Table Of ContentAlgèbres de Hopf combinatoires
Loïc Foissy1
Laboratoire de Mathématiques - FRE3111, Université de Reims
Moulin de la Housse - BP 1039 - 51687 REIMS Cedex 2, France
1e-mail: [email protected]; webpage: http://loic.foissy.free.fr/pageperso/accueil.html
Table des matières
1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels 5
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Propriétés du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Base et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Associativité et unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Sommes et intersections de produits tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Volte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Algèbre tensorielle et algèbre symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Algèbre symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Produit tensoriel d’algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Algèbres, cogèbres, bigèbres 15
2.1 Axiomes des algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Cogèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Coidéaux et sous-cogèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Morphismes de cogèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Produit tensoriel de cogèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Bigèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Sous-bigèbres et quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3 Bigèbres tensorielles et bigèbres symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Convolution et algèbres de Hopf 28
3.1 Définition des algèbres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.3 Idéaux de Hopf et morphismes d’algèbres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Propriétés de l’antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 bigèbres opposées et coopposées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Compatibilités de l’antipode avec les structures de bigèbres . . . . . . . . 30
3.2.3 Antipode d’une algèbre de Hopf (co)commutative . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.4 Eléments de type groupe et éléments primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Algèbres de Hopf T(V) et S(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Antipode d’une algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Antipode d’une algèbre symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2
4 Graduations 35
4.1 Espaces gradués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 Séries formelles de Poincaré-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.3 Dual gradué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.4 Algèbres, cogèbres, bigèbres graduées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Dual gradué d’une algèbre de Hopf tensorielle ou symétrique . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 Dual d’une algèbre symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 Dual d’une algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Connexité 45
5.1 Algèbres de Hopf connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.2 Existence d’un antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Générateurs et éléments primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.1 Espaces des générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.2 Eléments primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Algèbres de Lie et algèbres enveloppantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.1 Axiomes des algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.2 Algèbres enveloppantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Théorème de Cartier-Quillen-Milnor-Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.1 Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.2 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5 Groupe des caractères d’une algèbre de Hopf graduée connexe . . . . . . . . . . . 55
5.5.1 Groupe des caractères et algèbre de Lie des caractères infinitésimaux . . . 55
5.5.2 Cas d’une algèbre de Hopf graduée connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6 Un exemple d’algèbre de Hopf combinatoire : l’algèbre des fonctions symé-
triques 60
6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.2 Antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2 Algèbre de Lie et groupe associés à Sym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2.1 Caractères infinitésimaux de Sym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2.2 Groupe des caractères de Sym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2.3 Elements primitifs de Sym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 Algèbre des arbres enracinés 64
7.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.1.1 Arbres enracinés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.1.2 Opérateur de greffe sur une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.1.3 Graduation de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
R
7.2 Algèbre de Hopf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
R
7.2.1 Définition du coproduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.2 Antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.3 Propriété universelle de l’algèbre de Hopf H . . . . . . . . . . . . . . . . 70
R
7.3 Dual gradué de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
R
7.4 Structure de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
R
7.4.1 Opération de greffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3
8 Algèbres des arbres enracinés plans 78
8.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1.1 Arbres enracinés plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1.2 Opérateur de greffe sur une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1.3 Graduation de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
PR
8.2 Algèbre de Hopf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
PR
8.2.1 Définition du coproduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2.2 Propriété universelle de l’algèbre de Hopf H . . . . . . . . . . . . . . . 80
PR
8.3 Dual gradué de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
PR
8.3.1 Application γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3.2 Autodualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.3.3 Applications : couplage de Hopf et base duale . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Notations
1. Danstoutcetexte,K désigneuncorpscommutatifquelconque.Touslesespacesvectoriels,
algèbres, etc, de ce texte seront pris sur le corps K. On ne considèrera par ailleurs que des
algèbres non nulles.
2. Si V est un espace vectoriel et si (e ) est une base de V, alors (e∗) est la famille de
i i∈I i i∈I
V∗ définie par :
(cid:26)
V −→ K
e∗ :
i e −→ δ .
j i,j
Il s’agit d’une famille libre. Lorsque V est de dimension finie, il s’agit d’une base de V∗,
appelée la base duale de (e ) .
i i∈I
3. Soient V et W deux espaces. L’ensemble des applications linéaires de V dans W est noté
Hom(V,W).
4
Chapitre 1
Produit tensoriel d’espaces vectoriels
Soient V et W deux espaces vectoriels et soit f : V −→ W une application linéaire. Sa
transposition est une application linéaire f∗ : W∗ −→ V∗ (on a "inversé le sens de la flêche").
Soient maintenant V ,V et W des espaces vectoriels et soit f : V ×V −→ W une application
1 2 1 2
bilinéaire. Comment transposer f? Il faut d’abord linéariser f, en remplaçant V ×V par un
1 2
espace vectoriel V ⊗V . Nous nous limitons ici au produit tensoriel sur un corps K. Pour des
1 2
résultats plus généraux (sur un anneau quelconque), voir par exemple [2] ou le premier chapitre
de [19], ou encore [14].
1.1 Définition
Lemme 1 Soit X un ensemble quelconque. Il existe un espace vectoriel KX de base X et
cet espace est unique à un isomorphisme fixant X près.
Preuve. Existence. Soit F = KX, ensemble des applications de X dans K. Cet ensemble est
naturellement muni d’une structure d’espace vectoriel. Pour tout x ∈ X, on considère :
(cid:26)
X −→ K
f :
x y −→ δ .
x,y
Alors la famille (f ) est libre. Soit E le sous-espace vectoriel de F engendré par ces éléments.
x x∈X
Ainsi, E est un espace vectoriel ayant une base indexée par les éléments de X. Pour obtenir une
espace vectoriel dont une base est indexée par X, on pose KX = (E −{f /x ∈ X})∪X. Cet
x
ensemble est en bijection avec E de la manière suivante :
E −→ KX
f (x ∈ X) −→ x,
x
f ∈/ {f | x ∈ X} −→ f.
x
CommeE estunespacevectoriel,viacettebijectionilenestdemêmepourKX.Comme(f )
x x∈X
est une base de E, son image X par cette bijection est une base de KX.
Unicité. Soit V un autre espace vectoriel ayant X pour base. Alors il existe une unique
application linéaire envoyant x ∈ X ⊆ KX sur x ∈ V pour tout x. Cette application envoie une
base sur une base, donc c’est un isomorphisme. 2
Proposition 2 Soient V ,V deux espaces vectoriels. Il existe un couple (V,⊗), tel que V
1 2
soit un espace vectoriel et ⊗ une application bilinéaire :
(cid:26)
V ×V −→ V
⊗ : 1 2
(v ,v ) −→ v ⊗v ,
1 2 1 2
5
avec la propriété universelle suivante : pour tout espace vectoriel W et toute application bilinéaire
f : V ×V −→ W, il existe une unique application linéaire F : V −→ W rendant le diagramme
1 2
suivant commutatif :
f //
V1⊗×(cid:15)(cid:15) Vvv2vvvvFvvvv::W
V
Autrement dit, pour tout (v ,v ) ∈ V ×V , F(v ⊗v ) = f(v ,v ). Ce couple (V,⊗) est de plus
1 2 1 2 1 2 1 2
unique à isomorphisme près.
Preuve.Existence.SoitV0 unespacevectorieldontunebaseestdonnéepartousleséléments
de V ×V . Soit V00 le sous-espace de V0 engendré par les élements suivants :
1 2
(v +λv0,v +µv0)−(v ,v )−λ(v0,v )−µ(v ,v0)−λµ(v0,v0),
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
où v ,v0 parcourent V , v , v0 parcourent V , λ,µ parcourent K. On pose alors V = V0/V00. Soit
1 1 1 2 2 2
⊗ l’application suivante :
(cid:26)
V ×V −→ V
1 2
⊗ :
(v ,v ) −→ (v ,v ).
1 2 1 2
Par définition de V00, ⊗ est bilinéaire.
Montrons maintenant la propriété universelle. Soit f : V ×V −→ W une application bili-
1 2
néaire. Soit f0 l’unique application linéaire de V0 dans W envoyant (v ,v ) sur f(v ,v ). Comme
1 2 1 2
f est bilinéaire, f0 est nulle sur V00, donc passe au quotient en une application F : V −→ W,
vérifiant F(v ⊗v ) = F((v ,v )) = f0(v ,v ) = f(v ,v ). Cette application F convient donc.
1 2 1 2 1 2 1 2
Comme V ×V engendre V0, V ×V engendre V et donc F est unique.
1 2 1 2
Unicité. Soit (W,⊗0) un autre couple convenable. Comme ⊗0 est bilinéaire, il existe une
unique application linéaire
(cid:26)
V −→ W
Φ :
v ⊗v −→ v ⊗0v .
1 2 1 2
Symétriquement, il existe une application linéaire
(cid:26)
W −→ V
Φ0 :
v ⊗0v −→ v ⊗v .
1 2 1 2
AlorsΦ0◦Φ : V −→ V vérifieΦ0◦Φ(v ⊗v ) = ⊗(v ,v ).Parunicitédanslapropriétéuniverselle,
1 2 1 2
Φ0 ◦Φ = Id . De même, Φ◦Φ0 = Id . Donc Φ et Φ0 sont des isomorphismes réciproques l’un
V W
de l’autre. 2
Définition 1 Le couple (V,⊗) est appelé produit tensoriel de V et V et noté V ⊗V .
1 2 1 2
Notons que tout élément de V ⊗V s’écrit sous la forme :
1 2
k
X (1) (2)
v ⊗v ,
i i
i=1
(1) (2)
où pour tout 1 ≤ i ≤ k, v ∈ V et v ∈ V . Les éléments de la forme v ⊗v sont appelés
i 1 i 2 1 2
tenseurs.
Remarque. On peut définir de manière équivalente le produit tensoriel de deux A-modules,
lorsque A est un anneau commutatif. Sur un anneau non commutatif, on peut définir le produit
tensoriel d’un module à gauche par un module à droite.
6
Proposition 3 (Produit tensoriel d’application). Soient f : V −→ V0 et g : W −→ W0 deux
applications linéaires. Il existe une unique application linéaire :
(cid:26) V ⊗W −→ V0⊗W0
f ⊗g :
v⊗w −→ f(v)⊗g(w).
Preuve. Car l’application (v,w) −→ f(v)⊗g(w) est bilinéaire. 2
1.2 Propriétés du produit tensoriel
1.2.1 Base et dimension
Proposition 4 Soit (e ) une base de V et (f ) une base de W. Alors (e ⊗f )
i i∈I j j∈J i j (i,j)∈I×J
est une base de V ⊗W.
Preuve. Comme ⊗ est bilinéaire, tout tenseur v⊗w peut se décomposer en somme de e ⊗f
i j
en décomposant v et w dans les bases de V et W. Comme V ⊗W est engendré par les tenseurs,
tout élément de V ⊗ W se décompose en somme de e ⊗ f , donc (e ⊗ f ) engendre
i j i j (i,j)∈I×J
P
V ⊗W. Supposons que a e ⊗f = 0, les a étant presque tous nuls. Fixons i ∈ I, j ∈ J.
i,j i j i,j 0 0
On considère l’application suivante :
(cid:26)
V ×W −→ K
f :
(v,w) −→ e∗ (v)f∗(w).
i0 j0
f estbilinéairedoncilexisteF : V⊗W −→ K tellequeF(v⊗w) = e∗ (v)f∗(w).Enconséquence:
i0 j0
(cid:16)X (cid:17) X
F a e ⊗f = a e∗ (e )f∗(f ) = a = 0.
i,j i j i,j i0 i j0 j i0,j0
i,j
Donc (e ⊗f ) est libre. 2
i j (i,j)∈I×J
Corollaire 5 dim(V ⊗W) = dim(V)dim(W).
1.2.2 Associativité et unité
Proposition 6 Soient V ,V ,V trois espaces vectoriels. L’application suivante est un iso-
1 2 3
morphisme d’espaces vectoriels :
(cid:26)
(V ⊗V )⊗V −→ V ⊗(V ⊗V )
1 2 3 1 2 3
(v ⊗v )⊗v −→ v ⊗(v ⊗v ).
1 2 3 1 2 3
On identifiera ces deux espaces et on notera V ⊗V ⊗V .
1 2 3
Preuve. Il est clair que cette application est bien définie. En choisissant une base de chaque
espace, par la proposition précédente, elle envoie une base sur une base, donc c’est un isomor-
phisme. 2
Par récurrence, on définit ainsi V ⊗...⊗V pour tout n. Par récurrence, on démontre la
1 n
propriété universelle suivante :
Proposition 7 Soit f : V ×...×V −→ W une application n-linéaire. Alors il existe une
1 n
unique application linéaire :
(cid:26)
V ⊗...⊗V −→ W
1 n
v ⊗...⊗v −→ f(v ,...,v ).
1 n 1 n
7
On peut définir par récurrence f ⊗...⊗f pour tout n.
1 n
Proposition 8 Soit V un espace. Les applications suivantes sont des isomorphismes :
(cid:26) (cid:26)
K ⊗V −→ V V ⊗K −→ V
Φ : Ψ :
λ⊗v −→ λv, v⊗λ −→ λv,
Preuve. Comme l’application (λ,v) −→ λv est bilinéaire, Φ et Ψ existent. Fixons (e )
i i∈I
une base de V. Une base de K⊗V est alors (1⊗e ) . Son image par Φ et Ψ est la base (e )
i i∈I i i∈I
de V, donc Φ et Ψ sont des isomorphismes. 2
Par la suite, on identifiera donc K ⊗V et V ⊗K avec V.
1.2.3 Sommes et intersections de produits tensoriels
Soient U et V deux espaces vectoriels et soient U0 et V0 des sous-espaces de U et V. L’appli-
cation suivante est injective :
(cid:26) U0⊗V0 −→ U ⊗V
u⊗v −→ u⊗V.
Par la suite, on considèrera donc U0⊗V0 comme un sous-espace de U ⊗V.
Proposition 9 Soient U,V deux espaces, U ,U deux sous-espaces de U, V ,V deux sous-
1 2 1 2
espaces de V.
1. (U +U )⊗(V +V ) = U ⊗V +U ⊗V +U ⊗V +U ⊗V .
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2
2. (U ⊗V )∩(U ⊗V ) = (U ∩U )⊗(V ∩V ).
1 1 2 2 1 2 1 2
3. Si U = U ⊕U , alors U ⊗V = (U ⊗V)⊕(U ⊗V).
1 2 1 2
4. Si V = V ⊕V , alors U ⊗V = (U ⊗V )⊕(U ⊗V ).
1 2 1 2
Preuve.
1. Les deux sous-espaces de U ⊗V apparaissant ici sont tous deux engendrés par les tenseurs
u⊗v, avec u ∈ U ∪U , v ∈ V ∪V . Ils sont donc égaux.
1 2 1 2
2. De manière immédiate, (U ∩U )⊗(V ∩V ) ⊆ (U ⊗V )∩(U ⊗V ). Soit (e ) une
1 2 1 2 1 1 2 2 i i∈I0
base de U ∩U , complétée en une base (e ) de U et (e ) de U (donc I0 = I ∩I ).
1 2 i i∈I1 1 i i∈I2 2 1 2
On complète la famille libre (e ) ∪(e ) ∪(e ) en une base (e ) de U. De
i i∈I0 i i∈I1−I0 i i∈I2−I0 i i∈I
même, soit (f ) une base de V ∩V , complétée en une base (f ) de V et (f )
j j∈J0 1 2 j j∈J1 1 j j∈J2
de V (donc J0 = J ∩J ). On complète la famille libre (f ) ∪(f ) ∪(f )
2 1 2 j j∈J0 j j∈J1−J0 j j∈J2−J0
en une base (f ) de V. Soit x un élément de (U ⊗V )∩(U ⊗V ). Il s’écrit de manière
j j∈J 1 1 2 2
unique :
X
x = a e ⊗f .
i,j i j
i∈I,j∈J
Soit i ∈/ I0. Alors i ∈/ I ou i ∈/ I . Supposons par exemple i ∈/ I . Alors e∗ (U ) = (0).
0 0 1 0 2 0 1 i0 1
Par suite, comme x ∈ U ⊗V , (e∗ ⊗Id )(x) = 0, donc :
1 1 i0 V
X X
a e∗ (e )f = a f = 0.
i,j i0 i j i0,j j
i∈I,j∈J j∈J
Les f étant linéairement indépendants, a = 0 pour tout j ∈ J. De même, si j ∈/ J0,
j i0,j 0
a = 0 pour tout i ∈ I. Donc :
i,j0
X
x = a e ⊗f ∈ (U ∩U )⊗(V ∩V ).
i,j i j 1 2 1 2
i∈I0,j∈J0
3. On a, par le premier point, U ⊗V = (U ⊗V)+(U ⊗V). De plus, par le deuxième point,
1 2
(U ⊗V)∩(U ⊗V) = (U ∩U )⊗V = (0)⊗V = (0).
1 2 1 2
4. Idem.
2
8
1.2.4 Dualité
Proposition 10 Soient V et W deux espaces vectoriels. L’application suivante est injective :
V∗⊗W∗ −→ (V ⊗W)∗
(cid:26)
Θ : V ⊗W −→ K
f ⊗g −→
v⊗w −→ f(v)g(w).
Elle est bijective si, et seulement si, V ou W est de dimension finie.
Preuve. Tout d’abord, Θ est bien définie. Soit (f,g) ∈ V∗×W∗. On considère l’application
suivante :
(cid:26)
V ×W −→ K
(v,w) −→ f(v)g(w).
Elle est évidemment bilinéaire, donc il existe une unique application linéaire :
(cid:26)
V ⊗W −→ K
Θ(f,g) :
v⊗w −→ f(v)g(w).
De manière immédiate, Θ : V∗ ×W∗ −→ (V ⊗W)∗ est bilinéaire, donc Θ de l’énoncé existe et
est unique.
Soit F ∈ V∗⊗W∗ non nul tel que Θ(F) = 0. Alors F peut s’écrire de la manière suivante :
N
X
F = f ⊗g .
i i
i=1
Choisissons une écriture de F de sorte que N soit minimale. Supposons (f ) liée. Quitte à
i 1≤i≤N
permuter les indices, on peut supposer que f = a f +...+a f et alors :
N 1 1 N−1 N−1
N−1
X
F = f ⊗g +(a f +...+a f )⊗g
i i 1 1 N−1 N−1 N
i=1
N−1
X
= f ⊗(g +a g ).
i i i N
i=1
CecicontreditlaminimalitédeN.Donc(f ) estlibre.Demême,(g ) estlibre.Fixons
i 1≤i≤N i 1≤i≤N
1 ≤ i ≤ N. Alors il existe x ∈ V, y ∈ W tel que pour tous i, f (x) = δ et g (y) = δ . Par
0 i i0,i i i0,i
suite :
X
0 = Θ(F)(x⊗y) = f (x)g (y) = 1.
i i
i,j
Ceci est une contradiction, donc Θ est injective.
RemarquonsquesiV etW sontdedimensionfinie,alorsdim(V∗⊗W∗) = dim(V)dim(W) =
dim((V ⊗W)∗) < +∞, donc Θ est un isomorphisme.
Supposons V de dimension finie. On fixe une base (e ) de V et une base (f ) de W.
i i∈I j j∈J
Soit F ∈ (V ⊗W)∗. Pour tout i ∈ I, soit g : W −→ K, linéaire, telle que g (f ) = F(e ⊗f )
i i j i j
X
pour tout j. Alors, I étant fini, l’élément e∗⊗g ∈ V∗⊗W∗. De plus, pour tout k ∈ I, l ∈ J :
i i
i∈I
!
X X
Θ e∗⊗g (e ⊗f ) = e∗(e )g (f ) = g (f ) = F(e ⊗f ).
i i k l i k i l k l k l
i∈I i∈I
Comme (e ⊗f ) est une base de V ⊗W, F ∈ Im(Θ). La preuve est similaire si W est de
k l k∈I,l∈J
dimension finie.
9
Supposons V et W de dimension infinie. En conservant les notations précédentes, si I et J
sont infinis, quitte à permuter V et W on peut supposer qu’il existe une injection φ : I −→ J.
Soit alors F : V ⊗W −→ K, envoyant e ⊗f sur δ pour tous i,j. Supposons F ∈ Im(Θ).
i j φ(i),j
Alors il existe h ,...,h ∈ V∗, g ,...,g ∈ W∗, tels que F = Θ(h ⊗g +···+h ⊗g ). Soit
1 n 1 n 1 1 n n
V0 = ∩Ker(h ).AlorsV0 estunsous-espacedecodimensionfiniedeV.Deplus,F(V0⊗W) = (0).
i
Comme V0 est de codimension finie, V0 est non nul. Soit alors v = Pa e un élément non nul de
i i
V0. Il existe i ∈ I, tel que a 6= 0. Alors, comme v ∈ V0, F(v⊗f ) = 0. D’autre part :
0 i0 φ(i0)
X X X
F(v⊗f ) = a F(e ⊗f ) = a δ = a δ = a 6= 0,
φ(i0) i i φ(i0) i φ(i0),φ(i) i i0,i i0
i∈I i∈I i∈I
car φ est injective. Ceci est contradictoire, donc F ∈/ Im(Θ). 2
Par suite, si V et W sont de dimension finie, on identifiera (V ⊗W)∗ et V∗⊗W∗.
Proposition 11 Soient U,V deux espaces de dimension finie, A ⊆ U, B ⊆ V. Alors :
(A⊗B)⊥ = A⊥⊗V∗+U∗⊗B⊥.
Preuve. ⊇. Soit f ∈ A⊥, g ∈ V∗. Si a ∈ A, b ∈ B, (f ⊗g)(a⊗b) = f(a)g(b) = 0g(b) = 0.
Donc f ⊗g ∈ (A⊗B)⊥ : A⊥⊗V∗ ⊆ (A⊗B)⊥. De même, U∗⊗B⊥ ⊆ (A⊗B)⊥.
⊆. Soit f ∈ (A⊗B)⊥. On fixe (e ) une base de A, complétée en une base (e ) de U et
i i∈I0 i i∈I
(f ) une base de B, complétée en une base (f ) de V. Alors f s’écrit de manière unique :
j j∈J0 j j∈J
X
f = a e∗⊗f∗.
i,j i j
i∈I,j∈J
Soit i ∈ I0, j ∈ J0. Alors e ⊗f ∈ A⊗B, donc f(e ⊗f ) = 0, donc a = 0. Par suite :
0 0 i0 j0 i0 j0 i0,j0
X
f = a e∗⊗f∗
i,j i j
(i,j)∈I×J−I0×J0
X X
= a e∗⊗f∗+ a e∗⊗f∗
i,j i j i,j i j
i∈/I0,j∈J i∈I0,j∈/J0
∈ A⊥⊗V∗+U∗⊗B⊥.
2
1.2.5 Volte
Proposition 12 Soient V et W deux espaces vectoriels. Il existe une unique application
linéaire :
(cid:26)
V ⊗W −→ W ⊗V
τ :
V,W v⊗w −→ w⊗v.
Cette application est appelée volte de V ⊗W. Elle est inversible et son inverse est la volte de
W ⊗V.
Preuve. L’existence provient du fait que (v,w) −→ w⊗v est bilinéaire. Le reste ne présente
pas de difficultés. 2
De la même manière, pour tout σ ∈ S , on peut définir :
n
(cid:26)
V ⊗...⊗V −→ V ⊗...⊗V
τ : 1 n σ−1(1) σ−1(n)
σ v ⊗...⊗v −→ v ⊗...⊗v .
1 n σ−1(1) σ−1(n)
Pour σ = (1 2) ∈ S , on retrouve la volte. Ceci est particulièrement intéressant lorsque
2
V = ... = V = V. On montre facilement que τ ◦τ = τ .
1 n σ σ0 σ◦σ0
10
