Table Of ContentAlgŁbre commutative (cid:150)Introduction (cid:224) la gØomØtrie algØbrique
Marc SAGE (notes Øtendues d(cid:146)un mini-cours d(cid:146)Yves Laszlo)
2007
Table des matiŁres
1 Introduction 2
1.1 Guide intuitif : anneau des fonctions rØelles continues sur un quasi-compact . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Quelques rappels sur le vocabulaire des idØaux et les nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 PrØliminaires 9
2.1 NoethØrianitØ (ordres, modules, anneaux et espaces topologiques) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 IntØgralitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 IrrØductibilitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Modules et algŁbres des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Le foncteur spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 LocalisØ et corps rØsiduel en un idØal premier 22
3.1 Motivation et description des localisØs M et A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
p p
3.2 PropriØtØs du corps rØsiduel (cid:20)(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Exemples & application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Support, (cid:133)bres, dØlocalisation (Nakayama) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 RØalisation fonctionnelle d(cid:146)un anneau 29
4.1 Un ØlØment a A est une application continue sur SpA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Un ØlØment a2 A 1 est une fonction sur SpA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
s 2 S
4.3 Exercices (franchement dispensables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
(cid:2) (cid:3)
5 Topologie de Zariski 33
5.1 Les variØtØs V (I) : dØ(cid:133)nitions et propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 PropriØtØs topologiques des bijections Sp A(cid:30)I (cid:24)=V (I) et SpA a1 (cid:24)=D(a) . . . . . . . . . . . . 35
5.3 Spectre de (cid:135)Łches entiŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
(cid:0) (cid:1) (cid:2) (cid:3)
5.4 Les idØaux I(X) : dØ(cid:133)nitions et propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5 Le cas des algŁbres de type (cid:133)ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.6 Le cas des algŁbres (cid:133)nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 SØparation dans les spectres 44
6.1 Quasi-compacitØ et « quasi-sØparation » (axiome T de Hausdor⁄) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
0
6.2 CritŁres de sØparation au sens de FrØchet et Hausdorff (axiomes T et T ) . . . . . . . . . . 46
1 2
6.3 CritŁres de connexitØ et d(cid:146)irrØductibilitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.4 Composantes irrØductibles dans un spectre noethØrien, spØcialisation & gØnØrisation . . . . . . . 48
6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7 IdØaux associØs 53
8 Cohomologie des faisceaux 53
1
1 Introduction
Tous les anneaux seront considØrØs commutatifs et unitaires.
On pourra noter abusivement 0 l(cid:146)anneau nul 0 ou l(cid:146)idØal nul (0)= 0 .
f g f g
(cid:192)l(cid:146)instardesanneauxdepolyn(cid:244)mesoudefonctionsrØguliŁres,nousproposonsdevoirlessystØmatiquement
les ØlØments d(cid:146)un anneau comme des fonctions continues agissant sur les points d(cid:146)un espace topologique (le
spectre de l(cid:146)anneau), les lieux d(cid:146)annulation de ces fonctions formant une base des fermØs d(cid:146)une topologie (celle
deZariski).Celamettraencorrespondancelesanneauxetlesespacestopologiquesvia lefoncteur« spectre».
Nous nous attacherons (cid:224) voir comment les propriØtØs algØbriques et topologiques s(cid:146)entremŒlent. En tout (cid:133)n de
chapitre, nous proposons un humble aper(cid:231)u de la thØorie des schØmas.
1.1 Guide intuitif : anneau des fonctions rØelles continues sur un quasi-compact
Par propriØtØ gØomØtrique, on entendra les propriØtØs topologiques d(cid:146)un espace dont la topologie est dØ(cid:133)nie
de fa(cid:231)on algØbrique (polynomiale). On s(cid:146)intØressera selon cette acception au sens gØomØtrique des liens entre
topologie et algŁbre1.
Intuition gØomØtrique.
1. un espace topologique : un compact X de Rn (eg sa boule unitØ B, le segment [0;1])
2. un objet algØbrique : l(cid:146)anneau (X) des fonctions rØelles continues sur X.
C
IdØaux maximaux : pour x X, l(cid:146)Øval en x a pour noyau m et le quotient est le corps R, donc les m
x x
2
sont maximaux. RØciproque? OK. D(cid:146)oø la prop les idØaux max de (X;R) sont les m pour x dØcrivant X.
x
C
InterprØtation :
on a une bijection entre les points de l(cid:146)espace X et le spectre maximal de (X;R)
C
Le nullstellensatz est en e⁄et Øquivalent (cid:224) ce que tout idØal strict de k[X ;:::;X ] possŁde un zØro commun
1 n
(cid:224) tous ses ØlØments.
Cet ØnoncØ a un lien avec un problŁme apparemment sans rapport : dØterminer si une famille de fonctions
possŁde un zØro commun.UnØnoncØrØpondant(cid:224)unetellequestionportantsurdeslieuxd(cid:146)annulations(cid:146)appelle
un nullstellsatz2. Pour voir le rapport, on remarquera qu(cid:146)un point annule une famille de fonction ssi il annule
son idØalengendrØ:alorsou biencetidØalesttotal,donccontientlafonction 1(laquŒte d(cid:146)un zØrocommunest
alors perdue d(cid:146)avance), ou bien il est strict, donc est inclus un idØal maximal, mettons un m , ce qui montre
x
que x est un zØro commun. (RØciproquement, si m est un idØal maximal, alors ses ØlØments ont un zØro x en
commun, d(cid:146)oø m m et l(cid:146)ØgalitØ par maximalitØ). On peut donc reformuler le nullstellensatz :
x
(cid:26)
tout idØal strict de (X;R) possŁde un zØro commun (cid:224) tous ses ØlØments.
C
Revenons la premiŁre interprØtation : elle nous dit que la donnØe de l(cid:146)anneau (X;R) nous donne ensem-
C
blistementaccŁs(cid:224)l(cid:146)espaceX (prendreSp ).Peut-onØgalementrØcupØrersatopologie?OUIcarunfermØF de
m
X donnent un fonctions continue d(F; ) et rØciproquement toute fonction f (X;R) donne lieu (cid:224) un fermØ
(cid:1) 2C
V (f):= x X ;f(x)=0 ,
f 2 g
d(cid:146)oø une bijection entre (X;R) et la topologie de X. Conclusion3 :
C
conna(cid:238)tre l(cid:146)anneau (X;R) revient (cid:224) conna(cid:238)tre l(cid:146)espace topologique X :
C
les points de X constituent (via la bijection x m ) le spectre maximal de A
x
$
les fermØs de X sont (engendrØ par) les lieux V (a) d(cid:146)annulation des fonctions a continues sur X
VariØtØs. Observons tout d(cid:146)abord le comportement des variØtØs V (a). Psons V (I) := V (i) pour
i I
I A. Alors 2
(cid:26) T
1Il serait tentant de parler de topologie algØbrique mais l(cid:146)usage veut que cette derniŁre Øtudie plut(cid:244)t des objets algØbriques
associØs "naturellement" aux espace topologiques,(cid:224) l(cid:146)instarde leurhomologie.
2null-stellen-satz : littØralement « ØnoncØ portant sur les lieux d(cid:146)annulation ». (cid:192) l(cid:146)origine le nom donnØ au thØorŁme des
zØros de Hilbert
3Formellement:deuxespacesquasi-compactsX etY sonthomØomorphesssilesanneaux (X;R)et (X;R)sontisomorphes.
C C
2
1. (dØcroissance) si un point annule une famille, il en annule toute sous famille : I J = V (J) V (I)
(cid:26) ) (cid:26)
2. (variØtØ vide) aucun point n(cid:146)annule toutes les fonctions ((cid:224) cause de la fonction 1) : V (A)=
;
une fonction ne s(cid:146)annule pas ssi elle est inversible : V (a)= a A 1 (a)
(cid:2)
;() 2 () 2
3. (les variØtØs ne voient que les idØaux) un point annule une fonction ssi il annule tout produit par
elle : V (P)=V ((P))
4. (les variØtØs ne voient pas les puissances) un point annule une fonction ssi il annule toutes ses
puissances : V (an)=V (a)
5. (les variØtØs ne voient que les idØaux radicaux) un point annule une fonction ssi il annule une
racine de cette fonction V (I)=V pI
6. (intØgritØ de l(cid:146)esapce d(cid:146)arrivØe)(cid:16)un(cid:17)point annule un produit (cid:133)ni de fonctions ssi il annule l(cid:146)une d(cid:146)entre
elles : V (ab)=V (a) F (b)
[
7. (stabilitØ par intersection) un point annule plusieurs fonctions (cid:224) la fois ssi il en annule toute combi-
naison linØaire : V (a )=V ( (a ))
i i i i
DualitØ. Etant donnØ un fermØ F, comment dØcrire un idØal J tel que F = V (J)? Un rØponse na(cid:239)ve
T P
serait l(cid:146)ensemble
I(F):= f (X;R) ; f =0
F
2C j
des fontions nulles sur tout F (il est clair que F V (I(F))). Montrons cela pour les mØtriques. Soit x
(cid:8) (cid:9)
(cid:26) 2
V (I(F)). Alors d(;F) est nulle sur F, donc annule x, d(cid:146)oø x AdhF = F. Question naturelle (unicitØ) :
(cid:1) 2
a-t-on I(V (J))= J pour tout idØal J? On a clairement l(cid:146)inclusion . Rq un tel J doit Œtre radical. Essysons
(cid:27)
dans l(cid:146)autre sens. Soit J radical, def J := I(V (J)) (rq V (J) = V (J )) et mq J J. Soit a J alors J
0 0 0 0
(cid:26) 2 (cid:26)
J +(a) J , d(cid:146)oø (par dØcroissance) V (J) V (J +(a)) V (J ) = V (J) et l(cid:146)ØgalitØ V (J) = V (J +(a)) =
0 0
(cid:26) (cid:27) (cid:27)
V (J) V (a), d(cid:146)oø V (J) V (a). On veut en dØduire a J. Regardons le cas oø J est monogŁne J = (j).
Cherch\ons (cid:224) Øcrire a = bj(cid:26). NØcessairmeent, b vaut a en 2dehors de V (j) et pourrait valoir n(cid:146)improte quoi :
j
mais pour coller sur V (a) V (J) il est bien de prendre 0 pour ce n(cid:146)importe quoi. SynthŁse : on dØ(cid:133)nit b par
0 sur V (a) et a sur cV (j)n(recollement de deux aplication continues qui coincident (cid:224) l(cid:146)intersection) Alors a
j
et bj coindeint sur cV (j) et sur V (a), donc sont Øgales, cqfd. GØnØraleisons : J = (j ). CHerchons (cid:224) Øcrire
k
a = b j . Pour tout k on dØ(cid:133)nit b par 0 sur V (a) et a sur cV (j ) cV (j ) (deux (cid:224) deux disjoints
k k k jx x n[j6=x y
quandxvarie).Alorsaet b j coincident,doncsontØgales,donc(siJ DTF)a Aj =J.COnclusion:
P k k 2 k
onPa V (I(F)) = F pour tout fermØ P
on a I(V (r)) = r pour tout idØal radical r de type (cid:133)ni.
L(cid:146)ØgalitØ I(V (r)) = r est en fait Øquivalente aux nullstellensatz prØcØdents : si V (J) = , alors J pJ =
; (cid:26)
I(V (J))=I( )=A.
;
Du guide analytique au guide algØbrique. Nous avons vu que les fermØs de [0;1] sont les lieux
d(cid:146)annulationdesfonctionscontinuessur[0;1],Lespolyn(cid:244)mesdeR[t]fontpartiedecesderniŁresetontl(cid:146)avantage
de s(cid:146)exprimer de fa(cid:231)on purement algØbrique : que dire alors de la topologie faible qu(cid:146)ils induisent, (cid:231)ed celle
dont les fermØs sont (engendrØs par) les variØtØs V (P) := x t ;P (x)=0 lorsque P dØcrit R[t]? Comme
f 2 g
ci-dessis, V (P ) ne dØpend que de l(cid:146)idØai (P ), qui est monogŁne car R[t] est princal, donc les variØtØs
k k
sont bien stables par intersecton et dØ(cid:133)nissent les fermØs d(cid:146)une topologie "algØbrique", plus grossiŁre que la
T
topo "analytique"de [0;1] et attribuØe (cid:224) Oscar Zariski. Ses fermØs strcits sont les parties (cid:133)nies (pour P
non nul on a V (P) = racines de P ) et l(cid:146)on a par ailleurs I( x ;:::;x ) = ( (t x )), d(cid:146)oø l(cid:146)on dØduit
1 k i
f g f g (cid:0)
I(V (P))= (t x) et l(cid:146)ØgalitØ I(V (P))=(P) si P est simplement scindØ.
P(x)=0 (cid:0) Q
Regardon(cid:16)s (cid:224) prØsent la top(cid:17)ologie de Zariski pour elle mŒme :
Q
1. les polyn(cid:244)mes de R[t] constituent un anneau de fonctions continues sur l(cid:146)espace [0;1] vers R (tout
polyn(cid:244)me de dergØ d n(cid:146)atteignet un rØel (cid:133)Ø qu(cid:146)au plus d fois, la prØimge d(cid:146)une partie de card c est de
cardinal au plus cd)
2. Elleconserve la quasi-compacitØ de l(cid:146)espace[0;1](lavacuitØd(cid:146)uneintersectiondefermØs V (I )=
k
serØØcritV ( I )= etdoncØquivaut(cid:224)1 I ;pardØ(cid:133)nitiondelasommedeparties,l(cid:146)intersection
k k
; ; 2 T
est vide ssi une sous-intersection (cid:133)nie est vide, CQFD)
P P
3. Elle conserve la sØparation4 T de l(cid:146)espace [0;1] (ie tout singleton fermØ) ( x = V (t x)) On
1
f g (cid:0)
perd cependant le caractŁre T puisque deux ouverts non vides se rencontrent toujours (sinon l(cid:146)union des
2
fermØs associØs serat in(cid:133)nie).
4La lettre T, initiale du mot allemand Trennungsaxiom (« axiome de sØparation »), a ØtØ introduite par Pavel Aleksandrov
et Heinz Hopfdans leurtraitØ Topologie de 1935 (p.58 et suivantes),oø ils prØsentaient une liste de tels axiomes.
3
Augementons la dimension en regardant la tologie de Zariski sur [0;1]n, ie la topologie faible induite par
R[t ;:::;t ] , C0([0;1]n;R), ie dont les fermØ sont engendrØ par les V (I) pour I dØcrivant R[t]. Signalons
1 n
!
deux di⁄Ørences avec n=1 : les V (P) ne su¢ sent plus pour les fermØs(on n(cid:146)a plus la principalitØ) et les fermØs
strcits ne sont plus nØcesairemnt (cid:133)nis (V (t t ) est in(cid:133)ni). Toutefois, on peut montrer que la topo de Zarisi
1 2
(cid:0)
surRn permetderetrouvercelleforte5 etquelestroispropriØtØsprØcØdentessontconservØes(1pardef,2idem,
3 quasi idem (un point x annulant (t x ) annule chaque t x , for(cid:231)aant x =x ))
GØnØralisaont encore 0et rempla(cid:231)onis(cid:0)R piar n(cid:146)importe quelic(cid:0)orpis k et l(cid:146)espac0ie [0;i1]n par une partie X de kn.
Alorslesfonctiospolynomaile k[t ;:::;t ]neconstituentplusunsous(cid:146)anneaudeC0(X;R)(quelrapportk et
1 n
2
R auraient?) mais de (X;k)=kX : il se trouve que ses ØlØments agissent continuement sur l(cid:146)espace X (pour
F
les topo de Zarisi : la prØimage par un (cid:25) k[t ;:::;t ] d(cid:146)un fermØ V (P) de k est le fermØ V (P (cid:25))) , ce qui
1 n
2 (cid:14)
permetdevoirencoreunefoislespolyn(cid:244)mescommeunanneau de fonctions continues sur l(cid:146)espace X.Les
point2et3sontencorevØri(cid:133)Øs(riendechangedeR(cid:224)k).EndØ(cid:133)nissantpareilI(X)= P k (cid:0)!t ; PX =0 .
2 j
idØal radical, on dispose des nullstellsatz : n h i o
on a une bijection entre les points de l(cid:146)espace kn et le spectre maximal de R[t ;:::;t ]
1 n
tout idØal strict de R[t ;:::;t ] possŁde un zØro commun (cid:224) tous ses ØlØments.
1 n
on a V (I(F))=F pour tout fermØ
on a I(V (r))=r pour tout idØal radical r si k est algØbriquement clos
RQ : topo de Zariski sur SpC(X) est celle de X.
DAns les deux cas : le foncteur X (X;R) (ou kn k[t ;:::;t ] C0(kn;k)) est "essentiellement
1 n
7! C 7! (cid:26)
injectif" : la connaissance de l(cid:146)anneau des fonctions continues dØtermine entiŁrement l(cid:146)espace, ensemblistement
et topologiquement.
MOTIVATION : Qu(cid:146)en est-il de sa surjetivitØ? Si l(cid:146)on part d(cid:146)un anneau quelconque A, peut-on trouver
unespace X dont il soit un espace de fonctions continues dessus dont les fermØs sont engendrØ par les V (a)?
Un premier candidat serait le specmax muni de la topologie de Zariski mais on en voit dØj(cid:224) les limites : dans
les deux cas, hypothŁse bancales au nullstellsatz :
1. type (cid:133)ni pour (indispensable car I(V (o ))=I( x )=m =o )
x x x
C f g 6
2. alg clos pour kn (indipenable car V X2+1 = ).
R
;
Il va falloir rajouter d(cid:146)autre points (cid:224) X(cid:0)pour que(cid:1)tout cela fonctionne bien joliement : remplcare le specmax
par TOUT le spectre
Signalons en exercice. un premier lien alg-topo : un fermØ est dit irrØdcitble s(cid:146)il n(cid:146)est pas union de deux
fermØs (analoguq algq : les Ølments irrec). Montrons que la factorialitØ entriane que tour femrØ est rØunion
((cid:133)nie) de fermØ irrØd. .En gØnrØla, R (cid:0)!t est factoriel, donc V (P)=V ( Pi!i)=V ( Pi)= V (Pi)
h i Q Q SfermØ irrØdutible
orR (cid:0)!t noethØriendoncV (I)=V ( (Pk))= V (Pk)= V (Pk)= V (pi)= V ( (pi))|;{ozrd}eux
les (phi) siont maximaux, donc deux (cid:224) dPeux ØtranfeTrs, donc leuTr sSomme fait tSouTt A ou ne bSougePpas, cqfd
1.2 Quelques rappels sur le vocabulaire des idØaux et les nullstellensatz
Un anneau est rØduit s(cid:146)il n(cid:146)a pas de nilpotent non nul. Par exemple, si A est un anneau et p0 l(cid:146)idØal de ses
nilpotents, l(cid:146)anneau rØduit de A dØ(cid:133)ni par Ared := A(cid:30)p0 est rØduit.
UnidØald(cid:146)unanneauestrØduit,resp.premier,resp.maximal,silequotientparcetidØalestrØduit,resp.
intŁgre, resp. un corps. Un idØal maximal est premier (et strict), un idØal premier est rØduit. Les rØciproques
sont fausses6.
Les idØaux (resp. idØaux rØduits, resp. idØaux premiers, idØaux maximaux) d(cid:146)un anneau quotient A(cid:30)I sont
les J(cid:30)I oø J est un idØal (resp. idØal rØduit, resp. idØal premier, resp. idØal maximal) contenant I. En
notant a a la projection modulo un idØal I d(cid:146)un anneau A, on a pour tout a A et tout idØal J contenant I
7! 2
l(cid:146)Øquivalence7 a J a J.
2 () 2
5lesfermØsstrictsmaximauxsontlesV (P)pourP irrØd,donc(enprenantlegØnØrateurunitairedeI(V (P)) (P))onrØcupŁre
(cid:27)
au moins les irrØd,d(cid:146)oø tous les polyn(cid:244)mes parproduit,d(cid:146)oø les fonctions continues par densitØ et les fermØs comme ci-dessus
6Dans l(cid:146)anneau k[x;y], on a une suite strictement croissante d(cid:146)idØaux I r p m avec I := x2y2 non rØduit, r := (xy)
rØduit mais non premier,p :=(x)premiermais non maximalet m :=(x;y)maximal.
7Sia J,ily a un j J telque a=j,d(cid:146)oø a j=jI J puisque J est un idØal.La rØciproque(cid:0)est tr(cid:1)iviale.
2 2 2 (cid:26)
4
Lespectre (resp.spectre maximal)estl(cid:146)ensembledesidØauxpremiers(resp.maximaux).OnlenoteSpec
ou Sp (resp SpecMax ou SpMax ou Spm ou Sp ).
m
Un anneau est nul ssi son spectre est vide.
Un anneau est intŁgre ssi l(cid:146)idØal nul est premier (ou rØduit).
Un anneau est un corps ssi il possŁde exactement deux idØaux (ceux-ci sont alors les idØaux nul et total), ou
encore ssi tous ses idØaux (stricts) sont premiers, ou encore ssi l(cid:146)idØal nul est maximal.
Dans un anneau, les idØaux sont tous radicaux ssi tout ØlØment est multiple de son carrØ.
(thØorŁme de Krull) Tout idØal strict est inclus dans un idØal maximal.
La rØunion des idØaux maximaux est formØe des non inversibles. C(cid:146)est aussi la rØunion des idØaux premiers
(ou radicaux).
Une racine d(cid:146)une partie est un ØlØment dont une puissance 1 appartient (cid:224) cette partie. L(cid:146)ensemble des
(cid:21)
racines d(cid:146)une partie est la racine (ou le radical) de cette partie. On notera pP la racine d(cid:146)une partie P.
La racine d(cid:146)un idØal est un idØal : c(cid:146)est le plus petit idØal stable par racine le contenant.
La racine d(cid:146)une intersection (cid:133)nie d(cid:146)idØaux est l(cid:146)intersection des racines de ces idØaux.
Un idØal radical (ou radiciel) est un idØal stable par racines, autrement dit Øgal (cid:224) sa racine. Un idØal est
radical ssi il est rØduit (on dit aussi semi-premier), ou encore ssi il est stable par racine carrØe.
La racine d(cid:146)un idØal est le minimum des idØaux radicaux le contenant, ou encore l(cid:146)in(cid:133)mum des idØaux
premiers (minimaux) le contenant.
L(cid:146)intersection des idØaux premiers (ou rØduits) est formØe des nilpotents; c(cid:146)est le nilradical p0 ou radical
nilpotent. On pourra le noter NilRad. On a l(cid:146)identitØ NilRad A(cid:30)NilRadA =0.
L(cid:146)intersectiondesidØauxmaximauxestformØedesØlØmentsj telsque1+(j)estinclusdanslesinversibles:
(cid:0) (cid:1)
c(cid:146)est aussi le plus grand idØal J tel que 1+J A , appelØ radical de Jacobson, qui est un idØal radical
(cid:2)
(cid:26)
contenant le nilradical. On pourra le noter Rad ou Jac. On a l(cid:146)identitØ Jac A(cid:30)JacA =0.
(lemme de Nakayama) Si M est un A-module de type (cid:133)ni et J une partie de JacA telle que8
(cid:0) (cid:1)
M =JM, alors le module M est nul9.
Le spectre d(cid:146)un anneau factoriel est formØ d(cid:146)une part de l(cid:146)idØal nul, d(cid:146)autre part des idØaux principaux (p)
pour p dØcrivant les irrØductibles.
(de la terminologie « spectre ») Lespectredel(cid:146)anneauengendrØparunendomorphismeadmettant
un polyn(cid:244)me minimal sur un corps algØbriquement clos est en bijection avec le spectre de cet endomorphisme.
(nullstellensatz analytique10) Pour X espace quasi-compact, le spectre maximal de C0(X;R) est en
bijection avec X : envoyer un point x K sur le noyau m de l(cid:146)Øvaluation en x.
x
2
(nullstellensatz algØbrique) Pour k algØbriquement clos, le spectre maximal de k[X ;:::;X ] est en
1 n
bijection avec kn : envoyer un point a kn sur l(cid:146)idØal engendrØ par les X a .
(cid:0)! i i
2 (cid:0)
(nullstellensatz corporel) (oulemme de Zariski) SiAestunek-algŁbreintŁgredetype(cid:133)ni,alorsA
est un corps ssi l(cid:146)extension k , A est (cid:133)nie. Par consØquent, si k , K est une extension de corps, l(cid:146)algŁbre
! !
K est (cid:133)nie ssi elle est de type (cid:133)ni.
(topologie de Zariski) Lorsque dØcrit les parties de k[X ;:::;X ], les variØtØs algØbriques
1 n
P
V ( ):= x kn ; P ; P (x)=0
P f 2 8 2P g
dØ(cid:133)nissent les fermØs d(cid:146)une topologie sur kn (cid:150)dite de Zariski. Ces fermØs sont exactement les variØtØs algØ-
briques V (r) associØes aux idØaux radicaux de k[X ;:::;X ].
1 n
(localitØ) Un anneau local11 est un anneau possØdant un unique idØal maximal, le quotient par cet
idØal est son corps rØsiduel. Un anneau est local ssi les non-inversibles forment un idØal, autrement dit s(cid:146)ils
8Vu l(cid:146)ØgalitØM A A(cid:30)J = M(cid:30)JM,lelemmedeNakayama nousditquelemoduleM estnuldŁsqueson tensorisØparA(cid:30)J
(cid:10)
l(cid:146)est :
M =0 = M(cid:10) A(cid:30)J =0 .
( J JacA
(cid:26) (cid:26)
9Soit par l(cid:146)absurde m0;:::;mn une famille gØnØratrice minimale non vide. Alors m0 se dØcompose dans M = IM = Jmk,
mmekt,tcoensqumi0co=ntren1dijtklmakm,idn(cid:146)iommal(i1tØ(cid:0). j0)m02 n1Amk.Or1(cid:0)j0 estinversibleparhypothŁse,doncm0 estengendrØparlePsautres
10Factoriser Pl(cid:146)Øvaluation en x montre que Ple quotient A(cid:30)m x s(cid:146)identi(cid:133)e au corps R, d(cid:146)oø la maximalitØ des m x. ConsidØrons
ensuite m un idØal maximal inclus dans aucun des m x. On a alors pour tout x X une fonction fx A ne s(cid:146)annulant pas en x,
2 2
donc restant non nulle dans un voisinage Vx de x. Par quasi-compacitØ de X, on peut recouvrir ce dernier par un nombre (cid:133)ni de
Vx,maisalorsla sommedescarrØsdesfx pourcesxen nombre(cid:133)niestd(cid:146)unepartinversible(carnes(cid:146)annulejamais)d(cid:146)autrepart
appartient (cid:224) m (paridØalitØ),d(cid:146)oø la contradiction.
11la section 3.1 motivera la nature topologique de cette terminologie
5
sont stables par addition (si l(cid:146)anneau est non nul). Par exemple, k[[X]] est local d(cid:146)idØal maximal (X) et de
corps rØsiduel k, l(cid:146)anneau nul n(cid:146)est pas local.
(lemme chinois) Deux idØaux sont dits copremiers12 lorsque leur somme fait tout l(cid:146)anneau. (cid:201)tant
donnØs des idØaux en nombre (cid:133)ni deux (cid:224) deux copremiers, la (cid:135)Łche produit des surjections canoniques est
surjective de noyau l(cid:146)intersection de ces idØaux13.
Les lettres gothiques p et q dØsigneront systØmatiquement des idØaux premiers, m un idØal maximal, r un
idØal radical.
???EG
Z (ou k[t] ou k[t ;:::;t ] ou tout anneau factoriel).
1 n
idØaux : les (n) pour n N et l(cid:146)idØal nul
(cid:3)
2
idØaux radicaux : les (n) pour n N quadrafrei et l(cid:146)idØal nul
(cid:3)
2
idØaux premiers : les (p) pour p premier et l(cid:146)idØal nul
idØaux maximaux : les (p) pour p premier
intŁgre => nilrad = 0 = jac
Deux idØaux (a) et (b) sont copremiers ssi les entiers a et b sont copremiers. Le lemme chinois donne alors
un isomorphisme
Z(cid:30)ab (cid:24)= Z(cid:30)a(cid:2) Z(cid:30)b.
C0([0;1];R)
idØaux : exemple o := f nulle au voisinage de x m := f nulle en x .
x x
f g(cid:26) f g
idØaux premiers : cf exos
idØaux maximaux : les m pour x dØcrivant [0;1]
x
nilrad=0; jac= m=0
\
1.3 Motivations
NousavonsvuunnullstellensatzalgØbriquedØcrivantlesidØauxmaximauxdel(cid:146)anneauAdespolyn(cid:244)mesen
n indØterminØes avec les points de kn (lorsque k est algØbriquement clos) et rØalisant ainsi A comme un anneau
de fonctions (polynomiales) sur son spectre maximal. La connaissance de l(cid:146)anneau fonctionnel A dØtermine par
ailleurs les points de l(cid:146)espace Sp A=kn.
m (cid:24)
NousdisposonsdemŒmed(cid:146)unnullstellensatzanalytiquea¢ rmantque,pourAl(cid:146)anneaudesfonctionsrØelles
continuessuruncompactX,lesidØauxmaximauxdeAsontlesnoyaum desØvaluationsenxpourxdØcrivant
x
X. Ainsi, l(cid:146)anneau fonctionnel A agit sur son spectre maximal et dØtermine les points de l(cid:146)espace X =Sp A.
(cid:24) m
Quant (cid:224) la topologie de X, on peut aussi la rØcupØrer via les fermØs de X (cid:224) l(cid:146)aide de la bijection
A=C0(X;R) fermØs de X
(cid:0)! f g
f V (f)= x X ; f(x)=0 .
8 7(cid:0)! f 2 g
d(;F) F
< g
(cid:1) (cid:0)
Les fermØs de X sont donc:exactement les lieux d(cid:146)annulation des fonctions de A. C(cid:146)est cette propriØtØ que l(cid:146)on
va garder pour dØ(cid:133)nir (une base de) la topologie de Zariski dans le cas gØnØral, de fa(cid:231)on analogue au cas
polynomial.
Nous allons rØaliser de fa(cid:231)on gØnØrale tout anneau comme un anneau de fonctions sur son spectre, dont
les ØlØments p seront vus comme des points14, et mettre un topologie dont une base de fermØs sera les lieux
d(cid:146)annulation de ces fonctions. Le paragraphe 6.5 explique en quoi il n(cid:146)y a en fait qu(cid:146)une seule fa(cid:231)on naturelle
de procØder.
12Deux entiers a et b sont copremiers (ou Øtrangers ou premiers entre eux) lorsque leur pgcd vaut 1, autrement dit lorsque
la somme des idØaux (a)+(b)vaut l(cid:146)idØalengendrØ par1,(cid:224) savoirl(cid:146)anneau tout entier.
13Remarquerque le lemme chinois devient trivialpourun seul idØal.
14Notericil(cid:146)heureuse co(cid:239)ncidence des notations :« p remier» et « p oint » commencent tous deux parla mŒme lettre p .
6
1.4 Exercices
rØciproque chinois
RØciproquement, cette surjectivitØ implique que les idØaux considØrØs soient deux (cid:224) deux Øtrangers. Par
corestriction au produit des deux idØaux considØrØs, il su¢ t de traiter le cas de deux idØaux. Soient donc I et
J deux idØaux tels que A (cid:16) A(cid:30)I A(cid:30)J : le couple (0;1) est atteint par un i A, ce qui s(cid:146)Øcrit i I et
(cid:2) 2 2
i=1+j pour un j J, donc I+J contient i+(1 i)=1.
2 (cid:0)
ceg Nakayama dtf :
Pour un contre-exemple, prendre M := Q sur l(cid:146)anneau Z des fractions de dØnominateurs non divisible
(p)
par p (premier). Alors l(cid:146)anneau localisØ Z est local d(cid:146)idØal maximal J := (p)Z (fractions de numØrateur
(p) (p)
multiple de p) et il est clair que M =JM.
ceg Nakayma J Jac
(cid:26)
CettehypothŁsesestindispensablesil(cid:146)onveutlerØsultatpourtoutmoduledetype(cid:133)ni.Soitene⁄etj = JacA:
2
il y a un a A tel que 1+ja est non inversible, d(cid:146)oø 1+ja m pour un certain idØal maximal m. Alors j est
2 2
inversible dans M := A(cid:30)m (d(cid:146)inverse a), ce qui montre que M =jM; or M est non nul car m est strict.
espaces complŁtement rØguliers. Que dire d(cid:146)un espace topologique dont les fermØs sont engendrØs
par les lieux d(cid:146)annulation des fonctions rØelles continues sur cet espace? Montrons que cela Øquivaut (cid:224) vØri(cid:133)Ø
l(cid:146)axiome T de sØparation X est complŁtement rØgulier (T )
3 3
2 2
1. ssi F, x = F; f C(X) nulle sur X et non nulle en x
8 8 2 9 2
2. ssi les V (f) forment une base de fermØs
=> Soit F fermØ et a hors de F. Alors F est intersection des ensembles Z := f 1( 0 ); puisque a n(cid:146)est
f (cid:0)
f g
pas dans F, il y a un tel f tel que F Z et f(a)=0, CQFD.
f
(cid:26) 6
<= Soit F fermØ : en notant pour tout point a hors de F une fonction f comme dans l(cid:146)ØnoncØ, on voit que
a
F est l(cid:146)intersection des Z(f ).
a
TH : le quotient X de X par "mŒme image par toute f C(X)" est complŁtement rØgulier et on a un
cr
2
iso C(X ) C(X).
cr
(cid:0)!
DEux compacts X et Y sont homØomorphes ssi C(X) et C(Y) sont isomorphes.
Les mØtrgique sont complŁteemen rØgulier : par exemple d(x;(cid:1))
d(x;)+d(F;)
(cid:1) (cid:1)
variation sur nullstellesatz Soit k pas forcØment alg clos et m idØal max de k[X ;:::;X ]. Alors :
1 n
n
1. x k , m= P k[X ;:::;X ] ; P (x)=0 .
1 n
9 2 f 2 g
2. on a l(cid:146)implication m =m (cid:27) Aut k; i; y =(cid:27)(x ).
x y k i i
()9 2 8
3. l(cid:146)extension k ,! k[X1;:::;Xn](cid:30)mx s(cid:146)identi(cid:133)e au sous corps de k engendrØ par les xi et est de dim (cid:133)nie.
DEM Suposonsmx =my.Onaalorsdesk-isomorphsmes k ev(cid:24)=aly k[X1;:::;Xn](cid:30)my = k[X1;:::;Xn](cid:30)mx ev(cid:24)=alx k .
y X X x
i i i i
$ $ $
Notons x l(cid:146)image de X par la projection modulo m. Ntons K le corps engendrØ par k et les x dans une
i i i
extension commune adØquate???. Alors evalx :k[X1;:::;Xn](cid:16)K est surjectif et (nullstellensatz) de noyau un
my; puisque K ev(cid:24)=alx k[X1;:::;Xn](cid:30)my ev(cid:24)=aly k, le k-ev K est de dim 1, donc tous les xi sont dans k. Ainsi les xi
sont algŁbrique, donc k[x ;:::;x ] est de dim (cid:133)nie sur k.
1 n
rØciproque nullstellensatz algØbrique :
La rØciproque est facile : s(cid:146)il y a un n 1 tel que les idØaux maximaux de k[X ;:::;X ] soient de la forme
1 n
(cid:21)
annoncØe, alors, Øtant donnØ un polyn(cid:244)me P k[X] non constant, l(cid:146)idØal (P) de k[X] , k[X ;:::;X ] est
1 n
2 !
strict, donc contenu dans un idØal maximal (X (cid:21) ), d(cid:146)oø P ((cid:21) )=0.
i i 1
(cid:0)
rØciproque nullstellensatz analytique : On montre plus gØnØralement pour tout espace X complŁ-
tement rØgulier l(cid:146)Øquivalence
(X est quasi-compact) Sp (X;R)= m ; x X :
() mC f x 2 g
LarØciproqueestvraiepourlesmØtriques(etladØmonstrationquisuitfacilementadaptablepourlesespaces
complŁtementrØguliers).ConsidØronsX unmØtriquenoncompactet(F ) uneintersectionvidedefermØsde
i i I
2
7
X dont toute sous-intersection (cid:133)nie est non vide. Pour J partie (cid:133)nie de I, on note f une fonction s(cid:146)annulant
J
exactement sur F (qui est non vide), par exemple la distance (cid:224) ce fermØ. Alors l(cid:146)idØal engendrØ par les
j J j
f n(cid:146)est pas total (2tout ØlØment a f s(cid:146)annule sur le fermØ non vide F puisque la partie J
esJt (cid:133)nie), donc eTst inclus dans un idkØalkmJakximal. Si ce dernier Øtait un m , lekpoji2nJtkx sjerait dans un ouvertkcFk,
x i
P T T S
donc hors du lieu d(cid:146)annulation de f , contredisant la dØ(cid:133)nition de m .
i x
fg
Il y a une bonne raison de restreindre la rØciproque aux espaces complŁtement rØguliers : tout espace to-
pologique X admet une projection sur un espace complŁtement rØgulier Xcr, mettons (cid:25) : X (cid:16) Xcr, laquelle
C0(Xcr;R) C0(X;R)
induit un isomorphisme d(cid:146)anneaux (cid:0)! . C(cid:146)est le thØorŁme 3.9 (page 41) de Ring
f f (cid:25)
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:14)
of continuous functions de Gillman & Jerison.
g
Exos sur C(K) oø K compact. (cf Ring of continuous functions de Gillman & Jerison.)
Appelons bon idØal un I tq [ i I;V (f)=V (i)]= [f I].
9 2 ) 2
Mq on peut remplacer = par
(cid:15) (cid:27)
=clair. Mq = . Soit f;i tq V (f) V (i). Alors V (f)=V (i) V (f)=V if , donc f I.
( ) (cid:27) [ 0 1 2
I
(idØaux premiers) : mq un bon idØal I est premier ssi f A; i I; sgn(f) c@st2surAV (i)
(cid:15) 8 2 9 2 |{z}
=> soit f A. Alors max 0;f min f;0 = 0 I, donc (mettons) max 0;f I; alrso x
2 f g f g 2 f g 2 2
V (max 0;f ) max f(x);0 =0 f(x) 0.
f g () f g () (cid:20)
<= supposons gh I. Alors g h est de signe constant sur un V (i), mettons g h sur V (i).
2 j j(cid:0)j j j j (cid:21) j j
Alors, sur V (i) on aura V (g) V (h), ie V (g) V (i) V (h) V (i), ie V (g+i) V (h+i), ie V (h+i) =
(cid:26) \ (cid:26) \ (cid:26)
V (g+i) V (h+i)=V (gh+i?), d(cid:146)oø V (h) V ( I), donc (car I bon idØal) h I
[ (cid:27) 2 2
cor : un bon idØal est premier ssi il contient un premier
(cid:15)
idØaux radicaux :????
(cid:15)
Mq l(cid:146)implication I =I(V (I))= Ibon idØal. <=?
(cid:15) )
Soit f;i tq V (f) V (i). Alors V (f) V (I), donc I(V (f)) I(V (I)). On va voir que o est
x
(cid:27) (cid:27) (cid:26)
f =I
2
bon mais I(V (o ))=m .
x x
(pages 63-65)
Mq l(cid:146)ØgalitØ V (o )= x =V (m ).
x x
(cid:15) f g
claire. Soit y = x. Soit V voisingage de x ne contennat pas y, soit f nulle sur V et non nulle en y :
alors f (cid:27)o et y = V (f)6, donc y = V (o ). On en dØduit x V (m )ox(cid:26)mx V (o )= x
x x x x
2 2 2 f g(cid:26) (cid:26) f g
Mq l(cid:146)implciation o m = y =x.
x y
(cid:15) (cid:26) )
Supp abs y = x. On construtui comme ci-dessus une fonction nulle sur un voisinage de x et non nulle
6
en y, ie un Ølt de o m = , abs.
x y
n ;
Mq o et m sont des bons idØaux.
x x
(cid:15)
Soit f;o tq V (f) = V (o) : puisque V (o) contient un voisinagede x, c(cid:146)est un voisinage de x, donc f
s(cid:146)annule sur un vois de x, ie f o . Soit f;m tq V (f)=V (m) : puisque V (m) contient x, so does V (f),
x
2
ie f m
x
2
Soit p : mq !x; o p m
x x
(cid:15) 9 (cid:26) (cid:26)
p est un inclus dans un maximal, metton p m . Mq o p. Soit f nulle sur un voisin ouverteU de
x x
(cid:26) (cid:26)
x. Soit (cid:14) nulle sur cU et non nulle en x. Alors (cid:14)f = 0 partout, donc (cid:14)f p; or (cid:14) = p car (cid:14) = m , ce qui force
x
2 2 2
f p, cqfd. Si o p m , alors un exo prØcØdent mq x=y.
y y
2 (cid:26) (cid:26)
cor : p est contenu dans un unique maximal
(cid:15)
clair (interprØtaion arbolaire sur le spectre???)
mq les idØaux fermØs (pour norme uniforme) sont les intersection de maximaux???
(cid:15)
(pages 207-208)
Soit I bon idØal o . Alors I est premier ssi C(X)=I est bØzoutien ou ssi C(X)=I de valuation
x
(cid:27)
Tout o est premier tout f est localement de signe constant les premiers contenus dan sun maximal
x
() ()
sont totalemtn ordonnØ (ie pas de bifrucation dans l(cid:146)arbre spectral quand on part d(cid:146)une feuille) C(X)
()
bØzoutien f; f f f; f f f; (f; f )principal ???tout idØal principal est radical
() 8 j j j () 8 j j j () 8 j j () ()
???tout idØal dtf est radical
8
(pages 211)
tout o est maximal tout p est maximal tout idØal est bon tout idØal est radical
x
() () ()
Les inclusions o p m deviennenet des ØgalitØ, d(cid:146)oø la premiŁre .
x x
(cid:26) (cid:26) ()
2 PrØliminaires
On rappelle l(cid:146)isomorphisme suivant, valable pour des modules M , M et N , N, qui permet de calculer
0 0
! !
des produits tensoriels de quotients :
M N M N
(cid:30)Mm0 (cid:10) n (cid:30)N0 (cid:0)! (cid:10) (cid:30)mM0(cid:10)Nn+M(cid:10)N0 .
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10)
g
On rappelle Øgalement qu(cid:146)un module est plat15 si la tensorisation par ce module prØserve les injections.
Par ailleurs, il nous arrivera couramment de parler abusivement des points d(cid:146)un espace topologique pour
parler de ses singletons.
2.1 NoethØrianitØ (ordres, modules, anneaux et espaces topologiques)
Cherchons (cid:224) casser une structure en briques ØlØmentaires, ces derniŁres Øtant par dØ(cid:133)nition celle qu(cid:146)on ne
peut plus casser. L(cid:146)algorithme na(cid:239)f est le suivant : si notre structure est dØj(cid:224) ØlØmentaire, on s(cid:146)arrŒte, sinon, on
peut la casser en bouts plus petits auquel on rØapplique cet algorithme. La noethØrianitØ est la condition qui
garantit la terminaison d(cid:146)un tel algorithme.
Principe d(cid:146)induction noethØrienne.
Un ensemble ordonnØ E sera dit noethØrien si tout partie non vide possŁde un ØlØment minimal, i. e. si
toute suite dØcroissante stationne.
Pour qu(cid:146)une propriØtØ P portant sur les ØlØments d(cid:146)un ensemble ordonnØ E noethØrien soit toujours vraie,
il su¢ t qu(cid:146)elle vØri(cid:133)e pour tout a E l(cid:146)implication
2
[ x<a; P (x)] = P (a).
8 )
En e⁄et, soit F l(cid:146)ensemble des x E pour lesquels P (x) est fausse; si F Øtait non vide, il aurait un ØlØment
2
minimal a; par minimalitØ, P (x) est vraie pour tout x<a, donc par hypothŁse P (a) serait aussi vraie, ce qui
est contradictoire.
Par exemple, l(cid:146)ensemble N est noethØrien pour la divisibilitØ car il l(cid:146)est pour l(cid:146)ordre usuel. Notons P (n)
pour « n se factorise en produit de premiers » et supposons n<N; P (n) pour un entier N N . Alors : ou
(cid:3)
8 2
bien N est premier, d(cid:146)oø P (N); ou bien il se factorise en N =ab avec a et b strictement plus petits, d(cid:146)oø P (a)
et P (b), desquelles on dØduit aisØment P (N).
DØ(cid:133)nition (cid:150)PropriØtØ.
Un module est noethØrien s(cid:146)il vØri(cid:133)e l(cid:146)un des trois conditions Øquivalentes suivantes :
1. l(cid:146)ensemble de ses sous-modules est noethØrien pour ;
(cid:27)
2. toute suite croissante de sous-modules stationne;
3. tout sous-module est de type (cid:133)ni.
DØmonstration.
L(cid:146)Øquivalence entre 1. et 2. est une dØ(cid:133)nition.
2: = 3: L(cid:146)ensemble des sous-modules de type (cid:133)ni d(cid:146)un sous-module M est non vide, donc admet un
)
ØlØmentmaximalM0quivautnØcessairementM (sinononpeuttrouverunm M telqueM0 M0+Am M).
2 (cid:26)
3: = 2: Si(M )estunesuitecroissantedesous-modules,larØuniondesM estunsous-module,donc
n n
)
est par hypothŁse engendrØe par des m en nombre (cid:133)ni, chacun dans un M , donc tous inclus dans M ,
i ni maxni
de sorte que (M ) stationne (cid:224) M .
n maxni
15Surun anneau principal,la platitude Øquivaut (cid:224) l(cid:146)absence de torsion,ce quiØclaire la terminologie (due (cid:224) J.-P.Serre).
9
Par exemple, un espace vectoriel est noethØrien ssi il est de dimension (cid:133)nie.
Le troisiŁme point permet de montrer aisØment que la noethØrianitØ (des modules) passe au sous-module,
au quotient et (cid:224) la somme directe :
1. si M0 est un sous-module de M, alors16 M est noethØrien ssi M0 et M(cid:30)M le sont;
0
2. si M ;:::;M sont des modules, alors M M est noethØrien ssi chaque M l(cid:146)est.
1 n 1 n i
(cid:8)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:8)
DØmonstration.
1. = Les sous-modules de M sont des sous-modules du module noethØrien M, donc sont de type
0
)
(cid:133)ni. Notons (cid:25) la projection modulo M . Si I est un sous-module de (cid:25)(M), alors (cid:25) 1(I) est un sous-
0 (cid:0)
module de M, donc est de type (cid:133)ni, disons (cid:25) 1(I) = Am , d(cid:146)oø par surjectivitØ de (cid:25) le type (cid:133)ni de
(cid:0) k
I =(cid:25) (cid:25) 1(I) = A(cid:25)(m ).
(cid:0) k
P
= Soit I un sous-module de M. La projection (cid:25)(I) est un sous-module du module noethØrien
( (cid:0) (cid:1) P
M(cid:30)M , donc est de type (cid:133)ni, mettons I = Amk. Alors tout i I est combinaison linØaire des mk
0 2
modulo M ,doncestengendrØparlesm unionunefamillegØnØratricedeM (quel(cid:146)onpeutprendre(cid:133)nie
0 k 0
P
par noethØrianitØ de ce dernier), de sorte que I est de type (cid:133)ni, CQFD.
2. = Un sous-module de M est un sous-module de M , donc est de type (cid:133)ni.
i j
)
= Lessous-modulesde M sontles M oøM estunsous-moduledeM (quiestnoethØrien)
( i i0 Li0 i
pour tout i, donc sont des sommes directes (cid:133)nies de modules de type (cid:133)ni, donc de type (cid:133)ni.
L L
Ainsi,siV estunsevd(cid:146)unevE,alorslepoint2quiprØcŁdea¢ rmequeE estdedimension(cid:133)niessiV etE(cid:30)V
lesont.ParunerØcurrenceimmØdiate,sil(cid:146)ondisposed(cid:146)unesuite(cid:133)niedesev0=V V V V =E,
0 1 2 n
(cid:26) (cid:26) (cid:26)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:26)
alors E est de dimension (cid:133)nie ssi tous les quotients Vi+1(cid:30)Vi le sont. Nous aurons besoin de ce rØsultat au
paragraphe 5.5.
On verra que la noethØrianitØ passe Øgalement (cid:224) la localisation (cf. paragraphe 2.4).
Question. On a vu qu(cid:146)un module noethØrien est nØcessairement de type (cid:133)ni. Qu(cid:146)en est-il de la rØci-
proque?
Puisqu(cid:146)unanneauesttoujoursdetype(cid:133)nisurlui-mŒme(engendrØpar1),ilsu¢ tpourin(cid:133)rmerlarØciproque
d(cid:146)exhiber des anneaux non noethØriens sur eux-mŒmes. On verra que ces derniers constituent l(cid:146)unique famille
de contre-exemples.
DØ(cid:133)nition. Un anneau est noethØrien s(cid:146)il est noethØrien en tant que module sur lui-mŒme, i. e. si
tout ensemble non vide d(cid:146)idØaux admet un ØlØment maximal.
Remarque. DansunanneaunoethØrien,toutesuited(cid:146)ØlØmentsdØcroissantepourladivisibilitØstationne
(c(cid:146)est l(cid:146)Øquivalence a b (b) (a)), la rØciproque tenant pour les anneaux principaux.
j () (cid:26)
Remarque. DansunanneaunoethØrien,lethØorŁmedeKrullestimmØdiatetnenØcessitepasl(cid:146)axiome
du choix (considØrer l(cid:146)ensemble des idØaux stricts contenant un idØal strict donnØ).
Par exemple, les corps sont noethØriens.
Pour un contre-exemple, considØrer l(cid:146)anneau des polyn(cid:244)mes k[a;b;c;:::] (cid:224) une in(cid:133)nitØ d(cid:146)indØterminØes dans
lequel la suite d(cid:146)idØaux (a) (ab) (abc) cro(cid:238)t strictement.
(cid:26) (cid:26) (cid:26)(cid:1)(cid:1)(cid:1)
De mŒme, l(cid:146)anneau des fonctions rØelles continues sur un voisinage de 1 n(cid:146)est pas noethØrien puisqu(cid:146)on a la
suite strictement dØcroissante de divisibilitØs17 pnx p3x px x.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)j j(cid:1)(cid:1)(cid:1)j j j
On a vu que la noethØrianitØ (des anneaux) passait (cid:224) l(cid:146)idØal, au quotient et (cid:224) la somme directe. Il passe
Øgalement (cid:224) l(cid:146)algŁbre des polyn(cid:244)mes (cid:224) une indØterminØe (c(cid:146)est un thØorŁme de Hilbert). Par consØquent,
toute algŁbre de type (cid:133)ni sur un anneau noethØrien est noethØrienne.
En revanche,lanoethØrianitØ nepasse pasausous-anneau :considØrerunanneauintŁgre nonnoethØrienvu
comme sous-anneau de son corps des fractions (en termes de modules, on change d(cid:146)anneau de base).
16En d(cid:146)autrestermes,sion aunesuiteexacte0 M N R 0,alorslemoduledu milieu estnoethØrien ssilesdeux
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
autres modules le sont.
17avec l(cid:146)abus de notation pkxpourla fonction x pkx
7!
10
