Table Of ContentN. B O U R B A K I
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E L E M E N T S D E
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MATHEMATIQUE
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N. B O U R B A K I
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E L E M E N T S D E
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MATHEMATIQUE
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ALGEBRE
Chapitre 8
Modules et anneaux semi-simples
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MSC16-01,16D60,16D70,16Kxx,16L30,16N20
Modulesetanneauxsemi-simples
(cid:2)c Hermann,Paris1958
(cid:2)c N.Bourbaki,1981
(cid:2)c N.BourbakietSpringer-VerlagBerlinHeidelberg2012
ISBN978-3-540-35315-7SpringerBerlinHeidelbergNewYork
e-ISBN978-3-540-35316-4SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Mode d’emploi de ce traité
NOUVELLEÉDITION
1.Letraitéprendlesmathématiquesàleurdébutetdonnedesdémonstrations
complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathé-
matique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement ma-
thématique et un certain pouvoir d’abstraction. Néanmoins, le traité est destiné
plusparticulièrementàdeslecteurspossédantaumoinsunebonneconnaissancedes
matières enseignées danslapremière oules deux premières années del’université.
2. Le mode d’exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du
généralauparticulier.Lesnécessitésdeladémonstrationexigentqueleschapitresse
suivent,enprincipe,dansunordrelogiquerigoureusementfixé.L’utilitédecertaines
considérations n’apparaîtra donc au lecteur qu’à la lecture de chapitres ultérieurs,
à moinsqu’ilne possèdedéjàdes connaissancesassezétendues.
3.LetraitéestdiviséenLivresetchaqueLivreenchapitres.LesLivresactuel-
lement publiés,en totalitéou en partie, sontles suivants:
Théoriedes ensembles désignépar E
Algèbre — A
Topologiegénérale — TG
Fonctionsd’unevariableréelle — FVR
Espacesvectoriels topologiques — EVT
Intégration — INT
Algèbrecommutative — AC
Variétés différentiables etanalytiques — VAR
Groupeset algèbresdeLie — LIE
Théories spectrales — TS
Danslessix premiers Livres(pourl’ordreindiquéci-dessus),chaqueénoncéne
faitappelqu’auxdéfinitionsetrésultatsexposésprécédemment danslechapitreen
VI MODE D’EMPLOI DE CE TRAITÉ
coursoudansleschapitresantérieursdans l’ordre suivant :E;A,chapitresIàIII;
TG, chapitres I à III; A, chapitres IV et suivants; TG, chapitres IV et suivants;
FVR;EVT;INT.ÀpartirduseptièmeLivre,lelecteurtrouveraéventuellement,au
débutdechaqueLivreouchapitre,l’indicationprécisedesautresLivresouchapitres
utilisés (les sixpremiers Livres étanttoujourssupposésconnus).
4.Cependant,quelquespassagesfontexceptionauxrèglesprécédentes.Ilssont
∗
placésentredeuxastérisques: ...∗.Danscertainscas,ils’agitseulementdefaciliter
lacompréhensiondutextepardesexemplesquiseréfèrentàdesfaitsquelelecteur
peutdéjàconnaîtreparailleurs.Parfoisaussi,onutilise,nonseulementlesrésultats
supposésconnusdanstoutlechapitreencours,maisdesrésultatsdémontrésailleurs
dansletraité.Cespassagesserontemployéslibrementdanslespartiesquisupposent
connusleschapitresoùcespassagessontinsérésetleschapitresauxquelscespassages
fontappel.Lelecteurpourra,nousl’espérons,vérifierl’absencedetoutcerclevicieux.
5.ÀcertainsLivres(soitpubliés,soitenpréparation)sontannexésdesfascicules
de résultats.Ces fasciculescontiennentl’essentieldes définitionsetdes résultatsdu
Livre, maisaucunedémonstration.
6. L’armature logique de chaque chapitre est constituée par les définitions, les
axiomesetlesthéorèmesdecechapitre;c’estlàcequ’ilestprincipalementnécessaire
de retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins importants, ou qui
peuvent être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le nom de
«propositions»,«lemmes»,«corollaires»,«remarques»;etc.; ceux quipeuvent
être omis en première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous le nom de
«scholie»,ontrouveraquelquefoisuncommentaired’unthéorèmeparticulièrement
important.
Pour éviter des répétitions fastidieuses, on convient parfois d’introduire cer-
taines notationsou certaines abréviationsqui ne sontvalablesqu’à l’intérieur d’un
seul chapitre ou d’un seul paragraphe (par exemple, dans un chapitre où tous les
anneauxsontcommutatifs,onpeutconvenirquelemot«anneau»signifietoujours
«anneau commutatif»). De telles conventionssontexplicitement mentionnées à la
tête duchapitreou duparagraphedanslequel elles s’appliquent.
7.Certainspassagessontdestinésàprémunirlelecteurcontredeserreursgraves,
Z
où il risquerait de tomber; ces passages sont signalés en marge par le signe
(«tournantdangereux»).
MODE D’EMPLOI DE CETRAITÉ VII
8.Lesexercicessontdestinés,d’unepart,àpermettreaulecteurdevérifierqu’il
abienassimiléletexte;d’autrepartàluifaireconnaîtredesrésultatsquin’avaient
pasleur placedansle texte; les plusdifficilessontmarquésdusigne¶.
9.Laterminologiesuiviedanscetraitéafaitl’objetd’uneattentionparticulière.
Ons’estefforcédenejamaiss’écarterdelaterminologiereçuesansdetrèssérieuses
raisons.
10. On a cherché à utiliser, sans sacrifier la simplicité de l’exposé, un langage
rigoureusementcorrect. Autantqu’ila étépossible,lesabus de langage ou de nota-
tion,sanslesquelstouttextemathématiquerisquededevenirpédantesqueetmême
illisible,ontété signalésaupassage.
11. Le texte étant consacré à l’exposé dogmatique d’une théorie, on n’y trou-
vera qu’exceptionnellement des références bibliographiques; celles-ci sont parfois
groupéesdansdesNotes historiques.LabibliographiequisuitchacunedecesNotes
ne comporte le plus souventque les livres et mémoires originauxqui onteu le plus
d’importancedansl’évolutiondelathéorieconsidérée;ellenevisenullementàêtre
complète.
Quant aux exercices, il n’a pas été jugé utile en général d’indiquer leur pro-
venance, qui est très diverse (mémoires originaux, ouvrages didactiques, recueils
d’exercices).
12. Dans la nouvelle édition, les renvois à des théorèmes, axiomes, définitions,
remarques, etc. sont donnés en principe en indiquant successivement le Livre (par
l’abbréviation qui lui correspond dans la liste donnée au no3), le chapitre et la
page où ils se trouvent. À l’intérieur d’un même Livre, la mention de ce Livre est
supprimée;parexemple, dansle Livred’Algèbre,
E, III, p.32,cor. 3
renvoieaucorollaire3 setrouvantauLivredeThéoriedes Ensembles,chapitreIII,
page32dece chapitre;
II, p. 24,prop.17
renvoieà laproposition17du Livred’Algèbre, chapitreII, page24dece chapitre.
Lesfasciculesderésultatssontdésignésparlalettre R;parexemple: EVT, R
signifie«fasciculederésultatsdu Livresurles EspacesVectoriels Topologiques».
Commecertains Livres doiventêtre publiés plustard dansla nouvelleédition,
les renvois à ces Livres se font en indiquantsuccessivement le Livre, le chapitre, le
paragrapheetlenumérooùdevraitsetrouverlerésultatenquestion;parexemple:
AC, III, §4, no5, cor. dela prop.6.
•
INTRODUCTION
Cechapitreestconsacréàl’étudedecertainesclassesd’anneauxetdesmodules
surcesanneaux.Plusieursthèmessous-tendentcetteétude,commelesquestionsde
classificationetdedécompositionouladescriptiondessous-objetsetdesensembles
de morphismes.
Pourl’essentiel,nousn’abordonscesquestionsquesousdeshypothèsesdefini-
tude raisonnableset c’est la raison pour laquellele chapitre s’ouvresur les notions
de moduleoud’anneaunoethérien etartinien.
En ce qui concerne l’étude des anneaux, nous présentons différents résultats
permettant lacompréhensiondesanneauxartiniens:
a) Le radical deJacobsond’unanneauartinien est sonradical nilpotent(§10)
et lequotientcorrespondantest unanneausemi-simple(§8);
b) Un anneau semi-simple est isomorphe au produit d’une famille finie d’an-
neaux simples(§7);
c) Par le théorème de Wedderburn (VIII, p. 116, th. 1), un anneau simple est
isomorpheàunealgèbredematrices suruncorps.
ÀéquivalencedeMoritaprès(§6),unealgèbrededegréfiniquiestunanneausimple
estdéterminéeparsaclassedansungroupeabélienappelégroupedeBrauer.Nous
donnonsplusieursdescriptionsdecegroupe(§15et§16)ainsiquequelquesexemples
(§18 et §19).
Pourlesmodules,deuxdécompositionsnaturellespeuventêtreconsidérées :la
première,entermesdesuitedecomposition(I,p.39,définition9),estfournieparle
théorèmedeJordan-Hölder(I,p.41,th.6);laseconde,correspondantauxsommes
directes, est donnée dans le cas des modules de longueur finie par le théorème de
Krull-Remak-Schmidt(VIII,p.34,th.2)quiestdéduiticid’unrésultatd’Azumaya
sur les modules semi-primordiaux (VIII, p. 29, th. 1). On est également amené
à considérer les invariants associés aux modules qui se comportent additivement
X INTRODUCTION
pourles décompositionsci-dessus;les groupes deGrothendieck décrits au §11 sont
solutionsdeproblèmesuniverselspourcesinvariants.Dansl’étudedelastructuredes
modules sur un anneau, la notion d’isomorphisme d’anneaux est avantageusement
remplacée parl’équivalencedeMorita.
Pourlesmodulessemi-simples,c’est-à-diresommesdirectesdemodulessimples,
la notion de description d’un module (VIII, p. 65, définition 5) permet de décrire
les homomorphismesissusdu moduleainsiqueses sous-modules.
À titre d’illustration, nous considérons au §21 le cas de l’algèbre d’un groupe
fini, dontles modulescorrespondentauxreprésentationslinéaires dugroupe.
Une note historique en fin de volume, reprise de l’édition précédente, retrace
l’émergence d’unegrandepartiedes notionsdéveloppéesici.
