Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Winfried Hochsta¨ttler
Algorithmische Mathematik
123
WinfriedHochsta¨ttler
Fernuniversita¨tinHagen
FachbereichMathematik
Lu¨tzowstr.125
58095Hagen
[email protected]
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-05421-1 e-ISBN978-3-642-05422-8
DOI10.1007/978-3-642-05422-8
SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork
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MathematicsSubjectClassification(2000):68-01
(cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2010
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...unddaichbedachte,dassunterallen,diesonstnach
WahrheitindenWissenschaftengeforscht,die
MathematikeralleineinigeBeweise,dasheißteinige
sichereundeinleuchtendeGru¨ndehattenfindenko¨nnen,so
warichgewiß,dassichmitdiesenbewa¨hrtenBegriffen
anfangenmu¨sse...
Rene´ Descartes(1637)
Vorwort
Obwohl jeder schon in der Grundschule die ersten Algorithmen kennen lernt, na¨mlich die Addi-
tion,Subtraktion,MultiplikationundDivisionimZehnersystem,istderBegriff Algorithmus“kein
”
Allgemeingut,undMathematikwirdindenweiterfu¨hrendenSchulenundoftauchanHochschulen
wenig aus algorithmischer Sichtweise betrachtet. In den Anfangszeiten der Informatikausbildung
wurdeMathematikvorallemausklassischerGrundlagensichtgelehrt,dieAlgorithmenausbildung
als Teil der Theoretischen Informatik betrachtet. In letzter Zeit ist allerdings der Anteil der Ma-
thematikundderTheoretischenInformatikinderInformatikausbildungdeutlichzuru¨ckgegangen.
UrsacheisteinerseitsdiezunehmendeBedeutungdesEngineeringinderSoftwareentwicklungund
andererseitsdieVerku¨rzungderGrundlagenausbildungimRahmendesBolognaprozesses.
MitdiesemBuchwollenwirverschiedeneTeilgebietederMathematikausalgorithmischerPer-
spektivevorstellenunddabeiauchImplementierungs-undLaufzeitaspektediskutieren.Gleichzeitig
mo¨chtenwir,beieinerverku¨rztenGrundausbildunginMathematikinnaturwissenschaftlichenund
informatischenStudienga¨ngen,mo¨glichstvieleTeilaspektederMathematikvorstellenundvielleicht
zueinervertiefendenBescha¨ftigungmitdemeinenoderanderenAspektanregen.UnserZielistes
dabeinicht,denLeserzueinemversiertenAnwenderderbesprochenenAlgorithmenauszubilden,
sondernwirwollen,immerausgehendvonkonkretenProblemen,Analyse-undLo¨sungsstrategien
indenMittelpunktstellen.HierbeispieleninsbesondereBeweiseundBeweistechnikeneinezentrale
Rolle.
BevorwirunskonkretenalgorithmischenFragestellungenzuwenden,widmenwirunsderKom-
binatorikunddemelementarenAbza¨hlen.Hierkannman,ohneausgefeiltesTheoriegeba¨ude,sehr
scho¨nmathematischeArgumentations-undSchlussweisenvorstellenundetwadarlegen,wieman
la¨ngereRechnungendurchgeschickteArgumentationvermeidenkann.GleichzeitigdientdiesesKa-
pitelauchderVorbereitungvonAbscha¨tzungenundLaufzeitanalysen.
In den na¨chsten beiden Kapiteln stellen wir einige algorithmische Probleme auf Graphen und
Digraphenvor.WirdiskutierenBaumsuche,Valenzsequenzen,Eulertouren,minimaleaufspannende
Ba¨ume,dasIsomorphieproblembeiBa¨umen,maximalebipartiteMatchingsundstabileHochzeiten.
BeiderAuswahlhabenwirunseheranderBreitederangesprochenenThemenalsanderRelevanz
derAufgabenstellungenorientiert.
MitdemfolgendenKapitelverlassenwirdiediskreteMathematikundwollenzuna¨chstProblem-
bewusstseinfu¨rdieSchwierigkeitenbeimRechnenmitFließkommazahlenwecken.Wirstellenbei-
spielhaftAuslo¨schungundFehlerfortpflanzungvor.DanebendiskutierenwirGrundalgorithmender
LinearenAlgebra,wie LU-ZerlegungundCholeskyfaktorisierungausnumerischerSicht.
vii
viii Vorwort
Die Kapitel 6 und 7 sind der Nichtlinearen Optimierung als algorithmischer Anwendung der
Analysisgewidmet.IndemerstendieserbeidenKapiteldiskutierenwirvorallemnotwendigeund
hinreichendeBedingungenfu¨rExtremwerte.EinenBeweisfu¨rdieLagrangebedingungenoderder
Kuhn-Tucker-Bedingungenmu¨ssenwirimRahmendiesesBuchesschuldigbleiben,dawirdendafu¨r
beno¨tigten Satzu¨berimplizitdefinierteFunktionen“nichtvoraussetzenwollen.Stattdessenversu-
”
chenwir,dieAussagenanschaulichgeometrischplausibelzumachen.DiegeometrischeSichtweise
haltenwirauchbeiderDiskussionnumerischerVerfahrenzurLo¨sungvonnichtlinearenOptimie-
rungsproblemeninKapitel7bei.Schlu¨sselwo¨rtersindhierAbstiegsrichtungundSchrittweite.
Das abschließende Kapitel zur Linearen Optimierung haben wir hinten angestellt, da wir den
Dualita¨tssatzderLinearenOptimierungausdenKuhn-TuckerBedingungenableiten.Daru¨berhinaus
diskutieren wir den Simplexalgorithmus aus geometrischer Sicht und wie sich die geometrischen
IdeeneffizientimTableauumsetzenlassen.
Wir setzen an einigen Stellen Kenntnisse in Linearer Algebra und Analysis voraus, wie sie
in einfu¨hrenden Bu¨chern und Veranstaltungen der Mathematik fu¨r Ingenieure und Natur- oder
Wirtschaftswissenschaftlervermitteltwerden.
DiesesBuchistauseinemFernstudienkursderFernUniversita¨tinHagenhervorgegangen,derTeil
dermathematischenGrundausbildungindenBachelorstudienga¨ngenInformatikundWirtschaftsin-
formatikimzweitenSemesterist,unddenwirauchinderLehrerfortbildungeinsetzen.
Hagen,imSeptember2009 WinfriedHochsta¨ttler
Danksagung
BeiderWahlderThemenunddesTitelsdiesesBucheshabeichmichvonmeinenakademischen
LehrernAchimBachemundJaroslavNesˇetˇrilanregenlassen.DemdiskretenTeilindenKapiteln2–
4merktmanwahrscheinlichnochdieVorbildfunktionan,diedasBuch DiskreteMathematik–Eine
”
Entdeckungsreise“vonMatousˇekundNesˇetˇrilhierfu¨rmichhatte.DieWahlderThemenderu¨brigen
KapitellehntsichandieVorlesung“AlgorithmischeMathematik–fu¨rWirtschaftsinformatiker“an,
dieichalsAssistentvonAchimBachemimWintersemester1991/92betreuendurfte.
Daru¨ber hinaus gilt mein Dank allen, die mir bei der Entwicklung dieses Manuskripts behilf-
lich waren, meinem ehemaligen Mitarbeiter Robert Nickel, insbesondere fu¨r seine Beitra¨ge zu
weiterfu¨hrendenLiteraturhinweisen,meinenMitarbeiternDr.ManfredSchulteundDr.Dominique
Andres,HerrnKlausKuzyk,FrauHeidrunKrimmelsowiezahllosenaufmerksamenFernStudieren-
denderFernUniversita¨tinHagen.
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