Algoritmos de Programação Linear

215 Pages·2005·1.17 MB·Portuguese

by  Paulo Feofiloff

ALGORITMOS
DE
PROGRAMAÇÃO
LINEAR
Programação Linear Concreta
PauloFeofiloff
Professordo
DepartamentodeCiênciadaComputaçãodo
InstitutodeMatemáticaeEstatísticada
UniversidadedeSãoPaulo
novembrode1997
revistoem27.7.1999
reformatadoem11.9.2005
Prefácio
Oproblemabásicodeprogramaçãolinear1consistenoseguinte: dadaumamatriz
A evetores b e c,encontrarumvetor x talque
x ≥ 0, Ax = b e cx émínimo.
O livro discute este problema, suas variantes e generalizações, e a correspon-
denteteoriadadualidade.
O que. Nosso ponto de partida é o algoritmo de Gauss-Jordan e o algo-
ritmo Simplex. Toda a teoria da programação linear é deduzida desses dois
algoritmos. Do ponto de vista do Simplex, o problema básico tem a seguinte
forma: transformar uma matriz dada (a matriz resulta da justaposição de A, b
e c)emoutraequivalentequecontenhaumcerto“padrão”ou“desenho”.
Examinaremos também um representante da família de algoritmos polino-
miaisdeprogramaçãolinearquesurgiuemmeadosdadécada–. Oal-
goritmoquediscutiremos—umavariantedocélebrealgoritmodoelipsóide—
não é uma alternativa prática para o Simplex,2 mas tem profundas implicações
teóricas.
O livronão tratados aspectos maispráticos da programaçãolinear. Assim,
porexemplo,olivronãoseocupadasimplementaçõesaproximadasdoSimplex,
que representam números racionais em notação ponto flutuante; em particu-
lar, o livro não trata das heurísticas que procuram reduzir os erros de arredon-
damento de tais implementações. O livro também não trata das dificuldades
práticas associadas com a manipulação de matrizes muito grandes, nem de al-
goritmos especiais para matrizes esparsas.3 Finalmente, o livro não trata de
modelagem, queé a artede reduzircertos problemasde otimizaçãoa problemas
de programação linear. Todos esses tópicos são muito importantes na prática,
masestãoalémdosobjetivosdolivro(edacompetênciadoautor).
Como. Aatitudedolivroémaismatemáticaeconceitualquetecnológica.
Em outra dimensão, a atitude é mais algébrica que geométrica. O enfoque é
1 Nestecontexto,otermoprogramaçãosignificaplanejamento.Nãosetratadeumareferênciaà
programaçãodecomputadores.
2 Outrosalgoritmosdafamília,entretanto,competemcomoSimplex.
3 O leitor interessado nesses tópicos deve consultar os livros de Chvátal [Chv83] e Golub e
VanLoan[GL96].
i
Feofiloff ii
algorítmico: todaateoriaéderivadadosalgoritmos,particularmentedoSimplex.
Os algoritmos são descritos de maneira precisa, em linguagem razoavel-
mente informal. Para tornar isso possível, é necessário introduzir definições
limpasparaosconceitosdematrizevetoreumanotaçãosuficientementepode-
rosaparadescreverpartesdessesobjetos.
O livro procura dizer com precisão o que cada algoritmo faz e não apenas
como faz o que faz. O comportamento dos algoritmos é descrito por meio de
invariantes,eoseudesempenhodepiorcasoéanalisado.
Ouniversonaturaldaprogramaçãolinearéodosnúmerosracionais. Olivro
supõe,portanto,quedispomosdeumagentecomputacionalcapazdeexecutar
aritméticaracional. UmadasversõesdoSimplex(capítulo12manipulaemsepa-
radoosnumeradoresedenominadoresdosnúmerosracionaiseportantosóusa
aritmética inteira. Segue daí uma versão do Teorema da Dualidade que especi-
ficadelimitaçõessuperioresparaonúmerodedígitosdassoluçõesdoproblema
deprogramaçãolinear.
Olivroevitaousoindiscriminadodeferramentasdaálgebralinear,porque
tais ferramentas são, em geral, mais sofisticadas que as situações concretas que
é preciso enfrentar. O livro evita também as “hipóteses simplificadoras” (por
exemplo, a hipótese de que nossas matrizes têm posto pleno e a hipótese de
que dispomos de uma “solução viável” ao iniciar a execução do Simplex) tão
comuns em outros textos sobre o assunto. Tais hipóteses pouco contribuiriam
parasimplificaradiscussão.
Para quem. Este livro é dirigido a qualquer pessoa que queira compreen-
der as interconexões lógicas entre as várias peças desse quebra-cabeças que é a
programaçãolinear. Emparticular,otextosedestinaaestudantesdegraduação
e pós-graduação em matemática aplicada, computação e engenharia. O livro
nãotempré-requisitosformais,masexigeumacertamaturidadematemática.
Versõespreliminaresdolivroforamusadasemváriosoferecimentosdadis-
ciplinaProgramaçãoLinearnoscursosdegraduaçãoepós-graduaçãoemCiên-
ciadaComputaçãonoInstitutodeMatemáticaeEstatísticadaUniversidadede
São Paulo. O subtítulo do livro —Programação Linear Concreta —é uma alusão
aoConcreteMathematics[GKP94]deGraham,KnuthePatashnikParaexplicaro
título,oprefáciodaquelelivrodiz:
Thecoursetitle“ConcreteMathematics”wasoriginallyintendedasanantidote
to“AbstractMathematics”[...]. Abstractmathematicsisawonderfulsubject,
[...] But [...] The goal of generalization had become so fashionable that a
generationofmathematicianshasbecomeunabletorelishbeautyintheparti-
cular,toenjoythechallengeofsolvingquantitativeproblems,ortoappreciate
thevalueoftechnique.
Dadostécnicos. AelaboraçãodolivrocontoucomoapoiodosprojetosAs-
pectosEstruturaiseAlgorítmicosdeObjetosCombinatórios (FAPESP96/04505-
2) e Complexity of Discrete Structures (ProNEx 107/97). O livro foi escrito em
Feofiloff iii
LATEX nas instalações do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade
deSãoPaulo. Informaçõesatualizadassobreotextopoderãoserencontradasno
endereço http://www.ime.usp.br/~pf/prog-lin/ dateiaWWW.
SãoPaulo,1999–2005
P.F.
Sumário
Prefácio i
1 VetoreseMatrizes 1
1.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Matrizesinversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Transposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Matrizesdebijeção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Matrizesdiagonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Matrizeselementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9 Combinaçõeslineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I AlgoritmosBásicos 12
2 AlgoritmodeGauss-Jordan 13
2.1 Matrizesescalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Esboçodoalgoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Análisedoalgoritmo: invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Maisinvariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Númerodeoperaçõesaritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Aplicação: Sistemasdeequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 IntroduçãoaoSimplex 26
3.1 Matrizessimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 EsboçodoSimplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
iv
Feofiloff SUMÁRIO v
4 HeurísticaSimplex 39
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Aheurística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Análise: invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Maistrêsinvariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.7 Apêndice: SimplexRevisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 AlgoritmoSimplex 50
5.1 Ordemlexicográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Regralexicográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5 Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.6 Númerodeoperaçõesaritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.8 Apêndice: SegundafasedoSimplex . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.9 Apêndice: RegradeBland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 FormatradicionaldoSimplex 64
6.1 Sistemasmatriz-vetor-vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2 Sistemassimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3 AlgoritmoSimplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.4 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
II ProgramaçãoLinear 68
7 Problemacanônicoprimal 69
7.1 Definiçãodoproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2 Problemassimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3 OSimplexresolveoproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.5 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8 Problemacanônicodual 77
8.1 Definiçãodoproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2 Lemadadualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.3 Vetoresdeinviabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Feofiloff SUMÁRIO vi
8.4 AlgoritmobaseadonoSimplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.5 Teoremadadualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.7 Apêndice: UmainterpretaçãodoSimplex . . . . . . . . . . . . . . 84
8.8 Apêndice: Problemadovetorviável . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9 Problemageral 87
9.1 Definiçãodoproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3 Lemadadualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.4 Construçãododual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.5 Teoremadadualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.6 Reduçãoaoproblemacanônicoprimal . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.8 Apêndice: Umainterpretaçãododual . . . . . . . . . . . . . . . . 96
III AlgoritmosparaDadosInteiros 99
10 Determinantes 100
10.1 Sinaldeumamatrizdepermutação . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.2 Determinantedematrizquadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.3 Trêspropriedadesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.4 Determinantedoprodutodematrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.5 Delimitaçãododeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11 AlgoritmodeGauss-Jordan-Chio 111
11.1 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.2 Análise: preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.3 Análise: invarianteprincipal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.4 Delimitaçãodosnúmerosgerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.5 Aplicaçãoamatrizesinteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12 AlgoritmoSimplex-Chio 124
12.1 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12.2 Análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.3 Aplicaçãoamatrizesinteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13 Problemascomdadosinteiros 129
Feofiloff SUMÁRIO vii
13.1 Sistemasdeequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
13.2 Problemascanônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
13.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
IV AlgoritmosPolinomiais 132
14 Introduçãoaosalgoritmospolinomiais 133
14.1 Problemas CD, PV, V e PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
14.2 Reduçãodo CD ao PV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
14.3 Reduçãodo PV ao V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
14.4 Reduçãodo V ao PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
14.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
15 AlgoritmodeYamnitsky-Levin 141
15.1 Definiçõesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
15.2 Tetraedroseseusvolumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
15.3 Teoremadotetraedrointerior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
15.4 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
15.5 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
15.6 Oalgoritmoestábemdefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
15.7 Últimaiteração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
15.8 Demonstraçãodosinvariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
15.9 Númerodeiterações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
15.10 Númerodeoperaçõesaritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
15.11 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
15.12 Apêndice: Matrizcomumasólinha . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
V Apêndices 160
A SimplexDual 161
A.1 Matrizessimplesnosentidodual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.2 EsboçodoSimplexDual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.3 HeurísticaSimplexDual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.4 AlgoritmoSimplexDual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.5 Problemacanônicodual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
B Análisedesensibilidade 169
B.1 Variaçãodeumsócomponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.3 Valorótimocomofunçãode b e c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Feofiloff SUMÁRIO viii
B.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
C Poliedrocanônicoprimal 178
C.1 Dependêncialinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
C.2 Combinaçõesconvexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
C.3 Vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
C.4 Soluçõesdoproblemacanônicoprimal . . . . . . . . . . . . . . . . 182
C.5 Poliedroslimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
D Poliedrocanônicodual 185
D.1 Conjuntosgeradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
D.2 Combinaçõesconvexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
D.3 Vetoresbásicosefacesminimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
D.4 Soluçõesdoproblemacanônicodual . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
D.5 Poliedroslimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
E Exercíciosresolvidos 192
E.1 Soluçãodoexercício2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
E.2 Soluçãodoexercício2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
E.3 Soluçãodoexercício2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
E.4 Soluçãodoexercício4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
E.5 Soluçãodoexercício4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
ReferênciasBibliográficas 199
ÍndiceRemissivo 202
Capítulo 1
Vetores e Matrizes
“Vetor?Éumaespéciedelinharetacomumaflechanaponta.”
“Matriz?Achoqueéondeficaasededaempresa.”
Estecapítulofazumresumodeconceitoselementaresdeálgebralineareintro-
duzasconvençõesdenotaçãoqueusaremosnoscapítulossubseqüentes. Ocon-
teúdodocapítuloémuitosimples,masalgumasdasdefiniçõeseconvençõesde
notaçãomerecematençãopoissãopoucousuais.
1.1 Vetores
Um vetor é uma função que leva um conjunto finito arbitrário — o conjunto
de índices — no conjunto dos números reais (mas não há mal em restringir
a atenção aos números racionais). Convém não presumir qualquer relação de
ordemsobreoconjuntodeíndices. Seoconjuntodeíndicesdeumvetor x é N,
diremosque x estádefinidosobre N.
Se x é um vetor sobre um conjunto N e n é um elemento de N então x[n] x[n]
denotaocomponentendex,istoé,ovalordafunçãoxemn. SeQéumaparte
de N então
x[Q]
denotaarestriçãode x a Q,ouseja,ovetorcujocomponente q é x[q] paracada
q em Q. Noteadistinçãoentre x[n] e x[{n}]: oprimeiroéumnúmero,enquanto
osegundoéumvetor(comumsócomponente).
Umvetor x sobre N énulose x[n] = 0 paratodo n em N. Ovetornuloserá vetornulo
denotadopor o,qualquerquesejaoseuconjuntodeíndices. o
Se x éumvetore λ éumnúmeroentão λx éovetorqueseobtémmediante
multiplicação de cada componente de x por λ. Analogamente, x/λ é o vetor
queseobtémdividindopor λ cadacomponentede x.
Se x e y sãovetoressobreummesmoconjuntodeíndicese x[n] ≥ y[n] para
cada n,dizemosque x ≥ y. Analogamente,dizemosque x≥y
1