Algèbre bilinéaire et géométrie

47 Pages·2017·0.59 MB·French

by  Laurent Bessiéres

R(cid:201)SUM(cid:201) DE COURS
4TMQ405U AlgŁbre bilinØaire et gØomØtrie
Semestre 4, 2017-2018
LAURENT BESSI¨RES
Institut de MathØmatiques de Bordeaux
13 avril 2018
Ceci constitue le rØsumØ de cours (prØvisionnel) de l’UE d’algŁbre bilinØaire et gØomØtrie. Il
contient les dØ(cid:28)nitions, exemples et rØsultats qui seront vus au cours du semestre. Il ne contient
pas les dØmonstrations, qui seront faites en cours. Les dØmonstrations sont une partie essentielle
d’un cours de mathØmatiques : c’est l’endroit oø l’on joue avec les dØ(cid:28)nitions des objets qu’on
s’est donnØes et oø on les Øprouve pour extirper des objets des propriØtØs supplØmentaires. Vous
Œtes fortement encouragØs (cid:224) les travailler. Des dØmonstrations simples ou des parties de dØmons-
tration sont susceptibles d’Œtre posØes lors des contr(cid:244)les.
Ce recueil contient Øgalement au (cid:28)l des pages des exercices, sous forme de Vrai-Faux, qui
sont en gØnØral des applications assez simples des dØ(cid:28)nitions ou des rØsultats. Vous Œtes trŁs
fortement encouragØs (cid:224) prØparer ces exercices :
1) C’est un bon moyen de tester votre comprØhension des notions de cours, et de la renforcer.
2) Certains de ces exercices seront posØs en "Questions de cours" lors du DS et du DST (sur 3-4
points).
1
AlgŁbrebilinØaireetgØomØtrie,2017-2018 LaurentBessiŁres
Table des matiŁres
A Chapitre A : Formes bilinØaires symØtriques et formes quadratiques 5
A.1 Formes bilinØaires et formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
A.1.1 Formes bilinØaires symØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
A.1.2 Formes quadratiques et polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
A.2 Formes bilinØaires en dimension (cid:28)nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
A.2.1 ReprØsentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
A.2.2 Rang et noyau d’une forme bilinØaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.2.3 DualitØ, accouplement canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.3 OrthogonalitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A.3.1 OrthogonalitØ relativement (cid:224) une forme bilinØaire symØtrique . . . . . . . 12
A.3.2 Existence de bases orthogonales, thØorŁme de rØduction . . . . . . . . . . 13
A.3.3 La mØthode de Gauss de dØcomposition en carrØs . . . . . . . . . . . . . . 15
A.4 Classi(cid:28)cation des formes quadratiques en dimension (cid:28)nie . . . . . . . . . . . . . . 18
A.4.1 Classi(cid:28)cation des formes quadratiques sur les C-espaces vectoriels . . . . . 19
A.4.2 Classi(cid:28)cation des formes quadratiques sur les R-espaces vectoriels (thØo-
rŁme de Sylvester) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A.5 Formes quadratiques positives, InØgalitØs de Cauchy-Schwarz et de Minkowski . . 21
B Chapitre B : espaces euclidiens et prØ-hilbertiens 22
B.1 Produit scalaire, norme, distances euclidiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B.2 OrthogonalitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
B.2.1 Bases orthogonales, orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 24
B.2.2 ThØorŁmes de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
TABLE DES MATI¨RES
B.2.3 Un exemple : les polyn(cid:244)mes orthogonaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
B.3 Endomorphismes dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
B.3.1 Endomorphismes adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
B.3.2 Endomorphismes symØtriques, ou autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . 32
B.3.3 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
B.3.3.1 Applications orthogonales et isomØtries . . . . . . . . . . . . . . 35
B.3.3.2 Groupe orthogonal et spØcial orthogonal, orientation . . . . . . . 36
B.3.3.3 Groupe O (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2
B.3.3.4 Groupe O (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3
B.3.3.5 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
B.3.3.6 MiscellannØes : O (R), dØcomposition polaire . . . . . . . . . . . 43
n
3
AlgŁbrebilinØaireetgØomØtrie,2017-2018 LaurentBessiŁres
INTRODUCTION
Le but du cours est de faire de la gØomØtrie sur des espaces vectoriels. Pour cela on enrichit
la structure d’espace vectoriel d’une structure supplØmentaire : un produit scalaire. On conna(cid:238)t
dØj(cid:224) sur E = R3 le produit scalaire (canonique) dØ(cid:28)ni par la formule
(cid:104)(x ,x ,x ),(y ,y ,y )(cid:105) = x y +x y +x y (1)
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
Il a comme propriØtØs d’Œtre
(a) bilinØaire, c’est-(cid:224)-dire linØaire en chaque argument :
(cid:104)x+y,z(cid:105) = (cid:104)x,z(cid:105)+(cid:104)y,z(cid:105)
(cid:104)λx,y(cid:105) = λ(cid:104)x,y(cid:105) ∀x,y,z ∈ E
(cid:104)x,y+z(cid:105) = (cid:104)x,y(cid:105)+(cid:104)x,z(cid:105) ∀λ ∈ R
(cid:104)x,λy(cid:105) = λ(cid:104)x,y(cid:105)
(b) symØtrique :
(cid:104)x,y(cid:105) = (cid:104)y,x(cid:105) ∀x,y ∈ E
(c) dØ(cid:28)ni :
∀x ∈ E, (cid:104)x,x(cid:105) = 0 ⇐⇒ x = 0
(d) positif :
∀x ∈ E, (cid:104)x,x(cid:105) ≥ 0.
On peut imaginer d’autres formules que (1) vØri(cid:28)ant les propriØtØs a-b-c-d, par exemple
(cid:104)x,y(cid:105) = 2x y +3x y +4x y . Plus gØnØralement, un produit scalaire sur un R-espace vectoriel
1 1 2 2 3 3
E sera simplement une application (cid:104)·,·(cid:105) : E×E→R, vØri(cid:28)ant les axiomes a-b-c-d. Cette notion
est valide pour des espaces vectoriels de dimension in(cid:28)nie : par exemple sur E = C([0,1],R)
l’espacevectorieldesfonctionsrØellescontinuessur[0,1],onpourraconsidØrerleproduitscalaire
(cid:82)1
(cid:104)f,g(cid:105) = f(t)g(t)dt.
0
LebutducoursestdoncdefairelathØoriedesproduitsscalaires.Ilseraavantageuxd’Øtudier
sØparØment les 4 axiomes a-b-c-d. Le premier chapitre est consacrØ aux applications bilinØaires
et symØtriques (vØri(cid:28)ant a-b). Cette Øtude peut-Œtre faite dans le cadre plus gØnØral d’un espace
vectoriel sur un corps K, avec K = R ou K = C, l’application bilinØaire Øtant (cid:224) valeurs dans K.
Par contre, on ne parlera de produit scalaire que lorsque K = R. En e(cid:27)et, l’axiome de positivitØ
(d) ne fait sens (cid:224) priori que lorsque (cid:104)x,x(cid:105) ∈ R.1.
1. On peut dØ(cid:28)nir sur des C-espaces vectoriels un avatar du produit scalaire, qu’on appelle produit scalaire
hermitien,maislesaxiomesdebilinØaritØetsymØtriedoiventŒtreremplacØs.InspirØparlefaitque|z|2 =zz¯inR+
lorsquez∈C,onconsidŁredesapplicationsb:E×E→K linØairessurlapremiŁrevariableetsemi-linØaires sur
la seconde (b(x,λy+z)=λ¯b(x,y)+b(x,z)), et hermitiennes (b(x,y)=(b(y,x)). Ceci assure que b(x,x)∈R.
Chapitre A : Formes bilinØaires symØtriques et formes
quadratiques
Dans ce chapitre, E est un espace vectoriel sur un corps K, oø K = R ou C (on dira
simplement que E est un K-espace vectoriel).
A.1 Formes bilinØaires et formes quadratiques
A.1.1 Formes bilinØaires symØtriques
DØ(cid:28)nition A.1. Une forme bilinØaire sur E est une application b : E ×E→K linØaire en
chaque argument, c’est-(cid:224)-dire telle que pour tous x,y,z ∈ E et λ ∈ K,
b(λx+y,z) = λb(x,z)+b(y,z) (A.2)
b(x,λy+z) = λb(x,y)+b(x,z) (A.3)
On dit que b est symØtrique si
∀x,y ∈ E, b(x,y) = b(y,x) (A.4)
On dit que b est dØ(cid:28)nie si
∀x ∈ E, b(x,x) = 0 ⇔ x = 0 (A.5)
Lorsque K = R, b est positive si
∀x ∈ E, b(x,x) ≥ 0. (A.6)
Une forme bilinØaire, symØtrique, dØ(cid:28)nie et positive est un produit scalaire.
Exemple A.7. 1) Sur E = Kn, b(x,y) = (cid:80)n a x y , oø a ∈ K. On peut vØri(cid:28)er que
i,j=1 ij i j ij
a = b(e ,e ) oø {e ,...,e } est la base canonique de E. On en dØduit que b est symØtrique
ij i j 1 n
si a = a pour tout i,j, ce qu’on peut vØri(cid:28)er (cid:224) vue sur les exemples. Plus gØnØralement,
ij ji
sur tout espace vectoriel de dimension (cid:28)nie, toute forme bilinØaire s’Øcrira sous la forme
A.1. Formes bilinØaires et formes quadratiques
b(x,y) = (cid:80)n a x y via le choix d’une base (voir section A.2.1).
i,j=1 ij i j
2) Sur E = R[X] ou E = C([0,1],R), b(P,Q) = (cid:82)1P(cid:48)(t)Q(cid:48)(t)dt dØ(cid:28)nit une forme bilinØaire
0
(cid:82)1
symØtrique positive non dØ(cid:28)nie (considØrer P = 1), et b(P,Q) = P(t)Q(t)dt dØ(cid:28)nit un
0
produit scalaire.
L’ensemble {b : E × E→K} = KE×E des applications de E × E dans K, hØrite de la
structure de K-espace vectoriel de K si on le munit des lois (b +b )(x,y) := b (x,y)+b (x,y)
1 2 1 2
et (λb)(x,y) := λ.b(x,y).
On dØ(cid:28)nit les sous-ensembles B(E) = {b : E ×E→K bilinØaire} ⊂ KE×E et S(E) = {b :
E ×E→K bilinØaire symØtrique} ⊂ B(E).
Proposition A.8. Les espaces B(E) et S(E) sont des sous-espaces vectoriels du K-espace
vectoriel {b : E ×E→K}.
AutrementditunecombinaisonlinØairedeformesbilinØaires(resp.symØtriques)d’unespace
vectoriel est une forme bilinØnaire (resp. symØtrique) sur cet espace vectoriel.
A.1.2 Formes quadratiques et polarisation
DØ(cid:28)nition A.9. Une application q : E→K est une forme quadratique s’il existe une forme
bilinØaire symØtrique b ∈ S(E) telle que pour tout x ∈ E, q(x) = b(x,x).
(cid:80)
Endimension(cid:28)nie,celacorresponddoncauxapplicationsdelaformeq(x) = a x x .Une
ij i j
forme quadratique dØtermine complŁtement la forme bilinØaire symØtrique dont elle est issue :
Lemme A.10 (Formule de polarisation). Si b est une forme bilinØaire symØtrique telle
que q(x) = b(x,x) pour tout x ∈ E, alors
(cid:32) (cid:33)
1
∀x,y ∈ E, b(x,y) = q(x+y)−q(x)−q(y) . (A.11)
2
En consØquence, b est unique, appelØe forme polaire de q. Il su(cid:30)t donc de connaitre une
forme bilinØaire symØtrique sur la diagonale de E ×E pour la conna(cid:238)tre partout. Par extension
on dit que q est dØ(cid:28)nie, resp. positive, si sa forme polaire b l’est.
Exercice A.12. On a aussi
(cid:32) (cid:33)
1
b(x,y) = q(x+y)−q(x−y) . (A.13)
4
6
AlgŁbrebilinØaireetgØomØtrie,2017-2018 LaurentBessiŁres
A.1. Formes bilinØaires et formes quadratiques
Exemple A.14. 1) q : R3→R dØ(cid:28)nie par q(x) = x2−x x . On peut trouver sa forme polaire
1 2 3
via la formule de polarisation (A.11), ou ce qui est plus rapide en gØnØral en polarisant (cid:16)(cid:224)
vue(cid:17) : on remplace
x2 (cid:59) x y
i i i
1
x x (cid:59) (x y +x y )
i j i j j i
2
On trouve b(x,y) = x y − 1(x y +x y ) (qui est bien bilinØaire et symØtrique).
1 1 2 2 3 3 2
2) Soit (cid:96) : E→K une forme linØaire (c’est-(cid:224)-dire une application linØaire de E dans K), alors
q(x) = ((cid:96)(x))2 dØ(cid:28)nit une forme quadratique, de forme polaire b(x,y) = (cid:96)(x)(cid:96)(y). Plus gØnØ-
ralement, Øtant donnØs (cid:96) ,...,(cid:96) des formes linØaires sur E, et α ,...,α ∈ K des scalaires,
1 k 1 k
la combinaison linØaire des carrØs des formes linØaires
q(x) = α (cid:96) (x)2+···+α (cid:96) (x)2 (A.15)
1 1 k k
dØ(cid:28)nit une forme quadratique sur E.
Remarque A.16. RØciproquement le thØorŁme de rØduction A.48 montrera que si dimE <
+∞, toute forme quadratique sur E peut s’Øcrire sous la forme (A.15), avec de plus des formes
linØaires (cid:96) ,...,(cid:96) linØairement indØpendantes. On remarque que la positivitØ de q se voit sur les
1 k
α .
i
On dØ(cid:28)nit Q(E) = {q : E→K forme quadratique}. C’est un sous-espace vectoriel du K-
espace vectoriel des applications de E dans K. L’application de S(E) dans Q(E) qui envoie b
sur q vØri(cid:28)ant q(x) = b(x,x) est clairement linØaire, surjective par dØ(cid:28)nition, et injective d’aprŁs
la formule de polarisation A.10. En consØquence,
Proposition A.17. S(E) est isomorphe (cid:224) Q(E).
Exercice A.18. (VRAI-FAUX) DØcider si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
(a) Une produit de formes bilinØaires est une forme bilinØaire.
(b) Si (cid:96) et (cid:96) sont deux formes linØaires sur E, alors q(x) = (cid:96) (x)(cid:96) (x) dØ(cid:28)nit une forme
1 2 1 2
quadratique.
(c) Si q est une forme quadratique sur E alors q(λx) = λq(x).
(d) Une forme quadratique bornØe (c’est-(cid:224)-dire telle que |q(x)| ≤ C pour C indØpendant de
x) est nulle.
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AlgŁbrebilinØaireetgØomØtrie,2017-2018 LaurentBessiŁres
A.2. Formes bilinØaires en dimension (cid:28)nie
A.2 Formes bilinØaires en dimension (cid:28)nie
A.2.1 ReprØsentation matricielle
On suppose E de dimension (cid:28)nie (donc isomorphe (cid:224) Kn). Soit e = {e ,...,e } une base de
1 n
E, et soit b ∈ B(E). Si x = (cid:80)n x e et y = (cid:80)n y e , alors par bilinØaritØ on obtient
i=1 i i j=1 j j
   
n n n n
(cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88)
b(x,y) = b xiei, yjej = xibei, yjej
i=1 j=1 i j=1
n n n
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
= x y b(e ,e ) = x y b(e ,e ). (A.19)
i j i j i j i j
i j=1 i,j=1
La forme bilinØaire b est donc dØterminØe par les valeurs b(e ,e ) ∈ K.
i j
DØ(cid:28)nition A.20. On appelle matrice de b dans la base e la matrice
 
b(e ,e ) b(e ,e ) ··· b(e ,e )
1 1 1 2 1 n
 .. 
b(e2,e1) . 
 
M(b)e =  ... b(ei,ej) ...  ∈ Mn×n(K)
 . . 
 . . 
 . . 
b(e ,e ) ··· ··· b(e ,e )
n 1 n n
oø b(e ,e ) est le coe(cid:30)cient en ligne i et colonne j. C’est le coe(cid:30)cient de x y dans l’expression
i j i j
(A.19).
Exemple A.21. Soit b : R3 ×R3→R, dØ(cid:28)nie par b(x,y) = x y +2x y +3x y +4x y +
1 1 1 2 1 3 2 1
 
1 2 3
5x2y2+6x2y3+7x3y1+8x3y2+9x3y3 dans labase canonique deR3. AlorsM(b)e = 4 5 6.
7 8 9
Notons M : B(E)→M (K) l’application qui (cid:224) b ∈ B(E) associe la matrice M(b) .
e n×n e
Proposition A.22. L’application M : B(E)→M (K) est un isomorphisme.
e n×n
Proposition A.23. Soit b ∈ B(E). Sont Øquivalents :
(1) b est symØtrique,
(2) Il existe une base e de E telle que M(b) soit symØtrique,
e
(3) Dans toutes les bases, la matrice de b est symØtrique.
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A.2. Formes bilinØaires en dimension (cid:28)nie
Corollaire A.24. dimB(E) = n2 et dimS(E) = n(n+1).
2
La proposition suivante permet d’exprimer b(x,y) en termes de produit matriciel. Etant
donnØs e = {e ,...,e } une base de E, x = (cid:80)n x e et y = (cid:80)n y e deux ØlØments de E, on
1 n i=1 i i j=1 j j
   
x y
1 1
. .
note X =  ..  = M(x)e et Y =  ..  = M(y)e les matrices n×1 formØes des coordonnØes
x y
n n
(il est important de prendre des vecteurs colonnes). On rappelle que l’opØrateur transposØe
t : M (K)→M (K) associe (cid:224) une matrice A sa transposØe tA, dØ(cid:28)nie par (tA) = A . On
p×m m×p ij ji
a donc tX = (cid:0)x ,...,x (cid:1).
1 n
Proposition A.25. Soient b ∈ B(E) et M = M(b) . Alors, pour tous x,y ∈ E,
e
 
y
1
b(x,y) = (cid:0)x1,...,xn(cid:1)·M · ...  = tX ·M ·Y, (A.26)
y
n
oø le produit est le produit matriciel. De plus, M est la seule matrice qui vØri(cid:28)e cette identitØ
pour tous x,y ∈ E.
La formule est cohØrente en termes de dimensions car la dØ(cid:28)nition du produit matriciel
implique que
(p×m)·(m×q) = p×q, donc
(n×n)·(n×1) = n×1, ( matrice×vecteur colonne = vecteur colonne)
(1×n)·(n×1) = 1×1, (vecteur ligne×vecteur colonne = scalaire)
Ainsi l’exemple A.21 s’Øcrit
b(x,y) = x y +2x y +3x y +4x y +5x y +6x y +7x y +8x y +9x y
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
= x (y +2y +3y )+x (4y +5y +6y )+x (7y +8y +9y )
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
 
y +2y +3y
1 2 3
(cid:0) (cid:1)
= x1,x2,x3 ·4y1+5y2+6y3
7y +8y +9y
1 2 3
   
1 2 3 y
1
(cid:0) (cid:1)
= x1,x2,x3 ·4 5 6·y2.
7 8 9 y
n
Proposition A.27 (Formule du changement de base). Soient e = {e ,...,e } et e(cid:48) =
1 n
{e(cid:48),...,e(cid:48) } deux bases de E, et soit b ∈ B(E). Si on note P = P la matrice de passage
1 n e→e(cid:48)
9
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