Algebraic Extensions for Symbolic Summation

85 Pages·2011·0.8 MB·English

by  Burçin Eröcal

Research Institute for Symbolic Computation
Johannes Kepler University Linz, Austria
Algebraic Extensions for Symbolic Summation
Burçin Eröcal
Doctoral Thesis
advised by
Priv.-Doz. Dr. Carsten Schneider
Univ.-Prof. Dr. Peter Paule
examined by
Priv.-Doz. Dr. Carsten Schneider
Prof. Dr. Marko Petkov˘sek
Defended February 14, 2011, Linz, Austria.
This work was partially supported by the projects P20347 and DK W1214 of the
Austrian Science Foundation FWF.
Thereisnopermanentplaceinthisworldforuglymathematics.
G. H. Hardy

Abstract
The main result of this thesis is an effective method to extend Karr’s symbolic sum-
mation framework to algebraic extensions. These arise, for example, when working
with expressions involving (−1)n. An implementation of this method, including a
modernised version of Karr’s algorithm is also presented.
Karr’s algorithm is the summation analogue of the Risch algorithm for indefinite in-
tegration. Inthesummationcase,towersofspecializeddifferencefieldscalledΠΣ-fields
are used to model nested sums and products. This is similar to the way elementary
functions involving nested logarithms and exponentials are represented in differential
fields in the integration case.
Incontrasttotheintegrationframework, onlytranscendentalextensionsareallowed
in Karr’s construction. Algebraic extensions of ΠΣ-fields can even be rings with zero
divisors. Karr’smethodsrelyheavilyontheabilitytosolvefirst-orderlineardifference
equations and they are no longer applicable over these rings.
Based on Bronstein’s formulation of a method used by Singer for the solution of
differential equations over algebraic extensions, we transform a first-order linear equa-
tion over an algebraic extension to a system of first-order equations over a purely
transcendental extension field. However, this domain is not necessarily a ΠΣ-field.
Using a structure theorem by Singer and van der Put, we reduce this system to a
single first-order equation over a ΠΣ-field, which can be solved by Karr’s algorithm.
We also describe how to construct towers of difference ring extensions on an algebraic
extension, where the same reduction methods can be used.
A common bottleneck for symbolic summation algorithms is the computation of
nullspaces of matrices over rational function fields. We present a fast algorithm for
matricesoverQ(x)whichusesfastarithmeticatthehardwarelevelwithcallstoBLAS
subroutines after modular reduction. This part is joint work with Arne Storjohann.
Keywords: Symbolic summation, difference rings, Karr’s algorithm, algebraic
extensions.
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Zusammenfassung
Das Hauptresultat dieser Arbeit ist eine leistungsfähige Methode, die Karr’s Algo-
rithmus für symbolische Summation auf algebraische Erweiterungen ausdehnt. Diese
Erweiterungen treten zum Beispiel bei der Arbeit mit Ausdrücken auf, die (−1)n en-
thalten.EineImplementierungdieserMethodeinklusiveeineretwasweiterentwickelten
Version des Algorithmus von Karr wird zusätzlich vorgestellt.
Karr’sAlgorithmus,dasSummations-AnalogondesAlgorithmusvonRischzurindef-
initen Integration, basiert auf Schachtelungen spezieller Differenzenkörper, sogennan-
ter ΠΣ-Körper. Diese Konstruktionen modellieren verschachtelte Summen und Pro-
dukte in einer Weise, wie im Integrationsfall elementare Funktionen, einschließlich
verschachtelter Logarithmen und Exponentialfunktionen, dargestellt werden.
Karr’s Konstruktion, deren Fundament die Lösbarkeit von Differenzengleichungen
erster Ordnung in ΠΣ-Körpern ist, erlaubt im Gegensatz zu den Rahmenbedingungen
in der Integration nur transzendente Erweiterungen. Algebraische Erweiterungen von
ΠΣ-Körpern können zu Ringen mit Nullteiler führen, worauf Karr’s Methoden nicht
mehr anwendbar sind.
Basierend auf früheren Ergebnissen von Bronstein bezüglich leistungsfähiger Integ-
rations-Methoden für algebraische Erweiterungen, wandeln wir eine lineare Gleichung
erster Ordnung über einer algebraischen Erweiterung in ein System von Differenzen-
gleichungen erster Ordnung über einem rein transzendenten Erweiterungskörper um.
Allerdings ist dieser Bereich nicht notwendiger Weise ein ΠΣ-Körper. Ein Struktur-
satz der Galois-Theorie für Differenzengleichungen ermöglicht die Reduktion dieses
Systems zu einer einzigen Gleichung erster Ordnung über einem ΠΣ-Körper, welche
mit Hilfe von Karr’s Algorithmus gelöst werden kann. Zusätzlich beschreiben wir die
KonstruktiongeschachtelterErweiterungenvonDifferenzenringenübereineralgebrais-
chen Erweiterung, wobei dieselben Reduktionsmethoden angewandt werden können.
Ein Engpass aller symbolischen Summationsalgorithmen ist die Berechnung von
Nullräumen von Matrizen über Körper rationaler Funktionen. Wir beschreiben einen
schnellenAlgorithmusfürMatrizenüberQ(x),welcherschnelleArithmetikaufHardware-
Ebeneverwendet,wobeinachmodularerReduktionBLASUnterprogrammeaufgerufen
werden. Dieser Teil entstand in Zusammenarbeit mit Arne Storjohann.
Stichwörter: Symbolische Summation, Differenzenringe, Karr’s Algorithmus, al-
gebraische Erweiterung
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Contents
Abstract i
Zusammenfassung iii
1. Introduction 1
1.1. A brief overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Notation and conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Summation in finite terms 7
2.1. Difference fields and summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1. Towers of difference fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2. First order linear extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. Homogeneous and inhomogeneous extensions . . . . . . . . . . 14
2.2. Algorithms for σ-radicals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1. σ-factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2. Tests for σ-radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Algebraic extensions for summation in finite terms 23
3.0. Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.0.1. Commutative algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.0.2. D-rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1. Difference/differential equations over algebraic extensions . . . . . . . 28
3.2. Structure of algebraic extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. Extensions of algebraic extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4. Creative telescoping over algebraic extensions . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Nullspace computation over rational function fields 47
4.1. Outline of approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. BLAS optimized output sensitive x-adic lifting . . . . . . . . . . . . . 51
4.3. Nullspace via outer product adjoint formula . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4. Performance comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A. Implementation 57
Notation and Symbols 63
Bibliography 65
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Contents
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