Table Of ContentTable des mati(cid:18)eres
Chapitre I. Syst(cid:18)emes lin(cid:19)eaires et matrices 1
1. Syst(cid:18)emes d’(cid:19)equations alg(cid:19)ebriques lin(cid:19)eaires 1
2. Matrices 8
Chapitre II. Espaces vectoriels 19
3. Notions fondamentales 19
4. Bases et dimension 25
5. Bases de sous-espaces 29
Chapitre III. Rang et d(cid:19)eterminant 37
6. Rang de matrices 37
7. D(cid:19)eterminant des matrices carr(cid:19)ees 42
Chapitre IV. Applications lin(cid:19)eaires 53
8. Notions fondamentales 53
9. Construction d’applicationslin(cid:19)eaires 59
Chapitre V. Espaces euclidiens 69
10. Produits scalaires 69
11. Projections orthogonales 73
Chapitre VI. Op(cid:19)erateurs lin(cid:19)eaires 81
12. Propri(cid:19)et(cid:19)es caract(cid:19)eristiques 81
13. Th(cid:19)eorie spectrale 91
Chapitre VII. Formes quadratiques 97
14. Classi(cid:12)cation des formes quadratiques r(cid:19)eelles 97
15. Espaces quadratiques 106
Appendice : Rappels et compl(cid:19)ements 112
CHAPITRE I
Syst(cid:18)emes lin(cid:19)eaires et matrices
1. Syst(cid:18)emes d’(cid:19)equations alg(cid:19)ebriques lin(cid:19)eaires
Soit un syst(cid:18)eme de m (cid:19)equations en n inconnues x , :::, x :
1 n
8
>< a11x1+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a1nxn = b1
.
.
> .
:
a x +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a x = b
m1 1 mn n m
ou(cid:18)lescoe(cid:14)cientsa pouri=1;:::;metj =1;:::;n,etlestermesind(cid:19)ependantsb pouri=1;:::;m
ij i
sont des nombres r(cid:19)eels ou complexes, ou plus g(cid:19)en(cid:19)eralement des (cid:19)el(cid:19)ements d’un corps1 (commutatif)
arbitraireK.R(cid:19)esoudrecesyst(cid:18)emeconsiste(cid:18)atrouverdansK desvaleursdesinconnuesx ;:::;x pour
1 n
lesquellesces (cid:19)equationssontsatisfaites.Danscette premi(cid:18)ere section, onse propose de mettre aupoint
des techniques permettant de reconna^(cid:16)tre si un tel syst(cid:18)eme admet une solution et, dans l’a(cid:14)rmative,
de trouver toutes les solutions (en fonction d’un certain nombre de param(cid:18)etres).
1.1. Op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires
Les techniques que l’on utilise pour r(cid:19)esoudre les syst(cid:18)emes d’(cid:19)equations alg(cid:19)ebriques lin(cid:19)eaires se
fondent sur trois types d’op(cid:19)erations sur les (cid:19)equations d’un syst(cid:18)eme :
I) Dans un syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations, on peut remplacer une des (cid:19)equations par la somme de celle-ci
et d’un multiple d’une autre (cid:19)equation du syst(cid:18)eme sans modi(cid:12)er l’ensemble des solutions. En
e(cid:11)et, les syst(cid:18)emes
8
>>>>>> P1(x1;:::;xn) =.. b1
>> .
>>>< Pi(x1;:::;xn) = bi
.
.
>> .
>>>>> Pj(x1;:::;xn) = bj
>>>> ...
:
P (x ;:::;x ) = b
m 1 n m
et
8
>>>>>>>> P1(x1;:::;xn) =... b1
>>>< Pi(x1;:::;xn)+(cid:21)Pj(x1;:::;xn) = bi+(cid:21)bj
.
.
>> .
>>>>> Pj(x1;:::;xn) = bj
>>>> ...
:
P (x ;:::;x ) = b
m 1 n m
ont les m^emes solutions.
1Voirl’Appendicepouruned(cid:19)e(cid:12)nitiondelanotiondecorps.
1
1.SYSTE(cid:18)MES D’E(cid:19)QUATIONS ALGE(cid:19)BRIQUES LINE(cid:19)AIRES 2
II) Dans un syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations, on peut (cid:19)echanger deux (cid:19)equations sans modi(cid:12)er l’ensemble des
solutions. En e(cid:11)et, il est clair que les syst(cid:18)emes
8 8
>>> P1(x1;:::;xn) = b1 >>> P1(x1;:::;xn) = b1
>>>>> ... >>>>> ...
>> >>
>< Pi(x1;:::;xn) = bi >< Pj(x1;:::;xn) = bj
. .
. et .
>> . >> .
>>>> Pj(x1;:::;xn) = bj >>>> Pi(x1;:::;xn) = bi
>>>>> ... >>>>> ...
: :
P (x ;:::;x ) = b P (x ;:::;x ) = b
m 1 n m m 1 n m
admettent les m^emes solutions.
III) Dans un syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations, on peut multiplier les deux membres d’une (cid:19)equation par un
(cid:19)el(cid:19)ementnonnulducorpsdebaseK sansmodi(cid:12)erl’ensembledessolutions.Ene(cid:11)et,lessyst(cid:18)emes
8 8
>>> P1(x1;:::;xn) = b1 >>> P1(x1;:::;xn) = b1
>>>< ... >>>< ...
P (x ;:::;x ) = b et (cid:21)P (x ;:::;x ) = (cid:21)b
>>>>>>: i 1 n ... i >>>>>>: i 1 n ... i
P (x ;:::;x ) = b P (x ;:::;x ) = b
m 1 n m m 1 n m
admettent les m^emes solutions si (cid:21)6=0.
Les op(cid:19)erations indiqu(cid:19)ees ci-dessus sont appel(cid:19)ees op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires (sur les (cid:19)equations d’un
syst(cid:18)eme). Danslecasd’une op(cid:19)eration(cid:19)el(cid:19)ementaire de typeIII,l’(cid:19)el(cid:19)ement(cid:21)2K parlequelonmultiplie
une des (cid:19)equations est appel(cid:19)e facteur de l’op(cid:19)eration(cid:19)el(cid:19)ementaire.
1.2. Notation matricielle
Pour faireappr(cid:19)ecier laport(cid:19)ee des op(cid:19)erations(cid:19)el(cid:19)ementaires dans lar(cid:19)esolutiond’unsyst(cid:18)eme d’(cid:19)equa-
tions alg(cid:19)ebriques lin(cid:19)eaires,il est commode d’adopter lanotation suivante :a(cid:18) un syst(cid:18)eme arbitraire de
m (cid:19)equations a(cid:18) n inconnues 8
>< a11x1+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a1nxn = b1
.
.
>: .
a x +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a x = b
m1 1 mn n m
on associe le tableau des coe(cid:14)cients
0 1
a (cid:1)(cid:1)(cid:1) a
11 1n
B . . C
@ . . A
. .
a ::: a
m1 mn
que l’on appelle matrice (des coe(cid:14)cients) du syst(cid:18)eme; c’est un tableau (cid:18)a m lignes et n colonnes,
chaque lignecorrespondant a(cid:18) une(cid:19)equation du syst(cid:18)eme. On note cette matrice (a ) ou simple-
ij
16i6m
16j6n
ment (a ) lorsque le nombre de lignes et le nombre de colonnes sont indiqu(cid:19)es par le contexte. Par
ij i;j
convention, le premier indice est toujours celui des lignes et le second celui des colonnes. L’entr(cid:19)ee a
ij
est donc celle qui est situ(cid:19)ee (cid:18)a l’intersection de la i-(cid:18)eme ligne et de la j-(cid:18)eme colonne.
On consid(cid:18)ere aussi le tableau
0 1
a (cid:1)(cid:1)(cid:1) a b
11 1n 1
B . . . C
@ . . . A
. . .
a (cid:1)(cid:1)(cid:1) a b
m1 mn m
appel(cid:19)ee matrice compl(cid:18)ete du syst(cid:18)eme, obtenue en adjoignanta(cid:18) la matrice des coe(cid:14)cients du syst(cid:18)eme
la colonne des termes ind(cid:19)ependants.
1.SYSTE(cid:18)MES D’E(cid:19)QUATIONS ALGE(cid:19)BRIQUES LINE(cid:19)AIRES 3
Comme les(cid:19)equations du syst(cid:18)eme correspondent aux lignes de la matrice compl(cid:18)ete, les op(cid:19)erations
(cid:19)el(cid:19)ementaires d(cid:19)ecrites pr(cid:19)ec(cid:19)edemment correspondent (cid:18)a des op(cid:19)erations sur les lignes de la matrice
compl(cid:18)ete; (cid:18)a savoir :
I) remplacer une ligne par la somme de celle-ci et d’un multiple d’une autre ligne de la matrice
compl(cid:18)ete;
II) (cid:19)echanger deux lignes de la matrice compl(cid:18)ete;
III) multiplierune lignepar un(cid:19)el(cid:19)ement non nul du corps de baseK (appel(cid:19)e facteur de l’op(cid:19)eration
(cid:19)el(cid:19)ementaire).
1.3. E(cid:19)chelonnement
1.1. Th(cid:19)eor(cid:18)eme. Parunesuited’op(cid:19)erations(cid:19)el(cid:19)ementairessur leslignes,on peuttransformertoute
matrice en une matrice U =(u ) poss(cid:19)edant la propri(cid:19)et(cid:19)e suivante : le nombre d’entr(cid:19)ees nulles
ij
16i6m
16j6n
au d(cid:19)ebut de chaque ligne augmente (cid:18)a chaque ligne, l’augmentation (cid:19)etant stricte pour les lignes qui
suivent une ligne non nulle2; c’est-a(cid:18)-dire que pour i = 1;:::;m−1 et k 2 N (cid:12)x(cid:19)es, si u = 0 pour
ij
tout j 6k alors u =0 pour tout j 6k+1.
i+1;j
Une matrice U poss(cid:19)edant la propri(cid:19)et(cid:19)e ci-dessus est appel(cid:19)ee matrice a(cid:18) lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees. Si une
ligne d’une telle matrice est nulle, la condition entra^(cid:16)ne que toutes les lignes suivantes sont nulles.
Dans une ligne non nulle, la premi(cid:18)ere entr(cid:19)ee non nulle est appel(cid:19)ee pivot de la ligne. Par exemple, la
matrice suivante est a(cid:18) lignes(cid:19)echelonn(cid:19)ees :
0 1
0 1 2 3 4 5
B C
B 0 0 0 6 7 8 C
B C
(aij) =B 0 0 0 0 9 10 C;
1166ji6656 @ 0 0 0 0 0 0 A
0 0 0 0 0 0
les pivots (des lignes non nulles) sont a = 1, a = 6 et a = 9. En revanche, la matrice suivante
12 24 35
n’est pas (cid:18)a lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees : 0 1
0 0 1 2
B C
B 0 0 0 3 C
@ A:
0 0 0 4
0 0 0 0
D(cid:19)emonstration du th(cid:19)eor(cid:18)eme : Soit A = (a ) une matrice arbitraire. La strat(cid:19)egie de
ij
16i6m
16j6n
lad(cid:19)emonstrationconsistea(cid:18)faireappara^(cid:16)tredesentr(cid:19)ees nullessuccessivement endessous despremi(cid:18)eres
entr(cid:19)ees non nulles de chaque ligne.
Si la premi(cid:18)ere colonne est nulle, elle le reste lorsque l’on e(cid:11)ectue des op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires sur
les lignes de la matrice. On peut donc la supprimer (mentalement) et porter son attention sur la
deuxi(cid:18)eme colonne. Bien entendu, si toutes les colonnes de la matrice sont nulles | c’est-(cid:18)a-dire si la
matrice est nulle | alors la matrice est a(cid:18) lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees.
Si la premi(cid:18)ere colonne n’est pas nulle, on choisit3 un (cid:19)el(cid:19)ement non nul de cette colonne, qui
deviendra le premier pivot de la matrice a(cid:18) lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees. Supposons avoir choisi l’entr(cid:19)ee de la
k-(cid:18)eme ligne : a 6= 0. Par des op(cid:19)erations de type I sur les lignes, on peut faire appara^(cid:16)tre des 0 a(cid:18) la
k1
place de toutes les autres entr(cid:19)ees de la premi(cid:18)ere colonne : en e(cid:11)et, si l’on remplace la ‘-(cid:18)eme ligne L
‘
(pour ‘ 6=k) par la somme de celle-ci et de la k-(cid:18)eme ligne L multipli(cid:19)ee par −a a−1, on transforme
k ‘1 k1
la matrice A en la matrice A0 =(a0 ) telle que
ij i;j
a0 =a +a (−a a−1) pour j =1;:::;n
‘j ‘j kj ‘1 k1
2carlalignequisuitunelignenullenepeut(cid:19)evidemmentcontenirplusdenentr(cid:19)ees!
3Danslescalculsnum(cid:19)eriques,ilyaavantage(cid:18)achoisirl’entr(cid:19)eelaplusgrandeenvaleurabsolue,a(cid:12)ndeminimiser
l’e(cid:11)etdeserreursd’arrondi.
1.SYSTE(cid:18)MES D’E(cid:19)QUATIONS ALGE(cid:19)BRIQUES LINE(cid:19)AIRES 4
et
a0 =a pour i6=‘ et j =1;:::;n:
ij ij
En particulier, a0 =0 :
‘1
0 1 0 1
. . . . . .
. . . . . .
B . . . C B . . . C
A=BBBB a..‘1 (cid:3).. (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3).. CCCCL‘;L‘−−!Lk(cid:0)aak‘11(cid:1)BBBB 0.. (cid:3).. (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3).. CCCC=A0:
B . . . C B . . . C
B@ ak1 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) CA B@ ak1 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) CA
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Apr(cid:18)es avoir ainsi op(cid:19)er(cid:19)e sur toutes les lignes autres que la k-(cid:18)eme, on obtient une matrice dont la
premi(cid:18)ere colonne ne contient qu’un seul (cid:19)el(cid:19)ement non nul, a(cid:18) savoir a (cid:18)a la k-(cid:18)eme ligne :
k1
0 1
0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3)
B . . . C
B . . . C
B . . . C
BB ak1 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) CC:
B C
. . .
@ . . . A
. . .
0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3)
Pour faire appara^(cid:16)tre cette entr(cid:19)ee (cid:18)a la premi(cid:18)ere ligne (si elle n’y est pas d(cid:19)eja(cid:18)), il su(cid:14)t d’(cid:19)echanger la
premi(cid:18)ere et la k-(cid:18)eme ligne.
Apr(cid:18)es ces op(cid:19)erations, on obtient une matrice A00 dont la premi(cid:18)ere colonne est conforme a(cid:18) ce que
l’onattend d’une matrice a(cid:18) lignes(cid:19)echelonn(cid:19)ees, puisque toutes les entr(cid:19)ees de la premi(cid:18)ere colonne sont
nulles (cid:18)a l’exception de la premi(cid:18)ere :
0 1
(cid:3) (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3)
BB 0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) CC
A−!A00 =B . . . C:
@ . . . A
. . .
0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3)
Pour poursuivre l’(cid:19)echelonnement, on n’a plus besoin de faire intervenir la premi(cid:18)ere ligne; on peut
donc la supprimer mentalement, ainsi que la premi(cid:18)ere colonne puisque ce qu’il en reste apr(cid:18)es avoir
retir(cid:19)e la premi(cid:18)ere ligne est constitu(cid:19)e de 0 :
0 1 0 1
(cid:3) (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3)
BB 0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) CC BB 0 CC
A00 =B . . . C=B . C:
@ . . . A @ . A
. . . . B
0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) 0
Onestainsiramen(cid:19)e(cid:18)aunematriceBpluspetite,surleslignesdelaquelleonreprendlesop(cid:19)erations(cid:19)el(cid:19)e-
mentaires.Bienentendu,lesop(cid:19)erations(cid:19)el(cid:19)ementairessurleslignesdeBcorrespondent (cid:18)adesop(cid:19)erations
(cid:19)el(cid:19)ementaires sur les lignes de A00 puisque les lignesde B deviennent des lignesde A00 lorsqu’onles fait
pr(cid:19)ec(cid:19)eder d’un 0.En poursuivant ainside suite, supprimanta(cid:18) chaque fois une colonne et une ligne(ou
seulement une colonne dans le cas ou(cid:18) la premi(cid:18)ere colonne a(cid:18) consid(cid:19)erer est nulle) jusqu’(cid:18)a ce qu’iln’en
reste plus, on obtient (cid:12)nalement une matrice a(cid:18) lignes(cid:19)echelonn(cid:19)ees. 2
Lamatrice(cid:18)alignes(cid:19)echelonn(cid:19)ees produiteparleproc(cid:19)ed(cid:19)e indiqu(cid:19)edanslad(cid:19)emonstrationn’estnullement
d(cid:19)etermin(cid:19)ee de mani(cid:18)ere unique; elle d(cid:19)epend (notamment) du choix des pivots, comme le montrent les
exemples suivants (ou(cid:18) le pivot est encadr(cid:19)e) :
0 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0
B C B C B C
B 2 1 1 C!B 0 −1 1 C!B 0 −1 1 C
@ A @ A @ A
1 0 1 0 −1 1 0 0 0
1 2 −1 0 1 −1 0 0 0
1.SYSTE(cid:18)MES D’E(cid:19)QUATIONS ALGE(cid:19)BRIQUES LINE(cid:19)AIRES 5
et
0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1=2 −1=2 2 3=2 1=2
B C B C B C
B@ 12 10 11 CA!B@ 02 −11=2 11=2 CAL1;−L!1+L2 B@ 20 −11=2 11=2 CAL2;−L!2−L1
1 2 −1 0 3=2 −3=2 0 3=2 −3=2
0 1 0 1 0 1
2 3=2 1=2 2 3=2 1=2 2 3=2 1=2
B C B C B C
B 0 −1=2 1=2 C B 0 0 0 C B 0 3=2 −3=2 C
!B@ 0 −1=2 1=2 CA!B@ 0 0 0 CA!B@ CA:
0 0 0
0 3=2 −3=2 0 3=2 −3=2 0 0 0
En revanche, on montre au x6 que le nombre de lignes non nulles de la matrice a(cid:18) lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees
est un invariant de la matrice donn(cid:19)ee (c’est son rang).
Apr(cid:18)es avoir(cid:19)echelonn(cid:19)e les lignes d’une matrice, on peut encore poursuivre les op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)emen-
taires pour annuler les entr(cid:19)ees situ(cid:19)ees au-dessus des pivots.En utilisantles op(cid:19)erations de type III qui
consistent (cid:18)a multiplierchaque lignenon nulle par l’inverse de son pivot,on parvient (cid:12)nalementa(cid:18) une
matricea(cid:18)lignes(cid:19)echelonn(cid:19)ees donttouslespivotssont(cid:19)egauxa(cid:18)1et touteslesentr(cid:19)ees situ(cid:19)ees au-dessus4
d’un pivot sont nulles :
0 1
0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 1 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) 0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) 0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
BB 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 0 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 1 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) 0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) CC
@ 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 0 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 0 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 1 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) A:
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
Une telle matrice est dite sous forme r(cid:19)eduite de Gauss{Jordan.
On a ainsi prouv(cid:19)e un r(cid:19)esultat plus pr(cid:19)ecis :
1.2. Corollaire. Par une suite d’op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires sur les lignes, on peut transformer
toute matrice en une matrice sous forme r(cid:19)eduite de Gauss{Jordan.
On peut prouver que la matrice sous forme r(cid:19)eduite obtenue (cid:18)a partir d’une matrice A donn(cid:19)ee est
d(cid:19)etermin(cid:19)ee de mani(cid:18)ere unique par A. Comme ce r(cid:19)esultat n’est pas indispensable pour la suite, sa
d(cid:19)emonstration est laiss(cid:19)ee (cid:18)a la sagacit(cid:19)e du lecteur5.
1.4. Solution de syst(cid:18)emes d’(cid:19)equations alg(cid:19)ebriques lin(cid:19)eaires
Revenons au probl(cid:18)eme initial,qui consiste (cid:18)a r(cid:19)esoudre un syst(cid:18)eme de m (cid:19)equations en n inconnues
8
>< a11x1+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a1nxn = b1
.
.
>: .
a x +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a x = b :
m1 1 mn n m
Par des op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires sur les (cid:19)equations de ce syst(cid:18)eme ou, ce qui revient au m^eme, sur les
lignes de la matrice compl(cid:18)ete, on obtient un syst(cid:18)eme qui a les m^emes solutions et dont la matrice
compl(cid:18)ete est sous forme r(cid:19)eduite de Gauss{Jordan. Ilest facilede reconna^(cid:16)tre si un tel syst(cid:18)eme admet
des solutions6 :
{ les lignes nulles de la matrice compl(cid:18)ete correspondent (cid:18)a des (cid:19)equations
0x +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+0x =0;
1 n
on peut donc les n(cid:19)egliger et ne s’int(cid:19)eresser qu’aux lignes non nulles. Soit r le nombre de ces
lignes;
4Cellesquisontsitu(cid:19)eesen dessous d’unpivotsontnullespard(cid:19)e(cid:12)nitiond’unematrice(cid:18)alignes(cid:19)echelonn(cid:19)ees.
5Ilesttoutefoisconseill(cid:19)edechercherl’inspirationdanslex6.
6Enpratique,iln’estd’ailleurspasn(cid:19)ecessairedepoursuivrelesop(cid:19)erations(cid:19)el(cid:19)ementairesau-dela(cid:18)dumomentou(cid:18) la
matricedusyst(cid:18)emeest(cid:18)alignes(cid:19)echelonn(cid:19)ees.
1.SYSTE(cid:18)MES D’E(cid:19)QUATIONS ALGE(cid:19)BRIQUES LINE(cid:19)AIRES 6
{ siledernierpivot(c’est-a(cid:18)-dire ler-(cid:18)eme) estdansladerni(cid:18)ere colonne(c’est-a(cid:18)-dire lan+1-(cid:18)eme),
qui est la colonne des termes ind(cid:19)ependants, alors la derni(cid:18)ere (cid:19)equation non triviale est
0x +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+0x =1;
1 n
le syst(cid:18)eme n’admet donc pas de solution;
{ si le dernier pivot n’est pas dans la derni(cid:18)ere colonne : soient j ;:::;j les indices des colonnes
1 r
de pivots, de sorte que 16j <j <(cid:1)(cid:1)(cid:1)<j 6n et que la matrice compl(cid:18)ete soit du type
1 2 r
j j j (cid:1)(cid:1)(cid:1) j
1 2 3 r
# # # #
0 1
0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 1 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) 0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) 0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) 0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3)
BB 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 0 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 1 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) 0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) 0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) CC
BB 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 0 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 0 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 1 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) 0 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3) CC:
@ (cid:1)(cid:1)(cid:1) A
0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 0 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 0 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 0 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 1 (cid:3) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:3)
En faisant passer dans les membres de droite des (cid:19)equations correspondantes les variablesd’in-
dice 6=j ;:::;j , on met le syst(cid:18)eme sous la forme
1 r 8 P
>>>< xxj1 == −−Pj6=j1;:::;jraa010jxxj ++bb010
j2 j6=j1;:::;jr 2j j 2
>>>: ... P
x = − a0 x +b0:
jr j6=j1;:::;jr rj j r
C’est un syst(cid:18)eme qui donne les valeurs des variables x ;:::;x en fonction des autres. Les
j1 jr
solutions s’obtiennent en donnant aux variablesd’indice6=j ;:::;j des valeurs arbitraires et
1 r
aux variables x ;:::;x les valeurs donn(cid:19)ees par le syst(cid:18)eme ci-dessus.
j1 jr
En particulier, si r=n, la matrice compl(cid:18)ete sous forme r(cid:19)eduite de Gauss{Jordan est de la forme
0 1
1 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 b0
1
BB 0 1 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 0 b02 CC
B@ .. .. .. .. .. CA
. . . . .
0 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 1 b0
r
et la solution est unique : 8
>< x1 = b01
.
.
>: .
x = b0:
r r
Syst(cid:18)emeshomog(cid:18)enes. Unsyst(cid:18)emed’(cid:19)equationsalg(cid:19)ebriqueslin(cid:19)eairesestdithomog(cid:18)ene silesseconds
membres b ;:::;b sont tous nuls. Un tel syst(cid:18)eme est donc de la forme
1 m 8
>< a11x1+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a1nxn = 0
.
.
> .
:
a x +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a x = 0:
m1 1 mn n
Il admet toujours la solution triviale x = (cid:1)(cid:1)(cid:1) = x = 0. Pour d(cid:19)eterminer s’il en existe d’autres, on
1 n
proc(cid:18)ede comme pour les autres syst(cid:18)emes d’(cid:19)equations alg(cid:19)ebriques lin(cid:19)eaires. La derni(cid:18)ere colonne de la
matrice compl(cid:18)ete est nulle, et elle reste nulle lorsque l’on e(cid:11)ectue des op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires sur les
lignes. Le syst(cid:18)eme r(cid:19)eduit est donc de la forme
8 P
>>>< xxj1 == −−Pj6=j1;:::;jraa010jxxj
j2 j6=j1;:::;jr 2j j
>>>: ... P
x = − a0 x
jr j6=j1;:::;jr rj j
ou(cid:18) r est lenombre de pivots(ou,ce quirevient aum^eme, lenombre de lignesnonnullesde lamatrice
sous forme r(cid:19)eduite de Gauss{Jordan). Si r = n, la solution est unique (et est triviale). Si r < n, il
1.SYSTE(cid:18)MES D’E(cid:19)QUATIONS ALGE(cid:19)BRIQUES LINE(cid:19)AIRES 7
y a des solutions non triviales, qui s’obtiennent en donnant aux variables d’indice 6= j ;:::;j des
1 r
valeurs arbitraires (non toutes nulles) et aux variablesx ;:::;x les valeurs donn(cid:19)ees par le syst(cid:18)eme
j1 jr
ci-dessus.
Lasuiteducoursapourobjectifdemettreaupointetded(cid:19)evelopperlecadreth(cid:19)eoriquedanslequel
s’ins(cid:18)erent naturellement les r(cid:19)esultats pr(cid:19)ec(cid:19)edents. En particulier, onverra que lenombrer d’(cid:19)equations
non nulles du syst(cid:18)eme r(cid:19)eduit ne d(cid:19)epend pas de la mani(cid:18)ere dont la r(cid:19)eduction a (cid:19)et(cid:19)e e(cid:11)ectu(cid:19)ee et qu’il
admet une interpr(cid:19)etation g(cid:19)eom(cid:19)etrique susceptible de s’appliquer (cid:18)a des situations tr(cid:18)es diverses.
Exercices
On trouvera un choix d’exercices a(cid:18) la (cid:12)n de chaque section. Certains de ces exercices sont not(cid:19)es
\pr(cid:19)erequis". Cela signi(cid:12)e qu’ils sont d’un niveau tr(cid:18)es (cid:19)el(cid:19)ementaire; ne pas ^etre capable de les r(cid:19)esoudre
doit ^etre consid(cid:19)er(cid:19)e comme une \sonnette d’alarme". A(cid:18) l’oppos(cid:19)e, d’autres exercices sont not(cid:19)es \pour
aller plus loin". Ceux-la(cid:18) sont plus int(cid:19)eressants car moins routiniers. Mais ils peuvent poser di(cid:14)cult(cid:19)e
car ils mettent en jeu des objets plus abstraits,et/ou que leur r(cid:19)esolution est plus astucieuse. Il ne faut
pas s’inqui(cid:19)eter si l’on est incapable de les r(cid:19)esoudre.
(1.1) Trouvez les solutions r(cid:19)eelles du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations suivant :
x −2x −3x +4x = 1
1 2 3 4
x +2x +2x = 6
1 2 3
x +x = 3
1 2
x = 2:
1
(1.2) Trouvez les solutions complexes du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations suivant :
x+iy+(1+i)z−t = 1
x+y = 0
(1+i)x+(i−1)z−it = 1:
(1.3) Trouvez les solutions r(cid:19)eelles du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations suivant :
x−y+2z = 1
2x+y−z = 0
3x+z = 1
5x+y = 1:
(1.4) Trouvez les solutions r(cid:19)eelles du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations suivant :
x+2y−3z = 0
−x+y+z = 0
4x−2y+z = 0:
(1.5) Trouvez les solutions r(cid:19)eelles du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations suivant :
3x +2x +x −x −x = 0
1 2 3 4 5
x −x −x −x +2x = 0
1 2 3 4 5
−x +2x +3x +x −x = 0:
1 2 3 4 5
(1.6) Quel est l’ensemble des polyno^mes P tels que (X2+X+1)(cid:1)P =2X4+3X3+6X2+4X+3?
(1.7) Notons N le nombre de solutions d’un syst(cid:18)eme de n(cid:19)equations lin(cid:19)eaires (cid:18)a m inconnues. On sait
que N 2f0;1;1g.Quelles sont les valeurs possibles de N
{ si n<m?
{ si n=m?
{ si n>m?
Dans les trois cas, donner un exemple de syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations ayant N solutions pour chaque valeur
possible de N, et si certaines valeurs de N sont impossibles, justi(cid:12)ez-le.
2.MATRICES 8
(1.8)Discutez,enfonctiondelavaleurdur(cid:19)eelk,lenombredesolutionsr(cid:19)eellesdusyst(cid:18)emed’(cid:19)equations
suivant :
x+2y−z = 4
2x+5y+z = k
x+3y+(k2+1)z = 5k:
M^eme question pour le nombre de solutions complexes, k pouvant prendre des valeurs complexes.
(1.9) G(cid:19)erard Mambont s’est entra^(cid:16)n(cid:19)e (cid:18)a e(cid:11)ectuer plusieurs op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires simultan(cid:19)ement
pour r(cid:19)esoudre plus vite les syst(cid:18)emes d’(cid:19)equations. Il transforme le syst(cid:18)eme
(cid:26)
x +2x −x +x = 1
I 1 2 3 4
x −x +x +x = 0
1 2 3 4
en rempla(cid:24)cant la premi(cid:18)ere ligne L par L −L et la ligne L par L −L . Il obtient le syst(cid:18)eme
1 1 2 2 2 1
(cid:26)
3x −2x = 1
II 2 3
−3x +2x = −1;
2 3
dont les solutions sont tous les quadruplets (x ;1(1+2x );x ;x ) ou(cid:18) x , x , x sont arbitraires. Sa
1 3 3 3 4 1 3 4
copine Jenny Croix-Guerre lui fait remarquer que (1;1;1;0) est solution du syst(cid:18)eme II mais non de
I. Ou(cid:18) est l’erreur?
(1.10)(pouraller plus loin) Soitunsyst(cid:18)eme d’(cid:19)equationslin(cid:19)eaires(cid:18)acoe(cid:14)cients r(cid:19)eels.Prouvez que
si ce syst(cid:18)eme n’a pas de solutions r(cid:19)eelles, alors il n’a pas non plus de solutions complexes.
2. Matrices
Les op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires dont il a (cid:19)et(cid:19)e question dans la premi(cid:18)ere section admettent une in-
terpr(cid:19)etation tr(cid:18)es simple en termes de multiplication matricielle. Pour la donner, on commence par
rappeler les d(cid:19)e(cid:12)nitions fondamentales.
SoitK uncorpscommutatifarbitraire.OnnoteKm(cid:2)n l’ensembledesmatricesm(cid:2)n(oudegenre
(m;n)) sur K, c’est-(cid:18)a-dire l’ensemble des tableaux rectangulaires a(cid:18) m lignes et n colonnes dont les
entr(cid:19)ees sont des (cid:19)el(cid:19)ements de K. L’(cid:19)egalit(cid:19)e de deux matrices A=(a ) et B =(b ) dans
ij ij
16i6m 16i6m
16j6n 16j6n
Km(cid:2)n revient (cid:18)a l’(cid:19)egalit(cid:19)ede chacune de leurs entr(cid:19)ees :
A=B si et seulement si a =b pour tout i=1;:::;m et tout j =1;:::;n.
ij ij
Lesmatricesquin’ontqu’uneseule ligne(resp.colonne)sontappel(cid:19)ees matrices-lignes (resp.matrices-
colonnes).Lesmatricesdontlenombredelignesest(cid:19)egalaunombredecolonnessontappel(cid:19)eesmatrices
carr(cid:19)ees.L’ordre d’unematricecarr(cid:19)ee estlenombredeses lignesoudeses colonnes.Ladiagonale prin-
cipale d’une matrice carr(cid:19)ee est form(cid:19)ee des entr(cid:19)ees dont les indices sont (cid:19)egaux. Une matrice diagonale
est une matrice carr(cid:19)ee dont toutes les entr(cid:19)ees hors de la diagonaleprincipale sont nulles.
Matrices particuli(cid:18)eres :
{ 0 est la matrice nulle de genre (m;n), dont toutes les entr(cid:19)ees sont nulles.
m;n
{ I est la matrice unit(cid:19)e d’ordre n, d(cid:19)e(cid:12)nie par
n
In =((cid:14)ij)16i;j6n
ou(cid:18)
(cid:26)
0 si i6=j
(cid:14) =
ij 1 si i=j:
La fonction (cid:14) ainsi d(cid:19)e(cid:12)nie est appel(cid:19)ee symbole de Kronecker.
ij
2.MATRICES 9
2.1. Op(cid:19)erations matricielles
{ La somme de deux matrices m(cid:2)n est d(cid:19)e(cid:12)nie par
(a ) +(b ) =(a +b ) :
ij i;j ij i;j ij ij i;j
{ Le produit d’une matrice m(cid:2)n par un (cid:19)el(cid:19)ement de K est d(cid:19)e(cid:12)ni par
(cid:11)(a ) =((cid:11)a ) :
ij i;j ij i;j
{ Le produit d’une matrice m(cid:2)n et d’une matrice n(cid:2)p est une matrice m(cid:2)p d(cid:19)e(cid:12)nie par
(a ) (cid:1)(b ) =(c )
ij ij ij
16i6m 16i6n 16i6m
16j6n 16j6p 16j6p
ou(cid:18)
Xn
c = a b pour i=1;:::;m et j =1;:::;p.
ij ik kj
k=1
Les propri(cid:19)et(cid:19)es suivantes s’(cid:19)etablissent par des v(cid:19)eri(cid:12)cations directes :
1. Propri(cid:19)et(cid:19)es de l’addition: pour A;B;C 2Km(cid:2)n,
(A+B)+C =A+(B+C)
A+B =B+A
A+0 =A=0 +A
m;n m;n
A+(−1)A=0 =(−1)A+A
m;n
2. Propri(cid:19)et(cid:19)es de la multiplicationpar un (cid:19)el(cid:19)ement de K : pour A;B2Km(cid:2)n et (cid:11);(cid:12)2K,
(cid:11)(A+B)=(cid:11)A+(cid:11)B
((cid:11)+(cid:12))A=(cid:11)A+(cid:12)A
((cid:11)(cid:12))A=(cid:11)((cid:12)A)
1A=A
3. Propri(cid:19)et(cid:19)es de la multiplicationmatricielle : pour A2Km(cid:2)n, B 2Kn(cid:2)p et C 2Kp(cid:2)q,
(AB)C =A(BC)
AI =A=I A
n m
4. Propri(cid:19)et(cid:19)es mixtes : pour A;A0 2Km(cid:2)n, B;B0 2Kn(cid:2)p et (cid:11)2K,
0 0
(A+A)B =AB+AB
0 0
A(B+B )=AB+AB
((cid:11)A)B =(cid:11)(AB)=A((cid:11)B):
En revanche, le produit des matrices n’est pas commutatif : en g(cid:19)en(cid:19)eral, AB 6= BA (d’ailleurs, si
A 2 Km(cid:2)n et B 2 Kn(cid:2)p, le produit BA n’est d(cid:19)e(cid:12)ni que si p = m). Cependant, d’apr(cid:18)es la derni(cid:18)ere
des propri(cid:19)et(cid:19)es (cid:19)enonc(cid:19)ees ci-dessus, les matrices de laforme(cid:11)I pour (cid:11)2K, que l’onappellematrices
n
scalaires,commutent avec toutes les matrices carr(cid:19)ees d’ordre n : pour A2Kn(cid:2)n et (cid:11)2K,
((cid:11)I )A=(cid:11)A=A((cid:11)I ):
n n
Il faut remarquer de plus que les matrices n’admettent pas toutes un inverse pour la multiplication
(voir la section 2.4 ci-dessous) et qu’un produit matriciel peut ^etre nul sans qu’aucun des facteurs ne
soit nul; par exemple,
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
0 1 0 1 0 0
(cid:1) = :
0 0 0 0 0 0
