque fundamental de la investigaci´on operativa es el enfoque de
sistemas, por el cual, a diferencia del enfoque tradicional, se estudia el com-
portamientodetodounconjuntodepartesosub-sistemasqueinteraccionan
entre s´ı. De esta forma se identifica el problema y se analizan sus repercusio-
nes,busc´andosesolucionesintegralesquebeneficienalsistemacomountodo.
T´ecnica
Para hallar la soluci´on, generalmente se representa el problema como un
modelo matema´tico, que es analizado y evaluado previamente.
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Actualmente, la Investigaci´on Operativa incluye gran cantidad de ramas co-
molaProgramacio´nLineal,Programacio´nnoLineal,Programacio´nDina´mi-
ca,Simulaci´on,Teor´ıadeColas,Teor´ıadeInventarios,Teor´ıadeGrafos,etc.
1.2. Evolucio´n hist´orica
Algunos historiadores consideran que el punto inicial de la Investigaci´on
de Operaciones radica en el comienzo de la segunda Guerra Mundial, tras el
inter´es mostrado por un grupo de investigadores militares encabezados por
A.P.Roweenelusomilitardeunat´ecnicaconocidacomoradiolocalizaci´on.
Otros consideran que su comienzo est´a en el ana´lisis y soluci´on del
bloqueonavaldeSiracusaqueArqu´ımedespresentaraaltiranodeesaciudad,
en el siglo III A.C.
F. W. Lanchester, en Inglaterra, justo antes de la primera guerra mun-
dial, desarrollo´ relaciones matema´ticas sobre la potencia bal´ıstica de las
fuerzas opositoras, que si se resolv´ıan tomando en cuenta el tiempo, pod´ıan
determinar el resultado de un encuentro militar.
Tom´as Edison tambi´en realizo´ estudios de guerra antisubmarina.
Ni los estudios de Lanchester ni los de Edison tuvieron un impacto
inmediato. Dichos estudios, junto con los de Arqu´ımedes, constituyen viejos
ejemplos del empleo de cient´ıficos para determinar la decisio´n ´optima en las
guerras, optimizando los ataques.
Poco despu´es de que estallara la Segunda Guerra Mundial, la Badswey
Research Station, bajo la direcci´on de Rowe, participo´ en el disen˜o
de utilizacio´n ´optima de un nuevo sistema de deteccio´n y advertencia
prematura, denominado radar (RAdio Detection And Ranging, deteccio´n
y medicio´n de distancias mediante radio). Este avance sirvi´o para el ana´lisis
de todas las fases de las operaciones nocturnas, y el estudio se constituy´o en
un modelo de los estudios de investigaci´on de operaciones que siguieron.
En agosto de 1940, se organiz´o un grupo de 20 investigadores (“Circo
de Blackett”) bajo la direcci´on de P. M. S. Blackett, de la Universidad de
Manchester, para estudiar el uso de un nuevo sistema antia´ereo controlado
por radar. El grupo estaba formado, entre otros, por tres fisi´ologos, dos
fisicomatem´aticos, un astrof´ısico, un oficial del ej´ercito, un top´ografo,
un f´ısico general y dos matema´ticos. Parece aceptarse comu´nmente que
la formaci´on de este grupo constituye el inicio de la investigaci´on de
operaciones.
Blackett y parte de su grupo, participaron en 1941 en problemas de
deteccio´ndebarcosysubmarinosmedianteunradarautotransportado.Este
estudio condujo a que Blackett fuera nombrado director de Investigaci´on
de Operaci´on Naval del Almirantazgo Brit´anico. Posteriormente, la parte
restante de su equipo paso´ a ser el grupo de Investigaci´on de Operaciones
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