Algèbre bilinéaire et analyse de Fourier [Lecture notes]

68 Pages·2009·0.32 MB·French

by  Grégory Berhuy

Alg`ebre bilin´eaire et analyse de Fourier
Table des matie`res
Motivations 1
1. Rappels d’alg`ebre lin´eaire 6
2. Formes bilin´eaires et semi-lin´eaires. 10
3. Produits scalaires euclidiens et hermitiens. 23
4. Formes quadratiques. R´eduction des coniques et des
quadriques. 45
5. S´eries de Fourier. 58
Dans tout ce cours, K d´esignera R ou C.
Motivations
On consid`ere une barre d’un mat´eriau homog`ene de longueur finie L
(non nulle!), la temp´erature initiale (au temps t = 0) ´etant donn´ee par
une fonction ϕ : [0,L] → R,x (cid:55)→ ϕ(x). On suppose que la temp´erature
est nulle aux extr´emit´es de la barre. Si D est le coefficient de diffusion,
l’´equation r´egissant la temp´erature T(x,t) en chaque point a` un instant
t > 0 est donn´ee par
∂T ∂2T
= D .
∂t ∂x2
Oublionsd’abordlaconditionT(x,0) = ϕ(x).Autrementdit,oncherche
lessolutionsv´erifiantseulementlesconditionsaubordT(0,t) = T(L,t) =
0.
Cherchonsd’abordunesolutionnonnulledelaformeT(x,t) = f(x)g(t)
(avec f et g v´erifiant des hypoth`eses convenables). On a alors
f(x)g(cid:48)(t) = Df(cid:48)(cid:48)(x)g(t),
soit
f(cid:48)(cid:48)(x) g(cid:48)(t)
= .
f(x) Dg(t)
Comme x et t sont deux variables ind´ependantes, cela implique qu’il
existe α ∈ R tel que
f(cid:48)(cid:48)(x) g(cid:48)(t)
= = α.
f(x) Dg(t)
Ainsi, on a
f(cid:48)(cid:48)(x)−αf(x) = 0 et g(cid:48)(t)−Dαg(t) = 0.
1
2
On a donc g(t) = λeDαt pour λ ∈ R, et donc g(t) (cid:54)= 0 pour tout t ≥ 0
(car on cherche T non identiquement nulle). La contrainte T(0,t) =
T(L,t) = 0 entraˆıne alors f(0) = f(L) = 0.
Si α = 0, on a f(cid:48)(cid:48)(x) = 0, et donc f(x) = ax + b. Les conditions
f(0) = f(L) = 0 imposent alors facilement f(x) = 0 pour tout x, ce
qui est a` exclure par hypoth`ese sur T.
Si α > 0, on pose α = ω2. Alors f est de la forme f(x) = ach(ωx)+
bsh(ωx),a,b ∈ R. Puisque f(0) = 0, on a a = 0. Puisque f(L) = 0, on
a bsh(L) = 0. Comme sh(L) (cid:54)= 0 puisque L (cid:54)= 0, on a b = 0 et donc f
est identiquement nulle, ce qui est `a exclure.
On a donc α < 0, et donc α = −ω2. Mais alors on a
f(x) = acos(ωx)+bsin(ωx),a,b,∈ R.
Puisque f(0) = 0, on a a = 0, et puisque f(L) = 0 on a bsin(ωL) = 0.
Puisque l’on cherche T non nulle, on a b (cid:54)= 0 et donc sin(ωL) = 0.
Ainsi ωL = πn pour n ≥ 0, et donc pour chaque n, on a une solution
de la forme
bnsin(nπx)e−πL2n22Dt,
L
ou` b ∈ R.
n
Autrement dit, on a
∂∂t(bnsin(nLπx)e−πL2n22Dt) = D∂∂x22(bnsin(nLπx)e−πL2n22Dt).
On a alors une solution
T(x,t) = (cid:88)bnsin(nπx)e−πL2n22Dt.
L
n≥1
En effet, on a
∂∂Tt = (cid:80)n≥1 ∂∂t(bnsin(nLπx)e−πL2n22Dt)
= (cid:80)n≥1D∂∂x22(bnsin(nLπx)e−πL2n22Dt)
= D∂2T
∂x2
Oui, mais...dans ce calcul, on a ´echang´e sans vergogne d´erivation et
(cid:88) (cid:88)
. A priori, rien ne le justifie, car est une somme infinie de
n≥1 n≥1
fonctions, donc en fait une limite d’une suite de fonctions. En fait, en
g´en´eral, l’interversion est illicite (il y a des contre-exemples).
sin(nx)
[Soit par exemple f : R → R,x (cid:55)→ . Clairement, pour tout
n
n
x ∈ R, on a f (x) → 0 lorsque n → +∞. Ainsi, on a
n
(limf )(cid:48)(0) = 0.
n
3
Par contre, on a f(cid:48)(x) = cos(nx) et donc lim(f(cid:48))(0) = 1.
n n
Pire,lalimitedefonctionsd´erivables(mˆemeinfinimentd´erivables)peut
mˆeme ne pas ˆetre continue!
Soit f : [0,1] → R,x (cid:55)→ xn. Alors pour tout x (cid:54)= 1, on a f (x) → 0 et
n n
f (1) → 1 lorsque n → +∞.]
n
Mais laissons pour l’instant ces r´ecriminations matheuses.
Pour avoir l’existence d’une solution v´erifiant T(x,0) = ϕ(x), on doit
n´ecessairement avoir
(cid:88) nπ
ϕ(x) = b sin( x) pour tout x ∈ [0,L].
n
L
n≥1
La question naturelle est donc : quelles sont les fonctions ϕ qui peuvent
se d´ecomposer de la mani`ere pr´ec´edente?
Remarquons que le membre de droite est une fonction 2L-p´eriodique
impaire. Pour avoir une chance d’obtenir l’´egalit´e, il est naturel de
prolonger ϕ en une fonction ψ : R → R 2L-p´eriodique impaire de la
fa¸con suivante. On pose
ψ(x) = ϕ(−x) pour tout x ∈]−L,0],
et on prolonge ψ a` R tout entier par p´eriodicit´e. La question revient
donc a` savoir si on peut d´ecomposer le signal p´eriodique ψ en s´erie de
sinus.
Plus g´en´eralement, peut-on d´ecomposer un signal f : R → C T-
p´erodique sous la forme
a (cid:88) 2nπ 2nπ
0
f(x) = + a cos( x)+b sin( x),
n n
2 T T
n≥1
avec a ,b ∈ C?
n n
En utilisant les formules de Moivre, cela revient `a savoir si on peut
´ecrire
(cid:88) (cid:88)
f(x) = c + c e−2inπx +c e2inπx = c e2ikπx.
0 −n T n T k T
n≥1 k∈Z
Si n ∈ Z, on a donc
f(x)e−2inπx = (cid:88)c e2i(k−n)πx.
T k T
k∈Z
On a alors
(cid:90) T (cid:90) T
f(x)e−2inπxdx = (cid:88)c e2i(k−n)πxdx.
T k T
0 k∈Z 0
4
Lemme 0.1. Pour m ∈ Z, on a
(cid:90) T (cid:26) T si m = 0
e2imπxdx =
T
0 sinon
0
D´emonstration. C’est un simple calcul. (cid:3)
Reprenons les calculs pr´ec´edents. En utilisant le lemme, on obtient
1 (cid:90) T
alors que c = f(x)e−2inπxdx. On note cette derni`ere int´egrale
n T
T
0
par c (f).
n
[Remarquons que, la` encore, rien ne justifie que l’on puisse ´echanger
somme infinie et int´egrale. Encore une fois, il y a des contre-exemples.
2nx
Soit f : [0,1] → R,x (cid:55)→ . Clairement, pour tout x ∈ [0,1], on
n 1+n2x4
a f (x) → 0 lorsque n → +∞.
n
On a donc
(cid:90) 1
limf (x)dx = 0.
n
0
En revanche, on a
(cid:90) 1 π
f (x)dx = Arctan(n) → lorsque n → +∞.]
n
2
0
Modulo ce point technique, on aboutit donc a` la question suivante : si
f : R → C est un signal T-p´eriodique, a-t-on
(cid:88)
f(x) = c (f)e2inπx?
n T
n∈Z
La s´erie de droite est appel´ee s´erie de Fourier associ´ee a` f.
On v´erifie facilement qu’elle est aussi ´egale a`
a (f) (cid:88) 2nπ 2nπ
0
+ a (f)cos( )+b (f)sin( ),
n n
2 T T
n≥1
ou` on a
2 (cid:90) T 2nπ
a (f) = f(x)cos( x)dx,n ≥ 0
n
T T
0
2 (cid:90) T 2nπ
b (f) = f(x)sin( x)dx,n ≥ 1.
n
T T
0
Ceprobl`emeaaussiunint´erˆetpropre,endehorsducontextedel’´equation
delachaleur,puisqu’ilposelaquestiondesavoirsionpeutreconstituer
un signal p´eriodique `a partir de ses harmoniques.
L’´equation de la chaleur est un cas particulier d’une ´equation de diffu-
sion, qui peut mod´eliser bien d’autres ph´enom`enes. La diffusion est le
5
processus par lequel, lorsque vous laissez tomber un morceau de sucre
dans un verre d’eau, le sucre se r´epartit graduellement par l’eau, ou
lorsqu’un polluant se propage dans l’air, ou lorsque n’importe quelle
substance dissoute se r´epand dans n’importe quel fluide.
L’´etude des s´eries de Fourier intervient d`es que l’on a des ph´enom`enes
ondulatoires. Par exemple en astrophysique, l’´etude spectrale de la
lumi`ere ´emise par une ´etoile permet de d´eterminer sa composition.
Consid´eronsmaintenantunprobl`emel´eg`erementdiff´erent.Etantdonn´e
unsignalT-p´eriodiquef,peut-onl’approximerdemani`eresatisfaisante
par une somme d’harmoniques
n
a (cid:88) 2kπx 2kπx
0
P := + a cos( )+b sin( )?
n k k
2 T T
k=1
On peut d´emontrer que la meilleure approximation de f (dans un sens
que l’on pr´ecisera) comme somme de n harmoniques est obtenue pour
a = a (f),b = b (f) pour k = 0,...,n.
k k k k
Encore une fois, on peut alors se demander ce qui se passe lorsque
n → +∞. Rien ne dit a priori que la s´erie de Fourier de f converge
vers f.
L’approximation d’un signal par une somme finie de sinuso¨ıdes inter-
vient de fac¸on omnipr´esente dans la compression num´erique par la-
quelle des donn´ees images, les audios et vid´eos sont compress´ees dans
une taille beaucoup plus petite rendant possible leur transmission via
le t´el´ephone, l’internet, les ´emissions sur les ondes et les r´eseaux infor-
matiques. C’est ce que l’on fait en particulier lorsque l’on convertit en
format MP3. Lorsqu’un son est ´emis (c’est-`a-dire une vibration dans
l’air), sa hauteur est caract´eris´ee par sa fr´equence fondamentale, c’est-
2k π
0
a`-dire ν = , ou` k le premier entier k ≥ 1 tel que (a ,b ) (cid:54)= (0,0).
0 k k
T
Enrevanche,letimbredusonestd´etermin´eparlesautresharmoniques.
Dans le chapitre 5, on ´etudiera le probl`eme de convergence des s´eries
de Fourier; en particulier on donnera des conditions sur f pour qu’elle
soit ´egale a` la somme de sa s´erie de Fourier, et on appliquera la th´eorie
a` la r´esolution de l’´equation de la chaleur. Les d´emonstrations, trop
techniques, seront omises.
Dansleschapitres2−4,onintroduiralath´eoriealg´ebriquequinousper-
mettra de r´esoudre le probl`eme d’approximation d’un signal en somme
finied’harmoniques.Enparticulier,ong´en´eraliseralanotiondeproduit
scalaire et de projection orthogonale (bien connues pour R2 et R3).
On commence par quelques rappels d’alg`ebre lin´eaire.
Dans tout le cours, la lettre K d´esignera R ou C.
6
1. Rappels d’alge`bre line´aire
Un K-espace vectoriel est un ensemble V muni d’une loi interne
V ×V → V,(x,y) (cid:55)→ x+y,
et d’une loi externe
K ×V → V,(λ,x) (cid:55)→ λ·x,
appel´ee parfois multiplication par un scalaire, satisfaisant aux pro-
pri´et´es suivantes :
(1) Il existe un ´el´ement 0 tel que 0 +x = x+0 = x pour tout
V V V
x ∈ V.
(2) x+(y +z) = (x+y)+z pour tout x,y ∈ V
(3) x+y = y +x pour tout x,y ∈ V
(4) Pour tout x ∈ V, il existe un ´el´ement x(cid:48) ∈ V tel que x+x(cid:48) =
x(cid:48) +x = 0 .
V
Cet ´el´ement x(cid:48) est alors unique, et est not´e −x.
(5) 1·x = x pour tout x ∈ M
(6) (λµ)·x = λ·(µ·x) pour tout λ,µ ∈ K,x ∈ V
(7) λ·(x+y) = λ·x+λ·y pour tout x,y ∈ V,λ ∈ K
(8) (λ+µ)·x = λ·x+µ·x pour tout x ∈ V,λ,µ ∈ K.
Exemples1.1. Kn,K[X],M (K),C0(I,R),l’ensembledessuitesr´eelles
n
ou complexes.
Un sous-espace vectoriel W de V est un sous-ensemble de V non
vide, stable par addition et multiplication par un scalaire. Dans ce cas,
c’est un K-espace vectoriel pour les lois de V.
Remarque 1.2. Un sous-espace vectoriel W de V contient toujours
0 , car si x ∈ W, alors 0·x = 0 ∈ W.
V V
Exemple 1.3. Un plan d’´equation ax + by + cz = 0 (a,b,c ∈ R) est
un sous-espace vectoriel de R3.
Soit V un K-espace vectoriel, et soit F une famille de vecteurs de V.
Une combinaison lin´eaire d’´el´ements de la famille F est un vecteur
de V de la forme
m
(cid:88)
λ e ,
i i
i=1
ou` λ ,...,λ ∈ K et e ,...,e ∈ F.
1 m 1 m
Le sous-espace vectoriel de V engendr´e par F est l’ensemble
Vect(F) des combinaisons lin´eaires d’´el´ements de F. Autrement dit,
m
(cid:88)
Vect(F) = { λ e | λ ,...,λ ∈ K,e ,...,e ∈ F,m ≥ 0}.
i i 1 m 1 m
i=1
7
On dit qu’une famille de G de vecteurs de V est g´en´eratrice (ou
engendre V) si tout vecteur v ∈ V est une combinaison lin´eaire
d’´el´ements de G (autrement dit si V = Vect(G)).
Exemples 1.4.
(1) Un plan de R3 est engendr´e par deux vecteurs non colin´eaires
de ce plan.
(2) Les vecteurs
 1   0 
0 ..
   . 
 . ,..., 
.
 .   0 
0 1
engendrent Kn.
(3) Une famille G d’´el´ements est une famille g´en´eratrice de Vect(G).
On dit que une famille L de vecteurs de V est libre si pour tout m ≥ 0,
tout e ,...,e ∈ V et tout λ ,...,λ ∈ K, on a
1 m 1 m
m
(cid:88)
λ e = 0 ⇒ λ = 0 pour tout i = 1,...,m.
i i i
i=1
Cela aussi revient a` dire qu’aucun ´el´ement de L n’est combinaison
lin´eaires des autres.
Remarque 1.5. La d´efinition peut-ˆetre reformul´ee plus simplement
lorsque la famille est finie.
Unefamillee ,...,e denvecteursdeV estlibresipourtoutλ ,...,λ ∈
1 n 1 n
K, on a
n
(cid:88)
λ e = 0 ⇒ λ = 0 pour tout i = 1,...,n.
i i i
i=1
Exemples 1.6.
(1) Une famille contenant 0 n’est jamais libre.
(2) Si v ∈ V, la famille v,v n’est pas libre.
(3) La famille de fonctions continues 1,cos(2x),cos2(x) n’est pas
libre (pourquoi?)
(4) La famille de vecteurs de Kn
 1   0 
0 ..
   . 
 . ,··· , 
.
 .   0 
0 1
est libre.
8
(5) La famille de fonctions cos(x),sin(x) est libre.
On dit qu’une famille de vecteurs B est une base de V si elle est `a
la fois libre et g´en´eratrice. Cela revient `a dire que tout ´el´ement de V
s’´ecrit de mani`ere unique comme combinaison lin´eaire d’´el´ements de
B.
Exemples 1.7.
(1) Les vecteurs
 1   0 
0 ..
   . 
 . ,··· , 
.
 .   0 
0 1
forment une base de Kn, appel´ee base canonique.
(2) La famille 1,X,...,Xn forme une base de l’espace vectoriel des
polynˆomes a` coefficients dans K de degr´e au plus n.
(3) Si L est une famille libre de V, alors c’est une base de Vect(L).
On dit que V est de dimension finie s’il existe une famille g´en´eratrice
de cardinal fini. Dans ce cas, V poss`ede au moins une base, et toutes
les bases sont de mˆeme cardinal, appel´e la dimension de V sur K, et
not´e dim (V).
K
Si V n’est pas de dimension finie, V admet aussi une base (admis!).
Toute famille libre de V peut se compl´eter en une base de V.
Si V est de dimension finie, il en est de mˆeme pour tout sous-espace
vectoriel W, et on a
dimW ≤ dimV,
avec ´egalit´e si et seulement si W = V.
On suppose maintenant que V est de dimension finie n. Soit e =
(e ,...,e ) une base de V. Alors, pour tout x ∈ V, on peut ´ecrire
1 n
x = x e +...+x e ,x ∈ K.
1 1 n n i
Le vecteur
 x 
1
.
[x]e =  ..  ∈ Kn
x
n
s’appelle le vecteur des coordonn´ees de x dans la base e.
Attention! Une base est une famille ordonn´ee! Si on change l’ordre
des vecteurs, on obtient une nouvelle base, et les coordonn´ees changent
aussi.
Soit e(cid:48) une autre base de V. Comment calculer les coordonn´es de x ∈ V
dans la base e(cid:48) lorsqu’on les connait dans la base e?
9
Soit P ∈ M (K) la matrice de passage de e(cid:48) a` e, c’est-a`-dire la matrice
n
dont les colonnes sont les vecteurs coordonn´ees [e(cid:48)] ,...,[e(cid:48) ] (on ´ecrit
1 e n e
les coordonn´ees des vecteurs de la nouvelle base dans l’ancienne). Alors
on a
[x] = P−1[x] .
e(cid:48) e
Pour retenir la formule : Se souvenir que la matrice P permet de
passer de e(cid:48) a` e, et donc P−1 permet de passer de e a` e(cid:48).
Soient V ,...,V des sous-espaces vectoriels de V. La somme des
1 m
sous-espaces V ,...,V est le sous-espace vectoriel V +...+V de V
1 m 1 m
d´efini par
V +...+V = {v +...+v ,v ∈ V }.
1 m 1 m i i
On dit que V ,...,V sont en somme directe si pour tout v ∈
1 m 1
V ,...,v ∈ V , on a
1 m m
v +...+v = 0 ⇒ v = ... = v = 0.
1 m 1 m
Sim = 2,V etV sontensommedirectesietseulementsiV ∩V = {0}.
1 2 1 2
On dit que V est la somme directe des sous-espaces V ,...,V si :
1 m
(1) V ,...,V sont en somme directe
1 m
(2) V = V +...+V .
1 m
Autrement dit, V est la somme directe des sous-espaces V ,...,V
1 m
si tout vecteur v ∈ V s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme
v = v +...+v ,v ∈ V .
1 m i i
On le note V = V ⊕...⊕V .
1 m
Exemple 1.8. Si e ,...,e est une base de V, alors
1 n
V = Ke ⊕···⊕Ke .
1 n
Par exemple,
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 0
R2 = R ⊕R .
0 1
Soient V,V(cid:48) deux K-espaces vectoriels.
Uneapplication lin´eairedeV dansV(cid:48) estuneapplicationf : V → V(cid:48)
v´erifiant
(1) f(v +v ) = f(v )+f(v ) pour tout v ,v ∈ V
1 2 1 2 1 2
(2) f(λv) = λf(v) pour tout λ ∈ K,v ∈ V
Dans ce cas, on a n´ecessairement f(0) = 0.
Le noyau de f, not´e Ker(f) est l’ensemble
Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0} ⊆ V.
10
C’est un sous-espace vectoriel de V.
L’image de f, not´ee Im(f) est l’ensemble
Im(f) = {f(v),v ∈ V} ⊆ V(cid:48).
C’est un sous-espace vectoriel de V(cid:48).
On a alors le th´eor`eme du rang.
Th´eor`eme 1.9 (Th´eor`eme du rang). Soient V,V(cid:48) deux K-espaces vec-
toriels, et soit f : V → V(cid:48) une application lin´eaire. Si V est de dimen-
sion finie, alors Ker(f) et Im(f) sont de dimension finie et on a
dim (Ker(f))+dim (Im(f)) = dim (V).
K K K
Une forme lin´eaire sur V est une application lin´eaire de V dans K.
Lemme 1.10. Soit V un K-espace vectoriel de dimension n, et soit
f : V → K une forme lin´eaire non nulle. Alors dim Ker(f) = n−1.
K
D´emonstration. D’apr`es le th´eor`eme du rang, il suffit de montrer que
dim (Im(f)) = 1. En fait, on va montrer que Im(f) = K (ce qui
K
entraˆınera que dim (Im(f)) = dim (K) = 1.
K K
Puisque f est suppos´ee non nulle, il existe x ∈ V tel que f(x ) = 1.
0 0
Soit maintenant λ ∈ K. On a
λ λ
f( x ) = f(x ) = λ,
0 0
f(x ) f(x )
0 0
etdoncλ ∈ Im(f).Ceci´etantvraipourtoutλ ∈ K,onobtientIm(f) =
K, ce qui ach`eve la d´emonstration. (cid:3)
Remarque 1.11. Le r´esultat peut ˆetre approch´e de mani`ere plus in-
tuitive comme suit : soit e ,...,e une base V. Posons a = f(e ) ∈ K.
1 n i i
Alors pour tout x = x e +...+x e , on a
1 1 n n
f(x) = x f(e )+...+x f(e ) = a x +...+a x .
1 1 n n 1 1 n n
On a donc
f(x) = 0 ⇐⇒ a x +...+a x = 0.
1 1 n n
Puisque f est non nulle, un des a est non nul. On comprend mieux
i
qu’il faut alors n−1 param`etres ind´ependants pour d´efinir un vecteur
de ker(f).
2. Formes biline´aires et semi-line´aires.
D´efinition. Soient V et V(cid:48) deux K-espaces vectoriels, et soit b : V ×
V → V(cid:48) une application de V ×V dans V(cid:48).
On dit que b : V × V → V(cid:48) : (x,y) (cid:55)→ b(x,y) est une application
bilin´eaire si b est lin´eaire en chacune des variables. Autrement dit b