Algèbre linéaire et bilinéaire

169 Pages·2015·3.54 MB·French

Algèbre linéaire et bilinéaire
(version du 13 novembre 2015)
Bernard Le Stum
Copyright(cid:13)c 2015BernardLeStum
Table des matières
I Première partie
1 Structures algébriques ......................................... 9
1.1 Ensemble 9
1.2 Monoïde, groupe 14
1.3 Anneau, corps 17
1.4 Module, espace vectoriel 19
1.5 Algèbre 21
1.6 Opérations élémentaires 22
1.7 Exercices 24
2 Algèbre linéaire .............................................. 27
2.1 Espace vectoriel 27
2.2 Image, noyau 28
2.3 Produit 29
2.4 Dual (début) 33
2.5 Orthogonal 35
2.6 Quotient 37
2.7 Exercices 42
3 Somme directe, base ......................................... 45
3.1 Somme directe (externe) 45
3.2 Somme directe interne 49
3.3 Base 51
3.4 Théorème d’existence 54
3.5 Dual (suite) 55
3.6 Exercices 58
II Seconde partie
4 Dimension ................................................... 63
4.1 Dimension 63
4.2 Rang 66
4.3 Changement de base 69
4.4 Dual (fin) 72
4.5 Exercices 76
5 Trace et déterminant ......................................... 79
5.1 Application multilinéaire 79
5.2 Produit tensoriel 83
5.3 Trace 86
5.4 Puissance extérieure 88
5.5 Déterminant 92
5.6 Exercices 96
6 Classification des endomorphismes ........................... 99
6.1 Polynôme annulateur 99
6.2 Diagonalisation 102
6.3 Endomorphisme nilpotent 104
6.4 Trigonalisation 106
6.5 Exercices 109
III Troisième partie
7 Forme quadratique .......................................... 115
7.1 Forme bilinéaire 115
7.2 Forme bilinéaire non dégénérée 117
7.3 Orthogonal 118
7.4 Forme quadratique 120
7.5 Décomposition d’une forme quadratique 122
7.6 Formes quadratiques complexes et réelles 124
7.7 Exercices 127
5
8 Espace vectoriel normé ...................................... 129
8.1 Topologie 129
8.2 Valeur absolue 131
8.3 Norme 132
8.4 Espace de Banach 135
8.5 Algèbre de Banach 136
8.6 Exponentielle 138
8.7 Fonction vectorielle 141
8.8 Exercices 143
9 Espace vectoriel euclidien ................................... 145
9.1 Produit scalaire 145
9.2 Espace euclidien 146
9.3 Réduction des matrices symétriques 150
9.4 Espace préhilbertien 153
9.5 Exercices 154
IV Compléments
Solutions des exercices 159
Références
Références 169

I
Première partie
1 Structures algébriques ................ 9
1.1 Ensemble
1.2 Monoïde,groupe
1.3 Anneau,corps
1.4 Module,espacevectoriel
1.5 Algèbre
1.6 Opérationsélémentaires
1.7 Exercices
2 Algèbre linéaire ..................... 27
2.1 Espacevectoriel
2.2 Image,noyau
2.3 Produit
2.4 Dual(début)
2.5 Orthogonal
2.6 Quotient
2.7 Exercices
3 Somme directe, base ................ 45
3.1 Sommedirecte(externe)
3.2 Sommedirecteinterne
3.3 Base
3.4 Théorèmed’existence
3.5 Dual(suite)
3.6 Exercices

1. Structures algébriques
1.1 Ensemble
Nousnefaisonsqu’effleurerlaThéoriedesEnsemblesetnousrenvoyonslelecteurintéressé
versl’ouvrageéponymedeJean-LouisKrivine([4])parexemple.Ici,nousvoulonssurtoutrappeler
levocabulaireetfixerlesnotations.
Ensemble, élément
Définition1.1.1 Unensembleestune«collection»X d’objetsx,appeléslesélémentsdeX,qui
satisfonttousunemêmepropriétéP.C’estunnouvelobjet.
OnditalorsquexappartientàX,etonécritx∈X,ouquexsatisfaitlapropriétéP,etonécrit
P(x).
Exemple On définit par récurrence l’entier naturel n := {0,1,...,n−1} (c’est donc aussi un
ensemble)etl’ensembledesentiersnaturelsN:={0,1,2,...}(c’estdoncaussiunobjet).
Lathéoriedesensemblespermetdeconcrétiserlalogique(mathématique):
Mathématiques ←→ Logique
Objet ←→ Concept
Ensemble ←→ Propriété
{x/P(x)} ←→ x∈X
Égalité ←→ Équivalence
Inclusion ←→ Implication
Complémentaire ←→ Négation
Intersection ←→ Conjonction
Union ←→ Disjonction
Vide ←→ Impossible
Disjoint ←→ Incompatible
10 Chapitre 1. Structures algébriques
OndécritunensembleX endonnantunelistedesseséléments(enextension)ouendonnant
unepropriétéquilecaractérise(encompréhension).
Exemple 1. {1,−1}(extension) ={x∈Z/x2=1}(comprehension).
2. Ladiagonaleduplan:
∆:={(t,t), t ∈R}(extension) ={(x,y)∈R2 /y=x}(comprehension).
Produit, famille
Définition1.1.2 SoitSunensemble.Pourchaques∈S,soitX unensemble.Sionsedonne
s
pourtouts∈S,unélémentx ∈X ,onditque(x ) estunefamilleindexéeparS.Leproduit
s s s s∈S
desensemblesX estl’ensemble
s
∏X :={(x ) , x ∈X }
s s s∈S s s
s∈S
detoutescesfamilles.
Souvent,touslesX sontégauxaumêmeensembleX etonécritalors
s
XS:={(x ) , x ∈X}.
s s∈S s
Onparlealorsdepuissance(aulieudeproduit)etonditque(x ) estunefamilled’élémentsde
s s∈S
X.Aulieudefamille,onditn-uple(singleton,couple,triplet)siS=n,suitesiS=Netmatricesi
S=m×n.
Exemple 1. Commeoncomptetraditionnellementàpartirde1,onferasouventl’abusd’écri-
turen={1,...,n}.Parexemple,pourlesn-uples,onécriraplutôt(x ,...,x ).
1 n
2. Demême,unematriceestunefamilleindexéeparn×m:c’estdonc(ennumérotantàpartir
de1)unobjetdelaforme
 
x ··· x
1,1 1,m
 ... ... ... .
x ··· x
n,1 n,m
LeurensemblesenoteaussiM (X)(ouM (X)lorsquem=n).
n×m n
Remarque Nepasconfondreensembleetfamille.Ona
{a,a}={a} et {a,b}={b,a}
mais les égalités analogues sont fausses pour les familles (l’ordre compte et on peut répéter).
Cependant, on peut jongler entre ces deux notions : si on se donne un ensemble X, il suffit de
prendreS:=X etdeconsidérerlafamille(x) ;etréciproquement,sionsedonneunefamille
x∈Y
d’éléments(x ) d’unensembleX,onpeutregarderl’ensemble{x ,s∈S}⊂X.
s s∈S s
C’estplusanecdotiquemaisonpeutaussidéfinirlal’uniondisjointe(appeléeaussisommeou
coproduit):
(cid:116) X ={(s,x ), s∈S,x ∈X }.
s∈S s s s s
Application