Algèbre linéaire 1 : Résumé de cours

55 Pages·2017·0.32 MB·French

UniversitédeBordeaux
LicencedeSciences,Technologies,Santé
Mathématiques,Informatique,SciencesdelaMatièreetIngénierie
Algèbre linéaire 1 :
Résumé de cours
Versionprovisoiredu25avril2017
Ces notes sont un complément du cours, auquel elles ne se substituent pas : on y trouve les
résultats principaux, mais les démonstrations sont le plus souvent simplement esquissées,
voireabsentes.

Table des matières
1 Systèmeslinéaires-MéthodedupivotdeGauss 5
1 Systèmelinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Systèmeéchelonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Réductionàunsystèmeéchelonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 L’espacevectorielKn 11
1 Définitions-CalculvectorieldansKn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Sous-espacesvectorielsdeKn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Théoriegénéraledesespacesvectoriels 15
1 Définitionaxiomatiqued’unespacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Sous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 familleslibresetgénératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1 Familleslibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Famillesgénératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Théoriedeladimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Compléments(dimensioninfinie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7 Annexe:uneautredémonstrationdelaproposition8 . . . . . . . . . . 22
4 Matrices 25
1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Rangd’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Opérationssurlesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Somme-Produitparunscalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Produitdematrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Rangd’unematrice(bis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Noyauetimaged’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Matricesinversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Calculdel’inversed’unematriceparlaméthodedeGauss-Jordan 32
3
5 Applicationslinéaires 35
1 Applicationslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Matriced’uneapplicationlinéairedansuncoupledebases . . . . . . . 38
2.1 Définitionetpremièrespropriétes . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Changementdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Compléments 43
1 FormuledeGrassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Sommedirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7 Entiersetarithmétique 47
1 Ladivisioneuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Entiersrelatifsetarithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 PGCD,PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Algorithmed’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Algorithmed’Euclideétendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Décompositionenproduitdefacteurspremiers . . . . . . . . . . . . . . 54
4
Chapitre 1
Systèmes linéaires - Méthode du pivot
de Gauss
1 Système linéaire
Définition1
Unsystèmelinéaireànéquationset pinconnuesestunsystèmed’équationsdelaforme:

a x + a x + ··· + a x = b
 11 1 12 2 1p p 1

a x + a x + ··· + a x = b
21 1 22 2 2p p 2
. . . . (S)
. . . .
 . . . .


a x + a x + ··· + a x = b
n1 1 n2 2 np p n
où les coefficients a et b sont fixés (dans K = R ou C) et les quantités x , x , ..., x
ij j 1 2 p
sontlesinconnuesdusystème.
La matrice du système est obtenue en rangeant les coefficients des équations dans un
tableau,commeci-dessous:
 
a a ··· a
11 12 1p
a a ··· a 
 21 22 2p
 .. .. .. 
 . . . 
a a ··· a
n1 n2 np
(cid:0) (cid:1) K
Résoudre (S) signifie trouver tous les p-uplets x ,x ,...,x d’éléments de qui
1 2 p
vérifientsimultanémenttoutesleséquationsdusystème(S).
2 Système échelonné
LaméthodedupivotdeGaussconsisteàremplacerlesystèmeinitialparunsystème
équivalent "plus simple" que l’on sait résoudre facilement. Par "système équivalent"
5
onentend"systèmeayantlemêmeensembledesolutions".
Commelemontrentlesexemplessuivants,unsystèmeest"facile"àrésoudredèslors
qu’ilestéchelonné(voirdéfinitionplusloin).
• Premierexemple(simpliste...):

x = 2

−7y = 5 (S1)
 2z = 4
Dans ce cas, le système est immédiatement résolu, et admet pour unique so-
lution le triplet (2,−5/7,2). C’est le cas particulier, très simple, d’un système
diagonal.
• Deuxièmeexemple(àpeinepluscompliqué...):

x + y + z = 2

−7y − z = 5 (S2)
 2z = 4
À nouveau, en parcourant le système de bas en haut, on trouve d’abord la va-
leur de z avec la troisième équation, que l’on reporte dans la seconde équation
pour trouver y, et on trouve enfin x avec la première équation (on trouve le
triplet (1,−1,2))). À nouveau, c’est la forme très particulière du système (tri-
angulaire) qui a permis la résolution. Ce second exemple est très proche de la
situation générale : on va voir qu’on peut toujours transformer un système li-
néaireenunsystèmeéquivalentéchelonné,c’est-à-dire"presque"triangulaire.
Définition2
On dit qu’un système linéaire est échelonné si sa matrice est échelonnée selon les
lignes, c’est-à-dire si chaque ligne non nulle commence par un nombre de zéros stricte-
mentsupérieuraunombredezérosdébutantlaligneprécédente:
 
⊕ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 ⊕ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
 
0 0 0 ⊕ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
 
0 0 0 0 0 0 ⊕ ∗ ∗
 
0 0 0 0 0 0 0 0 ⊕
 
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Exemples:Lesystèmesuivantestéchelonné

x + y − z + t + 3u = 1


 z + 3t = 0
t + 2u = 4


 u = 6
6
maispascelui-ci

x + y − z + t + 3u = 1


 z + 3t = 0
2y + 3z + t − u = 2


 u = 6
...nicelui-là

x + y − z + t + 3u = 1


 z + 3t = 0
.
2z + t + 2u = 4


 u = 6
3 Réduction à un système échelonné
On décrit ci-dessous une liste de "manipulations licites" sur un système d’équations
linéaires, au sens où elles transforment le système en un système équivalent, c’est-
à-dire ne modifient pas l’ensemble des solutions. Les équations du systèmes sont
notéesL ,L ,...,L .
1 2 n

a x + a x + ··· + a x = b (L )
 11 1 12 2 1p p 1 1

a x + a x + ··· + a x = b (L )
21 1 22 2 2p p 2 2
. . . .
. . . .
 . . . .


a x + a x + ··· + a x = b (L )
n1 1 n2 2 np p n n
Opérationslicites:
1 Permuterleséquations:L ←→ L .
i j
2 Changerl’ordredesvariables.
3 Multiplieruneéquationparuneconstante α nonnulle:L → αL .
i i
4 AjouteruneéquationàuneautreL → L +L .
i i j
Onpeutégalementcombinerlesopérations 3 et 4 ,c’est-à-dire
5 ajouteràuneéquationunecombinaisonlinéairedesautres:L → L +∑ α L .
i i j(cid:54)=i j j
oumême
6 remplacer l’équation L par une combinaison linéaire des autres équations, y
i
comprisL ,àconditionquelecoefficient α deL soitnonnul:
i i i
∑
L → α L + α L avec α (cid:54)= 0.
i i i j j i
j(cid:54)=i
.
7
Ces opérations sont "licites" car elles ne modifient pas l’ensemble des solutions du
système. C’est clair pour les opérations 1 , 2 et 3 . Pour 4 , il suffit d’observer
(cid:0) (cid:1)
que si un p-uplet x ,x ,··· ,x est solution de deux équations L et L alors il est
1 2 p i j
solutiondeleursommeetdeleurdifférence.Ainsi
(cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:26)
L L L L
i ⇒ i et i ⇒ i
L L +L L +L L +L −L = L
j i j i j i j i j
autrementdit
(cid:26) (cid:26)
L L
i ⇔ i
L L +L
j i j
On peut montrer que tout système d’équations linéaires peut-être transformé en un
systèmeéchelonnééquivalentparunesuccessiond’opérationsdel’undestypespré-
cédents (en fait, les opérations 1 , 3 et 4 suffisent). On va mettre en œuvre cette
méthode sur trois exemples qui illustrent les trois cas de figures qui se présentent
lorsquel’onchercheàrésoudreunsystème.
Exemple 1
 
x + 2y − z = 1 x + 2y − z = 1
 
2x + y − z = 5 ⇔ −3y + z = 3 L ← L −2L
2 2 1
 x − z = 5  −2y = 4 L ← L −L
3 3 1

x + 2y − z = 1

⇔ z − 3y = 3 y ↔ z .
 −2y = 4
Lesystèmeestéchelonné,etonpeutlerésoudrefacilementen"remontant"depuisla
troisièmeéquation:ontrouve z = −3, y = −2et x = 1.
Exemple 2
 
2x + y − 2z + 3w = 1 2x + y − 2z + 3w = 1
 
3x + 2y − z + 2w = 4 ⇔ y + 4z − 5w = 5 L ← 2L −3L
2 2 1
3x + 3y + 3z − 3w = 5  3y + 12z − 15w = 7 L ← 2L −3L
3 3 1

2x + y − 2z + 3w = 1

⇔ y + 4z − 5w = 5 .
 0 = −8 L ← L −3L
3 3 2
Lesystèmeestechelonné,maisiln’aaucunesolution,àcausedeladernièreéquation.
8
Exemple 3
 
x + 2y − 2z = 2 x + 2y − 2z = 2
 
2x + 4y − 3z = 5 ⇔ z = 1 L ← L −2L
2 2 1
5x + 10y − 8z = 12  2z = 2 L ← L −5L
3 3 1

x + 2y − 2z = 2

⇔ z = 1
 0 = 0 L ← L −2L
3 3 2
(cid:26)
x + 2y − 2z = 2
⇔
z = 1
Lesystèmeestéchelonnéetpossèdeuneinfinitédesolutions,àsavoirtouslestriplets
de la forme (4 − 2y,y,1), où y parcourt K (rappelons que K = R ou C, selon le
contexte).
Les trois exemples précédents sont emblématiques de la situation générale, à savoir
R C
qu’un système linéaire à coefficients dans (ou ) possède soit 0, soit 1, soit une
infinité de solutions réelles (ou complexes) : il n’y a pas de situation "intermédiaire"
(pas de système possédant exactement 3 solutions réelles par exemple). Ceci sera
justifiédansunchapitreultérieur.
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