Algèbre de Boole et circuits logiques - Architecture des ordinateurs

18 Pages·2009·2.63 MB·French

by  Guillaume Blin

Alg`ebredeBoole Electronique Circuitscombinatoires UAL Circuitss´equentiels:bascules Alg`ebredeBoole Electronique Circuitscombinatoires UAL Circuitss´equentiels:bascules
R´ef´erences
Alg`ebre de Boole et circuits logiques
Architecture des ordinateurs
(cid:73) Cours de Fr´ed´eric Goualard de l’Universit´e de Nantes
Guillaume Blin http ://supports.goualard.free.fr/
(cid:73) Cours de Eric Garcia de l’IUT GTR, Montb´eliard
IGM-LabInfoUMR8049,
Bureau4B066 (cid:73) Emmanuel Viennet de l’IUT de Viltaneuse
Universit´edeMarneLaVall´ee
[email protected]
http://igm.univ-mlv.fr/∼gblin
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Plan Plan
Alg`ebre de Boole Alg`ebre de Boole
Electronique Electronique
Circuits combinatoires Circuits combinatoires
UAL UAL
Circuits s´equentiels : bascules Circuits s´equentiels : bascules
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Notion ensembliste Logique des propositions
(cid:73) Proposition = ´enonc´e vrai ou faux
(cid:73) a : les ´el`eves sont pr´esents
(cid:73) b : le professeur est pr´esent
(cid:73) cours si a et b
(cid:73) Combinaison par des connecteurs
(cid:73) ¬ (non logique) ∧ (et logique) ∨ (ou logique non exclusif)
a b ¬a a∧b a∨b
V V F V V
V F F V F
F V V V F
F F V F F
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Passage `a l’alg`ebre de Boole Alg`ebre de Boole
(cid:73) Il y a d’autres connecteurs et quelques lois dans la logique des
propositions : ¬a∧¬b =¬(a∨b)... (cid:73) Il existes 16 fonctions `a deux variables : toutes ne sont pas
int´eressantes
a b ¬a ¬b ¬a∧¬b a∨b ¬(a∨b)
a b a+b a+b ab ab a⊕b a⊕b
V V F F F V F
V F F V F V F 0 0 0 1 0 1 0 1
F V V F F V F 0 1 1 0 0 1 1 0
F F V V V F V 1 0 1 0 0 1 1 0
1 1 1 0 1 0 0 1
(cid:73) Georges Boole a exprim´e la logique des propositions en termes
alg´ebriques (cid:73) Ou exclusif (xor) a⊕b =ab+ab
(cid:73) a∨b ⇒a+b (cid:73) Non ou (nor) a+b
(cid:73) a∧b ⇒a.b
(cid:73) Non et (nand) ab
(cid:73) ¬a⇒a=1−a
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(cid:73) Claude Shannon a propos´e : V = 1 et F = 0
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Op´erations de base Th´eor`emes et axiomes
(cid:73) Th´eor`eme des constantes
(cid:73) Toutes les fonctions peuvent s’exprimer `a l’aide des trois
a+0 =a a.0 =0 a⊕0 =a
op´erations logiques et, ou, non
a+1 = 1 a.1 =a a⊕1 =a
(cid:73) Avec n variables on peut construire 2n fonctions
(cid:73) Une fonction `a trois variables peut se d´ecompos´ee en deux
(cid:73) f(a,b,c)=f(0,b,c) si a=0 et f(a,b,c)=f(1,b,c) si (cid:73) Idempotence
a=1
(cid:73) f(a,b,c)=a.f(1,b,c)+a.f(0,b,c) a+a =a a.a =a a⊕a = 0
(cid:73) groupe logique complet = ensemble de fonction `a partir
desquels il est possible de r´ealiser toutes les fonctions (cid:73) Compl´ementation
{et,ou,non}...
(cid:73) Fonctions `a n variables d´ecomposables et fonctions `a 2 a+a = 1 a.a = 0 a⊕a = 1
variables exprimable avec {et,ou,non} ⇒ r´ecurrence ...
(cid:73) L’alg`ebre de Boole se construit sur les bool´eens `a partir des
(cid:73) Commutativit´e
trois op´erations internes : +, * et
logo a+b =b+a a.b =b.a a⊕b =b⊕a logo
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Th´eor`emes et axiomes Table de v´erit´e et ´equation
(cid:73) Distributivit´e
(cid:73) Pour concevoir un circuit, il faut le mod´eliser.
a+(bc) = (a+b)(a+c)
(cid:73) on utilise une table de v´erit´e
a(b+c) =ab+ac
(cid:73) on obtient une ´equation qu’on simplifie (alg´ebrique ou
Karnaugh)
(cid:73) Associativit´e (cid:73) on trace le sch´ema ´electrique du circuit
(cid:73) ´el´ements constitutifs d’un ordinateur : exclusivement portes
a+(b+c) =(a+b)+c =a+b+c nand ou bien nor (syst`eme complet)
a(bc) =(ab)c =abc (cid:73) Table de v´erit´e : pr´esente toutes les combinaisons possibles
des n entr´es (2n lignes) et les ´etats de sortie correspondant
(cid:73) Th´eor`eme de De Morgan (cid:73) Une fois la table de v´erit´e ´ecrite, il faut la transformer en
´equation logique
ab =a+b (cid:73) somme (fonction ou) de produit (fonction et)
a+b = a.b
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F(a,b) =a.b+a.(b+b)
F(a,b) =a.b+a F(a,b) =a.b+a
F(a,b) =((a.b.a)) F(a,b) =((a.b.a))
F(a,b) =(a+b).a F(a,b) =(a+b).a
F(a,b) =a.a+b.a F(a,b) =a.a+b.a
F(a,b) =b.a F(a,b) =b.a
F(a,b) =b+a F(a,b) =b+a
F(a,b) =b+a F(a,b) =b+a
F(a,b) =((a.b.a))
F(a,b) =(a+b).a F(a,b) =(a+b).a
F(a,b) =a.a+b.a F(a,b) =a.a+b.a
F(a,b) =b.a F(a,b) =b.a
F(a,b) =b+a F(a,b) =b+a
F(a,b) =b+a F(a,b) =b+a
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´ ´
Equation : exemple Equation : exemple
a b F(a,b) a b F(a,b)
0 0 1 0 0 1
F(a,b) =a.b+a.(b+b)
0 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1
F(a,b) =1 si F(a,b) =1 si
a = 0 et b = 0 soit a = 1 et a = 0 et b = 0 soit a = 1 et
b = 1 donc si a.b = 1 b = 1 donc si a.b = 1
a = 1 et b = 0 soit a = 1 et a = 1 et b = 0 soit a = 1 et
b = 1 donc si a.b = 1 b = 1 donc si a.b = 1
a = 1 et b = 1 donc si a.b = 1 a = 1 et b = 1 donc si a.b = 1
⇒ F(a,b) =a.b+a.b+a.b ⇒ F(a,b) =a.b+a.b+a.b
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´ ´
Equation : exemple Equation : exemple
a b F(a,b) a b F(a,b)
0 0 1 0 0 1
F(a,b) =a.b+a.(b+b) F(a,b) =a.b+a.(b+b)
0 1 0 0 1 0
1 0 1 F(a,b) =a.b+a 1 0 1 F(a,b) =a.b+a
1 1 1 1 1 1
F(a,b) =((a.b.a))
F(a,b) =1 si F(a,b) =1 si
a = 0 et b = 0 soit a = 1 et a = 0 et b = 0 soit a = 1 et
b = 1 donc si a.b = 1 b = 1 donc si a.b = 1
a = 1 et b = 0 soit a = 1 et a = 1 et b = 0 soit a = 1 et
b = 1 donc si a.b = 1 b = 1 donc si a.b = 1
a = 1 et b = 1 donc si a.b = 1 a = 1 et b = 1 donc si a.b = 1
⇒ F(a,b) =a.b+a.b+a.b ⇒ F(a,b) =a.b+a.b+a.b
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F(a,b) =a.a+b.a
F(a,b) =b.a F(a,b) =b.a
F(a,b) =b+a F(a,b) =b+a
F(a,b) =b+a F(a,b) =b+a
F(a,b) =b+a
F(a,b) =b+a F(a,b) =b+a
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´ ´
Equation : exemple Equation : exemple
a b F(a,b) a b F(a,b)
0 0 1 0 0 1
F(a,b) =a.b+a.(b+b) F(a,b) =a.b+a.(b+b)
0 1 0 0 1 0
1 0 1 F(a,b) =a.b+a 1 0 1 F(a,b) =a.b+a
1 1 1 1 1 1
F(a,b) =((a.b.a)) F(a,b) =((a.b.a))
F(a,b) =(a+b).a F(a,b) =(a+b).a
F(a,b) =1 si F(a,b) =1 si
F(a,b) =a.a+b.a
a = 0 et b = 0 soit a = 1 et a = 0 et b = 0 soit a = 1 et
b = 1 donc si a.b = 1 b = 1 donc si a.b = 1
a = 1 et b = 0 soit a = 1 et a = 1 et b = 0 soit a = 1 et
b = 1 donc si a.b = 1 b = 1 donc si a.b = 1
a = 1 et b = 1 donc si a.b = 1 a = 1 et b = 1 donc si a.b = 1
⇒ F(a,b) =a.b+a.b+a.b ⇒ F(a,b) =a.b+a.b+a.b
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´ ´
Equation : exemple Equation : exemple
a b F(a,b) a b F(a,b)
0 0 1 0 0 1
F(a,b) =a.b+a.(b+b) F(a,b) =a.b+a.(b+b)
0 1 0 0 1 0
1 0 1 F(a,b) =a.b+a 1 0 1 F(a,b) =a.b+a
1 1 1 1 1 1
F(a,b) =((a.b.a)) F(a,b) =((a.b.a))
F(a,b) =(a+b).a F(a,b) =(a+b).a
F(a,b) =1 si F(a,b) =1 si
F(a,b) =a.a+b.a F(a,b) =a.a+b.a
a = 0 et b = 0 soit a = 1 et a = 0 et b = 0 soit a = 1 et
F(a,b) =b.a F(a,b) =b.a
b = 1 donc si a.b = 1 b = 1 donc si a.b = 1
F(a,b) =b+a
a = 1 et b = 0 soit a = 1 et a = 1 et b = 0 soit a = 1 et
b = 1 donc si a.b = 1 b = 1 donc si a.b = 1
a = 1 et b = 1 donc si a.b = 1 a = 1 et b = 1 donc si a.b = 1
⇒ F(a,b) =a.b+a.b+a.b ⇒ F(a,b) =a.b+a.b+a.b
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´
Equation : exemple Diagrammes de Karnaugh
(cid:73) Table de Karnaugh : principe
a b F(a,b)
(cid:73) d´epart : somme de produits ou` chaque produit doit contenir
0 0 1
F(a,b) =a.b+a.(b+b) toutes les variables (pour simplifier) : (a+a)b =b
0 1 0
(cid:73) chaque colonne diff`ere de sa voisine d’un seul litt´eral
1 0 1 F(a,b) =a.b+a
(cid:73) les tables de Karnaugh sont `a deux dimensions : on regroupe
1 1 1 F(a,b) =((a.b.a)) des variables
(cid:73) on regroupe les 1 en morceaux rectangulaires
F(a,b) =(a+b).a
F(a,b) =1 si
(cid:73) plus grands morceaux possibles
F(a,b) =a.a+b.a
a = 0 et b = 0 soit a = 1 et (cid:73) moins de morceaux possibles
F(a,b) =b.a
b = 1 donc si a.b = 1 (cid:73) nouveau morceau que s’il permet de regrouper des 1 non
F(a,b) =b+a encore regroup´es
a = 1 et b = 0 soit a = 1 et
F(a,b) =b+a (cid:73) la ligne du haut et du bas ainsi que colonne de droite et de
b = 1 donc si a.b = 1
gauche sont adjacentes
a = 1 et b = 1 donc si a.b = 1
(cid:73) ⇒ Morceau = produit de variable : variable et son inverse dans
⇒ F(a,b) =a.b+a.b+a.b le mˆeme morceau = ´elimination de la variable
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Karnaugh : Exemple 1 Karnaugh : Exemple 2
(cid:73) F(a,b,c) =a.b.c +a.b+a.c
F(a,b,c) =a.b.c +a.b.(c +c)+a.c.(b+b)
(cid:73) F(a,b) =a.b+a.b+a.b
F(a,b,c) =a.b.c +a.b.c +a.b.c +a.b.c +a.b.c
F(a,b) : b
a
(cid:19)(cid:16)
F(a,b,c) :
1 0 c
(cid:19) (cid:16)
(cid:19)(cid:39)(cid:16)(cid:36)
a 1 1
(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:17) 0 1 1 1
(cid:18) (cid:17)
b 0 0 1 1
(cid:38) (cid:37)
(cid:73) a+b
(cid:73) a+b.c
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Karnaugh : Exemple 3 Karnaugh : Exemple 3
(cid:73) F(a,b,c,d) =a.b.c +a.d +a.c (cid:73) F(a,b,c,d) =a.b.c +a.d +a.c
b b
F(a,b,c,d) : F(a,b,c,d) :
d d
0 0 0 0 0 0 0 0
(cid:39)0 1 (cid:36)5 4 (cid:39)0 1 (cid:36)5 4
1 1 0 0 1 1 0 0
c (cid:19)2 (cid:36)3 7 (cid:39)6 (cid:16) c 2 (cid:36)3 (cid:19)7 (cid:16)(cid:39)6
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:38)(cid:18) (cid:37) (cid:17) (cid:38) (cid:37)(cid:18)(cid:17)
a 10 11 15 14 a 10 11 15 14
1 0 0 1 1 0 0 1
(cid:37) (cid:38) (cid:37) (cid:38)
8 9 13 12 8 9 13 12
(cid:73) b.c +a.b.c.d +a.d!!!!!!! (cid:73) b.c +a.b.c.d +a.d!!!!!!!
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(cid:73) PAS BON! (cid:73) PAS BON!
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Portes et circuits logiques Portes logiques
(cid:73) Un ordinateur travaille en base 2
(cid:73) E´lectroniquement 0 correspondait `a une tension de 0 `a 0,8V et
1 `a une tension de 2,8 `a 2,5V (tensions donn´ees par les NON(a) a
constructeurs de composants)
(cid:73) Toute fonction binaire peut ˆetre repr´esent´ee par une expression
AND(a,b) a+b
bool´eenne
(cid:73) Tout circuit ´electrique ou ´electronique `a deux valeurs de
tension peut ˆetre repr´esent´e par une expression bool´eenne OR(a,b) a.b
(cid:73) Pr´ef´erable de repr´esenter les circuits par des symboles logiques
et non par des expressions bool´eennes XOR(a,b) a⊕b
(cid:73) Correspondance entre les diff´erentes fonctions logiques
(+,∗...) et des symboles appel´es portes logiques
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Portes logiques et circuits Portes logiques : mise en s´erie
NOR(a,b) a+b
NAND(a,b) a.b
ID(a,b) a⊕b
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Syst`eme complet Syst`eme complet
(cid:73) Porte NAND = la plus simple `a r´ealiser du point de vue (cid:73) Porte NAND = la plus simple `a r´ealiser du point de vue
technologique. technologique.
(cid:73) Possible de r´ealiser toutes les fonctions logiques en utilisant (cid:73) Possible de r´ealiser toutes les fonctions logiques en utilisant
uniquement NAND uniquement NAND
(cid:73) AND : a.b = a.b.a.b =NAND(NAND(a,b),NAND(a,b)) (cid:73) OR : a+b =a.a.b.b =NAND(NAND(a,a),NAND(b,b))
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Syst`eme complet Syst`eme complet
(cid:73) Porte NAND = la plus simple `a r´ealiser du point de vue (cid:73) Porte NAND = la plus simple `a r´ealiser du point de vue
technologique. technologique.
(cid:73) Possible de r´ealiser toutes les fonctions logiques en utilisant (cid:73) Possible de r´ealiser toutes les fonctions logiques en utilisant
uniquement NAND uniquement NAND
(cid:73) NOT : a =a.a =NAND(a,a)
(cid:73) XOR : a⊕b =a.a.b.b.a.b =
NAND(NAND(a,NAND(a,b)),NAND(b,NAND(a,b)))
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Syst`eme complet Plan
(cid:73) Porte NAND = la plus simple `a r´ealiser du point de vue
technologique.
(cid:73) Possible de r´ealiser toutes les fonctions logiques en utilisant Alg`ebre de Boole
uniquement NAND
(cid:73) NOR : a+b =a.a.b.b.a.a.b.b =
Electronique
NAND(NAND(NAND(a,a),NAND(b,b)),NAND(NAND(a,a),NAND(b,b)))
Circuits combinatoires
UAL
Circuits s´equentiels : bascules
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Transistor Circuits int´egr´es
(cid:73) Un transistor est un interrupteur qui permet de r´eunir ou de
s´eparer deux fils.
(cid:73) L’´etat d’un transistor (passant ou non), est command´e par un (cid:73) A partir de ce dispositif on peut r´ealiser des portes de base
troisi`eme fil. (NON, ET, OU ...)
(cid:73) Il existe deux types de transistors :
(cid:73) les transistors de type N (”non-passant par d´efaut”), pour
lesquels le transistor est non passant quand le fil de commande
est dans l’´etat 0,
(cid:73) et les transistors de type P (”passant par d´efaut”), pour
lesquels le transistor est passant quand le fil de commande est
dans l’´etat 0.
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Circuits int´egr´es Circuits int´egr´es
(cid:73) A partir de ce dispositif on peut r´ealiser des portes de base
(cid:73) A partir de ce dispositif on peut r´ealiser des portes de base
(NON, ET, OU ...)
(NON, ET, OU ...)
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