Algoritmo de Dijkstra

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Caminhos de custo mínimo em
ggrraaffooss –– AAllggoorriittmmoo ddee DDiijjkkssttrraa
Luciano Antonio Digiampietri
Histórico
• Histórico:
– Especificado em 1956 pelo holandês Edsger Wybe
Dijkstra e publicado em 1959[1];
–– OOrriiggiinnaallmmeennttee ccoonncceebbiiddoo ppaarraa eennccoonnttrraarr oo
dois nós
caminho de menor distância entre em
um grafo com arestas ponderadas (com pesos não
negativos, podendo ou não ser direcionadas);
– Diversas variações foram produzidas ao longo dos
anos.
Características
• Problema: encontrar os caminhos de menor
custo/distância entre um nó de origem e
todos os demais em um grafo ou digrafo com
aarreessttaass ppoonnddeerraaddaass..
• Restrições:
– os pesos das arestas são não negativos;
– existe ao menos um caminho entre o nó de
origem e cada um dos demais nós*
Algoritmo[2]
• Entrada:
– um grafo ou um digrafo (conjunto de nós + conjunto
de arestas ponderadas);
– o nó de origem.
•• SSaaííddaa::
– d : arranjo com os valores das menores distâncias do
nó de origem para cada um dos nós do grafo;
π
– : arranjo com o predecessor de cada um dos nós no
caminho de menor distância entre o nó de origem e
os demais nós.
Distância Mínima - Djikstra
DIJKSTRA(G, w, s){
1. INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
←
2. S Ø
←←
33.. QQ VV[[GG]]
while ≠
4. Q Ø
do ←
5. u EXTRACT-MIN(Q)
← ∪
6. S S {u}
for ∈
7. each vertex v Adj[u]
do
8. RELAX(u, v, w)
Distância Mínima - Djikstra
INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
for ∈
1. each vertex v V[G]
do ← ∞
2. d[v]
π ←
3. [v] NIL
←←
44.. dd[[ss]] 00
RELAX(u, v, w)
if
1. d[v] > d[u] + w(u,v)
then ←
2. d[v] d[u] + w(u,v)
π ←
3. [v] u
Distância Mínima - Djikstra
EXTRACT-MIN(Q)
1. min = Q.first
for ∈
2. each vertex v Q
ddoo iiff
33.. dd[[vv]] << dd[[mmiinn]]
then
4. min = v
←
5. Q Q – {min}
return
6. min
Distância Mínima - Djikstra
• Corretude
Distância Mínima - Djikstra
• Corretude
Ao executarmos o algoritmo de Dijkstra sobre
uumm ddiiggrraaffoo ppoonnddeerraaddoo GG==((VV,,EE)) ccoomm ffuunnççããoo
w s
peso não negativa e origem , ele terminará
d u s u
com [ ] = distância mínima de até para
u ∈
todo V
Distância Mínima - Djikstra
• Corretude
Loop invariante
11.. IInniicciiaalliizzaaççããoo
2. Manutenção
3. Término