Table Of ContentUniversidade Federal de Santa Catarina
Curso de P(cid:243)s-Gradua(cid:231)ªo em MatemÆtica
Pura e Aplicada
`lgebras de Hopf fracas:
teoremas de dualidade e de
Maschke
Deividi Ricardo Pansera
“
Orientadora: Prof. Dra. Virg(cid:237)nia Silva Rodrigues
Florian(cid:243)polis
Fevereiro de 2013
Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de P(cid:243)s-Gradua(cid:231)ªo em MatemÆtica
Pura e Aplicada
`lgebras de Hopf fracas: teoremas de
dualidade e de Maschke
Disserta(cid:231)ªo apresentada ao Curso de P(cid:243)s-
Gradua(cid:231)ªo em MatemÆtica Pura e Aplica-
da, do Centro de CiŒncias F(cid:237)sicas e Mate-
mÆticas da Universidade Federal de San-
ta Catarina, para a obten(cid:231)ªo do grau de
Mestre em MatemÆtica, com `rea de con-
centra(cid:231)ªo em `lgebra.
Deividi Ricardo Pansera
Florian(cid:243)polis
Fevereiro de 2013
`lgebras de Hopf fracas: teoremas de
dualidade e de Maschke
por
Deividi Ricardo Pansera1
Esta Disserta(cid:231)ªo foi julgada para a obten(cid:231)ªo do T(cid:237)tulo de (cid:16)Mestre(cid:17),
`rea de Concentra(cid:231)ªo em `lgebra, e aprovada em sua forma
(cid:28)nal pelo Curso de P(cid:243)s-Gradua(cid:231)ªo em MatemÆtica
Pura e Aplicada.
Prof. Dr. Daniel Gon(cid:231)alves
Coordenador
Comissªo Examinadora
“ “
Prof. Dr. Virg(cid:237)nia Silva Rodrigues
(Orientadora - UFSC)
Prof. Dr. Antonio Paques
(UniversidadeFederaldoRioGrandedoSul-UFRGS)
“ “
Prof. Dr. DaianaAparecidadaSilvaFl(cid:244)res
(UniversidadeFederaldeSantaMaria-UFSM)
Prof. Dr. Licio Hernanes Bezerra
(UniversidadeFederaldeSantaCatarina-UFSC)
Florian(cid:243)polis, Fevereiro de 2013.
1Bolsista do Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient(cid:237)(cid:28)co e Tecnol(cid:243)gico -
CNPq
ii
(cid:16)A estrada avan(cid:231)a sempre, sempre,
A partir da porta onde come(cid:231)ou.
Agora a estrada chegou muito longe
E tenho de segui-la, se puder.
De percorrŒ-la com pØs fatigados,
AtØ se fundir noutro caminho maior,
Onde se encontram muitos caminhos e missıes.
E depois, para onde? Nªo sei dizer.(cid:17)
J. R. R. Tolkien
iii
Agradecimentos
Primeiramente, agrade(cid:231)o (cid:224) Sant(cid:237)ssima Trindade, Pai, Filho e Es-
p(cid:237)rito Santo, pela mera possibilidade da minha reden(cid:231)ªo. Aqui, houve
a verdadeira mudan(cid:231)a signi(cid:28)cativa em minha vida, nªo apenas para
sempre, mas para a eternidade. Parafraseando Sªo Paulo em At 17, 28
’n’Ele sou, me movo e existo’.
(cid:192) minha fam(cid:237)lia amada. Todos. Em especial ao meu Pai, minha
mªe, meu irmªo e meus queridos av(cid:243)s. Muito melhores que as min-
has, para uma tentativa de expressªo do que signi(cid:28)ca a fam(cid:237)lia, sªo as
palavrasdeG.K.Chesterton: (cid:16)Quandoentramosnumafam(cid:237)lia,peloato
denascermos, entramosrealmentenummundoqueØincalculÆvel, num
mundoquetemsuaspr(cid:243)priaseestranhasleis,nummundoquepoderia
passar sem n(cid:243)s, num mundo que nªo criamos. Em outras palavras,
quando entramos numa fam(cid:237)lia, entramos num conto de fadas.(cid:17)
“
(cid:192) minha orientadora, Prof. Virg(cid:237)nia Silva Rodrigues. Ela, certa-
mente, Ø muito mais que uma orientadora no sentido acadŒmico. (cid:201)
uma orientadora no sentido amplo da vida e de suas rela(cid:231)ıes. Uma
verdadeira amiga e companheira. Aprendi e aprendo muito com ela.
Jamaisesquecereique,emdeterminadomomentocr(cid:237)ticodaminhavida
pessoal, ela ofereceu-me o cØu com um ato singelo e, confessadamente,
inesperado por mim. O maravilhoso conforto de um abra(cid:231)o amigo e
consolador. Muito obrigado!
Ao professor Christian Lomp por ter aceito, ainda que informal-
mente, orientar-me durante um poss(cid:237)vel futuro doutorado. Esse ato,
motivou-meacontinuareprosseguircomosestudos,no(cid:226)mbitoacadŒmico.
Aos professores Antonio Paques, Daiana Aparecida da Silva Fl(cid:244)res
e Licio Hernanes Bezerra. Expresso minha profunda gratidªo por to-
das as sugestıes, corre(cid:231)ıes e, principalmente, por terem dedicado um
per(cid:237)odo de seus preciosos tempos para a leitura deste trabalho.
Aos meus (cid:16)irmªos algebristas(cid:17). Luis Augusto Uliana e Sara Pinter.
O ritual de um cafØ, o qual ultrapassou protocolos sociais, antes de
iv
nossas costumeiras (cid:16)aulas algØbricas(cid:17), jamais serÆ esquecido.
Aos meus colegas de turma e matemÆtica. Em especial, Camila
Fabre Sehnem e Soyara Biazotto. Boas risadas, cafØs, almo(cid:231)os e a(cid:28)ns.
Aos meus eternos amigos, dos quais se incluem os jÆ citados nos
parÆgrafos anteriores (cid:224) este. Em especial Denis Dalzotto, FÆbio Cam-
pos, Lucas Betega, Rafael do Nascimento e Tcharles Roberto Bagatoli.
Mostraram-meeaindamostramoqueØ,defato,vislumbraroqueestÆ
para alØm de uma janela. Nada mais apropriado para este parÆgrafo
do que citar C.S. Lewis: (cid:16)A Amizade Ø desnecessÆria - como a (cid:28)loso(cid:28)a,
como a arte, como o pr(cid:243)prio universo (pois Deus nªo precisava criar).
Ela nªo tem valor de sobrevivŒncia; ela Ø, antes, uma das coisas que
dªo valor (cid:224) sobrevivŒncia.(cid:17)
(cid:192) Elisa, secretÆria da p(cid:243)s, que, em sua extrema competŒncia, sem-
pre apresentou prontidªo.
Finalmente, mas nªo menos importante, agrade(cid:231)o ao CNPq (Con-
selhoNacionaldeDesenvolvimentoCient(cid:237)(cid:28)coeTecnol(cid:243)gico)pelabolsa
de mestrado fornecida, sem a qual nªo seria poss(cid:237)vel escrever esta dis-
serta(cid:231)ªo.
v
Resumo
O conceito de Ælgebra de Hopf fraca surge como uma generaliza(cid:231)ªo
de Ælgebra de Hopf no sentido clÆssico, (veja [3]). Nosso objetivo neste
trabalhoØapresentar,embasadosem[10],umaversªofracadoteorema
de Maschke que caracteriza Ælgebras de Hopf fracas semissimples em
termos de separabilidade e integrais normalizadas. AlØm disso, usando
[9],de(cid:28)nimosano(cid:231)ªodea(cid:231)ªodeumaÆlgebradeHopffracaH emuma
Ælgebra A e apresentamos um produto smash A#H nesse contexto.
Finalmente, mostramosumageneraliza(cid:231)ªodoteoremadedualidadede
Blattner-Montgomery(veja[1]),istoØ,seumaÆlgebradeHopffracaH
agir em uma Ælgebra A entªo existe um isomor(cid:28)smo entre as Ælgebras
(A#H)#H∗ e End (A#H) .
k A
vi
Abstract
TheconceptofweakHopfalgebraarisesasageneralizationofordi-
naryHopfalgebra,see[3]. Ourgoalinthisworkistopresent,basedon
[10],aweakversionofMaschke’stheoremwhichcharacterizessemisim-
ple weak Hopf algebras in terms of separability and normalized inte-
grals. Also, based on [9], it is de(cid:28)ned a notion of a weak Hopf algebra
H which acts on an algebra A, and it is presented a smash product
A#H in this context. Finally, we shaw a generalization Blattner-
Montgomery’s duality theorem (see [1]), i.e., if we have a weak Hopf
algebraactionH onanalgebraAthenthereisanalgebraisomorphism
between (A#H)#H∗ and End (A#H) .
k A
vii
˝ndice
Introdu(cid:231)ªo 3
1 `lgebras de Hopf fracas 4
1.1 BiÆlgebras fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 De(cid:28)ni(cid:231)ıes e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 `lgebras de Hopf fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 M(cid:243)dulos de Hopf fracos e um teorema de Maschke 45
2.1 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 M(cid:243)dulos de Hopf fracos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Teorema de Maschke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Produto smash fraco e um teorema de dualidade 63
3.1 Produto smash fraco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Teorema de dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 ApŒndice 80
ReferŒncias BibliogrÆ(cid:28)cas 82
1
Introdu(cid:231)ªo
`lgebrasdeHopfebiÆlgebrassurgememmuitoscontextosmatemÆti-
cos distintos como estruturas fundamentais. A teoria de Ælgebras de
Hopf, atualmente, estÆ muito desenvolvida e possui aplica(cid:231)ıes em di-
versas Æreas. Tais objetos surgiram, pela primeira vez, em topologia
algØbrica, mais precisamente no estudo de anØis de cohomologia de
grupos de Lie, posteriormente generalizado para H-espa(cid:231)os. `lgebras
de Hopf possuem uma teoria de representa(cid:231)ªo rica e uma das razıes
disso Ø que uma Ælgebra de Hopf H concede, naturalmente, uma estru-
tura de m(cid:243)dulo no produto tensorial de H-m(cid:243)dulos. Quando H possui
dimensªo (cid:28)nita, os ideais de H, que sªo chamados (cid:16)espa(cid:231)os integrais(cid:17),
sªo unidimensionais e sªo fundamentais na teoria de representa(cid:231)ªo.
Em meados de 1980, foram descobertas algumas conexıes, em de-
terminados aspectos, entre Ælgebras de Hopf, topologia e f(cid:237)sica te(cid:243)rica,
quedesenvolveram-senoquepodeserchamadodematemÆticaqu(cid:226)ntica
(quantum mathematics). Nesse (cid:226)mbito, incluem-se os grupos qu(cid:226)nti-
cos, a topologia qu(cid:226)ntica, a geometria nªo-comutativa e algumas cat-
egorias com estruturas adicionais. As Ælgebras de Hopf encontradas
nessescontextossªo,emsuamaioria,simultaneamentenªo-comutativas
e nªo-cocomutativas.
Um nœmero considerÆvel de generaliza(cid:231)ıes de Ælgebras de Hopf e
objetos relacionados surgiram nos œltimos anos. Dentre essas gener-
aliza(cid:231)ıes, uma, em espec(cid:237)(cid:28)co, Ø o objeto de estudo desta disserta(cid:231)ªo:
Ælgebras de Hopf fracas ou grup(cid:243)ides qu(cid:226)nticos (cid:28)nitos.
`lgebras de Hopf fracas foram introduzidas em [2,11,12]. As Ælge-
bras de Kac generalizadas ((cid:28)nito dimensionais), em [14], sªo tambØm
Ælgebras de Hopf fracas no sentido de [3,11], embora com uma an-
t(cid:237)poda involutiva. Uma Ælgebra de Hopf fraca H Ø um espa(cid:231)o vetorial
(cid:28)nito dimensional que possui uma estrutura de Ælgebra e de coÆlgebra
simultaneamente, com uma certa rela(cid:231)ªo de compatibilidade entre es-
sas estruturas, juntamente com um anti-homomor(cid:28)smo de Ælgebras e
2
