algoritmos de cálculo de vectores de prioridad a partir de matrices de comparación por pares

172 Pages·2011·1.53 MB·Spanish

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
FACULTAD DE INFORMÁTICA

ALGORITMOS DE CÁLCULO DE VECTORES DE PRIORIDAD A
PARTIR DE MATRICES DE COMPARACIÓN POR PARES
IMPRECISAS

TESIS DOCTORAL

JORGE MAURICIO RUIZ-TAGLE MOLINA
Ingeniero Civil en Informática

2011
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
FACULTAD DE INFORMÁTICA

DEPARTAMENTO DE LENGUAJES Y SISTEMAS INFORMÁTICOS E
INGENIERÍA DEL SOFTWARE

ALGORITMOS DE CÁLCULO DE VECTORES DE PRIORIDAD A
PARTIR DE MATRICES DE COMPARACIÓN POR PARES
IMPRECISAS

Autor:
Jorge Mauricio Ruiz-Tagle Molina
Ingeniero Civil en Informática

Directora
Esther Dopazo González
Dra. en Informática

Madrid, 2011
A mis padres, Eliana y Jorge,
a mi esposa, Yasna
y a nuestros hijos, Catalina y Tomás
AGRADECIMIENTOS

Deseo agradecer en primer lugar a Esther Dopazo, Directora de esta Tesis Doctoral, por su
incansable apoyo, por toda su paciencia, por su confianza y su optimismo y por haber
contribuido significativamente, con su calidad humana y académica, a que hoy tenga los
mejores recuerdos de mi estadía en Madrid junto a mi familia.
Agradezco a mi esposa Yasna, por su compañía, su paciencia y apoyo, por su energía y por su
comprensión en toda esta etapa de escritura de la tesis, por sus palabras de aliento y por el
tiempo dedicado a hacer posible que yo pudiera avanzar. Gracias por todo ese cariño. Gracias
también a mis hijos Catalina y Tomás, por su ternura y sus revitalizadoras sonrisas y a mis
padres por ese apoyo sin condiciones. Quiero agradecer también a mis suegros, con quienes
siempre hemos podido contar.
Agradezco de manera muy especial a Jorge y a Mónica, por su amistad, por su permanente
disposición a darnos una mano y por haberse transformado junto a Cris y Gaby en nuestra
familia en Madrid. Gracias a todos los amigos con quienes siempre pudimos contar, a Moni
Rojas, a Icíar y David, Gloria y Edwin y a todos los compañeros y compañeras de doctorado.
Vaya mi agradecimiento a mis amigos Jesús Martínez y Daniel Lancho por tantas sonrisas,
partidos de fútbol, y jornadas arreglando el mundo. Gracias también a todo ese gran grupo de
“futboleros” para los que siempre estuvo en primer lugar pasarlo bien.
Deseo agradecer también a mis amigos y colegas del Instituto de Informática de la Universidad
Austral de Chile, en particular a Marianna, María Eliana y Jorge, a Vero y al Director Luis
Álvarez, por todo su apoyo y motivación.
Finalmente, gracias a las autoridades del programa de Doctorado en Software y Sistemas de la
Universidad Politécnica de Madrid y a las autoridades de la Facultad de Ciencias de la
Ingeniería de la Universidad Austral de Chile por el apoyo encontrado cada vez que fue
requerido.
´
Indice general
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.. Me´todos de ca´lculo de vectores de prioridad a partir de una matriz de
comparacio´nporpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Matricesdecomparacio´nporpares . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Ca´lculo de vectores de prioridad. Aproximacio´n consistente de
matricesdecomparacio´nporpares . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1. Aproximacio´nconsistente.Problemasub-optimal . . . . . 27
2.3.2. Aproximacio´nlog-consistente . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3. Algoritmosdeca´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.. Estudio comparativo de me´todos de ca´lculo de vectores de prioridad a
partirdeunamatrizdecomparacio´nporpares . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Descripcio´n de los experimentos. Generacio´n aleatoria de matri-
cesdecomparacio´nporpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Generacio´ndemuestrasdePCM.Cason = 4 . . . . . . . 43
Generacio´ndemuestrasdePCM.Casosn = 6yn = 8 . . 44
3.3. Descripcio´ndelosexperimentos.Medidasdeerroryana´lisis . . . 47
3.4. Resultados del experimento 1. Evaluacio´n de me´todos de priori-
zacio´nenfuncio´ndelainconsistencia.Cason = 4 . . . . . . . . . 48
3.4.1. Desviacio´nMa´xima(DVMAX),cason = 4 . . . . . . . . 49
3.4.2. Desviacio´nMediaAbsoluta(MAD),cason = 4 . . . . . . 50
3.4.3. ErrorMedioCuadra´tico(RMSE),cason = 4 . . . . . . . 50
3.4.4. Desviacio´nBooleana(MMBD),cason = 4 . . . . . . . . 53
3.4.5. Desviacio´nMedia(MD),cason = 4 . . . . . . . . . . . . 56
3.5. Resultados del experimento 2. Evaluacio´n de me´todos de priori-
zacio´nenfuncio´ndelainconsistencia.Cason = 6 . . . . . . . . . 58
3.5.1. Desviacio´nMa´xima(DVMAX),cason = 6 . . . . . . . . 59
´Indicegeneral
3.5.2. Desviacio´nMediaAbsoluta(MAD),cason = 6 . . . . . . 59
3.5.3. ErrorMedioCuadra´tico(RMSE),cason = 6 . . . . . . . 62
3.5.4. Desviacio´nBooleana(MMBD),cason = 6 . . . . . . . . 63
3.5.5. Desviacio´nMedia(MD),cason = 6 . . . . . . . . . . . . 65
3.6. Resultados del experimento 3. Evaluacio´n de me´todos de priori-
zacio´nenfuncio´ndelainconsistencia.Cason = 8 . . . . . . . . . 68
3.6.1. Desviacio´nMa´xima(DVMAX),cason = 8 . . . . . . . . 68
3.6.2. Desviacio´nMediaAbsoluta(MAD),cason = 8 . . . . . . 68
3.6.3. ErrorMedioCuadra´tico(RMSE),cason = 8 . . . . . . . 70
3.6.4. Desviacio´nBooleana(MMBD),cason = 8 . . . . . . . . 73
3.6.5. Desviacio´nMedia(MD),cason = 8 . . . . . . . . . . . . 76
4.. Ca´lculo de vectores de prioridad en problemas de grupo con datos inter-
valares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2. Formulacio´ngeneraldelproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.1. Problemadeoptimizacio´nvectorialenunespaciome´trico
dematrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2. Problemadeoptimizacio´nescalar.Marcoanal´ıtico . . . . 87
4.3. Formulacio´nGPgeneral.Algoritmosdeca´lculo . . . . . . . . . . 91
4.3.1. Resolucio´ndelproblemadegrupocondatospuntuales . . 91
Casos particulares de la formulacio´n GP. Problema log-
consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Casos particulares de la formulacio´n GP. Problema sub-
optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.2. Resolucio´ndelproblemadegrupocondatosintervalares . 104
Casos particulares de la formulacio´n GP intervalar. Pro-
blemalog-consistente . . . . . . . . . . . . . . 110
Casos particulares de la formulacio´n GP intervalar. Pro-
blemasub-optimal . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.. Casosespeciales.Variantesenelca´lculodelvectordeprioridaddegrupo124
5.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2. Ca´lculodevectoresdeprioridaddegrupoapartirdeinformacio´n
incompleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.1. Matricesdecomparacio´nporparesincompletas . . . . . . 127
5.2.2. Me´tododeca´lculodeunvectordeprioridaddegrupocon
informacio´nincompleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3. Ca´lculo de un vector de prioridad de grupo atendiendo a la con-
sistenciadelosexpertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6
´Indicegeneral
5.3.1. Grado de consistencia de una matriz de comparacio´n por
pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3.2. Me´todo de ca´lculo de un vector de prioridad de grupo
atendiendoalaconsistencia . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Formulacio´ncomputacionalyejemplonume´rico . . . . . 138
5.4. Ca´lculo de un vector de prioridad atendiendo a la imprecisio´n de
losdatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4.1. Grado de imprecisio´n de los elementos de una matriz de
comparacio´nporparesintervalar . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.2. Me´tododeca´lculodevectoresdeprioridaddegrupoaten-
diendoalaimprecisio´ndelosdatos . . . . . . . . . . . . 143
6.. Conclusionesyl´ıneasfuturasdeinvestigacio´n . . . . . . . . . . . . . . 148
7..Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Anexos 163
A.. Co´digosdealgoritmosparageneracio´naleatoriadematrices . . . . . . 164
A.1. todo4x4.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.2. autovaloresn4.prg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.3. genmatn6triang.prg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.4. av n6.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.5. autovalores n6.prg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7
RESUMEN
El problema de ana´lisis y determinacio´n de los pesos de un conjunto de alter-
nativasatendiendoasurelevanciaapartirdeinformacio´nprovenientedemu´ltiples
fuentesesunaspectocr´ıticoena´reascomolatomadedecisiones,larecuperacio´n
de informacio´n, sistemas de recomendacio´n, teor´ıa de la eleccio´n social, demo-
cracia electro´nica, reconocimiento de patrones, etc. En este trabajo, se considera
el problema en el contexto de la teor´ıa de la decisio´n de grupo. Se trata de obte-
ner un vector de prioridad correspondiente a un conjunto de alternativas a partir
de informacio´n de preferencias proporcionada individualmente por un grupo de
expertos.
Se asume que cada experto expresa sus preferencias acerca de las alternativas
mediantematricesdecomparacio´nporpares(PCM),te´cnicaampliamenteutiliza-
daenestecampo.Porotraparte,enmuchasaplicacionesnoesposiblecuantificar
nume´ricamente la informacio´n de preferencias de manera precisa, atendiendo a
cuestiones intangibles, vaguedad o imprecisio´n en los juicios, falta de informa-
cio´n, etc., Por ello, se consideran PCM con datos intervalares como una forma
flexibledeexpresio´ndepreferencias.
Este trabajo se centra en el problema de ca´lculo de un vector de prioridad de
un conjunto de alternativas, a partir de la informacio´n, posiblemente en conflicto
e imprecisa dada por un grupo de expertos en forma de matrices de comparacio´n
porparesintervalares.
En primer lugar, se desarrollan me´todos de ca´lculo del vector de prioridad a
partir de una matriz de comparacio´n por pares, bajo un enfoque de aproximacio´n
consistente de matrices. Se proponen dos formulaciones alternativas: una apro-
ximacio´n consistente sub-optimal y una aproximacio´n consistente logar´ıtmica o
log-consistente. Como me´tricas de distancia espec´ıficas, se utilizan las normas
vectoriales l y algunas normas matriciales usuales. Se proporcionan algoritmos
p
deresolucio´n,medianteelusodeformulacionesdeprogramacio´npormetas(goal
programming).
Losme´todospresentadossonevaluadosmedianteunana´lisiscomparativoba-
sado en la generacio´n de clases de PCM aleatorias, con´ındices de inconsistencia
en rangos de valores prefijados. El estudio consiste en el ana´lisis del comporta-
mientodelosme´todosalseraplicadosamatricesdeentradacondistintosniveles
deinconsistencia,atendiendoadiferentesmedidasdeerrorquecomparanlaPCM
Resumen
deentradaconlamatrizderatiosgeneradaapartirdelvectordeprioridadobteni-
docomosalidadelosme´todos.
En segundo lugar se estudia el problema de grupo con datos intervalares. En
este escenario nos enfrentamos con diferentes problemas: el problema de incon-
sistencia de las PCM, el problema de agregacio´n de las preferencias de varios ex-
pertos y el problema de manejo de la imprecisio´n. Para abordar simulta´neamente
estos problemas, se presenta un marco teo´rico general para el ca´lculo y ana´lisis
devectoresdeprioridadparaunconjuntodematricesintervalares.Seproponeun
enfoque de optimizacio´n vectorial en un espacio me´trico de matrices. Se consi-
deran diferentes te´cnicas de escalarizacio´n para articular diferentes estrategias de
agregacio´n de informacio´n. Se proponen me´todos y algoritmos de resolucio´n de
los problemas de optimizacio´n planteados, a partir de formulaciones que utilizan
goal programming intervalar, para las me´tricas de distancia definidas por normas
vectorialesynormasmatricialesusuales.
Finalmente, se profundiza en el estudio de casos espec´ıficos, proporcionan-
do modelos y algoritmos para algunos tipos de matrices y de datos. Se aborda
el problema de informacio´n incompleta y datos no homoge´neos (datos con dife-
rentes grados de precisio´n o diferente grado de consistencia), que son situaciones
comunesydeintere´senestecampo.
El desarrollo de este trabajo, ha contado con el apoyo de los proyectos de
investigacio´nMTM2007-67232,MinisteriodeEducacio´nyCienciayMTM2010-
18057,MinisteriodeCienciayTecnolog´ıadeEspan˜a.
9
ABSTRACT
The problem of importance weights analysis and determination from multi-
ple source information is a critical issue in many fields such as decision-making,
information retrieval, recommender systems, social choice theory, e-democracy,
patterns classification, etc. We consider the problem in the context of group deci-
sion theory, where a set of alternatives have to be ranked by retrieving a weight
vector from the preference information provided individually by a group of ex-
perts.
We assume each expert expresses his preference on the alternatives into the
form of pairwise comparison matrix (PCM), which is a well-established techni-
que in this field. On the other hand, in many applications, due to the estimation
inaccuracies,lackofknowledge,impreciseassessments,etc.,theinformationcan
not be assessed precisely in a quantitative form, so we consider interval data as
a flexible way for expressing preferences. This work focuses on the problem of
computing the overall preference weights (priority vector) of a set of alternatives
from the possibly conflicting imprecise information given by a group of experts
intotheformofintervalpairwisecomparisonmatrices.
Forthis,first,methodsforderivingapriorityvectorfromaPCM,underanap-
proach based on consistent matrix approximation, are developed. Two alternative
formulations are proposed: a sub-optimal consistent approach and a logarithmic
consistent (or log-consistent) approach. As specific distance metrics are used the
standard vector norms l and some matrix norms induced by vector norms. Al-
p
gorithms for solving the problem are formulated using goal programming techni-
ques.
Thepresentedmethodspresentedarefurtherevaluatedthroughacomparative
analysisbasedonthegenerationoflargesetsofrandompairwisecomparisonma-
trices,whicharegroupedaccordingtoaninconsistencyindex.Thestudyconsists
inanalyzingthebehaviourofthemethodswhentheyareappliedtoinputmatrices
withdifferentlevelsofinconsistency.Thisstudyisperformedbycalculatingerror
measuresofthedifferencesbetweentheinputPCMandthepredictedratiomatrix
givenbythederivedpriorityvector.
Second,thegroupproblemwithintervaldataisaddressed.Inthisscenario,we
face with different problems: the problem of PCM inconsistency, the problem of
aggregatingthepreferencesfrommultipleexpertsandtheproblemofimprecision