Algèbre et Géométrie

62 Pages·2012·1.04 MB·French

by  Jacques Sauloy, Vadim Schechtman

Chapitre 1
Généralités
Touslesanneauxsontsupposéscommutatifs,unitairesetnontriviaux.
Compléments au cours de L3 sur les anneaux de fractions
Soient A un anneau commutatif non trivial et S une partie multiplicative de A, c’est-à-dire
contenant1etstablepourlamultiplication.DanslecoursdeL3,l’anneaudefractionsS−1Aaété
définidanslecasoùAestintègre,commesous-anneauducorpsdesfractionsdeA.Cependant,en
adaptantlaconstructionducorpsdesfractions,ilestpossiblededéfinirdesanneauxdefractions
en toute généralité. Nous le ferons en laissant les démonstrations en exercice; voir là-dessus les
ouvragescitésenbibliographiedecechapitre.
Surl’ensembleproduitA×S,ondéfinitunerelation∼etdeuxloisdecompositioninterne+
et.commesuit:
(a,s)∼(a′,s′)⇐⇒∃t ∈S : t(as′−a′s)=0,
(a,s)+(b,t):=(at+bs,st),
(a,s).(b,t):=(ab,st).
Larelation∼estalorsunerelationd’équivalencecompatibleavecleslois+et.etlesloisinduites
sur l’ensemble quotient (A×S)/∼ font de ce dernier un anneau commutatif. On note S−1A cet
anneaueta/slaclassede(a,s)∈A×SdansS−1A.L’applicationφ:a7→a/1deAdansS−1Aest
unmorphismed’anneaux.
Remarque1.0.2 Sil’onavaitsimplementdéfini(a,s)∼(a′,s′)para′s=as′,onnepourraitpas
prouverlatransitivitépourunanneauAarbitraire(nonsupposéintègre)?
Exercice1.0.3 Àquelleconditionl’anneauS−1Aest-iltrivial?Quelestlenoyaudumorphisme
φ?Endéduireuneconditionpourqueφsoitinjectif.
Lemorphismeφpossèdelapropriétéuniversellesuivante:pourtoutanneaucommutatifBet
toutmorphismed’anneaux f :A→Btelque f(S)⊂B∗,ilexisteununiquemorphismed’anneaux
g:S−1A→Btelque f =g◦φ.
3
SoientmaintenantS ,S deuxpartiesmultiplicativesdeAtellesqueS ⊂S etsoientφ :A→
1 2 1 2 i
S−1A(i=1,2)lesmorphismesassociés.Ildécouledelapropriétéuniverselleci-dessusqu’ilexiste
i
ununiquemorphismed’anneauxψ:S−1A→S−1Atelqueφ =ψ◦φ .(LorsqueAestintègreet
1 2 2 1
S =A\{0},onreconnaîtlaréalisationdeS−1Acommesous-anneauducorpsdesfractions,voir
2 1
lecoursdeL3).
Exercice1.0.4 OnnoteS(saturé deS)l’ensembledesdiviseursdesélémentsdeS.Montrerque
c’estunepartiemultiplicativecontenantSetquelemorphismeS−1A→S−1Adéduitdelapropriété
ci-dessusestunisomorphisme.
Soit I un idéal de A. On vérifie que S−1I s’identifie naturellement à un idéal de S−1A, et que
cedernierestengendréparφ(I).SoitJ unidéaldeS−1AetsoitI:=φ−1(J)(quiestdoncunidéal
deA).AlorsJ=S−1I.Enparticulier,siAestunanneau“noetherien”(i.e.telquetoutidéalestde
typefini),resp.principal,S−1Al’estégalement.
Exercice1.0.5 Montrer que les applications P7→S−1P et Q7→φ−1(Q) sont des bijections ré-
ciproques l’une de l’autre entre l’ensemble des idéaux premiers de A ne rencontrant pas S et
l’ensembledesidéauxpremiersdeS−1A.
1.1 Modules, sous-modules
Définition1.1.1 Soit A un anneau. Un module (à gauche) sur A, ou A-module (à gauche) est un
groupeabélien(M,+)munienoutred’uneloidecompositionexterneA×M→M,(a,x)7→ax,
telleque,quelsquesoienta,b∈Aetx,y∈M :
(a+b)x=ax+bx,
a(x+y)=ax+ay,
1x=x,
a(bx)=(ab)x.
Remarque1.1.2 Endéveloppant(1+1)(x+y)dedeuxfaçons,onvoitquex+y=y+x;autrement
dit,lacommutativitédugroupe(M,+)estconséquencedesautresaxiomes.
Exercice1.1.3 Vérifierquelesquatreaxiomesci-dessuséquivalentàlaconditionsuivante:l’ap-
plicationa7→(x7→ax)estunmorphismed’anneauxdeAdansl’anneaudesendomorphismesdu
groupe(M,+).
Ondéduittrèsfacilementdespropriétéssimilairesàcellesdesespacesvectoriels.Cependant,
l’unedecespropriétésesticiendéfaut:
ax=0 6=⇒(a=0 oux=0 ).
M A M
Cherchezparmilesexemplesci-dessouslesquelsnelavérifientpas.
Exemples1.1.4 1. LorsqueAestuncorps,lesA-modulessontlesA-espacesvectoriels.
2. Tout groupe abélien est un Z-module d’une unique manière : si m∈N,on pose mx:=x+
···+x(sommedemtermes),sim∈−N,onposemx:=−|m|x.
4
3. ToutidéaldeAestdefaçonnaturelleunA-module.
4. Pour tout ensemble I, les groupes AI (ensemble des familles d’éléments de A indexées par
I) et A(I) (sous-ensemble de AI formé des familles à support fini, i.e. des (a) ∈AI tels
i i∈I
que presque tous les a sont nuls) sont des A-modules avec la définition évidente de la loi
i
externe:a(a) :=(aa) .
i i∈I i i∈I
5. De manière générale, si l’on a une famille de A-modules Mi, le groupe produit ∏Mi est
un A-module avec la définition évidente de la loi externe : a(x) := (ax) . Il en est
i i∈I i i∈I
de même du sous-groupe somme-directe LMi de ∏Mi (formé des (xi)i∈I ∈∏Mi tels que
presquetouslesx sontnuls).
i
6. SoitMunA-moduleetsoit f :A′→Aunmorphismed’anneaux.Enposanta′x:= f(a′)x,on
faitdeMunA′-module.Enparticulier,siA′estunsous-anneaudeA,larestrictionàA′×M
delaloiexterneA×M→M faitdeM unA′-module(restrictiondesscalaires).
Unexempleparticulièrementimportant. Cetexempleconstitue(avecl’exempleci-dessusdes
Z-modules)uneapplicationessentielledecechapitre.Pourbienlecomprendre,ilestsouhaitable
de réviser le cours d’algèbre linéaire de L2 sur la réduction des endomorphismes, en particulier
tout ce qui concerne les polynômes d’endomorphismes. Soient K un corps commutatif arbitraire
etA:=K[X].
– Soit M un A-module. Par restriction des scalaires K ⊂A, on en fait un K-espace vectoriel
que nous noteronsV (pour bien clarifier ce qui va suivre). L’application φ:x7→Xx deV
danslui-mêmeestunendomorphismeduK-espacevectorielV.
– Réciproquement,soientV unespacevectorielsurKetφunendomorphismedeV.Ondéfinit
une loi externe A×V →V en posant Px:=(P(φ))(x). On obtient ainsi un A-module que
nousnoteronsM (pourledistinguerdel’espacevectorielV).Lemoinstrivialàvérifierdes
quatreaxiomesestledernier;ildécouledelarèglebienconnue(P(φ))◦(Q(φ))=PQ(φ).
Remarque1.1.5 En un certain sens, un Z-module “est la même chose” qu’un groupe abélien et
un K[X]-module “est la même chose” qu’un K-espace vectoriel muni d’un endomorphisme. On
peutdoncprévoirquelathéoriedesmodulessurlesanneauxprincipaux(iciZetK[X])aurades
applicationsàl’étudedesgroupesabéliensetdesendomorphismes.
Définition1.1.6 Un sous-module d’un A-module M est un sous-groupe M′ de (M,+) qui est de
plusstablepourlaloiexterne:∀a∈A, ∀x∈M′, ax∈M′.
La loi externe de M induit donc une loi externe sur M′ qui en fait un A-module. Noter qu’il
suffit de vérifier que M′ est non vide et stable pour l’addition et pour la loi externe. Noter aussi
qu’un sous-module M′ est stable par combinaisons linéaires, autrement dit, pour toute famille
(xi)i∈Id’élémentsdeM′,touteslescombinaisonslinéaires ∑aixisontdesélémentsdeM′;comme
i∈I
toujoursenalgèbre,onsupposequepresquetouslescoefficientsa (i.e.toussaufunnombrefini)
i
sontnuls:(a) ∈A(I).
i i∈I
Exemples1.1.7 1. SiAestuncorps,unsous-moduleestunsous-espacevectoriel(etrécipro-
quement).
2. SiA=Z,unsous-moduleestunsous-groupe(etréciproquement).
3. Lessous-modulesduA-moduleAsontsesidéaux.
5
4. Six∈M,lesous-ensembleAx:={ax|a∈A}estunsous-moduledeM.Plusgénéralement,
si (xi)i∈I est une famille d’éléments de M, l’ensemble des combinaisons linéaires ∑aixi
i∈I
formeunsous-moduledeM,noté ∑Axi.
i∈I
5. A(I) estunsous-moduledeAI.
6. LMi estunsous-modulede∏Mi.
7. SileK[X]-moduleMcorrespondaucouple(V,φ)parlacorrespondancedécriteplushaut,les
sous-modules de M correspondent aux couples (V′,φ′), oùV′ est un sous-espace vectoriel
deV stableparφetoùφ′=φ .
|V
SoientM unA-moduleetx∈M.Onpose:
Ann (x):={a∈A|ax=0}.
A
C’est un idéal de A, appelé annulateur de x. On définit de même, pour tout sous-ensemble E de
M :
AnnA(E):={a∈A|∀x∈E , ax=0}= \AnnA(x).
x∈E
C’estencoreunidéaldeA,appeléannulateurdeE.
Un élément x∈M est dit de torsion si l’idéal Ann (x) n’est pas trivial, i.e. s’il existe a6=0
A
tel que ax=0. L’ensemble des éléments de torsion de M est noté Tor (M). Il est évidemment
A
stablepourlaloiexterne,etilcontient0;maisiln’estpasnécessairementstablepourl’addition.
Parexemple,lorsqueM=A,lesélémentsdetorsionsontlesdiviseursde0,etilsneformentpas
nécéssairementunidéal.
Exemple1.1.8 OnprendA=M=Z/6Z.Alors2et3sontdesdiviseursde0etdesélémentsde
torsion,maispasleursomme.
Proposition1.1.9 Si A est intègre, Tor (M) est un sous-module de M, appelé sous-module de
A
torsiondeM.
Preuve.-Siax=0etby=0aveca,b6=0,ona(ab)(x+y)=0avecab6=0.(cid:3)
Danslecasd’unespacevectoriel,lemoduledetorsionestévidemmenttrivial.
Modulequotient. Pourtoutsous-moduleM′duA-moduleM,larelationdecongruencemodulo
M′ estunerelationd’équivalencecompatibleavecl’addition,cequipermetdemunirl’ensemble
quotientd’uneloidecompositioninternetellequel’additiondesclassesvérifie:
∀x,y∈M, x+y=x+y.
Onobtientainsiungroupe,appelégroupequotientetnotéM/M′.Enfait,desimplications:
∀a∈A,∀x,y∈M,x≡y (mod M′)⇐⇒x−y∈M′=⇒ax−ay=a(x−y)∈M′⇐⇒ax≡ay (mod M′),
6
ondéduitquelarelationdecongruencemoduloM′estunerelationd’équivalencecompatibleavec
laloiexterne,cequipermetdemunirlegroupequotientM/M′ d’uneloidecompositioninterne
telleque:
∀a∈A, ∀x∈M, ax=ax.
Onvérifieimmédiatementquel’onobtientainsiunmodule,encorenotéM/M′ etappelémodule
quotientdeMparM′.DanslecasoùAestuncorps,resp.oùA=Z,onretrouvelanotiond’espace
vectoriel quotient, resp. de groupe quotient. Dans le cas où M =A et où M′ est un idéal I de A,
onobtientunestructuredeA-modulesurA/I (etnonsastructured’anneauquotient).Danslecas
où A=K[X] et où M,M′ correspondent respectivement à (V,φ) et à (V′,φ′), on obtient le K[X]-
modulecorrespondantà(V′′,φ′′),oùV′′=V/V′ (espacevectorielquotient)etoùφ′′ estinduitpar
φparpassageauquotient.
1.2 Morphismes
Définition1.2.1 SoientM etN deuxA-modules.Onditqu’unmorphismedegroupes f :M→N
estA-linéaire,ouquec’estunmorphismedeA-modulessi:
∀a∈A, ∀x∈M, f(ax)=af(x).
On dit que f est un isomorphisme s’il est bijectif, que c’est un endomorphisme si M =N et que
c’estunautomorphismesic’estunendomorphismebijectif.Demême, f estunmonomorphisme,
resp.unépimorphismes’ilestinjectif,resp.surjectif.
Le composé de deux morphismes est un morphisme et Id est un endomorphisme de M, ce
M
qui justifie1 la terminologie “morphisme”. De même, l’application réciproque d’un morphisme
bijectifestelle-mêmeunmorphisme,cequijustifielaterminologie“isomorphisme”.
Exemples1.2.2 1. Si A est un corps, les morphismes sont les applications linéaires au sens
desespacesvectoriels.
2. Si A=Z, tous les morphismes de groupes sont des Z-linéaires, donc des morphismes de
modules.
3. L’inclusioncanoniqued’unsous-moduleM′→Mestunmorphisme,ainsiquelaprojection
canoniqueM→M/M′.
4. Lesprojectionscanoniques∏Mi →Mi0 etlesinjectionscanoniquesMi0 →LMi sontdes
morphismes.(Cesontdescasparticuliersdel’exempleprécédent:levérifier!)
Exercice1.2.3 Si les K[X]-modules M et N correspondent respectivement aux couples (V,φ) et
(W,ψ),alorslesmorphismesdemodules f :M→N sontlesapplicationsK-linéaires f :V →W
tellesque f◦φ=ψ◦f.(Indication:cettedernièreégalitésignifieexactementque f(Xx)=Xf(x).)
1. Dans la présentation “catégorique” d’une théorie mathématique, il y a des objets et des morphismes et ces
derniersdoiventsatisfairedespropriétésformellesanaloguesàcellesquenousénonçons;danscecadre,unisomor-
phismesedéfinitcommeunmorphisme f :M→N inversible,i.e.telqu’ilexisteg:N→M telqueg◦f =IdM et
f◦g=IdN.
7
Proposition1.2.4 Soit f :M→N unmorphismedeA-modules.
(i) Pour tout sous-module M′ ⊂M, l’image f(M′) est un sous-module de N. En particulier, Imf
estunsous-moduledeN.
(ii) Pour tout sous-module N′ ⊂N, l’image réciproque f−1(M′) est un sous-module de M. En
particulier,Kerf estunsous-moduledeM.
Preuve.-C’estexactementlamêmequedanslecasdesespacesvectoriels.(cid:3)
Théorème1.2.5(Premierthéorèmed’isomorphisme) Soit f :M→NunmorphismedeA-modules.
L’applicationinduite f :M/Kerf →Imf estunisomorphisme.
Preuve.-Rappelonssimplementlaconstructionde f.Six,y∈M ontmêmeclassedansM/Kerf,
alorsx−y∈Kerf ⇒ f(x)= f(y).Ainsi, f(x)nedépendquedex:=x (mod Kerf)∈M/Kerf,
etl’onpeutposer:
f(x):= f(x).
Pourlereste,lapreuveestexactementlamêmequedanslecasdesespacesvectoriels.(cid:3)
Exemple1.2.6(Modulesmonogènes) On dit que le module M est monogène s’il existe x∈M
tel que M =Ax. Dans ce cas, l’application a7→ax est un épimorphisme de A sur M de noyau
Ann (x),etdoncA/Ann (x)≃M.
A A
Réciproquement, tout module A/I est monogène engendré par 1 . Les modules monogènes sont
A
donc,àisomorphismeprès,lesmodulesA/I.
Théorème1.2.7(Deuxièmethéorèmed’isomorphisme) Soient M′′ ⊂M′ des sous-modules du
A-module M. Alors M′/M′′ est un sous-module de M/M′′ et le quotient est canoniquement iso-
morpheàM/M′.
Preuve. - C’est la même que dans le cas des espaces vectoriels : l’application x (mod M′′)7→x
(mod M′) de M/M′′ dans M/M′ est bien définie, elle est linéaire surjective et son noyau est
M′/M′′;onpeutdoncappliquerlepremierthéorèmed’isomorphisme.(cid:3)
Remarque1.2.8 Ilestfaciledevérifierquetouslessous-modulesdeM/M′′s’obtiennentdecette
manière,etquel’onadoncunebijectionM′7→M′/M′′ del’ensembledessous-modulesdeMqui
contiennentM′′ surl’ensembledessous-modulesdeM/M′′.
Exercice1.2.9 Décriretouslessous-modulesd’unmodulemonogène.
Avant de formuler le troisième théorème d’isomorphisme, quelques constructions élémen-
taires. Il est clair que l’intersection M d’une famille de sous-modules M ⊂ M est un sous-
T i i
module de M. Par exemple l’intersection de tous les sous-modules de M contenant un sous-
ensemble arbitraire E ⊂M est le plus petit sous-module contenant E, on dit que c’est le sous-
moduleengendréparE.
8
PrenonsE:=M ∪M ,oùM etM sontdessous-modulesdeM.Toutsous-modulecontenant
1 2 1 2
Econtientégalementtouteslessommesx +x ,x ∈M ,x ∈M .Maisl’ensembledecessommes
1 2 1 1 2 2
estunsous-moduledeM (prouvez-le!).Onnotedonc:
M +M :={x +x |x ∈M ,x ∈M }.
1 2 1 2 1 1 2 2
C’estlesous-moduleengendréparM ∪M etonl’appellesommedeM etM .
1 2 1 2
Exercice1.2.10 Décriredemanièreanaloguelesous-module∑Mi engendréparlaréunionSMi
d’unefamilledesous-modulesdeM.
Théorème1.2.11(Troisièmethéorèmed’isomorphisme) SoientM etM dessous-modulesde
1 2
M.OnaunisomorphismenatureldeM /(M ∩M )sur(M +M )/M .
1 1 2 1 2 2
Preuve.-Commedanslecasdesespacesvectoriels,onvérifiequelemorphismecomposéM →
1
M +M →(M +M )/M est surjectif et a pour noyau M ∩M , ce qui permet d’appliquer le
1 2 1 2 2 1 2
premierthéorèmed’isomorphisme.(cid:3)
1.3 Familles
Pour toute famille (x) d’éléments de M, l’intersection de tous les sous-modules de M qui
i i∈I
contiennenttouslesx estunsous-moduledeM :c’estlepluspetit-sous-moduledeM contenant
i
touslesxi,onditqu’ilestengendréparlesxi.Concrètementc’estlesous-module ∑Axidetoutes
i∈I
lescombinaisonslinéairesdesx.Demanièreéquivalente,c’estl’imagedumorphisme:
i
(ai)i∈I 7→ ∑aixi,
i∈I
A(I)→M.

Définition1.3.1 Onditquelafamille(xi)i∈I d’élémentsdeM estunefamillegénératrice(ouen-
corequelesxiengendrentM)siM= ∑Axi,autrementdit,silemorphismeci-dessusestsurjectif.
i∈I
Les relations entre les xi sont les familles de coefficients (ai)i∈I ∈A(I) telles que ∑aixi =0,
i∈I
autrementdit,lesélémentsdunoyaudumorphismeci-dessus.
Définition1.3.2 Onditquelafamille(x) d’élémentsdeMestunefamillelibre(ouencoreque
i i∈I
lesx sontlinéairementindépendants)sitouterelationentrelesx esttriviale:
i i
∀(a) ∈A(I), ∑ax =0 =⇒(∀i∈I, a =0).
i i∈I i i i
i∈I !
autrementdit,silemorphismeci-dessusestinjectif.
Définition1.3.3 On dit que la famille (x) d’éléments de M est une base si elle est libre et
i i∈I
génératrice:
∀x∈M, ∃!(a) ∈A(I) : x=∑ax,
i i∈I i i
i∈I
autrementdit,silemorphismeci-dessusestbijectif.
9
Si B :=(xi)i∈I est une base de M et si x∈M s’écrit x= ∑aixi, on dira que les ai sont les
i∈I
coordonnéesdexdanslabaseB.
Exercice1.3.4 MontrerquelesbasesduA-moduleAsontlesfamillesàunélément(x)tellesque
x∈A∗.
Naturellement, dans le cas où A est un corps, le vocabulaire ci-dessus est cohérent avec le
vocabulaireusueldesespacesvectoriels.Cependant,ilfautprendregardeque,lorsqueAn’estpas
uncorps,denombreusespropriétésusuellestombentendéfaut2.Voicilesprincipales“anomalies”.
1. Un A-module n’admet pas nécessairement une base. Soit par exemple I un idéal de A qui
n’estégalnià{0}niàA(parhypothèseilenexistepuisqueAn’estpasuncorps).Alorsdeux
élémentsquelconquesdeI sontliés,iln’yadoncpasdefamillelibreayantstrictementplus
d’unélément,desortequeI nepeutêtreunA-modulelibrequesic’estunidéalprincipal;
etmêmecelanesuffitpassiAn’estpasintègre(vérifiez-le).D’autrepart,toutélémentde
A/I estdetorsion,iln’yadoncaucunefamillelibrenonvidedansA/I,doncaucunebase.
2. Si le module M admet une base, un sous-module de M n’admet pas nécessairement une
base:voirl’exempleci-dessus.
3. Une famille libre maximale n’est pas nécessairement une base. Par exemple, dans le Z-
moduleZ,lafamilleàunélément(2)estlibremaximale,maiscen’estpasunebase;etelle
n’eststrictementcontenuedansaucunefamillelibre.
4. Unefamillegénératriceminimalen’estpasnécessairementunebase.Parexemple,dansle
Z-module Z, la famille à deux éléments (2,3) est génératrice, mais ce n’est pas une base;
etellenecontientstrictementaucunefamillegénératrice.
Définition1.3.5 Onditqu’unmoduleestlibres’iladmetunebase.
Ilexisteunethéoriegénéraledesmoduleslibres,mais,commepourlesespacesvectoriels,on
s’intéresserasurtout(enalgèbre)aucasdesmodulesadmettantunebasefinie.
Calculmatricielaveclesfamilles
Onnemanipuleraiciquedesfamillesfinies(bienquelecasgénéralpuisseêtretraitédefaçon
semblable) et on les écrira systématiquement sous forme de suites finies X :=(x ,...,x )∈Mn,
1 n
Y :=(y ,...,y )∈Mp,etc.
1 p
a
1
.
Soitx:=a1x1+···+anxnunecombinaisonlinéairedesxi.NotantC:= .. ∈Anlevecteur
a
n
 
colonnedescoefficientsai,onadopteral’écriturematricielle:  
x=XC.
2. Cependantcertainesd’entreellesserontrétabliesdanslecasd’unanneauAprincipal:celavaudradonclapeine
dereveniriciaprèslecturecomplètedecechapitre.
10
Noterqu’ellecomporteuncertainabus,puisque,encalculmatricielusuel,ondevraitavoirXC=
x a +···+x a ,cequin’apasdesens(scalairesàdroitedes“vecteurs”).Ilestpossibledejusti-
1 1 n n
fiercetabusmaisonsecontenterad’observerquelescalculsquienrésultentsontcohérents.
Supposonsquelesy soienttouscombinaisonslinéairesdesx :
j i
n
y =∑a x, j=1,...,p.
j i,j i
i=1
Alorsonauneécriturematricielle:
a ... a
1,1 1,p
Y =XP, oùP:= ... ... ... ∈Matn,p(A).
a ... a
n,1 n,p
 
 
SoitmaintenantZ:=(z ,...,z )∈Mqunefamilled’élémentsquisontcombinaisonslinéaires
1 q
desy :
j
p
z = ∑b y , k=1,...,q.
k j,k j
j=1
On a donc Z = YQ, où Q ∈ Mat (A) a pour coefficients les b . L’associativité du produit
p,q j,k
matricielpermetdeprévoirleségalités:
Z=YQ=(XP)Q=X(PQ)=XR, oùR:=PQ∈Mat (A).
n,q
n
Etl’onvérifieeneffetsanspeinelesrelationszk= ∑ ci,kyj, k=1,...,q,lescoefficientsci,k deR
i=1
p
étantdonnésparlaformulehabituelleci,k:= ∑ ai,jbj,k, i=1,...,n, k=1,...,q.
j=1
Exercice1.3.6 Expliqueretprouverlesrelations:
X(P+P′)=XP+XP′, (X +X′)P=XP+X′P, XI =X, XP=Y ⇔X =YP−1.
n
Ontraduitsimplementlesnotionsdefamilleslibresetgénératricesdanscelangage:
– LafamilleX estlibresi,chaquefoisquel’onaXP=0(familletriviale),onpeutendéduire
P=0(matricenulle).Plusgénéralement,siXP=XP′,alorsP=P′.
– LafamilleX estgénératricesitoutefamilleY peuts’écrireY =XP(lamatricePayantle
bonformat).
Àtitred’exemple(parmibeaucoup:inventez-en!)d’utilisationdeceformalisme,voiciunrésultat
important.
Théorème1.3.7 Si M admet une base de n éléments X :=(x ,...,x ), alors toutes les bases de
1 n
M ontnéléments.
Preuve.-SoitY =(y ,...,y )uneautrebasedeM.Puisquecesdeuxfamillessontgénératrices,
1 p
on peut écrire Y =XP et X =YQ pour certaines matrices P,Q. On en déduit X =X(PQ) et
Y =Y(QP).MaispuisqueX =XI etY =YI etquecesfamillessontlibres,onentirePQ=I
n p n
etQP=I .Onappliquealorslelemmeci-dessous.(cid:3)
p
11
Lemme1.3.8 Soit A un anneau non trivial et soient P∈Mat (A) et Q∈Mat (A) telles que
n,p p,n
PQ=I ,QP=I .Alorsn= p.
n p
Preuve.-OnchoisitunidéalmaximalquelconqueMdeA(théorèmedeKrull)etl’onnoteK :=
A/Ml’anneauquotient,quiestuncorps(le“corpsrésiduel”).EnréduisantmoduloMlesrelations
précédentes,onobtientdeségalitésentrematricesàcoefficientsdansK :
PQ=I etQP=I ;
n p
maisl’algèbrelinéaireusuelle(suruncorps)nousditalorsquen= p.(cid:3)
Remarque1.3.9 Ladémonstrationci-dessusneprouvepasqu’iln’existepasdebaseinfinie.Ce
pointestlaisséaulecteurcourageux.
Définition1.3.10 Unmoduleadmettantunebasedenélémentsestditlibrederangn.Sonrang
(quiestbiendéfinid’aprèslethéorèmeprécédent)estn.
Corollaire1.3.11 SoitM unmodulelibrederangnetsoitX unebasedeM.Alorsl’application
P7→XP est une bijection du groupe GL (A) des matrices inversibles à coefficients dans A sur
n
l’ensembledesbasesdeM.
(cid:3)
Rappelons que les éléments de GL (A) sont les matrices P∈Mat (A) telles que detP∈A∗.
n n
Eneffet:
– SiPQ=I ,alors(detP)(detQ)=1,d’oùdetP∈A∗.
n
– Si detP∈A∗, notant A˜ la transposée de la matrice des cofacteurs de A, on a, d’après les
formulesdeCramer,AA˜=A˜A=(detA)I et(detA)−1A˜ estinversedeA.
n
Exercice1.3.12 SoientMunA-modulelibrederangnetX unebasedeM.Donnerunecondition
surP∈Mat (A)pourquelafamilleXPsoitlibre,resp.génératrice,resp.unebase.
n,p
Écriturematricielledesmorphismes. SoientB :=(e ,...,e )unebasedumoduleM (quiest
1 n
donclibrederangn)etC :=(f ,...,f )unebasedumoduleN (quiestdonclibrederang p).On
1 p
endéduitdesisomorphismesAn→MetAp→N,respectivementdéfinis(dansl’écritureclassique
envecteurscolonnes)parX7→BX etY 7→CY.Six=BX∈M,resp.y=CY ∈N,lescomposantes
(x ,...,x ) de X, resp. les composantes (y ,...,y ) deY, sont les coordonnées de x dans la base
1 n 1 p
B,resp.lescoordonnéesdeydanslabaseC.
Soit f :M→N unmorphisme.IlexisteuneuniquematriceP∈Mat (A)telleque f(B)=CP.
p,n
c’estlamatricedel’applicationlinéaire f relativeauxbasesB etC.Ona:
f(x)=y⇐⇒ f(BX)=CY ⇐⇒ f(B)X =CY ⇐⇒CPX =CY ⇐⇒Y =PX.
LamatriceP=(a ) reliedonclescoordonnéesdexetdey= f(x)parlesformules:
j,i 1≤j≤p
1≤i≤n
n
y =∑a x, j=1,...,p.
j j,i i
i=1
Exercice1.3.13 À quelle condition sur P le morphisme f est-il injectif, resp. surjectif, resp. bi-
jectif?
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