Table Of ContentMalcev, Algorithmen und rekursive Funktionen
Logik und Grundlagen der Mathematik
Herausgegeben von
Prof. Dr. Dleter Rödding, Münster
Band 13
Band 1 L. Felix, Elementarmathematik in moderner Darstellung
Band 2 A. A. Sinowjew, Über mehrwertige Logik
Band 3 J. E. Whitesitt, Boolesche Algebra und ihre Anwendungen
Band 4 G. Choquet, Neue Elementargeometrie
BandS A. Monjallon, Einführung in die moderne Mathematik
Band 6 S. W. Jablonski I G. P. Gawrilow I W. B. Kudrawzew
Boolesche Funktionen und Postsehe Klassen
Band 7 A. A. Sinowjew, Komplexe Logik
Band 8 J. Dieudonne, Grundzüge der modernen Analysis
Band 9 N. Gastinel, Lineare numerische Analysis
Band 10 W. V. 0. Quine, Mengenlehre und ihre Logik
Band 11 J. P. Serre, Lineare Darstellungen endlicher Gruppen
Band 12 I. R. Schafarewitsch, Grundzüge der algebraischen Geometrie
Band 13 A. I. Malcev, Algorithmen und rekursive Funktionen
Band 14 P. S. Novikov, Grundzüge der mathematischen Logik
Band 15 M. Denis-Papin I R. Faure I A. Kaufmann I Y. Malgrange
Theorie und Praxis der Booleschen Algebra
Band 16 I. Adler, Gruppen in der Neuen Mathematik
A.I.Malcev
Algorithmen
und
rekursive Funktionen
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
tl"bersetzung aus dem Russischen: Donatella Barnocchi in Borger
Originaltitel: A. H. MaJIbueB
AJIrOpllTMbI Il peKypclIBHbIe CPYHRUHH
1974
Alle Rechte an der deutschen Ausgabe vorbehalten.
® Springer Fachmedien Wiesbaden 1974
+
UrsprUnglich erschienen bei der deutschen Ausgabe Friedr. Vieweg Sohn Verlagsgesellschaft
mbH, Braunschweig, 1974
Softcover reprint ofthe hardcover Ist edition 1974
Die VervieUăltigung und Ubertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder,
auch fUr Zweck.e der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit
dem Verlag vorher vereinbart wurden. Jm EinzeUall muB iiber die Zahlung einer Gebiihr
fiir die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt fiir die Verviel
făltigung durch alle Verfahren einschlieBlich Speicherung und jede tl"bertragung auf Papier,
Transparente, Filme, Bănder, Platten und andere Medien.
ISBN 978-3-528-08327-4 ISBN 978-3-322-85356-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-85356-1
Ich möchte an dieser Stelle meinem Mann Egon Börger
für die Formulierungshilfe und für die Durchsicht des
fertigen Manuskriptes danken.
Donatella Barnocchi in Börger
Vorwort
Noch in den 30er Jahren unseres Jahrhunderts erweckten die mathematische
Logik und die damals entstehende Algorithmentheorie den Anschein besonders
abstrakter und von praktischen Anwendungen besonders weit entfernter mathe
matischer Disziplinen. Heute hat sich die Situation radikal verändert. Es ist jetzt
allgemein anerkannt, daß die beiden genannten Disziplinen eine theoretische
Grundlage für Aufbau und Anwendungen schnell arbeitender Rechen- und Steu
erungssysteme schaffen. Das relative Gewicht der mathematischen Logik und der
Algorithmentheorie wuchs auch in der Mathematik selbst stark an. Darüber
hinaus dringen gegenwärtig in beträchtlichem Maße durch die Algorithmentheorie
und die mathematische Logik mathematische Methoden in die Biologie, die Lin
guistik, die Wirtschaftswissenschaften und sogar Philosophie der Naturwissen
schaften ein. All dies hat dazu geführt, daß die mathematische Logik und die
Algorithmentheorie angefangen haben, in die Lehrpläne unserer Universitäten
und pädagogischen Hochschulen als für das Studium der Mathematikstudenten
aller Fachrichtungen obligatorische Disziplin einzudringen.
Das vorliegende Buch ist aus der Bearbeitung von Nachschriften von Vorlesun
gen über mathematische Logik, Algorithmentheorie und deren Anwendungen ent
standen, die der Verfasser in den Jahren 1956-1959 an der pädagogischen Hoch
schule von lvanovsk und seit dem Jahr 1960 an der Universität Novosibirsk
gehalten hat. In ihm wird nur die allgemeine Theorie der Algorithmen und der
rekursiven Funktionen entwickelt.
Ganz außerhalb des Rahmens des Buches blieben die Komplexe Auto·
matentheorie, Anwendungen der Algorithmentheorie auf formale Theorien
und Theorie der Unlösbarkeitsgrade. Eine irgendwie ausführliche Darstellung
dieser Disziplinen zum gegenwärtigen Zeitpunkt bedarf besonderer Einzeldar
stellungen.
Als wichtigerer Mangel des vorliegenden Buches mag sich herausstellen, daß in
ihm Informationen über wirkliche Rechenmaschinen fehlen. Es werden jedoch
heute an allen Universitäten Vorlesungen über die Theorie des Programmierens
und der Konstruktionsprinzipien wirklicher Rechenmaschinen als selbständige
Veranstaltung gehalten. Zu diesen Kursen gibt es Lehrbücher verschiedensten
Niveaus. Deshalb schien es uns überflüssig, die entsprechenden Fragen in die
Vlll Vorwort
allgemeine Theorie der Algorithmen einzubeziehen, und in diesem Buch werden sie
nicht einmal erwähnt.
Weil die Vorlesungen über Algorithmentheorie manchmal vor den Vorlesungen
über mathematische Logik gehalten werden, benutzen wir logische Symbolik
in sehr geringem Umfang und werden die Bedeutungen aller verwendeten logischen
Symbole ausführlich erläutern. Aus eben diesem Grund werden in diesem Buch
keine Fragen besprochen, die mit der intuitionistischen und konstruktiven Be
deutung der Ergebnisse in Zusammenhang stehen.
Wie gewöhnlich werden vom Leser außerhalb des Programms der höheren Schule
keine besonderen Vorkenntnisse erwartet. Die Beweise werden überall vollständig
geführt, mit Ausnahme der letzten Kapitel, wo bisweilen Standard-Schlüsse aus
gelassen wurden, die jeder Leser mühelos einsetzen kann, der bis zu diesen Kapiteln
gekommen ist.
Die erste Hälfte des Buches wurde 1960 in einer etwas anderen Form von Stu
denten der Universität Novosibirsk im Rotaprintverfahren veröffentlicht. Die
übrigen Kapitel wurden von Mitarbeitern und Studenten des Lehrstuhls für Algebra
und mathematische Logik der NSU1) in Manuskriptform gelesen. Der Verfasser
ist ihnen allen für Ratschläge und Bemerkungen dankbar.
A. I. MALcEv
1) Novosibirsk Staats-Universität (Anm.. d. Übers.).
Inhaltsverzeichnis
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xlll
Kapitell
Grundbegriffe
§ 1. Funktionen und Operationen 1
1.1. Alphabet. Worte . 1
1.2. Funktionen. Terme 3
1.3. Algebren . . . . . 7
1.4. Kodierung . . . . 9
Beispiele und Übungen 11
§ 2. Grundlegende berechenbare Operatoren. 12
2.1. Einsetzung partieller Funktionen . 12
2.2. Operator der primitiven Rekursion. 14
2.3. Operation der Minimalisierung . 20
2.4. Allgemein rekursive Funktionen 25
Beispiele und Übungen . . . . . . 26
Kapitel II
Primitiv rekursive Funktionen und rekursiv aufzählbare Mengen
§ 3. Primitiv rekursive Funktionen . . . . . . . . . . . • . • . 29
3.1. Die Operationen der Summation und der majorisierten Umkehrung 29
3.2. Primitive Rekursivität einiger arithmetischer Funktionen . . . . . 33
3.3. Aufzählung von Paaren und von n-Tupeln von Zahlen . . . . . . 39
3.4. Abhängigkeiten zwischen den Operatoren der primitiven Rekursion und der
Minimalisierung . . . . . . . . . . . . 44
3.5. Einstellige primitiv rekursive Funktionen . 48
Ergänzungen, Beispiele und Übungen . . . . 56
§ 4. Rekursiv aufzählbare Mengen . . . . . . 57
4.1. Rekursive und primitiv rekursive Mengen. 57
4.2. Rekursiv aufzählbare Mengen . . . . . . 59
4.3. Erzeugte Mengen . . . . . . . . . . . 61
4.4. Mengen von n-Tupeln natürlicher Zahlen . 64
Beispiele und Übungen . . . . . . . . . . 69
X Inhaltsverzeichnis
Kapitellll
Allgemein rekursive und partiell rekursive Funktionen
§ 5. Allgemein rekursive Funktionen . . . . . 70
5.1. Rekursionen der zweiten Stufe . . . . . . 70
5.2. Universelle allgemein rekursive Funktionen . 75
5.3. Stark wachsende Funktionen . . . . . . . 81
5.4. Umkehrung von Funktionen. ROBINSONs Algebra 85
Ergänzungen, Beispiele und Übungen . . . . . . . 89
§ 6. Partiell rekursive Funktionen • . . . . . . . . 90
6.1. Parametrisierung partiell rekursiver Funktionen 91
6.2. Universelle partiell rekursive Funktionen. . . . 96
6.3. Vervollständigung von Funktionen. Konstruktion einer nicht-rekursiven,
rekursiv aufzählbaren Menge . . . . . . . 9i
6.4. Untersuchung der KLEENEschen Darstellung 102
Ergänzungen, Beispiele und Übungen . . . . . 104
Kapitel IV
Aufgezählte Gesamtheiten
§ 7. Aufzählungen von Gesamtheiten von Mengen und Funktionen 108
7 .1. KLEENES universelle Funktionen 108
7.2. KLEENEsche Aufzählung . 111
7.3. PosTsehe Aufzählung •.... 113
7.4. Eindeutige Aufzählungen 119
Ergänzungen, Beispiele und Übungen 127
§ 8. Reduzierbarkeit und Kreativität von Mengen . 128
8.1. Reduzierbarkeit und m-.Äquivalenz von Mengen . 128
8.2. Produktive und kreative Mengen 130
8.3. Einfache Mengen . . . . . . . 134
8.4. Maximale Mengen . . . . . . . 135
Ergänzungen, Beispiele und Übungen 140
§ 9. Aufzählungen beliebiger Gesamtheiten 144
9.1. Isomorphie und Äquivalenz von Aufzählungen 144
9.2. 1-1-Reduzierbarkeit von Aufzählungen .... 148
9.3. Totale Aufzählungen . . . . . . . . . . . 154
9.4. Familien von Objekten aus aufgezählten Gesamtheiten . 159
Ergänzungen, Beispiele und Übungen . . . . . . 161
§ 10. Universelle und kreative Systeme von Mengen 162
10.1. m-Universalität von Mengensystemen. 163
10.2. Kreative Systeme von Mengen . 166
10.3. Rekursiv untrennbare Mengen . 169
Ergänzungen, Beispiele und Übungen 172
