Algèbre et analyse: cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés

2016·21 MB·French

by  Stéphane Balac

Algebre et analyse

Cours de mathématiques de premiére année
avec exercices corrigés

7”

Stéphane Balac
Frédéric Sturm

1" Cycle

PRESSES POLYTECHNIQUES ET UNIVERSITAIRES ROMANDES Copyrighted material
Copyrighted material
Algébre et analyse

‘Cours de mathématiques de premiére année
avec exercices corrigés

This
‘SKZR-NAY-DXBH
Copyrighted material
Collection des sciences appliquées de ’INSA de Lyon

Algébre et analyse

Cours de mathématiques de premiére année
avec exercices corrigés

PRESSES POLYTECHNIQUES ET UNIVERSITAIRES ROMANDES:
La collection des Sciences appliquées de 'INSA de Lyon est dirigée
par le professeur Bernard Balland.

Récentes parutions

Eléments de mathématiques discrétes
Louis Frécon

‘Modélisation cognitive et résolution de problémes
Guy Caplat

Matériaux non cristallins et science du désordre
Jo Perez

Anitificialisme
Jean-Pierre Micaélli, Joélle Forest

AGILE 2003 (Proceedings)
Michael Gould, Robert Laurini, Stéphane Coulondre, Eds

Les Presses polytechniques et universitares romandes sont une fondation
scientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux de Ecole
polytechnique fédérale de Lausanne et de I'Tnstitut National des Sciences
Appliquées de Lyon, ainsi que d'autres universités et écoles

<ingénieurs francophones,

Le catalogue de leurs publications peut éue obtenu par courtier

‘aux Presses polytechniques et universitaires romandes,

EPFL — Centre Midi, CH-1015 Lausanne, par E-Mail & [email protected],

‘par téléphone au (0)21 693 41 40, ou par fax au (0}21 693 40 27.

httpu/www.ppurorg

ISBN 2-88074.558-6
(© 2003, Presses poytechniques et universities romandes,
(CH 1015 Lausanne,

“Tous dots réservés

Reproduction, méme partle, sous quelque forme

(ou sur quelque support que ce soit,

Smerdite sans Vaccoed ert de Méditeur.

Imprimé en Ialie
Préface

L’aceueil d’étudiants étrangers & !INSA de Lyon dés la premiére année
du cycle de formation d'ingénieur est nn enrichissement pour tous. De maniére
originale, ce cours en est une parfaite illustration.

Ce livre est le fruit d'une longue réflexion et d’innombrables échanges
d'idées entre enseignants. Il refléte également une large expérience de pratique
pédagogique avec les étudiants,

Dans le cadre de la filiére ASINSA qui accueille pour moitié des étudiants
asiatiques (Chine, Vietnam, Inde, Malaisie, Thailande, Corée) et pour moitié
des étudiants frangais, les équipes pédagogiques doivent sans cesse adapter leurs
méthodes en restant dans le cadre des programmes institutionnels. Ces adap-
tations sont réalisées en concertation avec les différentes disciplines et ont pour
objectif d'intégrer une pédagogie différenciée pour mieux répondre & V’étudiant
francais ou étranger. Ce cours est une parfaite illustration de cette démarche
et s'adapte donc également & tout étudiant de Premier Cycle Universitaire.

Confrontés & d’autres cultures, y compris d’autres cultures scientifiques,
Stéphane Balac et Frédéric Sturm ont réalisé un ouvrage adapté au plus grand
nombre d’étudiants sans rien eéder sur la rigueur du rai
tous & y gagner.

Denis FRIBOULE:
Directeur de la filiére ASINSA

Didier Vray
Directeur Adjoint du Premier Cycle
chargé des filiéres internationales
Copyrighted material
Avant-propos

Ce Cours de Mathématiques correspond & l'enseignement que nous dis-
pensons en premiére année du cycle préparatoire de 'INSA de Lyon dans la
filidre ASINSA.

La filitre ASINSA est lune des trois filidres de premier cycle internatio-
nal de VINSA de Lyon. Elle regroupe étudiants frangais et étudiants originaires
de différents pays d’Asie (Chine, Corée, Inde, Malaisie, Thailande, Vietnam).
Compte temu de la grande diversité du niveau de maitrise de la langue frangaise
et de la variété des acquis mathématiques des étudiants arrivant en premiére
année, In nécessité de disposer d’un support de cours écrit pour Venseignement
des mathématiques nous est apparue plus quailleurs indispensable. Ce docu-
ment a vu le jour dans un premier temps sous forme de polycopiés. Encouragés
par le Professeur Bernard Balland, nous avons souhaité le rendre accessible au
plus grand nombre,

Le livre est divisé en 20 chapitres correspondant au programme d’algebre
ot d’analyse de premigre année de la filiére ASINSA. Ces chapitres sont regrou-
pés en 5 grandes parties : ensembles numériques fondamentaux, polynémes et
fractions rationnelles, algebre linéaire, caleul différentiel et calcul intégral. Ils
couvrent Jes notions généralement abordées en premiére année de tout premier
cycle et ce livre pourra done étre utilisé avec profit par les étudiants des dif-
férents cycles préparatoires intégrés, les étudiants des DEUG scientifiques, les
étudiants en formation continue, ete. Le livre débute par un chapitre traitant de
la logique mathématique dont l'objet est de fournir les notions de base utilisées
lors des raisonnements mathématiques ultérieurs. L’assimilation du contenu de
ce chapitre nest pas aisée et nous suggérons au lecteur de s’y référer tout att
Jong de année afin d’acquérir une bonne maitrise du raisonnement mathéma-
tique.

Nons nous sommes attachés A donner des définitions précises et A présen-
ter des raisonnem é. All
certains résultats énoncés sont admis sans démonstration. D'une manitre gé:
rale, les démonstrations « techniques » sont omises an profit des démonstrations
pouvant améliorer la compréhension du résultat énoneé, illustrant l'utilisation
de notions déja introduites on mettant en avant des idées ou méthodes sus-
coptibles d’étre réutilisées par la suite. Celles-ci sont soigneusement détaillées

nts rigoureux’” sans toutefois chercher Pexhaustivi

" «Le danger dans le traitement mathématique d'un problame technique, c'est moins la

aute de calcu, dont on finira toujours par s'aperoevoir, que la Iégere fale dans le raison
rnement qui conduira & des conchisions etronées. » A, Hocquenghem, P, Jaffa, R. Che-
non, Mathématiques, collection dy CNAM, Masson.
ct commentées et une attention toute particuliére a été upportée & leur rédac-
tion. Par ailleurs, nous avons, dans la mesure du possible, cherché & motiver
les notions introduites et & les illustrer par des exemples, des remarques et des
rises en garde afin de rendre Papprentissage plus dynamique. Chaque chapitre
contient de courts exercices visant & tester la bonne comprehension des notions
introduites. II se termine par des exercices de synthése qui font appel & la fois
aux résultats présentés dans le chapitre concerné et aux notions acquises dans
Jes chapitres antérieurs. Ces exercices sont souvent issus de devoirs et d'interro-
gations écrites et doivent permettre d'assimiler des méthodes de raisonnement
ot des techniques de calcul. Les exercices sont intégralement corrigés en fin de
chaque chapitre. Nous avons tenu & apporter le plus grand soin & la rédaction
de ces corrigés en y incluant tous les détails utiles & une bonne assimilation
Enfin, nous avons essayé de fournir quelques éléments biographiques sur les
mathématiciens cités dans cet ouvrage & travers formules et théorémes afin de
mieux situer les résultats présentés dans leur contexte historique. ””

Ce livre a fait objet d’une relecture attentive et a bénéficié des com-
mentaires de Pascale Stéphan et d’Aimé Lachal, Professeurs Agrégés & PINSA
de Lyon, d’Eric Rannou, Maitre de Conférences au Département de Mathéma-
tiques de l'Université de Bretagne Occidentale et de Jean-Marie Barbaroux,
Maitre de Conférences au Département de Mathématiques de !'Université de
‘Toulon et du Var. Nous tenons a leur exprimer toute notre gratitude pour cet,
important travail. I! nous est également particuligrement agréable de remercier
Didier Vray, Directeur Adjoint du Premier Cycle chargé des filiéres internatio-
nales, et Denis Friboulet, Directeur de la filiére ASINSA, pour leur soutien et
leurs encouragements & la rédaction de cet ouvrage. Pour 'accueil compréhensif
et la confiance qui nous a été accordée, nous soubaitons enfin remercier Ber-
nard Balland, Directeur de la Collection des Sciences Appliquées de PINSA de
Lyon, et Olivier Babel, Directeur des Presses Polytechniques et Universitaires
Romandes.

Les auteurs recueilleront avec intérét toute remarque ou suggestion concer-
nant cet ouvrage.

Villeurbanne, juillet 2003

A Anna-Lise, Caroline et Pierre

Stéphane BALAc, Frédéric STURM

Centre de Mathématiques
21 av. Capelle, INSA de Lyon
F-69621 Villeurbanne Cedex

Nous signalons aux lectours curieux d’histoire des mathématiques le site The MacTutor
History of Mathematics archive réalisé par John J. O'Connor et Edmund F. Robertson
ide (Universite de St-Andrew (Eeosce) (www-history.act.at-endreve.ac.uk) ainsi que
le site francais ChronoMath (wwv.sesene jghe -con/aono/chronoaath) réalisé par
Serge Met