Table Of ContentALGÈBRE COMMUTATIVE
Coursàl’UniversitédeRennes1(2005–2006)
Antoine Chambert-Loir
AntoineChambert-Loir
IRMAR,CampusdeBeaulieu,35042RennesCedex.
E-mail:[email protected]
Url:http://name.math.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir
Versiondu27décembre2005
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univ-rennes.fr/antoine.chambert-loir/2005-06/g1/
Mais je ne m’arrête point à expliquer ceci plus en détail, à cause que
je vous ôterais le plaisir de l’apprendre par vous-même, et l’utilité de
cultivervotreespritenvousexerçant...
RenéDescartes(1596-1659)
TABLE DES MATIÈRES
1. Anneaux,idéaux,algèbres ................................................ 1
Premièresdéfinitions,1; Élémentsinversibles,etc.,6; Idéaux,10;
Algèbres;polynômes,16; Anneauxquotients,21; Anneauxdefractions(cas
commutatif),27; Idéauxmaximaux,36.
2. Modules ................................................................ 43
Premiers pas, 43; Opérations sur les modules, 48; Générateurs, bases,
moduleslibres,53; Quotientsdemodules,56; Espacesvectoriels,60;
Localisation des modules (cas d’un anneau commutatif), 64;
Longueur,67.
3. Produittensoriel ........................................................ 75
Produittensorieldedeuxmodules,75; Produittensorieldemodulessurun
anneaucommutatif,80; Algèbrestensorielle,symétrique,extérieure,83;
Algèbreextérieureetdéterminant,88.
4. Modulesdetypefinisurunanneauprincipal .............................. 95
Anneauxprincipaux,anneauxeuclidiens,95; Opérationsélémentairessurles
matrices,100; Matricesàcoefficientsdansunanneauprincipal,103;
Modulesdetypefinisurunanneauprincipal,106; Application:Groupes
abéliensdetypefini,112; Application:Endomorphismesd’unespacevectoriel
dedimensionfinie,114.
Appendice ..................................................................119
Le théorème de Cantor-Bernstein, 119; Le lemme de Zorn, 119;
Lelangagedescatégories,121.
Index ......................................................................123
CHAPITRE 1
ANNEAUX, IDÉAUX, ALGÈBRES
Cechapitreintroduitlesnotionsd’anneauxetd’idéaux.Cesdeuxnotionsforma-
lisentlesméthodesdecalculbienconnuesaveclesnombresentiersoulesmatrices:
on dispose d’une addition, d’une multiplication, de deux symboles 0 et 1 et des
règlesdecalculusuelles.
§1.1. Premièresdéfinitions
DÉFINITION 1.1. — On appelle anneau un groupe abélien A noté additivement muni
d’uneloidemultiplication A×A→A,(a,b)7→ab vérifiantlespropriétéssuivantes:
– ilexisteunélément1∈Atelquepourtouta∈A,1a=a1=a (élémentneutrepour
lamultiplication);
– pourtousa,b etc dans A,(ab)c=a(bc)(associative);
– pourtousa,b etc dans A,a(b+c)=ab+ac et(b+c)a=ba+ca (distributivitéde
lamultiplicationsurl’addition).
Onditquel’anneau Aestcommutatifsideplus
– pourtousa etb dans A,ab=ba (commutativité).
>
Comme exemples évidents d’anneaux commutatifs, citons Z, Z/nZ pour n 1, les
corpsQ,R,C,l’anneauK[X]despolynômesàuneindéterminéeàcoefficientsdansun
corps (voire un anneau commutatif) K. Si A est un anneau, l’ensemble des fonctions
d’un ensemble S dans un anneau A muni des lois évidentes ((f +g)(s) = f(s)+g(s)
et(f g)(s)= f(s)g(s))estunanneau.L’ensembledesfonctionscontinuesd’unespace
topologique dans R est un anneau, de même l’ensemble des fonctions de classe Ck
d’unouvertdeRn dansRouC(k∈N∪{∞}).
Voicidesexemplesnoncommutatifsbienconnus:
Exemples1.2. — a) Soit A un anneau et soit M (A) l’ensemble des matrices n×n à
n
coefficientsdans Amunidesrèglesdecalculhabituelles:lasommededeuxmatrices
2 CHAPITRE1.ANNEAUX,IDÉAUX,ALGÈBRES
est obtenue en ajoutantterme àterme, le produit desmatrices P =(p ) etQ =(q )
i,j i,j
estlamatriceR=(r )dontleterme(i,j)estdonnépar
i,j
n
X
r = p q .
i,j i,k k,j
k=1
>
Sin 2,ousi An’estpascommutatif,l’anneauM (A)n’estpascommutatif.
n
b)SiK estuncorps(pourl’instantcommutatif),l’ensembleEnd (V)desendomor-
K
>
phismesd’unK-espacevectorielV estunanneau,noncommutatifdèsquedimV 2.
Enfait,End (V)estaussiunK-espacevectorieletsamultiplicationestK-linéaire.On
K
ditquec’estuneK-algèbre.
c) SoitG un groupe abélien. Si ϕ et ψ sont deux endomorphismes deG, l’applica-
tiong 7→ϕ(g)+ψ(g)estencoreunendomorphismedeG qu’onnoteϕ+ψ;celamunit
End(G) d’une structure de groupe commutatif, d’élément neutre l’application g 7→0.
La composition des endomorphismes (ϕ,ψ)7→ϕ◦ψ est une loi associative et distri-
butiveparrapportàl’addition;l’applicationidentiquedeG enestunélémentneutre.
Cesloismunisentainsil’ensembleEnd(G)desendomorphismesdugroupeabélienG
d’unstructured’anneau.
Voiciunexempleunpeumoinsconnu.
Exemple1.3. — SoitAunanneauetsoitG ungroupe.LegroupeabélienA(G)desfonc-
tions deG dans A de support fini est muni d’un produit de convolution défini par la
formule
(ϕ∗ψ)(g)= X ϕ(h)ψ(h−1g).
h∈G
Le produit de convolution est bien défini : la somme est finie, et la convolée de deux
fonctions de support fini est encore de support fini. En outre, le produit de convolu-
tionestassociatif,l’élémentneutreestlafonction(«deDirac»)quivaut1enl’élément
neutredeG et0ailleurs.Celamunit A(G) d’unestructured’anneau.Surtoutlorsque A
estunanneaucommutatif,onl’appellel’algèbredugroupeG (àcoefficientsdans A).
Lesaxiomesdesanneauxpermettentuncalculanalogueàceluidontonal’habitude
danslesentiersoulesmatrices.Sia estunélémentd’unanneau Aetsin estunentier
positifounul,ondéfinitan parrécurrenceenposanta0=1et,sin>1,an=a(an−1).
Un sous-anneau B d’un anneau A est un sous-groupe de A pour l’addition qui
contient 1 et est stable par la multiplication, de sorte que muni des lois induites par
lesloisde A,B estunanneaudontlesélémentsneutressontencore0et1.
L’intersection d’une famille de sous-anneaux d’un anneau A est un sous-anneau
de A.
Soit AunanneauetS unepartiede A.L’intersectiondetouslessous-anneauxde A
quicontiennentSestunsous-anneaudeAqu’onappellelesous-anneaudeAengendré
§1.1.PREMIÈRESDÉFINITIONS 3
par S. Si S est de la forme B∪T où B est un sous-anneau de A, on note aussi B[T] le
sous-anneaude AengendréparS.
Soit Aunanneau.L’ensembleZ desélémentsa∈Atelsqueax=xa pourtoutx∈A
estunsous-anneaude A,appelécentrede A.
DÉFINITION 1.4. — SoitAetBdeuxanneaux.Unhomomorphismed’anneaux f : A→
B estuneapplicationvérifiantlespropriétéssuivantes
– ona f(0)=0et f(1)=1;
– pourtousa etb dans A,ona f(a+b)= f(a)+f(b)et f(ab)= f(a)f(b).
Le mot morphisme est un synonyme pour homomorphisme. Un endomorphisme
d’unanneau Aestunhomomorphismede Adans A.Si Aestunanneau,l’application
identiqueid : A→Aestunhomomorphismed’anneaux.Lacompositiondedeuxho-
A
momorphismesd’anneauxestencoreunhomomorphismed’anneaux.Celapermetde
définirlacatégoriedesanneaux.
Conformément aux définitions de théorie des catégories, on dit qu’un homomor-
phismed’anneaux f : A→Bestunisomorphismes’ilexisteunhomomorphismed’an-
neaux g: B → A tel que f ◦g = id et g ◦ f = id . Le morphisme g est alors appelé
B A
∼
homomorphisme réciproque de f. On note f : A−→B pour signifier que l’homomor-
phisme f : A→Bestunisomorphisme;siAetBsontisomorphes,c’est-à-dires’ilexiste
∼
unisomorphisme A−→B,onécrit A’B.Si Aestunanneau,unautomorphisme de A
estunisomorphismede Asur A.L’ensembledesautomorphismesd’unanneauestun
groupepourlacomposition.
PROPOSITION 1.5. — Unhomomorphismed’anneauxestunisomorphismesietseule-
mentsiilestbijectif.
Démonstration. — Si f : A → B est un isomorphisme, son homomorphisme réci-
proque est en particulier une bijection réciproque de f, donc f est bijectif. Récipro-
quement,supposonsque f estbijectifetnotonsg sabijectionréciproque.Ilnousfaut
alorsprouverqueg estunhomomorphismed’anneauxdeB dans A.
Comme f(0)=0,g(0)=0.Sia etb∈B,
f(g(a+b))=a+b= f(g(a))+f(g(b))= f(g(a)+g(b))
et
f(g(ab))=ab= f(g(a))f(g(b))= f(g(a)g(b)).
Comme f estbijectif,g(a+b)=g(a)+g(b)etg(ab)=g(a)g(b).
Exemples1.6. — a)SoitAunanneauetsoitaunélémentdeAquiestinversible,c’est-
à-dire qu’il existe un élément b ∈ A tel que ab =ba =1. Alors, l’application x 7→axb
est un automorphisme de A, appelé automorphisme intérieur. Tout automorphisme
deM (C)estunautomorphismeintérieur(exercice12).
n
4 CHAPITRE1.ANNEAUX,IDÉAUX,ALGÈBRES
b)SoitA=C[X ,...,X ]l’anneaudespolynômesennvariablesàcoefficientsdansC.
1 n
Soit Q ,...,Q des éléments de A. L’application de A dans lui-même qui à un poly-
1 n
nôme P associe le polynôme P(Q ,...,Q ) dans laquel on substitue le polynôme Q
1 n i
à l’indéterminée X est un endomorphisme d’anneaux. Soit σ une permutation
i
de {1,...,n} et choisissonsQi =Xσ(i); notons Φσ l’endomorphisme de A ainsi défini.
OnaΦστ(Xi)=Xσ(τ(i))=Φσ(Xτ(i)=Φσ(Φτ(Xi));onendéduitqueΦστ(P)=Φσ◦Φτ(P)
pourtoutpolynômeP ∈A.Parsuite,l’applicationσ7→Φσ estunhomomorphismede
groupesdugroupesymétriqueS dansAut(C[X ,...,X ]).
n 1 n
Si f :A→Bestunhomomorphismed’anneaux,l’image f(A)deApar f estunsous-
anneaudeB.L’imageréciproque f−1(C)d’unsous-anneauC deB estunsous-anneau
de A.
Exercices. — 1)SoitAunanneau.
a)Démontrerquepourtouta∈A,0a=0(onditque0estabsorbantpourlamultiplication).
b)Sie∈Aestunélémenttelquepourtouta∈A,ea=ae=a,alorse=1(unicitédel’élément
neutrepourlamultiplication).
c)Pourtouta∈A,ona(−1)a=a(−1)=−a.
d)Si1=0dansA,alorsA={0}.OnditqueAestl’anneaunul.
e)Pourtouta∈Aetpourtousentiersm,n>0,onaam+n=aman.
2)Danstoutanneaucommutatif,laformuledubinômeestvalide.Plusgénéralement,soitAun
anneauetsoita etb∈Adesélémentstelsqueab=ba (onditquea etb commutent).Alors,
>
pourtoutentiern 0,ona
ˆ !
(a+b)n= Xn n akbn−k.
k
k=0
3) a)Soit Aunanneau.Notons Ao legroupeabélien Amunidelamultiplicationdéfiniepar
a•b=ba.Alors,Aoestunanneau,appeléanneauopposéàA.
b)Soit Al’anneaudesmatricesn×n àcoefficientsdansC.Montrerquel’applicationquià
unematriceassociesatransposéeestunisomorphismedel’anneauAsurl’anneauopposé.
4)SoitK uncorpscommutatifetsoitV unK-espacevectorieldedimensionfinie.Montrerque
lecentredel’anneauEnd (V)estformédeshomothétiesx7→ax,poura∈K.
K
5)SoitAunanneauetsoitSunepartiedeA.
a) Montrer que l’ensemble des éléments de A qui commutent à tout élément de S est un
sous-anneaudeA.
b)Montrerquel’ensembledesélémentsa∈AtelsqueaS=Saestunsous-anneaudeA.
c)Déterminercessous-anneauxlorsqueAestl’anneaudesendomorphismesd’unK-espace
vectorieldedimensionfinieetqueSestforméd’unendomorphismediagonalisable.
6)Soitαunnombrecomplexeracined’unpolynômeunitaireàcoefficientsentiersP =Xd+
ad−1Xd−1+···+a0. Montrer que l’ensemble des éléments de C de la forme c0+c1α+···+
cd−1αd−1,pourc0,...,cd−1∈Z,estunsous-anneaudeC.
