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Algebraische Geometrie Marc Nieper-Wißkirchen Wintersemester 2007/08–Sommersemester 2008 16. Juni 2008 Inhaltsverzeichnis I Affine Variet¨aten 15 1 Algebraische Mengen und der Hilbertsche Nullstellensatz 17 1.1 Algebraische Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.1 Verschwindungsmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2 Definition einer algebraischen Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Basissatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1 Aussage und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.2 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Verschwindungsmengen von Wurzelidealen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1 Wurzelideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Eine triviale Inklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Die Zariski-Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1 Vereinigung algebraischer Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.2 Schnitt algebraischer Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.3 Zariski-Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Der Hilbertsche Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.1 Schwacher Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.2 Starker Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.3 Zariski-Abschluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Affine Variet¨aten im An(k) 29 2.1 Irreduzibilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Irreduzible Zariski-abschlossene Teilmengen des An(k) . . . . . . . 29 2.2 Algebraische Variet¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Koordinatenring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Noethersche topologische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.3 Teilr¨aume noetherscher R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.4 Zerlegungssatz fu¨r noethersche R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Inhaltsverzeichnis 3 Die Kategorie der affinen Variet¨aten 35 3.1 Regul¨are Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1 Urbilder regul¨arer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.4 Die Kategorie der algebraischen Teilmengen . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 (Abstrakte) affine Variet¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.1 Maximale Ideale des Koordinatenrings . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.2 Maximale Ideale unter regul¨aren Abbildungen . . . . . . . . . . . . 39 3.2.3 Regul¨are Abbildungen und Algebrenhomomorphismen . . . . . . . 39 3.2.4 Kategorie der (abstrakten) algebraische Variet¨aten . . . . . . . . . 40 3.2.5 Das Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 II Z-Funktoren 43 4 Affine Schemata als Z-Funktoren 45 4.1 Affine Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1 Kategorie der affinen Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.2 Regul¨are Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.3 R-wertige Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.4 Regul¨are Funktionen als Funktionen auf den R-wertigen Punkten . 46 4.2 Beispiele affiner Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.1 Der n-dimensionale affine Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.2 Die affine Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.3 Spektren von Faktorringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.4 Spezielle lineare Liesche Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.5 Spektren von Lokalisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2.6 Die allgemeine lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3 Z-Funktoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3.1 Der Punktefunktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3.2 Kategorie der Z-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3.3 R-wertige Punkte eines Z-Funktors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4 Regul¨are Funktionen eines Z-Funktors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4.2 Zuru¨ckziehen regul¨arer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4.3 Affine Z-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4.4 Adjungiertheit des Spektrumsfunktors und des Funktors der re- gul¨aren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.5 Produkte und relative Z-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5.1 Limiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5.2 Definition relativer Z-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5.3 Terminales Objekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5.4 Punkte relativer Z-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4 Inhaltsverzeichnis 4.5.5 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.5.6 Faser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5.7 Stabilit¨at unter Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5 Quasi-koh¨arente Moduln u¨ber Z-Funktoren 59 5.1 Quasi-koh¨arente Moduln u¨ber Z-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1.2 Kategorie der quasi-koh¨arenten Moduln . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Operationen mit quasi-koh¨arenten Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.1 Kolimiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.2 Zuru¨ckziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3 Schnitte in quasi-koh¨arenten Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3.3 Der globale Schnittfunktors als adjungierter Funktor . . . . . . . . 62 5.3.4 Kategorie der quasi-koh¨arenten Moduln u¨ber affinen Schemata . . 62 6 Die Zariski-Topologie 65 6.1 Zariski-offene Unterfunktoren eines affinen Schemas . . . . . . . . . . . . . 65 6.1.1 Urbilder von Unterfunktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.1.2 Definition eines offenen Unterfunktors eines affinen Schemas . . . . 66 6.1.3 Standard-offene Unterfunktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1.4 Wurzelideal zu einem offenen Unterfunktor . . . . . . . . . . . . . 67 6.1.5 Beispieleinesnicht-affinesoffenenUnterschemaseinesaffinenSche- mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.1.6 Stetige Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.2 Zariski-offene Unterfunktoren von Z-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.2.3 Stetigkeit von Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.3 Topologie der offenen Unterfunktoren eines Z-Funktors . . . . . . . . . . . 69 6.3.1 Infimum offener Unterfunktoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.3.2 (Naive) Vereinigung offener Unterfunktoren . . . . . . . . . . . . . 70 6.3.3 Supremum offener Unterfunktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.3.4 Offene Unterfunktoren bilden Topologie . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.4 Offene U¨berdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4.2 Standard-offene U¨berdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4.3 K¨orper-wertige Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.5 Surjektive Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.5.2 Charakterisierung mittels Urbilder offener Unterfunktoren . . . . . 73 6.5.3 Dominante Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5 Inhaltsverzeichnis 7 Topologische Eigenschaften 75 7.1 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.1.2 Zusammenhang affiner Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.2 Irreduzibilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.2.2 Offener Unterfunktor eines irreduziblen Z-Funktors . . . . . . . . . 76 7.2.3 Irreduzibilit¨at affiner Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.3 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.3.2 Dimension affiner Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8 Affine Morphismen zwischen Z-Funktoren 79 8.1 Affine Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.1.3 Stabilit¨at unter Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.2 Quasi-koh¨arente kommutative Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.2.1 Bild der Strukturgarbe unter einem affinen Morphismus . . . . . . 79 8.2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.2.3 Relatives Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.2.4 Vertr¨aglichkeit mit Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.2.5 Affine Morphismen sind relative Spektra . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.3 Abgeschlossene Unterfunktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.3.2 Abgeschlossene Untefunktoren affiner Schemata . . . . . . . . . . . 83 III Schemata 85 9 Schemata als Z-Funktoren 87 9.1 Lokale Z-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 9.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 9.1.2 Lokalit¨at affiner Unterschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.1.3 Lokalit¨at offener Unterfunktoren lokaler Z-Funktoren . . . . . . . . 89 9.1.4 Verkleben von Morphismen in lokale Z-Funktoren . . . . . . . . . 90 9.1.5 Offener Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.2 Lokalisierung von Z-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9.2.1 Aussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9.2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.2.3 Verkleben lokaler Z-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.3 Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6 Inhaltsverzeichnis 9.3.3 Abgeschlossene Unterschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.3.4 Verkleben von Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.3.5 Beispiele fu¨r die Verklebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10 Schemata als lokal geringte R¨aume 97 10.1 Absolute Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.1.2 Generischer Punkt als absoluter Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . 98 10.1.3 Absolute Punkte eines affinen Schemas . . . . . . . . . . . . . . . . 98 10.1.4 Raum der absoluten Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 10.1.5 Der Funktor der absoluten Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 10.1.6 Offene Unterfunktoren und offene Teilmengen . . . . . . . . . . . . 99 10.1.7 Surjektivit¨at von Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 10.2 Garben u¨ber topologischen R¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 10.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 10.2.2 Kategorie der Garben u¨ber einem topologischen Raum . . . . . . . 100 10.2.3 Vergarbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.2.4 Urbild einer Garbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.2.5 Limiten von Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.2.6 Ringgarbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.3 Geringte R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.3.3 Morphismus geringter R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.4 Schemata als geringte R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 10.4.1 Treue der Einbettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 10.4.2 Einbettung ist nicht voll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 10.5 Lokal geringte R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.5.1 Lokaler kommutativer Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.5.2 Lokaler Homomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.5.3 Kategorie lokaler Ringgarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.5.4 Z-Funktor als lokal geringter Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.5.5 Kategorie lokal geringter R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.6 Einbettung der Kategorie der Schemata in die Kategorie der lokal gering- ten R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.6.1 Volltreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.6.2 Punktefunktor eines lokal-geringten Raumes . . . . . . . . . . . . . 106 11 Produkte und relative Schemata 109 11.1 Limiten lokaler Z-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 11.1.1 Existenzaussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 11.1.2 R-wertige Punkte des Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 11.2 Limiten von Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 11.2.1 Limiten affinen Schemeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7 Inhaltsverzeichnis 11.2.2 Beispiele von Limiten affiner Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . 110 11.2.3 Existenzaussage u¨ber endliche Limiten von Schemata. . . . . . . . 111 11.3 Relative Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 11.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 11.3.2 Terminales Objekt und Schemata u¨ber SpecZ. . . . . . . . . . . . 112 11.3.3 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 12 Reduzierte und ganze Schemata 115 12.1 Lokale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 12.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 12.1.2 Konstruktionsm¨oglichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 12.1.3 Lokal noethersch als Beispiel einer lokalen Eigenschaft . . . . . . . 115 12.2 Reduzierte Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 12.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 12.2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 12.2.3 Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 12.2.4 Reduktion affiner Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 12.2.5 Reduziertes Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 12.3 Ganze Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 12.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 12.3.2 Affine Variet¨aten als ganze Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 12.3.3 Charakterisierung ganzer Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 12.3.4 Funktionenk¨orper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 12.3.5 Beispiele zum Funktionenk¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12.3.6 Generischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 13 Quasi-koh¨arente Moduln u¨ber Schemata 121 13.1 Quasi-kompakte und quasi-separierte Schemata und Morphismen . . . . . 121 13.1.1 Quasi-Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 13.1.2 Quasi-Separiertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 13.1.3 Noethersche Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.1.4 Quasi-kompakte und quasi-separierte Morphismen . . . . . . . . . 122 13.1.5 Ein Kriterium fu¨r Affinit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.2 Quasi-koh¨arente Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 13.2.1 Assoziierte Garbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 13.2.2 Verkleben quasi-koh¨arenter Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 13.3 Endliche Limiten quasi-koh¨arenter Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 13.3.1 Existenzaussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 13.3.2 Inneres Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 13.4 Direktes Bild quasi-koh¨arenter Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 13.4.1 Globale Schnitte unter flachem Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . 126 13.4.2 Bild und Urbild als adjungierte Funktoren . . . . . . . . . . . . . . 126 13.4.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 13.5 Idealgarben abgeschlossener Unterfunktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8 Inhaltsverzeichnis 13.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 13.5.2 Struktursequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 13.5.3 Affine Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 13.5.4 Abschlossenes Unterschema zu einer Idealgarbe . . . . . . . . . . . 129 13.6 Schema-theoretisches Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 13.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 13.6.2 Abgeschlossene Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 13.6.3 Absolute Punkte des schema-theoretischen Bildes . . . . . . . . . . 130 13.6.4 Abgeschlossenheit unter Spezialisierung . . . . . . . . . . . . . . . 131 IV Grundlagen der Schematheorie 133 14 Die Proj-Konstruktion 135 14.1 Gruppenfunktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 14.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 14.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 14.1.3 Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 14.1.4 G -Operationen auf affinen Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . 136 m 14.1.5 Endliche Standgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 14.2 Kategorielle Quotienten nach Operationen von Gruppenschemata . . . . . 137 14.2.1 Invariante Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 14.2.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 14.2.3 Kategorieller Quotient als Kolimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 14.3 Der projektive Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 14.3.1 Existenzaussage von Proj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 14.3.2 Homogene Wurzelideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 14.3.3 Quotient im Falle, daß das irrelevante Ideal das Einsideal ist . . . 139 14.3.4 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 14.3.5 Standard-offene Unterschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 14.4 Projektiver Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 14.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 14.4.2 Abgeschlossene Unterschemata des projektiven Raumes . . . . . . 141 14.4.3 Projektivierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 14.5 K¨orper-wertige Punkte einer G -Quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . 142 m 14.5.1 Aussage fu¨r algebraisch abgeschlossene K¨orper . . . . . . . . . . . 142 14.5.2 Anwendung auf den projektiven Raum und seine abgeschlossenen Unterschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 14.6 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 14.6.1 Aussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 14.6.2 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 14.6.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 14.7 Quasi-koh¨arente Moduln u¨ber Proj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 14.7.1 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 9 Inhaltsverzeichnis 14.7.2 Serresche Garbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 15 Treu-flacher Abstieg 147 15.1 Effektiver Abstieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 15.1.1 Abstiegsdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 15.1.2 Morphismen effektiven Abstiegs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 15.1.3 Zariski-Abstieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 15.2 Flachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 15.2.1 Flaches Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 15.2.2 Flacher Morphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 15.2.3 Treu-flacher Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 15.3 Abstieg fu¨r fpqc-Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 15.3.1 Effektiver Abstieg fu¨r offene Unterfunktoren . . . . . . . . . . . . . 150 15.3.2 Treu-flacher Abstieg fu¨r quasi-koh¨arente Moduln . . . . . . . . . . 151 15.3.3 Treu-flacher Abstieg fu¨r regul¨are Funktionen . . . . . . . . . . . . 152 15.3.4 Treu-flacher Abstieg fu¨r Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 15.4 Fpqc-lokale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 15.4.1 Zariski-U¨berdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 15.4.2 fpqc-Morphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 15.4.3 fpqc-Lokalit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 16 Algebraische Schemata und Variet¨aten 155 16.1 Separierte Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 16.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 16.1.2 Gleichungsdefinierte Unterfunktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 16.1.3 Stabilit¨at unter Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 16.1.4 Separiertheit affiner Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 16.1.5 Kriterium fu¨r Separiertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 16.1.6 Projektiver Raum ist separiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 16.1.7 Beispiel eines nicht-separierten Schemas . . . . . . . . . . . . . . . 157 16.1.8 Eindeutige Fortsetzbarkeit von Morphismen . . . . . . . . . . . . . 157 16.1.9 Abgeschlossenheit der Diagonalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 16.2 Bewertungskriterium fu¨r Separiertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 16.2.1 Erweiterbarkeit von Homomorphismen in algebraisch abgeschlos- sene K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 16.2.2 Bewertungsring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 16.2.3 Das Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 16.2.4 Morphismen von Spektren von Bewertungsringen . . . . . . . . . . 160 16.2.5 Beweis des Kriteriums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 16.3 Algebraische Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 16.3.1 Endlich pr¨asentierte Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 16.3.2 (Lokal) Endlich pr¨asentierte Schemata und Morphismen . . . . . . 162 16.3.3 Variet¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 16.3.4 Projektive Variet¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10

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Algebraische Geometrie PDF

257 Pages·2008·0.992 MB·German
by  Marc A. Nieper-Wißkirchen
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by Marc A. Nieper-Wißkirchen| 2008| 257 pages| 0.992| German

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Detailed Information

Author:Marc A. Nieper-Wißkirchen
Publication Year:2008
ISBN:1451801
Pages:257
Language:German
File Size:0.992
Format:PDF
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