Table Of ContentEcole doctorale 358 : Sciences, Technologie, SantØ
HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES
prØsentØe (cid:224)
L’UNIVERSITE DE REIMS-CHAMPAGNE-ARDENNE
Par Lo(cid:239)c Foissy
SpØcialitØ : MATHEMATIQUES
ALGEBRES DE HOPF COMBINATOIRES
Soutenue publiquement (cid:224) Reims le 20 novembre 2009 devant le jury :
M. Jacques Alev Professeur (cid:224) l’UniversitØ de Reims Examinateur
M. GØrard Duchamp Professeur (cid:224) l’UniversitØ Paris Nord Examinateur
M. Dirk Kreimer Professeur (cid:224) l’IHES Examinateur
M. Dominique Manchon ChargØ de Recherche (cid:224) l’UniversitØ de Clermont-Ferrand Rapporteur
M. Jean-Yves Thibon Professeur (cid:224) l’UniversitØ de Marne-la-VallØe Rapporteur
M. FrØdØric Patras Directeur de Recherche (cid:224) l’UniversitØ de Nice Examinateur
M. Markus Reineke Professeur (cid:224) l’UniversitØ de Wuppertal Rapporteur
REIMS 2009
Contents
Introduction 3
1 Hopf algebras of trees 6
1.1 The Connes-Kreimer Hopf algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Rooted trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Bialgebra of rooted trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 A non commutative version of H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
R
1.2.1 Planar rooted trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 The Hopf algebra of planar rooted trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Dual Hopf algebra and self-duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Decorated versions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Dendriform structures 12
2.1 Dendriform algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Free dendriform algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Dendriform Hopf algebra of free quasi-symmetric functions. . . . . . . . . 13
2.2 Bidendriform Hopf algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 De(cid:28)nition and rigidity theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Generators of the Malvenuto-Reutenauer algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Brace algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Combinatorial Dyson-Schwinger equations 19
3.1 De(cid:28)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 Completion of H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
R
3.1.2 Combinatorial Dyson-Schwinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Characterization of Hopf Dyson-Schwinger equations . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Proof of 1 =⇒ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Proof of 2 =⇒ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 What is H ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
α,β
3.3.1 Lie algebra associated to H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
α,β
3.3.2 FdB Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.3 Dual of enveloping algebras of Lie algebras of type 2 and 3 . . . . . . . . . 25
3.4 Systems of Dyson-Schwinger equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.1 De(cid:28)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.2 Operations on Hopf SDSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.3 Examples of Hopf SDSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
4 Quantization and quantum double of HD 28
4.1 Quantization of HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.1 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.2 Drinfeld double of HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
q
4.2 Heighest weight modules over D(HD). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
q
4.2.1 Heighest weight vectors and Verma modules . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.2 Simple highest weight modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3 Contravariant form on S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
λ
4.3 Copies of U (sl(2)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
q
4.3.1 Generation of HD by primitive elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
q
4.3.2 The Hopf subalgebras U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
t
4.4 Crystal bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4.1 De(cid:28)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4.2 Existence and uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4.3 Compatibility with the tensor product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4.4 Decomposition of a tensor product S ⊗S . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
λ µ
Bibliographie 37
Publications et preprints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
RØfØrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2
Introduction
Mes travaux de recherche s’inscrivent dans le cadre des algŁbres de Hopf combinatoires ; plus
spØci(cid:28)quement, ils portent sur l’Øtude des algŁbres de Hopf d’arbres de Connes-Kreimer et de
ses liens avec d’autres objets, comme par exemple l’algŁbre de Hopf de Malvenuto-Reutenauer.
Les principaux objets ØtudiØs dans ce mØmoire sont les suivants :
- L’algŁbre de Hopf des arbres enracinØs H et plus gØnØralement les algŁbres de Hopf
R
d’arbres enracinØs dØcorØs HD, introduites dans [CK99] et ØtudiØes dans [Kre98, Kre99,
R
Kre02] et [2]. Ces algŁbres de Hopf sont commutatives, non cocommutatives. Elles furent
introduites pour traiter de maniŁre algØbrique la Renormalisation, procØdure itØrative
d’extraction de p(cid:244)les en ThØorie Quantique des Champs. L’algŁbre de Hopf H , graduØe
R
et connexe, est le dual graduØ d’une algŁbre enveloppante, connue sous le nom d’algŁbre
de Grossman-Larson [GL89, GL90]. L’algŁbre de Lie sous-jacente, de base indexØe par les
arbres enracinØs, est l’algŁbre prØlie libre sur un gØnØrateur [CL01].
- L’algŁbre de Hopf des arbres enracinØs plans H et ses versions dØcorØes HD, introduites
simultanØment dans [3, 4] et [Hol03]. Ces algŁbres de Hopf ne sont ni commutatives, ni
cocommutatives et on peut montrer qu’elles sont auto-duales. Il est immØdiat que H est
R
un quotient de H. Ainsi, le dual de H s’identi(cid:28)e alors (cid:224) une sous-algŁbre de H.
R
Ces objets ont ØtØ ØtudiØs dans di(cid:27)Ørents domaines. En thØorie Quantique des Champs, l’utilitØ
de H pour la Renormalisation est explicitØe dans [BK05, BK06, BK00a, BK00b, CQRV02,
R
CK00,CK01a,CK01b,EFGK04,EFGK05,FGB01,FGB04,KW99,Kre98,BK06,Kre99,Kre02].
L’algŁbreH appara(cid:238)taussicommealgŁbredescoordonnØesdugroupedeButcherdesmØthodes
R
de Runge-Kutta [Bro04] et dans le cadre du calcul moulien [Men07]. D’un point de vue plus
algØbrique, H et H munies de structures supplØmentaires sont utilisØs opØradiquement dans
R
[Cha02, CL01, Moe01, Mur06, OG05, vdLM06].
Ce mØmoire parcourt mes travaux de recherche dans ce cadre pour la pØriode 2002-2009. Il
se dØcoupe en quatre chapitres. Dans le premier chapitre sont exposØes les di(cid:27)Ørentes notions
dont j’aurai besoin pour la suite.
Le deuxiŁme chapitre est dØdiØ aux rØsultats des articles [6, 12]. L’algŁbre de Hopf H (et plus
gØnØralement HD) est munie d’une structure supplØmentaire par un scindement d’associativitØ
qui en fait une algŁbre de Hopf dendriforme au sens de [Lod01]. De plus, H munie de sa
structure dendriforme est un objet libre et fournit ainsi une alternative (cid:224) la description de
l’algŁbre dendriforme libre en termes d’arbres binaires planaires. D’autres algŁbres de Hopf
dendriformes sont connues, comme par exemple l’algŁbre de Malvenuto-Reutenauer ou l’algŁbre
des fonctions de parking.
Les travaux ici prØsentØs donnent un outil permettant de dØmontrer qu’une algŁbre de Hopf
dendriforme est libre en utilisant un scindement de coassociativitØ. Citons quelques corollaires :
auto-dualitØ de l’algŁbre de Hopf ØtudiØe, libertØ de son algŁbre de Lie, libertØ en tant qu’algŁbre
et colibertØ en tant que cogŁbre... Plus prØcisØment, la notion de bigŁbre bidendriforme est in-
troduite dans la section 2.2. Un thØorŁme de rigiditØ (thØorŁme de Milnor-Moore bidendriforme)
3
montre que toute bigŁbre bidendriforme connexe est libre en tant qu’algŁbre dendriforme. Ce
rØsultat est appliquØ par exemple (cid:224) l’algŁbre de Malvenuto-Reutenauer FQSym.
Ilrestealors(cid:224)dØcrireunsystŁmedegØnØrateursdeFQSym,cequiestfaitdanslasection2.3.
Par le thØorŁme de Milnor-Moore dendriforme [Cha02, Ron01], Prim(FQSym) est une algŁbre
brace libre et il est alors Øquivalent de trouver un systŁme de gØnØrateurs de Prim(FQSym).
Une base de cet espace est donnØ inductivement (cid:224) l’aide de la structure brace et de l’insertion
de la lettre (n+1) dans les ØlØments du groupe symØtrique S reprØsentØs par des mots de n
n
lettres. CettebaseestindexØeparunensembled’arbresplanspartiellementdØcorØs. LesØlØments
primitifs au sens bidendriforme correspondent aux ØlØments indexØs par des arbres rØduits (cid:224) leur
racine et fournissent un systŁme de gØnØrateurs de FQSym au sens dendriforme.
D’autres rØsultats (non dØcrits ici) sur les algŁbres braces peuvent Œtre trouvØs dans [10], oø
il est montrØ qu’une algŁbre brace libre et aussi libre en tant qu’algŁbre prØlie.
Le chapitre suivant est dØdiØ (cid:224) mes travaux sur les Øquations de Dyson-Schwinger combina-
toires [9, 11]. Ces Øquations [BK06, Kre07, KY06] sont de la forme X = B+(f(X)), oø X est
un ØlØment de la complØtion de H pour la topologie induite par la graduation et f(h) une sØrie
R
formelle. Chaque Øquation de Dyson-Schwinger possŁde une unique solution et les composantes
homogŁnes de cette solution dØ(cid:28)nissent une sous-algŁbre H de H .
f R
La question est de dØterminer les sØries formelles f telles que H soit une sous-algŁbre de
f
Hopf. Une rØponse complŁte est apportØe dans la section 3.2, avec quelques indications sur la
preuve de ce rØsultat et une description des gØnØrateurs des sous-algŁbres obtenues. Une version
non commutative de ces rØsultats est exposØe dans [9].
Onobtientainsiunefamilledesous-algŁbresH deHopfdeH ,indexØespardeuxparamŁtres
f R
α et β. Nous montrons dans la section 3.3 qu’hormis deux cas dØgØnØrØs pour lesquels la sous-
algŁbre devient cocommutative, H est isomorphe (cid:224) l’algŁbre de Hopf de Fa(cid:224) di Bruno, algŁbre
f
des coordonnØes du groupe des di(cid:27)Øomorphismes formels de la droite tangents (cid:224) l’identitØ en
0. Une explication possible de ce fait est la suivante : toutes ces algŁbres, (cid:224) l’exception du cas
α = 0, sont duales d’une algŁbre enveloppante dont l’algŁbre de Lie a pour sØrie formelle t . En
1−t
ajoutant une hypothŁse de non commutativitØ, il est montrØ qu’(cid:224) isomorphisme prŁs, il n’existe
que trois telles algŁbres de Lie. Avec une condition plus forte, il n’en existe qu’une, l’algŁbre
de Lie de Fa(cid:224) di Bruno. Les duales des algŁbres enveloppantes des deux autres algŁbres de Lie
obtenues sont Øgalement dØcrites comme sous-algŁbres de H .
R
La derniŁre section de ce chapitre donne quelques rØsultats sur les systŁmes d’Øquations de
Dyson-Schwinger issus de mes travaux en prØparation [17]. Ces systŁmes sont des gØnØralisations
auxcasdØcorØsdesobjetsprØcØdents. LeurØtudeestnØanmoinspluscomplexe. Di(cid:27)Ørentsexem-
ples sont donnØes dans la section 3.3, ainsi qu’un procØdØ (la dilatation) permettant d’augmenter
le nombre de dØcorations. En(cid:28)n, un thØorŁme montre que tout systŁme dont les sØries formelles
vØri(cid:28)ent une certaine condition de dØpendance mutuelle, est une dilatation d’un systŁme formØ
d’une seule Øquation.
Le dernier chapitre expose quelques liens entre ces algŁbres de Hopf et la thØorie des algŁbres
enveloppantes quantiques, objet des travaux exposØs dans [5, 13]. Les algŁbres HD sont traitØes
(cid:224) la maniŁre des algŁbres enveloppantes de la partie positive g+ d’une certaine algŁbre de Lie
simple g. Dans les deux cas, il s’agit d’une algŁbre de Hopf graduØe et connexe, admettant
une quanti(cid:28)cation (cid:224) un paramŁtre q donnant une famille d’algŁbres de Hopf tressØes, ces objets
Øtant auto-duaux lorsque q (cid:54)= 1. La construction classique de U (g) (cid:224) partir de la quanti(cid:28)cation
q
U (g+) (cid:224) l’aide d’une bosonisation et d’un double quantique de Drinfeld est Øtendue au cas de
q
HD et on obtient ainsi une algŁbre de Hopf D(HD), comprenant un tore et deux copies de HD.
q q
Cette construction est dØcrite dans la section 4.1. Cette algŁbre D(HD), pour un bon choix de
q
la quanti(cid:28)cation, possŁde un sous-quotient isomorphe (cid:224) U (g). Une version "classique" de cet
q
objet est l’algŁbre de Lie double des arbres, ØtudiØe ainsi que certains de ses modules dans [7].
PoursuivantleparallŁleaveclathØoriedesgroupesquantiques,unenotiondemodulesdeplus
4
haut poids sur D(HD) est introduite dans la section 4.2. Les modules de Verma et les modules
q
simples sont dØcrits et il est montrØ qu’un produit tensoriel de modules simples est semi-simple.
D’autre part, lorsque HD est primitivement engendrØe (hypothŁse se traduisant sur le choix des
q
paramŁtres de la quanti(cid:28)cation de HD), D(HD) est engendrØe en tant qu’algŁbre par une famille
q
de sous-algŁbres isomorphes (cid:224) U (sl(2)), ce qui permet d’introduire la notion de base cristalline
q
d’un module simple de plus haut poids.
Dans la derniŁre section, l’existence et l’unicitØ d’une base cristalline est dØmontrØe pour
chaque module simple de plus haut poids dominant. Ce rØsultat est utilisØ pour dØcrire la dØ-
compositiond’unproduittensorieldedeuxmodulesdeplushautpoidsdemaniŁrecombinatoire,
en utilisant le graphe cristallin associØe aux bases cristallines de chacun des deux modules.
Pour terminer cette introduction, signalons qu’une partie de mes travaux, non dØtaillØe ici,
porte sur des calculs d’homologie de Poisson de certaines algŁbres d’invariants, en collaboration
avec Jacques Alev [1, 8]. Je n’ai pas non plus ØvoquØ mes travaux sur l’algŁbre in(cid:28)nitØsimale
des arbres plans, qu’on peut obtenir en envoyant le paramŁtre q (cid:224) 0 dans les quanti(cid:28)cations du
quatriŁme chapitre [14, 15, 16]. Dans ces travaux apparaissent des liens avec le poset de Tamari
et certaines opØrades quadratiques de Koszul.
La bibliographie de ce mØmoire est sØparØe en deux sections di(cid:27)Ørentes : mes publications et
preprints sont sØparØes des autres rØfØrences.
5
Chapter 1
Hopf algebras of trees
We introduce in this chapter the objects we shall study in the sequel: the Connes-Kreimer
Hopf algebra of (decorated) rooted trees and its non commutative version the Hopf algebra of
(decorated) planar rooted trees.
1.1 The Connes-Kreimer Hopf algebra
1.1.1 Rooted trees
Let us (cid:28)rst recall the de(cid:28)nition of a rooted tree.
De(cid:28)nition 1 [Sta86, Sta99]
1. A rooted tree is a (cid:28)nite graph, connected and without loops, with a special vertex called
the root.
2. The weight of a rooted tree is the number of its vertices.
3. The set of rooted trees will be denoted by T . For all n ∈ N∗, the set of rooted trees of
R
weight n will be denoted by T (n).
R
Examples.
T (1) = {(cid:113)},
R
(cid:113)
T (2) = {(cid:113)},
R
(cid:26) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:27)
T (3) = ∨(cid:113) , (cid:113) ,
R
(cid:40) (cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) ∨(cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:41)
T (4) = ∨(cid:113) , ∨(cid:113) , (cid:113) , (cid:113) ,
R
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113) ∨(cid:113)(cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) ∨(cid:113)(cid:113)(cid:113)(cid:113) ∨(cid:113)(cid:113)(cid:113) ∨(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:113)
T (5) = (cid:72)∨(cid:8)(cid:113) , ∨(cid:113) , ∨(cid:113) , ∨(cid:113), ∨(cid:113) , (cid:113) , (cid:113) , (cid:113), (cid:113) .
R
1.1.2 Bialgebra of rooted trees
The Hopf algebra H of rooted trees is introduced in [CK99]. As an algebra, H is the free
R R
associative, commutative, unitary K-algebra generated by T . In other terms, a K-basis of
R
H is given by rooted forests, that is to say non necessarily connected graphs F such that each
R
connected component of F is a rooted tree. The set of rooted forests will be denoted by F .
R
The product of H is given by the concatenation of rooted forests, and the unit is the empty
R
6
forest, denoted by 1.
Examples. Here are the rooted forests of weight ≤ 4:
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) ∨(cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:113)
1, (cid:113), (cid:113)(cid:113), (cid:113), (cid:113)(cid:113)(cid:113), (cid:113) (cid:113), ∨(cid:113) (cid:113), (cid:113)(cid:113)(cid:113)(cid:113), (cid:113) (cid:113)(cid:113), (cid:113) (cid:113), ∨(cid:113) (cid:113), (cid:113)(cid:113), ∨(cid:113) , ∨(cid:113) , (cid:113) , (cid:113) .
In order to make H a bialgebra, we now introduce the notion of cut of a tree t. A cut c of a
R
tree t is a choice of edges of t. Deleting the chosen edges, the cut sends t to a forest denoted by
Wc(t). A non-empty cut c is admissible if any path in the tree meets at most one cut edge. For
such a cut, the tree of Wc(t) which contains the root of t is denoted by Rc(t) and the product of
the other trees of Wc(t) is denoted by Pc(t). We also add the total cut, which is by convention
an admissible cut such that Rc(t) = 1 and Pc(t) = Wc(t) = t. The set of admissible cuts of t is
denoted by Adm(t).
(cid:113)
(cid:113) (cid:113)
Example. Let us consider the rooted tree t = ∨(cid:113) . As it as 3 edges, it has 23 non total cuts.
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)
cut c ∨(cid:113) ∨(cid:113) ∨(cid:113) ∨(cid:113) ∨(cid:113) ∨(cid:113) ∨(cid:113) ∨(cid:113) total
Admissible? yes yes yes yes no yes yes no yes
(cid:113) (cid:113)
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)
Wc(t) ∨(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) ∨(cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:113)(cid:113) ∨(cid:113)
(cid:113)
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113)
Rc(t) ∨(cid:113) (cid:113) ∨(cid:113) (cid:113) × (cid:113) (cid:113) × 1
(cid:113)
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)
Pc(t) 1 (cid:113) (cid:113) (cid:113) × (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) × ∨(cid:113)
The coproduct of H is de(cid:28)ned as the unique algebra morphism from H to H ⊗H such
R R R R
that, for all rooted tree t ∈ T :
R
(cid:88)
∆(t) = Pc(t)⊗Rc(t).
c∈Adm(t)
Example. We obtain:
(cid:113) (cid:113) (cid:113)
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) (cid:113)
∆( ∨(cid:113) ) = ∨(cid:113) ⊗1+1⊗ ∨(cid:113) + (cid:113) ⊗ (cid:113) + (cid:113) ⊗ ∨(cid:113) + (cid:113) ⊗ (cid:113) + (cid:113) (cid:113) ⊗ (cid:113) + (cid:113)(cid:113) ⊗ (cid:113).
A study of admissible cuts of a tree proves the following lemma:
Lemma 2 We de(cid:28)ne B+ : H −→ H as the operator which associates to any rooted forest
R R
t ...t , the rooted tree obtained by grafting the roots of t ,...,t on a common new root. Then,
1 n 1 n
for all x ∈ H :
R
∆◦B+(x) = B+(x)⊗1+(Id⊗B+)◦∆(x).
(cid:113)
(cid:113) (cid:113) (cid:113)
Forexample,B+((cid:113) (cid:113)) = ∨(cid:113) . ThisoperatorB+ isusedtoinductivelyprovethecoassociativity
of ∆, so:
Theorem 3 With this coproduct, H is a bialgebra. The counit of H is given by:
R R
(cid:26)
H −→ K
ε : R
F ∈ F −→ δ .
R 1,F
The bialgebra H is clearly graded by the weight. It is connected, that is to say the homoge-
R
neous component H (0) of degree 0 is K. So, H has an antipode S. It is given by the following
R R
theorem:
Theorem 4 Let t ∈ T . Then:
R
(cid:88)
S(t) = (−1)nc+1Wc(t),
c non total cut of t
where n is the number of cut edges in c.
c
7
1.2 A non commutative version of H
R
1.2.1 Planar rooted trees
De(cid:28)nition 5 [Sta86, Sta99] A planar (or plane) rooted tree is a rooted tree t such that for
each vertex s of t, the children of s are totally ordered. The set of planar rooted trees will be
denoted by T. For every n ∈ N∗, the set of planar rooted trees of weight n will be denoted by
T(n).
Example. Planar rooted are drawn such that the total order on the children of each vertex
is given from left to right.
T(1) = {(cid:113)},
(cid:113)
T(2) = {(cid:113)},
(cid:26) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:27)
T(3) = ∨(cid:113) , (cid:113) ,
(cid:40) (cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) ∨(cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:41)
T(4) = ∨(cid:113) , ∨(cid:113) , ∨(cid:113) , (cid:113) , (cid:113) ,
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113) ∨(cid:113)(cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)∨(cid:113)(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) ∨(cid:113)(cid:113)(cid:113)(cid:113) ∨(cid:113)(cid:113)(cid:113) ∨(cid:113)(cid:113)(cid:113) ∨(cid:113)(cid:113) (cid:113)(cid:113)(cid:113)
T(5) = (cid:72)∨(cid:113)(cid:8), ∨(cid:113) , ∨(cid:113) , ∨(cid:113) , ∨(cid:113) , ∨(cid:113), ∨(cid:113) , ∨(cid:113) , ∨(cid:113) , (cid:113) , (cid:113) , (cid:113) , (cid:113), (cid:113) .
(cid:113) (cid:113)
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)
In particular, ∨(cid:113) and ∨(cid:113) are equal as rooted trees, but not as planar rooted trees.
1.2.2 The Hopf algebra of planar rooted trees
The Hopf algebra of planar rooted tree H was introduced simultaneously in [3] and [Hol03]. As
an algebra, H is the free associative unitary algebra generated by T. In other terms, a K-basis
of H is given by planar rooted forests, that is to say non necessarily connected graphs F such
that each connected component of F is a planar rooted tree, and the roots of these rooted trees
are totally ordered. The set of planar rooted forests will be denoted by F. For all n ∈ N, the
set of rooted forests of weight n will be denoted by F(n). The product of H is given by the
concatenation of planar rooted forests, and the unit is the empty forest, denoted by 1.
If t is a planar tree and c is an admissible cut of c, then the rooted tree Rc(t) is naturally a
planar tree. Moreover, as c is admissible, the di(cid:27)erent rooted trees of the forest Pc(t) are planar
and totally ordered from left to right, so Pc(t) is a planar forest. We then de(cid:28)ne a coproduct on
H as the unique algebra morphism from H to H⊗H such that, for all planar rooted tree t ∈ T:
(cid:88)
∆(t) = Pc(t)⊗Rc(t).
c∈Adm(t)
As H is the free algebra generated by T, this makes sense.
Examples.
(cid:113) (cid:113) (cid:113)
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) (cid:113)
∆( ∨(cid:113) ) = ∨(cid:113) ⊗1+1⊗ ∨(cid:113) + (cid:113) ⊗ (cid:113) + (cid:113) ⊗ ∨(cid:113) + (cid:113) ⊗ (cid:113) + (cid:113) (cid:113) ⊗ (cid:113) + (cid:113)(cid:113) ⊗ (cid:113),
(cid:113) (cid:113) (cid:113)
(cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:113) (cid:113) (cid:113)
∆( ∨(cid:113) ) = ∨(cid:113) ⊗1+1⊗ ∨(cid:113) + (cid:113) ⊗ (cid:113) + (cid:113) ⊗ ∨(cid:113) + (cid:113) ⊗ (cid:113) + (cid:113) (cid:113) ⊗ (cid:113) + (cid:113)(cid:113) ⊗ (cid:113).
An operator B+ is also de(cid:28)ned on H, with a non commutative version of lemma 2. So:
8
