Algèbre : Chapitre 8

94 Pages·1958·6.22 MB·French

by  Nicolas Bourbaki

ACTUALITÉS SCIENTIFIQUES ET INDUSTRIELLES
1261
N. BOURBAKI
éments de mathématique
FASCICULE XXIII
GÈBRE
anneaux sermi-simples
LIVRE II
ALGÈBRE
Nouveau tirage février 1973
ISBN 2 7056 1261 0
HERMANN, PARIS 1953
Tous droits de reproduction, mate fragmentaire, soue quelque forme que ce soit, y compris
photographie, photocopie, microfilm. bande magnétique, disque. ou autre. réservés pour
tous pays.
CHAPITRE VIII
MODULES ET ANNEAUX SEMI-SIMPLES
Dans tout ce chapitre, "Appendice excepté, les anneaux dont il sera
question seront supposés posséder un élément unité, généralement noté 1, et
tous les modules seront supposés unitaires ; sauf mention expresse du contraire,
tous les modules considérés seront des modules à gauche. Si A est une algèbre
sur un corps commutatif K, on identifie K à la sous-algèbre K.1 du centre
de A, sauf mention expresse du contraire (chap. II, § 7, n° 4) ; tout A-module
est alors, par restriction à K de l'anneau des scalaires, muni d'une structure
d'espace vectoriel sur K.
§ 1. Commutation
J. Projecteurs.
DÉFINITION 1. — Soient A un anneau, M un A-module, et L = ..'a(M)
l'anneau des endomorphismes de M. On dit qu'un élément e de L est un pro-
jecteur (dans M) si e2 (cid:9) e (autrement dit, si e est un idempotent (chap. I,
§ 1, n° 4) dans L).
Dans ce qui suit, étant donné un homomorphisme u d'un A-module M
dans un A-module N, il nous sera commode de dire, par abus de langage,
que le sous-module u(M) de N est l'image de u.
PROPOSITION 1. — Soient A un anneau, M un A-module, L =(cid:9) e
un projecteur dans M. Soient N = e(M) l'image de e et P = e-1(0) son noyau.
a) M est somme directe de N et de P.
b)P our tout x e M de la forme x1 + x2, avec x1eN,x2E P, on a e(x) = x1.
c) 1 — e est un projecteur d'image P et de noyau N.
8(cid:9) MODULES ET ANNEAUX SEMI-SIMPLES(cid:9) §1(cid:9) no 2(cid:9) COMMUTATION(cid:9) 9
d) L'idéal à droite eL est l'ensemble des u e L dont l'image est contenue Soit M un A-module, somme directe d'une famille (M,),, r de sous-mo-
dans N ; l'idéal à gauche Le est l'ensemble des u e L dont le noyau contient P. dules. Pour tout x e M, soit e,(x) le composant de x dans M, ; e, est donc
On a (1 — e)2 = 1 — 2e -I- e2 = 1— e, donc 1 — e est un projecteur. le projecteur d'image M, et de noyau(cid:9) La famille (E3, e I est ortho-
Soit x e M. Pour que x e N, il faut et il suffit que x = e(x) : la condition, évi- gonale, car sic(cid:9) t el z e M, on a ex(x) e M,, donc c,e4r)(cid:9) O. On dit que
demment suffisante, est nécessaire, car si x = e(x'), on a e(x)(cid:9) e2(e) (e,),E est la famille de projecteurs associée à la décomposition en somme di-
= e(x') = x. Ceci montre que N est le noyau de I — e, et (en échangeant recte M =(cid:9) M, .
les rôles de e et de 1 —e) on a établi c). La formule
Réciproquement :
(cid:9)
(1) PnorosrrioN 2. — Soient M un A-module, (e,),EI une famille orthogonale
y = e(u) + (1 — e)(.0
de projecteurs de M possédant la propriété suivante: pour tout z E M, e,(x) — 0
pour tout y e M, montre que M = N + P. Si z eNn P, on a z =e (z) et e(z) = 0, sauf pour un nombre fini d'indices, et x (cid:9) e,(x). Alors M est somme
donc N n P = pi, ce qui prouve a) ; b) résulte alors de la formule (1). Enfin, directe des sous-modules M, = e,(M) et (e,),ai est la famille de projecteurs
soit c e L ; pour que c(M) c N, il faut et il suffit que (1—e)c = 0, donc que associée à la décomposition M(cid:9) M, .
c e eL ; pour que r1(0) D P il faut et il suffit que c(1 — e) = 0, donc que En effet, il est clair que M =(cid:9) M, . Si les y, e M, sont nuls sauf pour
un nombre fini d'indices, et tels que(cid:9) y, = 0, on peut écrire cette rela-
e Le. Ceci achève la démonstration.
tion S,E, e,(y,) = 0, et on en déduit, pour tout indice 's
Réciproquement, soient M un A-module, N et P deux sous-modules
supplémentaires dans M. Pour tout x = x1 +x2, avec x1 e N, x2 e P, posons = eieer ei(0) = e(ei<(..git)) = ex(Yx) = yx
e(x) = x, (composant de x dans N (chap. II, § 1, n° 7)). Il est clair que e
cc qui montre que la somme '2,, /M, est directe. La dernière assertion de
est l'unique projecteur dans M d'image N et de noyau P. On dit que e est
la proposition est évidente.
un projecteur de M sur N.
2. Commutant et bicommutant.
DÉFINITION 2. — Soient A un anneau, M un A-module, N un sous-module
de M. On dit que N est facteur direct dans M s'il existe un sous-module sup- DÉFINITION 4. — Soient X un anneau et A une partie de X. On appelle
plémentaire de N dans M. commutant (ou centralisateur) de A dans X le sous-anneau A' de A formé
Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit, d'après ce qui précède, qu'il des éléments de X qui permutent avec tous les éléments de A. Le commutant
existe dans M un projecteur d'image N ou de noyau N. A" de A' dans X est appelé le bicommulant de A dans X.
Si N est facteur direct dans M, tout homomorphisme u de N dans un
On a A c 152'. Par suite, A' est contenu dans son bicommutant, qui n'est
A-module P se prolonge en un homomorphisme de M dans P, par exemple
autre que le commutant R de A""; mais la relation A c A" entraîne A' DB ,
en l'homomorphisme u.e (e désignant un projecteur de M sur N). Réci-
de sorte que A' est identique à son bicommutant.
proquement, si l'application identique de N se prolonge en un homomor-
Si A est un sous-anneau de X, son centre est A n A'. Si en outre A est
phisme f de M dans N, on a bf = f, donc f est un projecteur de M sur N
commutatif, on a A c A', et par suite A' D A" ; le centre de A' est donc
et N est facteur direct dans M.
dans ce cas A".
Soient M et M' deux A-modules, u un homomorphisme de M dans M`,
Si X est une algèbre sur un corps commutatif K (qu'on peut identifier
u un homomorphisme de M' dans M. Si ficiu est l'application identique de
à un sous-corps du centre de X), le commutant de toute partie de X est
M, uou est un projecteur dans M', 12 est un isomorphisme de M sur u(M),
une sous-algèbre de X.
applique M' sur M, et M' est somme directe de u(M) et de y-1(0) qui sont
donc facteurs directs dans M'. PROPOSITION 3. — Soient A, B deux algèbres sur un corps commutatif K,
C (resp. D) une sous-algèbre de A (resp. B), C' (resp. D') le commutant de
DÉFINITION 3. — Dans un anneau, on dit qu'une famille (e,),Erd'idempo- C (resp. D) dans A (resp. B). Alors, le commutant de C®RD dans A eiliP
e
lents est une famille orthogonale si la relation c x entraîne e,e,‹ = O. est C' (FilcD`.
10(cid:9) MODULES ET ANNEAUX SEMI-SIMPLES(cid:9) § 1 n° 3(cid:9) COMMUTATION(cid:9) 11
'l'out revient à voir qu'un élément z = E,ajObi du commutant de Cottou.AutE.(cid:9) L'anneau des homothéties de A, (resp.(cid:9) est idenliijue
C®KD appartient à C'OED` ; en considérant des sous-espaces supplémen- son bicommutant.
taires de C' et D' respectivement dans A et B, on voit (chap. III, § 1, n° 3, On notera que l'application z(cid:9) (resp. x R,.) est un isomorphisme
prop. 7) que C'®KD' est l'intersection de C'®KB et de AOED`. On peut de l'anneau A sur l'anneau des multiplications à gauche de A (resp. de
supposer les bi linéairement indépendants ; pour tout x e C, on doit avoir l'anneau A° sur l'anneau des multiplications à droite de A), car la relation
(serl)z = z(x 01), c'est-à-dire Ei (sa, -- a ,$) Ob, = 0; d'où xa,— aix = 0 0 (resp.(cid:9) 0) entraîne 4(1) = x = 0 (resp. R.(1) = x = 0).
pour tout s e C (chap. III, § 1, n° 3, cor. 1 de la prop. 7), ce qui entraîne
ai e C' pour tout indice i, et .par suite z e C' Op ; on prouve de même que
3.
Facteurs directs et bicommutants.
z E AOKDI.
PicoPosrrioN 5. -- Soient M un A-module, B son bicommutant, N un fac-
COROLLAIRE. - Si Z et Z' sont les centres respectifs des algèbres A et B, le teur direct de M.
centre de AOKB est Z OKZ'. a)N est stable par B.
Soient A un anneau et Mun A-module à gauche. Soit 1-1 l'anneau des b)P our tout b e B, la restriction b„ de b à N est dans le bicommutant du
endomorphismes de la structure de groupe abélien de M. Pour tout a e A, A-module N.
l'homothétie(cid:9) as est un élément de i) qui sera noté am. L'application e) Si N' est un facteur direct de M, toute application A-linéaire de N dans
e am est un homomorphisme de A sur un sous-anneau de SI appelé l'an- N' est aussi B-linéaire.
neau des homothéties de M et noté AM. Par abus de langage, le commutant Soit p un projecteur de M sur N. Si b e B, b permute à p, donc b(N)
(resp. le bicommutant) de AM dans r2 est appelé le commutant (resp. le b(p(M)) = p(b(M)) c p(M) = N ; d'où. a). Soit c une application A-linéaire
bicommutant) du A-module M. Le commutant de M n'est autre que l'anneau de N clans N' ; alors cop e -FA(M), donc cop est par définition deB une appli-
.27A(M) des endomorphismes de ce module. cation B-linéaire de M dans lui-même ; la restriction c de cap à N est par
suite une application B-linéaire de N dans N' ; d'où c). En particulier,
pour N = N', on voit que tout endomorphisme du A-module N est aussi
DEFINITION 5. — Soit M un module à gauche sur un anneau A. On appelle
un endomorphisme. du B-module N, de sorte que les restrictions à N des
contremodule de M le module d gauche sur le commutant ...eA(M) ayant M pour
éléments de B appartiennent au bicommutant du A-module N.
groupe abélien sous-jacent et tel que c.s = c(x) quels que soient c e 2' „(M)
et x e M. L'application b (cid:9) définie dans la prop. 5 est un homomorphisme de
B dans le bicommutant de N, qui sera dit canonique. En général il n'est
Soit A un anneau. Pour tout x e A, on appelle multiplication à gauche
4 ni injectif, ni surjectif (exerc. 4).
(resp. à droite) par x l'endomorphisme (resp. 1%) du groupe abélien A,
défini par Lx(y) = xy (resp. I x(y) = yr), Rappelons (chap. II, § 1, no 1, Lemme 1.(cid:9) Soient N et P deux A-modules, M leur produit, B le bicommu-
exemple 1) que ceci définit sur A une structure de A-module à gauche A, tant de M. Supposons que P soit somme de sous-modules isomorphes à des
et une structure de A-module à droite A,, ; Ad peut aussi être considéré quotients de N. Alors, l'homoinorphisme canonique de B dans le bicommu-
connne module à gauche sur l'anneau A° opposé de A, et nous noterons tant de N (lorsque N est identifié à un sous-module de M) est injectif. Si
A,. l'ensemble A muni de cette structure de A°-module à gauche. en outre le bicommutant de N est égal cl l'anneau AN des homothéties de N,
B est égal à l'anneau Am des homothéties de M.
PnoposrrioN 4. — Soit A un anneau. Le commutant du module A, (resp. En effet, soit b e B tel que bN = 0, et désignons par L le noyau de b. On
A,.) est l'anneau des multiplications à droite (resp. à gauche) de A. a N c L, et par hypothèse le contreinodule de M est engendré par N ; comme
En effet, si c e ..ed(.A,), alors, pour tout y e A, on a c(y) = c(y .1) = yc(1) B est l'anneau d'endomorphismes du contremodule.cle M, on a donc b = 0,
R,(1()y), donc c est la multiplication à droite par c(1) ; réciproquement, ce qui prouve la première assertion. Si maintenant b est quelconque dans
il est clair que It e .FA(A,..) pour tout x e A. On vérifie de même que B et si le bicominutant de N est égal à AN , il existe a e A tel que bN aN ,
.29144) est l'anneau (les multiplications à gauche de A. ce qui s'écrit aussi (b am), = 0, d'où b = a5 d'après ce qui précède.
(cid:9)
12 MODULES ET ANNEAUX SEMI-SIMPLES(cid:9) • § 1 n° 4(cid:9) commuTATION(cid:9) 13
PROPOSITION 6. — Soit M un A-module libre. Le bicommulant B de M est isomorphisme de F sur F, (que l'on prend égal à l'application identique
égal à l'anneau AM des homothéties de M. pour F, = F). Soit b' un élément du bicommutant du A-module F ; il est
La proposition est triviale si M (cid:9) Sinon, M est isomorphe à un mo- clair que h, = fiobiof,-1 est un élément du bicommutant de F, . Il existe
dule de la forme A, x P, où P est somme de sous-modules isomorphes à un endomorphisme b et un seul du groupe abélien M, dont la restriction
A, . La proposition résulte alors du lemme 1 et du cor, de la prop. 4. à chaque F, soit th; on va montrer, ce qui achèvera la démonstration,
que b e B. Soient c un élément du commutant de M, x un élément de F„ ,
On notera qu'on retrouve ainsi la détermination du centre de l'an- et (p1) la famille de projecteurs associée à la décomposition M = E, F, .
neau d'endomorphismes d'un module libre (chap. II, § 2, no 5, cor. I
II existe un y F tel que x = f„(y). Àlors
de la prop. 5).
cb(x) = cbf„(y)= cb„1„(y) = cf„bt(y)
PROPOSITION 7. — Soit M un module de type fini sur un anneau principal
et
A. Le bicommutant B de M est égal à l'anneau Am des homothéties de M.
En effet, 11.1 est isomorphe à une somme directe finie E" I Ada,, où les bc(x) = bcfx(y) = Eithp,cf„(y) = E,(1,b1-1p,cf„)(y)
a, sont des idéaux de A tels que a, D a, ... a,,, (chap. VII, § 4, n° 3,
Or frlp,cf„ est un endomorphisme du A-module F, donc est permutable
th. 2). Pour k (cid:9) m — 1 les modules A,/a., sont isomorphes à des quotients
de Asia, ; d'autre part, le module Asia,„ a même anneau d'homothéties à b'. Par suite bc(x) = E, p,c1„b'(y) = cf,,b1(y) = rb(x). Par linéarité, on
en déduit bc = cb.
que (Aja„„),. La proposition résulte alors du lemme 1 et du cor. de la prop. 4.
On notera que la prop. 6 est le cas particulier de la prop. 8 cor-
COROLLAIRE. -S oient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps respondant à F = A,.
commutatif K, u un endomorphisme de E. Pour qu'un endomorphisme v de
E soit de la forme p(u), où p est un polynôme de KM il faut et il suffit que
4. Préliminaires à la commutation dans les modules isoty'
v soit permutable avec tous les endomorphismes de E qui permutent avec u.
piques.
En effet, on définit sur E une structure de module de type fini sur l'an-
neau principal K[X] en posant p . x = p(u)(x) quels que soient p E K[X]
Dans ce no et le suivant, on considère un A-module fixe F, et son com-
et xe E (chap. VII, § 5, no 1). Le commutant de ce module est l'anneau
mutant C. On va définir deux procédés, dont l'un fait passer d'un C-module
des endomorphismes de l'espace vectoriel E qui sont permutables avec u.
à droite à un A-module à gauche, et l'autre d'un A-module à gauche à un
Il suffit alors d'appliquer la prop. 7.
C-module à droite.
DÉFINITION 6. — Soit F un module sur un anneau A. On dit qu'un A-mo- 1) L'opération S(V). — Soit V un C-module à droite ; nous désignerons
dule M est isotypique de type F si M est somme directe d'une famille de sous- par V 0cF, par abus de notation, le produit tensoriel (par rapport à C)
modules isomorphes à F. de V et du contrernoduIe de F (qui est un module à gauche sur C). Rappe-
lons (chap. III, 2e éd., App. II, n0 3) que V0cF est canoniquement muni
PROPOSITION 8. — Soit M un A-module, somme directe d'une famille (Fler d'une structure de A-module à gauche, pour laquelle on a
de sous-modules deux à deux isomorphes, et soit F un de ces sous-modules
(2)(cid:9) a . (v Ox) = v 0(ax)
(de sorte que M est isotypique de type F). Soit 13 le bicommutant de M. L'ho-
momorphisme canonique de B dans le bicommutant de F est bijectif. Si on
pour e e A, v n V, x e F. Muni de cette structure, l'ensemble V 0,F sera
considère M et F comme des B-modules, M est encore isotypique de type F.
noté S(V).
Les F, sont des sous-B-modules de M (prop. 5 a)) deux à deux isomorphes
(prop. 5 c)) ; donc, si on considère M et F comme des B-modules, M est Soit f un C-homomorphisme de V dans un C-module à droite V' ; il est
isotypique de type F. L'homornorphisme canonique b bF est injectif immédiat de vérifier que l'application /01 de V 0,F dans V100F est un
d'après le lemme 1. Montrons qu'il est surjectif. Pour tout cc I, soit f, un A-homomorphisme de S(V) dans S(V'), que l'on notera SU). On dit que
14(cid:9) MODULES ET ANNEAUX SEMI-SIMPLES(cid:9) § 1 no 5 (cid:9) COMMUTATION(cid:9) 15
f -e• SU) est l'application canonique de 2c(V,V1) dans 2A(S(V), S(V')). On tandis que T(S(f))(av(v)) est l'application S(j),Gtv(v) de F dans S(V'), c'est-
a les formules suivantes : à-dire l'application x (f 01)(v 0x) =f (v)®x, ce qui prouve (6).
D'autre part, pour u e T(M), se F et c e C, on a, d'après (4)
(3)(cid:9) S(f f') = SU)(cid:9) S(f')(cid:9) S(f'of) = S(f)0S(f) , S(1) = 1
(u.c)(x) = u(cx)
(où, dans la première formule, f' e .2c(V,V), dans la seconde f' e(cid:9) V"),
et par suite, l'application Z-bilinéaire (u,x) u(x) de T(M) x F dans M
V" étant un C-module à droite, et, dans la troisième, 1 désigne au premier
définit une application Z-linéaire 13M de,T(111) ecF dans 111 telle que pm(u0x)
membre l'élément unité de 2', (V), au second l'élément unité de 2A(S(V))).
u(x) (chap. III, 2° éd., App. II, prop. 1) ; pour a e A, on a gm(a .(u0x))
2) L'opération T(M). — Soit M un A-module à gauche. Rappelons (chap. = pm(u0ax) = u(ax) = au(x) = apm(u 0x), donc pie est un A-homomor-
III, 2e éd., App. II, no 7) que l'ensemble 2A(F, M) des A-homomorphismes phisme, dit canonique,' de S(T(M)) dans M. En outre si g e 2A(M,M'), on a
de F dans M est canoniquement muni d'une structure de C-module à droite,
pour laquelle on a (7)(cid:9) gogm = gxeoS(T(9))•
(cid:9)
(4) U.0 = UoC En effet, pour u e T(M) et x c F, on a (gogy.)(u0x) = g(u(x)) = (gou)(x)
= 13314(901z) Ox) = r3tit•((T(9)®1)(u®x))(cid:9) (P3r0S(Te)(1-10x).
lorsque u e 2A(F,M), c c C. Muni de cette structure, l'ensemble 2A(F,141)
sera noté T(M).
Soit g un A-homomorphisme de M dans un A-module à gauche M' ; il 5. Commutation dans les modules isotypiques.
est immédiat de vérifier que l'application u gou de .2A(F,M) dans 2A(F,M')
est un C-homomorphisme de T(M) dans T(M'), que l'on notera T(g). Lorsque F est un A-module de type fini, nous allons utiliser les opérations
On dit que g — T(q) est l'application canonique de 2A(111,M!) dans introduites au n° précédent pour donner des expressions d'un À-module
20(T(M),T(M1)). On a les formules suivantes : isotypique M de type F et de son commutant, ne faisant intervenir que
les structures de A-module de F et de M (et non une décomposition parti-
(5)(cid:9) T(g + g') = T(g)(cid:9) T(g') , T(g'pg)(cid:9) T(g')oT(g) , T(1) = 1 culière de M en somme directe de sous-modules isomorphes à F).
(où, dans la première formule, g' e 2A(M,M'), dans la seconde, THÉORÈME 1. — Soient F un A-module à gauche de type fini et C son com-
g' e(cid:9) M" étant un A-module à gauche, et, dans la troisième, mutant.
1 désigne au premier membre l'élément unité de 2,(m), au second l'élé- a)S oit V un C-module à droite libre, et soit (o,),E1 une base de V. Alors
ment unité de 2c(T(M))). S(V) = V cg)cF est isotypique de type F, somme directe des sous-modules
(v,C)OcF, et l'application Canonique a, : V 2A(F,V0cF) est bijective.
3) Relations entre S et T. — Avec les mêmes notations que ci-dessus, Si V' est un C-module à droite quelconque, l'application I -› S(f) est une bi-
pour tout v E V, l'application x v®x est un A-homomorphisme de F dans jection de _ie,(VI ,V) sur .2,,(s(r),s(v)).
S(V) d'après (2); désignons cette application par av(v); pour c e C, on a b)I nversement, soit M un A-module à gauche isotypique de type F, et soit
av(vc)(x) = (oc) 02: =(cid:9) (CX) = av(V)(CX). Autrement dit, dans T(S(V)) (u,),,1 une famille d'homomorphismes injectifs de F dans M tels que M soit
= 2A(F,S(V)), on a av(vc) = Gcv(v).c, ce qui montre que «y est un C-homo- somme directe des sous-modules u,(F). Alors T(11) = .2,(F,M) est un
morphisme, dit canonique, de V dans T(S(V)). En outre, si f c 2c(V,V'),
C-module à droite libre de base (u,),EI, et l'application canonique 331
on a MF,M)Q3)0F M est bijective. Si M' est un A-module à gauche quelconque,
(cid:9) l'application g T(g) est une bijection de 2.&(M,M)). sur 2c(T(M), T(M1).
(6) ocv•of = T(S(J))o ocv.
Démontrons d'abord un lemme
En effet, si v e V, Gcv,(f(v)) est l'application x f(v)Ox de F dans S(V'), Lemme 2. — Soient (Q,)ie1 une famille de A-modules, Q leur somme directe,
(cid:9)
(cid:9) (cid:9) (cid:9)
16(cid:9) MODULES ET ANNEAUX SEMI-SIMPLES § rio 5 COMMUTATION 17
P un A-module. Les groupes abéliens _992,.(P,Q,) s'identifient à des sous-groupes on a (gem)(u0x) = g(u(x)), donc (-:(gem)(u))(x) = g(u(x)) ; autrement
de .F,„(P,Q), dont la somme est directe. Si en outre P est de type fini, on a dit, •r(go3m)(u) = gau = T(g)(u), ce qui achève la démonstration.
A(ID ,Q) = e z 2' (P, (1)-
La première assertion résulte aussitôt des définitions. Supposons P engen- COROLLAIRE 1. — Si F est de type fini, et si V est libre, f S(/) est un iso-
dré par la famille finie f et soit f e..9",(P,Q); pour chacun des morphisme de l'anneau .Fc(V) sur l'anneau 2A(V00F).
x,, les composants de f(x,) sur les Q, sont nuls sauf pour un nombre fini Cela résulte du th. 1 a), où l'on fait V' = V, et des formules (3).
d'indices L. II y a donc une partie finie J de I telle que f(P) c E, Es Q, . Soit
(p,),EI la famille de projecteurs associée à la décomposition Q = Et ei Qi • COROLLAIRE 2.— Si F est de type fini, et si M est isotypique de type F, g — T(g)
On a f = l'es Act, d'où le lemme, puisque piaf .2"A(P,QL).
est un isomorphisme de l'anneau 2A(M) sur l'anneau .20(.FA(F,M)).
Démontrons maintenant les deux parties du théorème.
Cela résulte du th. 1 b), où l'on fait M' = M, et des formules (5).
a)L es applications x v, ®x de F dans V sont des isomorphismes de
F sur les sous-A-modules (P,C)00F de V ®CF, et V OcF est somme di- Si M est somme directe d'une famille finie de n sous-modules iso-
recte de ces sous-modules (chap. III, App. II, 2' éd., prop. 5). Soit u = morphes à F, 2A(M) est donc isomorphe à l'anneau M„(C) des ma-
= ELei v,c, (e, E C) un élément de V, et supposons que v0x 0 pour tout trices carrées d'ordre n sur le commutant C de F (chap. II, § 6, no 5).
x e F. On a alors E,E I u, ®(c,x) = 0, donc, pour tout L e I, ce = 0 pour tout
e F, c'est-à-dire c, = 0 par définition de C ; on a donc v = 0, ce qui prouve COROLLAIRE 3. — Soient M un module isotypique de type F, et V =
que ccv est injectif. Par définition de C, toute application A-linéaire de F Supposons F de type fini, et identifions M à V00F par p„ . Alors, les facteurs
dans le A-module isomorphe (v,C) 00F est de la forme x voge,x = (vic,)Ox ; directs V' de V qui sont des C-modules à droite libres, et les facteurs directs
le lemme 2 prouve que rcv est surjectif, donc bijectif. M' de M qui sont isotypiques de type F, se correspondent biunivoquement par
Il en résulte immédiatement que f av./ est une bijection de les formules M' = V' 00F et V'
2'0(V!,V) sur .270(V`„2'A(F,S(V))). Soit a l'isomorphisme canonique de Si e, est un projecteur de V sur V', S(el)(cid:9) e101 est un projecteur de
20(V',2,(F,S(V))) sur 2'A(V` ®0F, S(V)) 2A(S(V'), S(V)) (chap. III, 2e éd., V00F sur V100F. De même, si e2 est un projecteur de M sur M', T(e2) :
App. II, prop. 8). On va voir que a(avof) = S(f): en effet, pour u' V' et x E F, u e2ou est un projecteur de 2A(F,M) sur ..294(F,M1). Identifiant V (resp.
on a ce(avoi)(o10x) = ((ev°i)(of))(x) = (ccv(i(o')))(x) =i(1)1)0x = S(e0x), V') et T(S(V)) (resp. T(S(V'))) par av (resp. cer), en vertu du th. 1, il ré-
d'où notre assertion. sulte de (6) que l'on a e, = T(S(e1)) ; de même, identifiant M (resp. M')
b)L a relation E,E I Lit • CL = 0(cid:9) e C) entraîne par hypothèse u,(c,x) = 0 et S(T(M)) (resp. S(T(M'))) par pm (resp. 31,/,) il résulte de (7) que l'on a
pour tout xeF, donc c,x = 0 puisque u, est injectif, et par suite e, 0 e2 = S(T(e2)), ce qui démontre le corollaire.
par définition de C ; donc les u, sont linéairement indépendants dans le
C-module T(M). D'autre part, toute application A-linéaire de F dans le Remarque. — Le th. 1 et ses corollaires, ainsi que leur démonstration,
sont encore valables si, on ne suppose plus F de type fini, à condition
A-module isomorphe u,(F) est de la forme u,. c, avec c, e C, par définition
de se limiter aux modules V ayant une base finie, et aux modules iso-
de C ; H résulte du lemme 2 que (u,) est une base de T(M). Tout élément typiques M sommes directes d'une famille finie de sous-modules iso-
de M est somme d'éléments de la forme u,(x) = pm(u,0x), avec s e F, donc morphes à F. Le lemme 2 est alors remplacé par la prop. 2 du chap.
Pm est surjectif. D'autre part, tout élément de T(M)00F s'écrit E, Er II, § 2, no 3.
où les s, E F sont nuls sauf pour un nombre fini d'indices ; si cet élément
Exercices. — 1) Soient M un groupe abélien, Cl l'anneau des endo-
a une image nulle par Pm, c'est que E,ei u,(x,) = 0, ce qui implique s, 0
morphismes de M.
pour tout 6 ; donc pm est injectif, et par suite bijectif. a)S oient p,g deux projecteurs dans M ; pour que p(M) c q(M) 11
Il en résulte immédiatement que g —gep est une bijection de 2A(M,M') faut et il suffit que qp = p ; pour que p--1(0) c g-1(0), il faut et il suffit
sur 2U(T(M)00F,Mr). Soit 'r l'isomorphisme canonique de 2A(T(M)0,F,M') que qp = Q.
b)S oit (pi),.<r‹,, une famille finie de projecteurs dans M telle que
sur <9.9,(T(M),2A(F,111'))(cid:9) 20(T (M), T(M')) (chap. III, 2e éd., App.
tous les p,(M) soient égaux à un même sous-groupe N de M ; montrer
prop. 8). On va voir que •r(goi3m) = T(g) ; en effet, pour u E T(M) et x E F, que si les éléments ai (1<i...<n) de ) sont tels que ad), = piai pour
(cid:9) (cid:9)
18 MODULES ET ANNEAUX SEMI-SIMPLES §1 COMMUTATION(cid:9) 19
tout couple d'indices (i,j), et(cid:9) — 1, p = Er=„a,p, est un pro- eL e,e, = 53; y) (1— e1) A = (1 --- c2)A. En outre, ces conditions
jecteur tel que p(M) = N. entraînent qu'il existe un élément inversible a n A tel que e, = ae,a-1
c)S i p et q sont deux projecteurs tels que p(cid:9) q soit un projecteur, (utiliser a) et. l'exerc. 1 a)).
on a pq = — qp et réciproquement. En déduire que, si dans M la d)S oient e1 ,e2 deux idempotents dans A. Montrer que les trois
relation 2x = 0 entraîne x = 0, on a pq = 0 (considérer un élément conditions suivantes sont équivalentes : e) les A-modules à gauche
x e p(M)). ,Aé2 sont isomorphes ;(cid:9) les A-modules à droite e,A, e,A sont
d)S i p et q sont deux projecteurs, Ies conditions suivantes sont isomorphes ; y) il existe deux éléments x,y de A tels que xy .= e„
équivalentes : a) pq = qp ;(cid:9) q(p(M)) c p(M) et q(p-1(0)) c p-1(0) ; = e, (utiliser b)). On dit alors que el et e2 sont des idempotents
Y) M est somme directe de quatre sous-modules N1,iN2,N3,1`1.4 tels que équivalents.
l'on ait p(M) = N1 N„ p-1(0) N, Na, q(M)(cid:9) N1 N,, q-1(0) e)S i deux idempotents e„e, dans A sont équivalents et appar-
N3 + Na. Alors r -= pq et s = p q — pq sont des projecteurs, tiennent au centre de A, ils sont égaux.
et on a r(M) = p(M) n q(M) et s(M) = p(M) q(M). f)S oient (ei),<i<„ , (f,),<;.,_-„, deux familles de n idempotents de
e)S oit p un projecteur ; pour que p(M) soit stable pour un élément A telles que eici =(cid:9) f = Sil pour tout couple d'indices 1,j.
a e f2, il faut et il suffit que pop = ap. Montrer que si ei et f; sont équivalents pour 1(cid:9) e = Er_1 ei et
f)S oient p un projecteur clans M, et N = p(M). On suppose que f (cid:9) fi sont des idempotents équivalents.
N soit stable pour tout élément a d'une partie A de 1-2 ; pour tout
4) Soient M un espace vectoriel de dimension 3 sur un corps com-
a e A, soit a l'endomorphisme du groupe abélien MIN déduit de a par
mutatif K, (c1,e2,e2) une base de M sur K., et soit A le sous-anneau
passage aux quotients ; l'application ap — pa est nulle dans N, et
de YK(M) formé des endomorphismes dont la matrice par rapport à
définit donc par passage au quotient une application aN de M/N dans
(e,,e„e,) est de la forme
N. Pour qu'il existe un supplémentaire de N dans M, stable pour tout
a n A, il faut et il suffit qu'il existe un homomorphisme d du groupe
a 0 0
abélien M/N dans le groupe abélien N, tel que aN = dà— ad pour
b c 0)
tout a e A.
(0 0 a
2) Soient M un groupe abélien, S2 l'anneau des endomorphismes
de M, A un sous-anneau de S/ contenant l'élément unité de f2, A' le
commutant et A" le bicommutant de A dans O. (a,b,c arbitraires dans K). Considéré comme A-module, M est somme
a)S i le A-module M est somme directe d'une famille finie (Ni)ii<e<n directe des sous-modules N = Kef Ke, et P = Keu.
de sous-modules et si (Piai-„ est la famille de projecteurs associée a)M ontrer que le bicommutant B du A-module M est identique à
à la décomposition M = Eir_, Nr , montrer que A' est somme directe A, que l'application canonique b bx de B dans le bicommutant de
des idéaux à droite piA' (resp. des idéaux à gauche A'pi). N est injective, mais non surjective, et que l'application canonique
b)R éciproquement, si A' est somme directe d'une famille finie b (cid:9) bp de B dans le bicommutant de P est surjective, mais non injective.
(r.)i<i„, d'idéaux à droite (resp. d'une famille finie (ti),<(<i. b)D éduire de a) un exemple d'un module M' sur un anneau A'
d'idéaux à gauche), le A"-module M est somme directe d'une famille et d'un facteur direct N' de M' tels que l'application canonique du
de m sous-modules N, (1„.‹1<m) tels que T. (resp,(cid:9) soit l'ensemble bicommutant de M' dans le bicommutant de N' ne soit ni injective
des u e A' tels que u(M)c N, (resp. u(Ni) = 1(q pour tout j 7-` f). ni surjective (considérer M' =M x M comme module sur A' = A x A).
c)O n suppose ,vérifiées les conditions de a). Définir un isomorphisme 5) Soit M un A-module, somme directe d'une famille (F,), 1 de
canonique du groupe abélien(cid:9) ,N;) sur le sous-groupe pjA'pi de sous-modules. Soient F un des F„ D son bicommutant. On suppose
A' ; montrer que cette application est un isomorphisme d'anneau lors- que pour tout tnI, il existe un A-isomorphisme de F, sur un sous-D-
que j module de F. Montrer que l'application canonique b bp du bicom-
¶ 3) Soit A un anneau. mutant de M dans D est surjective.
a)P our qu'un élément e eA soit un idempotent, il faut et il suffit 6) Soient(cid:9) un corps commutatif, A = KEX,Y1 l'anneau des
que l'application x ex soit un projecteur dans le A-module A, (ou polynômes à deux indéterminées sur K, Tri l'idéal (X) -I- (Y) de A,
que l'application x xe soit un projecteur dans le A°-module Ar). u l'idéal (X2)(cid:9) (Y2) de A, F le A-module 111/11. Montrer que le com-
b)S oient e,,e, deux idempotents dans A. Montrer que le groupe mutant C de F est isomorphe à l'anneau A/Ci, où Li est l'idéal
abélien .2'1(Ael,Ae2) est isomorphe à (e5A) n (Ae2) = e1Ae2 , et que (X2) + (XY) + (Y2). En déduire que, dans le produit tensoriel
l'anneau 2A(Ael) est isomorphe à l'anneau e1Ae1. F ®0F, on a p(XY)Ox = 0 quel que soit x E F (p application canoni-
c)S oient e1 ,e2 deux idempotents dans A. Montrer que les trois que de m sur min), et que l'application canonique ay. de F dans
conditions suivantes sont équivalentes : e) Ael = Ae2 ; 13) e1e2 T(S(F)) n'est ni injective ni surjective.
20 MODULES ET ANNEAUX SCMI-SIMPLES(cid:9) § 1 § 2, no MODULES ARTINIENS ET MODULES NOETHÉRIENS(cid:9) 21
7 7) a) Les notations étant'celles de I'exerc. 6, soit M le A-module
111/a. Montrer que l'application canonique Ru de S(T(M)) dans M est § 2. Modules artiniens et modules noethériens
surjective mais non injective.
b) Donner un exemple d'anneau A et de couple de A-modules F,M
tels que l'application Pm de S(T(M)) dans M soit injective et non sur- 1. Modules artiniens et modules noethériens.
jective (prendre F et M tels que 2A(F,M) = PC).
e) Déduire de a) et b) un exemple de A-modules F,M tels que pm DÉFINITION 1, — On dit qu'un module M sur un anneau A est artinien (resp.
ne soit ni injective, ni surjective (méthode de l'exerc. 4 b)).
noethérien) s'il vérifie les conditions équivalentes suivantes
8) a) Soient F un A-module, C sors commutant, V un C-module
à droite libre, (u,),E2 une base de V. Montrer que le commutant B du a) tout ensemble non vide de sous-modules de M, ordonné par inclusion,
A-module M = V Oe est isomorphe à l'anneau des familles doubles possède un élément minimal (resp. maximal) ;
rxi d'éléments de C, tels que pour tout x F et tout ?E I, 1)) toute suite décroissante (resp. croissante) de sous-modules de M est sta-
on ait uon(r) = O sauf pour un nombre fini d'indices g, le produit
tionnaire.
(sux)(te) = (ue) de deux telles familles étant défini par la formule
L'équivalence des conditions a) et b) résulte de Ens., chap. III, § 6,
= Ev E I 4gV(IvX(S)). no 5, prop. 6.
En déduire que l'application f S(f) de 20(V) dans B = 2A(M) est Pour qu'un A-module M soit artinien (resp. noethérien), il faut et il
injective ; donner un exemple où elle n'est pas surjective (prendre suffit que M, considéré comme module sur l'anneau AM des homothéties,
pour A un corps, pour F un espace vectoriel de dimension infinie).
le soit.
b)M ontrer que tout sous-module du contremodule de M (sur B)
est de la forme VEDeF', où F' est un sous-module du contremodule de Exemples. — 1) Un espace vectoriel de dimension finie est artinien et
F.
c)S i I est fini et a n éléments, montrer que B (isomorphe à l'anneau noethérien.
de matrices M„(C)) est somme directe de n idéaux à gauche isomorphes 2) Soit (M,),EI une famille infinie de modules non réduits à O. Le module
au contremodule de M (cf. exerc. 2 a)). somme directe M = E,e/ M, n'est ni artinien, ni noethérien : en effet, à
7 9) Soit A un anneau, somme directe d'une famille finie d'idéaux toute suite infinie (Jn) strictement décroissante (resp. strictement crois-
à gauche I, isomorphes en tant que A-modules (1 < I n). sante) de parties de I, correspond la suite infinie strictement décroissante
a)M ontrer qu'il existe dans A une famille d'éléments e0 (1 < I <
(resp. strictement croissante) des sous-modules P„(cid:9) E, M, de M.
1 < f < n) tels que e,e, = 835eik (8v, indice de Kronecker) et eji,
(cf. exerc. 3 d) et chap. I, § 8, exerc. 15). Réciproquement s'il existe
dans A une famille de n2 éléments e, tels que e„e„ = 8sheik et 1 = Lemme 1. — Soient M un A-module noethérien, E une partie de M. Il existe
e„-Fe„+ ..÷e„„, les idéaux à gauche Ae, sont isomorphes en une partie finie F de E telle que E et F engendrent le même sous-module de
tant que A-modules (cf. exerc. 3 d)). En outre, si B est le sous-anneau
M.
de A formé des éléments qui commutent avec tous les e52, A est iso-
morphe à l'anneau de matrices M,r(B) et B est isomorphe à l'opposé En effet, soit 931 l'ensemble des sous-modules de M engendrés par une
du commutant de chacun des A-modules Aeii (utiliser la prop. 4 et partie finie de E, et soit N un élément maximal de M. Pour tout x e E,
le cor. 2 du th. 1). on a N Az e 92, donc N(cid:9) N, clonez e N. Il en résulte que E c N,
b)S oit M un A-module. Montrer que les Ni = e„/41 sont des B-mo- d'où le lemme.
dules et que M, considéré comme B-module, est somme directe des
Ni (1 C i < h) ; en outre, les B-modules Ni sont deux à deux isomorphes
(considérer les applications x efix et y e,,,g) et l'annulateur des Ni peoPosirioN 1. — Soit Mun A-module. Pour qu'il soit noethérien, il faut
est l'intersection de B et de l'annulateur de M dans A. Réciproquement, et il suffit que tout sous-module de M soit de type fini.
pour tout B-module N, définir une structure de A-module sur la somme La condition est nécessaire d'après le lemme 1. Réciproquement, sup-
directe M de n B-modules isomorphes à N, de sorte que e11M = N. posons-1a vérifiée. Soit (P,,) une suite croissante de sous-modules de M,
c)A tout sous-B-module P de NI , on fait correspondre le sous-A-
et P la réunion des P.„ . Le sous-module P est engendré par un nombre fini
module ril_lee de M. Montrer qu'on définit ainsi une application
bijective de l'ensemble des sous-B-modules de N2 sur l'ensemble des d'éléments x1, .,x„, , donc il existe un entier n assez grand tel que tous les
sous-A-modules de M, strictement croissante pour la relation d'inclusion. x appartiennent à P,,, d'où(cid:9) P, ce qui prouve que M est noethérien.