Table Of ContentKatja Mönius · Jörn Steuding ·
Pascal Stumpf
Algorithmen
in der
Graphentheorie
Ein konstruktiver Einstieg in die
Diskrete Mathematik
essentials
essentials liefern aktuelles Wissen in konzentrierter Form. Die Essenz dessen,
worauf es als „State-of-the-Art“ in der gegenwärtigen Fachdiskussion oder in der
Praxis ankommt. essentials informieren schnell, unkompliziert und verständlich
• als Einführung in ein aktuelles Thema aus Ihrem Fachgebiet
• als Einstieg in ein für Sie noch unbekanntes Themenfeld
• als Einblick, um zum Thema mitreden zu können
Die Bücher in elektronischer und gedruckter Form bringen das Fachwissen
von Springerautor*innen kompakt zur Darstellung. Sie sind besonders für die
Nutzung als eBook auf Tablet-PCs, eBook-Readern und Smartphones geeignet.
essentials sind Wissensbausteine aus den Wirtschafts-, Sozial- und Geistes-
wissenschaften, aus Technik und Naturwissenschaften sowie aus Medizin,
Psychologie und Gesundheitsberufen. Von renommierten Autor*innen aller
Springer-Verlagsmarken.
Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/13088
Katja Mönius · Jörn Steuding ·
Pascal Stumpf
Algorithmen in der
Graphentheorie
Ein konstruktiver Einstieg in die
Diskrete Mathematik
Katja Mönius Jörn Steuding
Institut für Mathematik, Universität Institut für Mathematik, University of
Würzburg Würzburg
Würzburg, Deutschland Würzburg, Deutschland
Pascal Stumpf
Institut für Mathematik, Universität
Würzburg
Würzburg, Deutschland
ISSN 2197-6708 ISSN 2197-6716 (electronic)
essentials
ISBN 978-3-658-34175-6 ISBN 978-3-658-34176-3 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-34176-3
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Planung/Lektorat: Annika Denkert
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Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany
Was Sie in diesem Band der essentials
finden können
• eine konstruktive Einführung in die Graphentheorie mit einigen praxis-
relevanten Algorithmen,
• wie man Rundwege in Graphen (oder Städten) finden kann;
• wie man aus einem Labyrinth wieder herausfindet oder als Postbote die
effizienteste Route abläuft;
• wie man spannende Bäume findet und dies Handlungsreisenden bei der Reise-
planung hilft;
• wie man Graphen färbt mit möglichst wenig Farbe :-)
Viel Spaß!
V
Vorwort
Das Wort Algorithmus leitet sich aus dem Namen des arabischen Mathematikers
Al-Khwārizmī ab, der im neunten Jahrhundert Verfahren zur Lösung quadratischer
Gleichungen angab. Mit Algorithmus meint man heute ein Verfahren, welches
zu einer bestimmten Eingabe (z. B. einer Gleichung) nach endlicher Zeit ein
gewisses Ergebnis liefert (etwa die Lösungen), und die einzelnen hierfür not-
wendigen Schritte lesen sich dabei wie ein Kochrezept.
Die Graphentheorie ist ein junges und dynamisches Gebiet mit erstaun-
lich vielen Anwendungen innerhalb und außerhalb der Mathematik. Die
Protagonisten lassen sich durch Zeichnungen mit Punkten und verbindenden
Kanten visualisieren. Und durch Reduktion auf das Wesentliche lassen sich viele
komplexe Zusammenhänge in den Kontext von Graphen bringen und manchmal
sogar verbildlichen. Nicht selten genügt ein Minimum an mathematischem Vor-
wissen, um Interessantes zu diesen Graphen zu entdecken. Das sind doch die
besten Gründe, jetzt gleich mit der Lektüre dieses Büchleins anzufangen…
Wir wollen hier insbesondere einige konstruktive Aspekte für einen praktisch
motivierten Einstieg in die Graphentheorie aufgreifen. Viele der angesprochenen
Algorithmen werden so oder in variierter Form im täglichen Leben ver-
wendet, um lebensnahe Probleme zu lösen. Natürlich gibt es jenseits der hier
angesprochenen Themen und Verfahren tatsächlich viele weitere Fragestellungen
und Methoden in der Graphentheorie, die denselben Zweck erfüllen und die
Graphentheorie bestens motivieren würden – unsere Auswahl ist also unserem
guten Geschmack geschuldet –, auf jeden Fall wollten wir aber mit dem im
letzten Kapitel angesprochenen Millenniumsproblem auf die Vielfalt graphen-
theoretischer Fragestellungen hinweisen.
VII
VIII Vorwort
In einem weiteren Band (Mönius et al.) der essentials geben wir eine anders
fokussierte und eher theoretisch motivierte Einführung in die Graphentheorie.
Beide Bande können unabhängig voneinander gelesen werden, aber gerne auch
nebeneinander, sind sie doch als einander ergänzend und mit kleiner Schnitt-
menge konzipiert!
Eigentlich setzen wir keinerlei Kenntnisse der Mathematik voraus; wenn doch
etwas Neues zu kurz erklärt werden sollte, dann kann vielleicht und hoffentlich
die Lektüre von (Oswald und Steuding 2015) die Lücke schließen.
Unser Dank für die freundliche Unterstützung dieses eBüchleins gebührt Frau
Dr. Annika Denkert, Dagmar Kern und insbesondere Madhipriya Kumaran, sowie
dem weiteren Team vom Springer-Verlag.
Würzburg Katja Mönius
im Dezember 2020 Jörn Steuding
Pascal Stumpf
Bei der technischen Umsetzung haben wir insbesondere profitiert von LATEX mit TikZ
und Mathematica (bei den Landkarten). Die Zeichnungen von Königsberg und der Turing-
Maschine entstammen der Feder von Nicola Oswald und die vielen Graphen hat der dritt-
genannte Autor erstellt.
Inhaltsverzeichnis
1 Wie man Graphen zeichnet ohne den Stift abzusetzen ............ 1
2 Wie man spannende Bäume findet ............................ 13
3 Wie man einen Städtetrip optimal plant ........................ 25
4 Wie man am schnellsten von A nach B kommt .................. 39
5 Wie man Graphen mit wenig Farben koloriert .................. 47
6 Wie man 1000000$ gewinnen kann ........................... 53
Literatur ..................................................... 61
IX
1
Wie man Graphen zeichnet ohne den Stift
abzusetzen
WirbeginnenmiteinemRätsel,dassderMathematikerCharlesLutwigeDodgson
undAutorvonAliceimWunderland(verfasstunterdemPseudonymLewisCarrol)
vorübereinhundertJahrenindieWeltsetzte:Istesmöglich,dienachstehendeFigur
zuzeichnen,ohnedenStiftabzusetzen?
DerMathematikerundSpieleentwicklerThomasO’Beirnefandfürdieseundandere
Figuren eine bemerkenswerte Lösungsstrategie, die wir weiter unten vorstellen
möchten. Zuerst jedoch wollen wir ein wenig in die Graphentheorie und deren
Vokabulareinführen,wasinsbesonderezeigt,inwieferndasobigeRätseleinAus-
gangspunkt für interessante mathematische Fragestellungen mit sogar weltlichen
Anwendungenist!
EinGraphG = (V,E)istgegebendurcheineMengeV vonEckenundeine
MengeEvonKanten,diejeweilsausungeordnetenPaarenvonEckenu,vbestehen
© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden 1
GmbH,einTeilvonSpringerNature2021
K.Möniusetal.,AlgorithmeninderGraphentheorie,essentials,
https://doi.org/10.1007/978-3-658-34176-3_1
