Algorithmische Methoden: Funktionen, Matrizen, Multivariate Polynome

164 Pages·2012·1.407 MB·German

by  Philipp Kügler, Wolfgang Windsteiger (auth.)

Birkhäuser
MathematikKompakt
Herausgegebenvon:
MartinBrokate
HeinzW.Engl
Karl-HeinzHoffmann
GötzKersting
GernotStroth
EmoWelzl
Die neu konzipierte Lehrbuchreihe Mathematik
KompaktisteineReaktionaufdieUmstellungder
Diplomstudiengänge in Mathematik zu Bachelor-
und Masterabschlüssen. Ähnlich wie die neu-
en Studiengänge selbst ist die Reihe modular
aufgebaut und als Unterstützung der Dozieren-
den sowie als Material zum Selbststudium für
Studierende gedacht. Der Umfang eines Bandes
orientiert sich an der möglichen Stofffülle einer
Vorlesung von zwei Semesterwochenstunden.
Der Inhalt greift neue Entwicklungen des Faches
auf und bezieht auch die Möglichkeiten der neu-
en Medien mit ein. Viele anwendungsrelevante
Beispiele geben den Benutzern Übungsmöglich-
keiten. Zusätzlich betont die Reihe Bezüge der
Einzeldisziplinenuntereinander.
MitMathematikKompaktentstehteineReihe,die
die neuen Studienstrukturen berücksichtigt und
fürDozierendeundStudierendeeinbreitesSpek-
trumanWahlmöglichkeitenbereitstellt.
Algorithmische Methoden
Funktionen,Matrizen, Multivariate Polynome
PhilippKügler
WolfgangWindsteiger
Birkhäuser
Autoren:
PhilippKügler WolfgangWindsteiger
JohannRadonInstituteforComputational ResearchInstitute
andAppliedMathematics(RICAM) forSymbolicComputation(RISC)
ÖsterreichischeAkademie JohannesKeplerUniversitätLinz
derWissenschaften(ÖAW) Linz,Österreich
Linz,Österreich
ISBN978-3-7643-8515-6 ISBN978-3-7643-8516-3 (eBook)
DOI10.1007/978-3-7643-8516-3
BibliografischeInformationderDeutschenBibliothek
DieDeutscheBibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetüber<http://dnb.ddb.de>abrufbar.
2010MathematicsSubjectClassification:00-01,26A18,26C10,65D30,65D32,65H04,65H05,
65H10,68W30,68W40
1998ACMComputingClassification:F.2.1[NumericalAlgorithmsandProblems](G.1,G.4,I.1):
Computationsonmatrices;Computationsonpolynomials;G.1[NumericalAnalysis]:G.1.0
[General]:Computerarithmetic;Conditioning(andill-conditioning);Erroranalysis;Numerical
algorithms;Stability(andinstability);G.1.4[QuadratureandNumericalDifferentiation](F.2.1):
Adaptiveanditerativequadrature;Equalintervalintegration**;Erroranalysis;Iterative
methods;G.1.5[RootsofNonlinearEquations]:Convergence;Erroranalysis;Iterativemethods;
Polynomials,methodsfor;Systemsofequations;G.4[MathematicalSoftware]:Algorithm
designandanalysis;I.1[SymbolicandAlgebraicManipulation]:I.1.1[ExpressionsandTheir
Representation](E.1,E.2):Representations(generalandpolynomial);I.1.2[Algorithms](F.2.1,
F.2.2):Algebraicalgorithms;Analysisofalgorithms
©SpringerBaselAG2012
DasWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbesonderedie
desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,der
Funksendung,derMikroverfilmungoderderVervielfältigungaufanderenWegenundder
SpeicherunginDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinurauszugsweiserVerwertung,
vorbehalten.EineVervielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchim
EinzelfallnurindenGrenzendergesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesin
derjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungspflichtig.
ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechts.
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Vorwort
Algorithmische Methoden behandelt Algorithmen zur Lösung mathematischer Pro-
blemstellungen der Analysis und der Linearen Algebra. Im Vordergrund steht dabei
derenRealisierungamComputer,wobeiwirsowohlnumerischealsauchsymbolische
Zugängeaufgreifen.WieauchdervorhergehendeBand1beruhtdervorliegendeBand2
auf derVorlesungAlgorithmischeMethoden,dievondenProfessorenBrunoBuchber-
gerundHeinzW.EnglimUmfeld desSFBF013„Numerical andSymbolicScientific
Computing“anderJohannesKeplerUniversitätLinzinsLebengerufenwurdeunddie
wirindenvergangenenJahrenimRahmendesBachelor-StudiumsTechnischeMathe-
matikgehaltenhaben.DasBuchrichtetsichanLehrendeundStudierendeimdritten
Semester,kannaber auch begleitendineineralgorithmisch orientiertenPräsentation
derLinearenAlgebraund/oderAnalysisimerstenStudienjahreingesetztwerden.
Band1beschäftigtsichmitGrundbegriffeneineralgorithmischenMathematikund
illustriertdieseanhandvonAlgorithmenfürZahlen,VektorenundPolynomen.ImMit-
telpunktvonBand2stehenFunktionen,MatrizenundmultivariatePolynome,dieauch
der Gliederung des Buches dienen.AmBeginn jedes Kapitels führen wir die für un-
sereZweckewichtigenmathematischenGrundlagenan,anschließendbesprechenwir
dieDarstellungderObjekteamComputer,etwadieTermdarstellungvonFunktionen,
sowieauf diesendefinierteGrundoperationen,etwadieFaktorisierungvonMatrizen.
AlsroterFadenziehtsichdasLösenvonGleichungenbzw.Gleichungssystemen,diemit
HilfederjeweiligenObjektebeschriebensind,durchdasBuch.AusRücksichtaufden
UmfangführenwirdieDiskussionausschließlichüberdemKörperderreellenZahlen
undverzichtenetwaaufMethodenzurBestimmungkomplexerNullstellen.
DieAlgorithmenerklärenwiranhandvonPseudocode,sodassunsereDiskussion
nicht an eine bestimmte Programmiersprache oder Mathematik-Software gebunden
ist.Tatsächliche ImplementierungeninMathematica und/oder MatlabderimBuch
beschriebenen Algorithmen bieten wir auf einer frei verfügbaren E-book Plattform
unter
http://www.risc.jku.at/publications/books/AlgorithmischeMethoden/
an.Die Beispiele imBuch beziehen sichmeistauf Aufrufe dieser Mathematica- oder
Matlab-Programme. EinDownload ist für dasVerständnis jedoch nicht unbedingt
erforderlich,vielmehrempfehlenwireineselbstständigeUmsetzungdesPseudocodes
ineinlauffähigesProgramm.EinErgebnisinblauerSchriftweistdaraufhin,dassdieses
ResultatmiteinemunsererAlgorithmenoderinternenBefehleninMathematica oder
Matlabberechnetwurde.GleitkommaresultatewurdenstetsinIEEEdoubleprecision
ermittelt,sieheBand1,Seite85.
vi
VORWORT
DatenstrukturenundAlgorithmensindengmiteinanderverbunden,undoftistes
geradeso,dassdieFunktionsweiseoderdieEffizienzeinesAlgorithmusauf derWahl
einergeeignetenDatenstrukturbasieren.DievonunsbeschriebenenDatenstrukturen
sind immer jene,die sich für dieAlgorithmen in diesem Buch gut eignen, natürlich
könnensichfürandereAnwendungenalternativeRepräsentationenalsvorteilhafter-
weisen.
Konventionen
DieüblichenmathematischenNotationensetzenwirohneweitereErläuterungenvor-
aus, allfällige Ergänzungen behandeln wir in Fußnoten. Für die Teilmengenrelation
verwenden wir A ⊂ B. Um hervorzuheben, dass A eine echte Teilmenge von B ist,
schreibenwirA (cid:2) B.DieMengedernatürlichenZahlenNbeginntmit1,fürN∪{0}
verwendenwirN .AusBand1übernehmenwirdieSchreibweisenfürTupel,imBeson-
0
derenseiendieIndex-SchreibweisetizumZugriffa(cid:2)ufdiei-t(cid:3)eKomponenteeinesTupels
t,derenVariantet zurBeschreibungdesTupels t,...,t ,und|t|fürdieLängedes
i:j i j
Tupelst inErinnerunggerufen.Fürdask-teElementeinerFolgexschreibenwirx(k),
dieselbe SchreibweiseverwendenwirauchfürdenWertderProgrammvariablen xim
k-tenSchleifendurchlauf einesAlgorithmus.
Dank
Prof.HeinzW.Engl hatesunsermöglicht,anderReihe„Mathematik kompakt“mit-
zuwirken, undistunswährendderArbeit andiesemBuchmitRatundTatzurSeite
gestanden.Dafürmöchtenwirunsherzlichbedanken.UnserDankgiltauchProf.Peter
PaulefürdiespannendenDiskussionenüberdieGestaltungdesBuches,Prof.Heinrich
RolletschekundProf.SvenBeuchlerfürdasKorrekturlesendesTextessowieProf.Bruno
BuchbergerfürseineAnregungenzumKapitelüberGröbner-Basen.
Prof.Karl-HeinzHoffmannundDr.ThomasHempfling,stellvertretendfürdieHer-
ausgeberderSerieundBirkhäuser/SpringerBasel,sprechenwirunserenDankausfür
dasangenehmeArbeitsklimaunddieGeduld,diedemProjektentgegengebrachtwur-
de.Bei Prof.Gernot Strothund Prof.EmoWelzl bedanken wir unsfür die inhaltliche
BetreuungunddiewertvollenAnregungen.
DemLeserwünschenwirabschließendvielSpaßbeiderLektüre.Wirhoffen,mit
demBuchStudierendendiealgorithmischeMathematikschmackhaftzumachenund
VortragendenbeiderGestaltungeineralgorithmischorientiertenEinstiegslehrveran-
staltungbehilflichzusein.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Algorithmenverzeichnis viii
I FunktionenvonRnachR 1
1 MathematischeGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 FunktionenamComputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 NichtlineareGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II Matrizen 49
6 MathematischeGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7 MatrizenamComputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8 Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10 LineareAusgleichsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
III MultivariatePolynome 95
11 MathematischeGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12 MultivariatePolynomeamComputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13 PolynomreduktionundGröbner-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14 PolynomialeGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
IV FunktionenvonRnnachRm 127
15 MathematischeGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
16 FunktionenamComputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
17 NichtlineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
18 NichtlineareAusgleichsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Literaturverzeichnis 155
Index 157
Algorithmenverzeichnis
KompositionTerm: Komposition von Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
SymbDiff: Symbolisches Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
NumDiffExtra: Numerische Differentiation mit Extrapolation . . . . . . . . . . 22
EvalAblPolyHorner:Auswertung Ableitung/Polynom nach Horner . . . . . . . . 24
BestIntAdSimp: Bestimmtes Integral mit adaptiver Simpson-Regel . . . . . . . . 32
Glg1DBisekt: Lösung von f(x)=0 mit Bisektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Glg1DNewton: Lösung von f(x)=0 nach Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Glg1DPolyNewton: Lösung von eval(p,x)=0 nach Newton. . . . . . . . . . . . 43
Glg1DSek: Lösung von f(x) =0 mit Sekantenverfahren . . . . . . . . . . . . . . 45
MultMatStrassen: Matrixmultiplikation nach Strassen . . . . . . . . . . . . . . . 61
LRPZerlegung: LRP-Zerlegung von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Householder: Householder-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
QRMatHouseholder: QR-Zerlegung von Matrizen nach Householder . . . . . . 73
VorSubMat:Vorwärtssubstitution zur Lösung von L·c =b . . . . . . . . . . . . 77
RückSubMat: Rückwärtssubstitution zur Lösung von R·x =c . . . . . . . . . . 77
LGSGauß: Lösung von A·x =b nach Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Nachiteration: Nachiteration zur Verbesserung einer Näherung x˜ . . . . . . . . 80
LGSQR: Lösung von A·x =b mit QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
LGSJac: Näherungslösung von A·x =b nach Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 84
LGSGS: Näherungslösung von A·x =b nach Gauß-Seidel . . . . . . . . . . . . 84
LAPQR: Lösung des linearen Ausgleichsproblems mit QR-Zerlegung . . . . . . 92
kanonischMPoly: Bestimmung der kanonischen Form in Pn,≤ . . . . . . . . . .104
R
AddMPoly:Addition in R[x ,...,x ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
1 n
PartEvalMPoly: Partielle Auswertung eines multivariaten Polynoms . . . . . . .107
NormalformMPoly: Normalform eines multivariaten Polynoms . . . . . . . . . .111
RedMPoly: Reduktion eines multivariaten Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . .112
GBBuchberger: Berechnung einer Gröbner-Basis nach Buchberger . . . . . . . .114
RedGB: Berechnung der reduzierten Gröbner-Basis . . . . . . . . . . . . . . . .118
RückSubMPoly: Rückwärtssubstitution aus einer Gröbner-Basis . . . . . . . . .123
PGSGB: Lösung von G(B) mit Gröbner-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
GlgnDNewton: Lösung von F(x)=0 nach Newton . . . . . . . . . . . . . . . .140
GlgnDNewtonV: Lösung von F(x)=0 nach Newton (vereinfacht) . . . . . . . .141
SArmijo: Schrittweiten-Algorithmus nach Armijo . . . . . . . . . . . . . . . . .147
NLAPGrad: Lösung des nichtlinearen Ausgleichsproblems mit
Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
NLAPGN: Lösung des nichtlinearen Ausgleichsproblems nach Gauß-Newton 151
I
R R
Funktionen von nach
Funktionensind ein zentrales Hilfsmittel der Mathematik und erlauben, die Abhän-
gigkeitgewisserGrößenvonanderenzubeschreiben,etwadieAbhängigkeitdesPrei-
ses eines Produkts von Angebot und Nachfrage. Da durch sie Objekte einer Menge
auf Objekteeiner anderenMengeabgebildet werden,wirdauchoft vonAbbildungen
gesprochen. Funktionen könnenanhand der Eigenschaftendieser Mengenund/oder
jenerderAbbildungsvorschrift auf vielfältigeWeise unterschiedenwerden.Indiesem
Kapitelkonzentrieren wirunsauf reelleFunktionen,alsosolche,diereelle Zahlenauf
reelleZahlenabbilden,undaufdamitimZusammenhangstehendegrundlegendeFra-
gestellungen der Analysis. Neben der Darstellung dieser Funktionen am Computer
beschäftigenwirunsmitdernumerischenundsymbolischenDifferentiation,einfachen
Verfahrender(bestimmten)numerischenIntegrationundderLösungnichtlinearerGlei-
chungen,diemitHilfereellerFunktionenformuliertsind.
(cid:2) 1
Mathematische Grundlagen
InderSprachederMengenlehredefiniertmaneineFunktionzunächstalseineMenge
vonPaaren.
IndiesemKapitelbezeichnenA,B,CstetsMengen. Vereinbarung
Funktion. Man nenntf eine Funktionvon A nach B (kurz f : A → B) genau Definition
dann,wenn
1. f ⊂A×B,d.h.,f isteineRelationzwischenAundB,und1
(cid:2) (cid:3)
2. fürjedesx ∈Aexistiertgenaueiny ∈Bmit x,y ∈f.
1A×B:={(a,b)|a∈A,b∈B}nenntmandaskartesischeProduktderMengenAundB.Daskartesische
ProduktbildetdieGrundlagefürdieinBand1eingeführteMengeA×···×Aallern-TupelvonElementender
MengeA.IneinemPaar(a,b)kannmanmiteinemIndexaufdieKomponentenzugreifen,d.h.(a,b) =a
1
und(a,b)2=b.ZweiPaaresindgenaudanngleich,wennsiekomponentenweiseübereinstimmen.
P. Kügler et al., Algorithmische Methoden
© Springer Basel AG 2012
2
I FunktionenvonRnachR
(cid:2) (cid:3)
Fürjedesx ∈Aheißtdaseindeutigbestimmtey ∈Bmit x,y ∈f derFunktions-
wert vonf anderStellex,dieüblicheSchreibweisedafürlautetf(x).Istf : A→B,so
nenntmanAdieDefinitions-undBdieZielmenge vonf.DieMenge
(cid:4) (cid:5) (cid:6)
W(f):= f(x)∈B(cid:5)x ∈A ⊂B
wirdWertebereich (Bildmenge) vonf genannt.Handelt es sich bei A und B um Teil-
mengenvonR,sonenntmanf : A→BeinereelleFunktion.
FunktionenmitendlichemDefinitionsbereichkönnendurchexpliziteAufzählung
aller Paare definiert werden.Insbesondere für unendliche Definitionsmengen A von
großerBedeutungsindFunktionenderForm
(cid:4) (cid:5) (cid:6)
f = (x,T) (cid:5)x ∈A , (1.1)
wobeiT füreinenAusdrucksteht,dertypischerweisevonxabhängt.DerTermT stellt
eineAbbildungsvorschrift dar,für (1.1) schreibt manauch f : x ∈ A (cid:7)→ T oder nur
kurzf : x (cid:7)→T undsprichtvonderTermdarstellung2vonf.
Beispiel f : x (cid:7)→cos(x),g: x (cid:7)→3x undh: x (cid:7)→x2sindreelleFunktioneninTermdarstel-
lung.DieLangform(1.1)etwafürf lautetdannf ={(x,cos(x))|x ∈R}.
BeidenebenfallsgängigenSchreibweisen
f : A → B
bzw. f : A→B, x (cid:7)→T
x (cid:7)→ T
handelt es sich um eine Kombination der Definition f : x (cid:7)→ T, der Festlegung von
DefinitionsmengeAundZielmengeBundderBehauptungf : A→B.Schreibtmanalso
f : R → R, x (cid:7)→ cos(x),sowirdzusätzlichzur DefinitionderAbbildungsvorschrift
auch die Behauptung aufgestellt, dassessich dabei umeine Funktion von RnachR
handelt.
Fürf: x (cid:7)→T ergibtsichderFunktionswertf(x¯)einfachalsInterpretationvonT
unterderVariablenbelegung3 x (cid:3) x¯,also durchEinsetzen vonx¯ anstellederFunkti-
onsvariablenxinTundanschließendesAusrechnendesvondiesemTermdargestellten
Werts,wirkommendaraufaufSeite13zurück.
Eine durch einen Term T charakterisierte Funktion f wie in (1.1) schreibt man
manchmal auch als Lambda-Term4 (cid:2)x.T. Auch hier ergibt sich der Funktionswert
((cid:2)x.T)(x¯)natürlichwieobendurchInterpretationvonTunterderVariablenbelegung
x (cid:3)x¯.
2Definitions-undZielmengesindoftausdemZusammenhangklaroderauchnichtrelevant.Daher
sindverschiedensteNotationeninGebrauch,indenenDefinitions-undZielmengenichtexplizitgenannt
werden.
3EineVariablenbelegung ˇ ordnetjederVariablenineinemAusdruckeinenWertzu.Liegtnureine
Variablevor,z.B.x,soschreibtmandieseZuordnungeinfachalsx(cid:2)ˇ(x).
4ZumUmgangmitLambda-TermenwurdegegenMittedes20.JahrhundertseinumfangreicherFor-
malismusnamensLambda-Kalkülentwickelt.DawirdieLambda-NotationaberlediglichzumAnschreiben
vonFunktionenverwenden,werdenwiraufdieseTheorienichtnähereingehen.