Algèbre de BOOLE et systèmes binaires

25 Pages·2005·0.65 MB·French

Algèbre de BOOLE
Système binaire:
Un système binaire (signal, circuit, etc…) est un système
qui ne peut exister que dans deux états autorisés.
fermé : v = 0v
+5V
0
ouvert: v = 5v
0
Notations:
R
numérique : 1 et 0 (bit : binary digit)
logique : Vrai et Faux (True et False)
V
0
Oui et Non (Yes et No)
S
électronique : ON et OFF
Haut et Bas (HI et LO, H et L, H et B)
ALGEBRE de BOOLE - Albert Dipanda 1
Algèbre de BOOLE - Opérateurs
La porte OU (inclusif) (OR) - Addition logique noté « + »
(cid:153)
A B Y = A + B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
La porte ET (AND) - Produit logique noté « • »
(cid:153)
A B Y = A • B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

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Algèbre de BOOLE - Opérateurs
Inverseur : porte NON (NOT)opérateur unaire noté « ¯ »
(cid:153)
A Y = A
0 1
1 0
A partir des définitions des fonctions NON, OU et ET
nous pouvons déduire :
A = A
A + A =1
A A = 0
•
( )
A + A B = A + B
•
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Algèbre de BOOLE - Opérateurs
Porte NON ET (NAND) et Porte NON OU (NOR)
(cid:153)
Ce sont les portes de base: tout système binaire peut être
obtenu en utilisant uniquement les portes NAND ou NOR
A B Y = A•B A B Y = A+B
0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 1 0
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Algèbre de BOOLE - Opérateurs
Porte OU exclusif (XOR)-opérateur binaire notée «⊕»
(cid:153)
A B Y = A ⊕ B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Algèbre de BOOLE - Opérateurs
Différentes formulations du XOR:
(cid:153)
(cid:153)Y=A ⊕ B est égal à 1 si et seulement si A = 1 ou B = 1 mais pas
simultanément:
A⊕ B = (A + B) (A B)
• •
(cid:153)Y=A ⊕ B égal à 1 si A = 1 et B = 0 ou si B = 1 et A = 0. Soit :
A⊕ B = (A B) + (B A)
• •
(cid:153)Y=A ⊕ B égal à 0 si A et B sont égaux à 1 ou si A et B sont égaux à 0 :
A ⊕ B = (A B) + (A B)
• •
(cid:153)Y=A ⊕ B correspond à un détecteur d'égalité:
A ⊕ B = (A + B) (A + B)
•
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Algèbre de BOOLE - Opérateurs
Axiomes et théorèmes de l’Algèbre de Boole
OU (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C Associativité
A + B = B + A Commutativité
A + A = A Idempotence
A + 0 = A Elément neutre
A + 1 = 1 Elément absorbant
ET (A • B) • C = A • (B • C) = A • B • C Associativité
A • B = B • A Commutativité
A • A = A Idempotence
A • 1 = A Elément neutre
A • 0 = 0 Elément absorbant
Distributivité A • (B + C) = (A • B) + (A • C)
A + (B • C) = (A + B) • (A + C)
NON
A = A
A + A =1
A•A = 0

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Axiomes et théorème de l’algèbre
de BOOLE
Axiomes et théorèmes de l’Algèbre de Boole (suite)
(cid:153)
Simplification A + (A • B) = A
A • (A + B) = A
(A + B) • (A + B) = A
A + (A • B) = A + B
Théorème
A • B • C •... = A + B + C + ...
De Morgan
A + B + C + ... = A • B • C •...
OU exclusif
A ⊕ B = (A + B) • (A • B)
A ⊕ B = (A • B) + (B • A)
A ⊕ B = (A • B) + (A • B)
A ⊕ B = (A + B) • (A + B)
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Usages de l’algèbre de Boole
formalisation du raisonnement sur les propositions
1.
logiques (= qui a un résultat vrai ou faux).
faire des opérations sur des valeurs quelconques
2.
codées.
Exemples:
fonction tourne_gauche sur les axes cardinaux
1.
(4 valeurs différentes donc un codage sur 2 bits)
E: 00 - N: 01 - S:11 - O:10
fonctions logiques sur des nombres
2.
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Fonctions booléennes
Définition :
Une fonction booléenne est une application de {0, 1}n vers {0, 1}
(x , x , x ,..., x )→ f(x , x , x ,..., x ) ∈ {0, 1}
1 2 3 n 1 2 3 n
Elle peut être définie de deux manières différentes :
par une table de vérité
1.
par une équation logique
2.
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