Algebraic Differential Calculus

319 Pages·2002·1.591 MB·English

by  Ernst Kunz

Algebraic Di(cid:2)erential Calculus
Contents
Chap(cid:2)I(cid:2) K(cid:3)ahler Di(cid:4)erentials
x (cid:0)(cid:2) Derivations(cid:3) Tangent Spaces and Vector Fields (cid:0)
x (cid:4)(cid:2) The Module of Ka(cid:5)hler Di(cid:6)erentials(cid:2) Tangent Bundles(cid:2) (cid:0)(cid:7)
x (cid:8)(cid:2) Di(cid:6)erential Modules of Field Extensions (cid:8)(cid:7)
x (cid:7)(cid:2) Di(cid:6)erential Modules of Local Rings (cid:7)(cid:9)
x (cid:10)(cid:2) Di(cid:6)erential Modules of A(cid:11)ne Algebras and their Localizations (cid:12)(cid:7)
x (cid:12)(cid:2) Smooth Algebras (cid:13)(cid:7)
x (cid:14)(cid:2) Di(cid:6)erential Modules of Complete Intersections (cid:9)(cid:7)
x (cid:13)(cid:2) Existence of Universally Finite Derivations (cid:0)(cid:15)(cid:0)
x (cid:9)(cid:2) The Ka(cid:5)hler Di(cid:6)erents (cid:16)Jacobian Ideals(cid:17) of an Algebra (cid:0)(cid:0)(cid:8)
Introduction to the Bibliography I (cid:0)(cid:4)(cid:15)
Chap(cid:2)II(cid:2) Di(cid:4)erential Operators
x (cid:0)(cid:2) Basic Properties of Di(cid:6)erential Operators (cid:0)(cid:4)(cid:8)
x (cid:4)(cid:2) Universal Di(cid:6)erential Operators (cid:0)(cid:8)(cid:0)
x (cid:8)(cid:2) Functorial Properties (cid:0)(cid:7)(cid:4)
x (cid:7)(cid:2) Di(cid:6)erential Operators of Smooth Algebras (cid:0)(cid:10)(cid:8)
Introduction to the Bibliography II (cid:0)(cid:12)(cid:8)
Chap(cid:2)III(cid:2) Di(cid:4)erential Forms
x (cid:0)(cid:2) Di(cid:6)erential Algebras (cid:0)(cid:12)(cid:7)
x (cid:4)(cid:2) Universal Extension of a Di(cid:6)erential Algebra (cid:0)(cid:14)(cid:10)
x (cid:8)(cid:2) Description of Universal Extensions in Special Cases (cid:0)(cid:9)(cid:4)
Introduction to the Bibliography III (cid:4)(cid:15)(cid:15)
Chap(cid:2)IV(cid:2) Connections
x (cid:0)(cid:2) Connections on Modules (cid:4)(cid:15)(cid:0)
x (cid:4)(cid:2) Curvature and Torsion of Connections (cid:4)(cid:0)(cid:10)
x (cid:8)(cid:2) Riemannian Algebras (cid:4)(cid:4)(cid:7)
x (cid:7)(cid:2) The Levi(cid:18)Civita(cid:19) Connection (cid:4)(cid:8)(cid:12)
x (cid:10)(cid:2) Curvature of Riemannian Algebras (cid:4)(cid:7)(cid:14)
Solutions to Some of the Problems (cid:4)(cid:10)(cid:13)
Appendices
A(cid:2) Commutative Algebras (cid:4)(cid:12)(cid:15)
B(cid:2) Dimension Formulas in Algebras of Finite Type
Quasi(cid:20)nite and Equidimensional Algebras (cid:4)(cid:12)(cid:7)
C(cid:2) Complete Intersections (cid:4)(cid:14)(cid:14)
D(cid:2) The Fitting Ideals of a Module (cid:4)(cid:13)(cid:14)
Bibliography (cid:4)(cid:9)(cid:12)
I
Chapter I(cid:2) K(cid:3)ahler Di(cid:4)erentials
x (cid:5)(cid:2) Derivations(cid:6) Tangent Spaces and Vector Fields
In this section we shall discuss the notion of derivation(cid:2) Some examples of derivations are
given(cid:3) and some basic rules about derivations are proved(cid:2) Then we introduce tangent spaces
at the pointsof the spectrumof a ringandvector (cid:4)eldsonthe spectrum(cid:2) Theseconceptsare
analogousto the correspondingnotions for di(cid:5)erentialmanifolds(cid:3)thoughnone of the notions
is a specialization of the other(cid:2)
Let R(cid:0) be a ring(cid:2) R an R(cid:0)(cid:3)algebra and M an R(cid:3)module(cid:4) M can be regarded as an
R(cid:0)(cid:3)module via the structure homomorphism R(cid:0) (cid:2) R(cid:4)
(cid:0)(cid:2)(cid:0)(cid:2) Definition(cid:2) A derivation of R(cid:2)R(cid:0) into M is a mapping d(cid:5) R (cid:2) M having the
following properties(cid:2)
a(cid:3) d ist R(cid:0)(cid:4)linear(cid:5)
b(cid:3) (cid:6)Product formula(cid:3) For all a(cid:3)b (cid:3) R
d(cid:6)ab(cid:7) (cid:8) adb(cid:9)bda
Such derivations will also be called R(cid:0)(cid:4)derivations(cid:5) In case R(cid:0) (cid:8) Z derivations of
R(cid:2)Z will simply be called derivations of R (cid:6)absolute derivations(cid:3)(cid:5) Since R itself is an
R(cid:4)module(cid:7) we may consider in particular R(cid:0)(cid:4)derivations d(cid:5) R (cid:2) R(cid:5)
Examples(cid:3)
(cid:0)(cid:2)(cid:4)(cid:2) Examples from analysis(cid:2)
n (cid:0)
Let U (cid:4) R be a non(cid:10)empty open set(cid:2) R (cid:5)(cid:8) E(cid:6)U(cid:7) the R (cid:3)algebra of C (cid:3)functions
f(cid:5) U (cid:2) R (cid:4) Then the partial di(cid:11)erential operator
(cid:4) (cid:4)f
(cid:5) E(cid:6)U(cid:7) (cid:2) E(cid:6)U(cid:7) (cid:6)f (cid:5)(cid:2) (cid:7)
(cid:4)Xi (cid:4)Xi
is a derivation of E(cid:6)U(cid:7)(cid:2)R (cid:4)
(cid:0)
For P (cid:3) U let R (cid:5)(cid:8) EP be the R (cid:3)algebra of germs of C (cid:3)functions at P(cid:4) We have
an induced mapping
(cid:4)
(cid:5) EP (cid:2) EP
(cid:4)Xi
(cid:0) (cid:2)f
which sends the germ (cid:12)f(cid:13) of a C (cid:3)function f at P to the germ (cid:12) (cid:13) of its partial
(cid:2)Xi
derivative and which is an R(cid:3)derivation(cid:4)
(cid:14)
R may be regarded as an EP (cid:3)module via the homomorphism EP (cid:2) R (cid:2) (cid:12)f(cid:13) (cid:2) f(cid:6)P(cid:7)(cid:4)
Then
(cid:4)f
(cid:15)i(cid:5) EP (cid:2) R (cid:3) (cid:15)i(cid:12)f(cid:13) (cid:5)(cid:8) (cid:6)P(cid:7)
(cid:4)Xi
is also an R (cid:3)derivation(cid:4)
Similarexamplesoccur in complex analysis(cid:5) If R (cid:5)(cid:8) O(cid:6)U(cid:7) is the C (cid:3)algebraof holomor(cid:10)
phic functions on a non(cid:10)empty open set U (cid:4) C (cid:2) then the derivative gives a C (cid:3)derivation
of R into R(cid:4)
(cid:0)(cid:2)(cid:5)(cid:2) Trivial derivations(cid:2)
For any ring R and any R(cid:3)module M
d(cid:5) R (cid:2) M (cid:6)dr (cid:8) (cid:16) for all r (cid:3) R(cid:7)
is a derivation(cid:2) which is called trivial(cid:4)
(cid:0)(cid:2)(cid:6)(cid:2) Formal partial derivative in polynomial and power series algebras(cid:2)
Let R (cid:5)(cid:8) R(cid:0)(cid:12)(cid:12)X(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Xn(cid:13)(cid:13) be the R(cid:0)(cid:3)algebra of formal power series in indeterminates
(cid:3)(cid:0) (cid:3)n
X(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Xn(cid:4) For a power series F (cid:8) P(cid:6)(cid:3)(cid:0)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:3)nX(cid:2) (cid:5)(cid:5)(cid:5)Xn (cid:6)(cid:6)(cid:3)(cid:0)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:3)n (cid:3) R(cid:0)(cid:7) the formal
(cid:2)F
partial derivative is de(cid:17)ned by
(cid:2)Xi
(cid:4)F (cid:3)(cid:0) (cid:3)i(cid:2)(cid:2) (cid:3)n
(cid:6)(cid:14)(cid:7) (cid:5)(cid:8) P(cid:7)i(cid:6)(cid:3)(cid:0)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:3)nX(cid:2) (cid:5)(cid:5)(cid:5)Xi (cid:5)(cid:5)(cid:5)Xn
(cid:4)Xi
The mapping
(cid:4) (cid:4)F
(cid:5) R (cid:2) R (cid:6)F (cid:5)(cid:2) (cid:7)
(cid:4)Xi (cid:4)Xi
is an R(cid:0)(cid:3)derivation(cid:2) as is easily checked(cid:4)
Let fdX(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)dXng be a set of indeterminatesand let M (cid:5)(cid:8) RdX(cid:2)(cid:6)(cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:6)RdXn be the
free R(cid:3)module on the basis fdX(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)dXng(cid:2) the module of (cid:18)formal di(cid:11)erentials(cid:18)(cid:4) Then
the mapping
(cid:4)F (cid:4)F
d(cid:5) R (cid:2) M (cid:6)dF (cid:8) (cid:7)dX(cid:2) (cid:9)(cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:9) (cid:7)dXn(cid:7)
(cid:4)X(cid:2) (cid:4)Xn
is an R(cid:0)(cid:3)derivation of R into M(cid:4) The element dF is called the formal di(cid:4)erential of
F(cid:4)
If F (cid:3) R(cid:0)(cid:12)X(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Xn(cid:13)(cid:2) the polynomial ring in X(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Xn over R(cid:0)(cid:2) then we have
n
(cid:2)F (cid:2)
obviously (cid:2)Xi (cid:3) R(cid:0)(cid:12)X(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Xn(cid:13) and dF (cid:3) L R(cid:0)(cid:12)X(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Xn(cid:13)dXi(cid:4) Hence (cid:2)Xi and d
i(cid:3)(cid:2)
induce R(cid:0)(cid:3)derivations on the polynomial ring(cid:4)
(cid:3) (cid:2)F
In the case n (cid:8) (cid:14) we write F (cid:6)X(cid:7) instead of (cid:2)X for any F (cid:3) R(cid:0)(cid:12)(cid:12)X(cid:13)(cid:13)(cid:4) Observe that
formal integration in R(cid:0)(cid:12)(cid:12)X(cid:13)(cid:13) is only possible if Q (cid:4) R(cid:0)(cid:4)
(cid:19)
(cid:0)(cid:2)(cid:7)(cid:2) The Euler derivation of a graded ring(cid:2)
Let R (cid:8) Rn be a graded ring(cid:4) Then R(cid:0) is a subring of R(cid:4) For r (cid:3) R let r (cid:8) rn
nL(cid:4)Z nP(cid:4)Z
be the decomposition into homogeneous elements rn (cid:3) Rn(cid:4) The mapping
d(cid:5) R (cid:2) R (cid:6)r (cid:5)(cid:2) nrn(cid:7)
nP(cid:4)Z
is an R(cid:0)(cid:3)derivation(cid:2) as is easily checked(cid:4) It is called the Euler derivation of R(cid:4)
(cid:0)(cid:2)(cid:8)(cid:2) The universal derivation(cid:2)
As is well(cid:10)known(cid:2) the kernel I of the mapping
(cid:8)(cid:5) R(cid:8)R(cid:2) R (cid:2) R (cid:6)a(cid:8)b (cid:5)(cid:2) a(cid:7)b(cid:7)
is generated by the elements r(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)r (cid:6)r (cid:3) R(cid:7)(cid:4) The ring R(cid:8)R(cid:2) R has two R(cid:3)module
structures(cid:2)given bythe ringhomomorphisms R (cid:2) R(cid:8)R(cid:2)R (cid:6)a (cid:5)(cid:2) a(cid:8)(cid:14)(cid:7) and R (cid:2) R(cid:8)R(cid:2)R
(cid:6)a (cid:5)(cid:2) (cid:14) (cid:8) a(cid:7)(cid:4) They induce two R(cid:3)module structures on I(cid:4) From those(cid:2) we get in(cid:10)
(cid:4)
duced R(cid:3)module structures of M (cid:5)(cid:8) I(cid:2)I (cid:2) which however coincide(cid:5) For r (cid:3) R and
(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4)
a(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)a(cid:9)I (cid:3) I(cid:2)I we have r(cid:8)(cid:14)(cid:7)(cid:6)a(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)a(cid:9)I (cid:7) (cid:8) (cid:14)(cid:8)r(cid:7)(cid:6)a(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)a(cid:9)I (cid:7)(cid:2)
(cid:4)
since (cid:6)r (cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)r(cid:7)(cid:7)(cid:6)a(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)a(cid:7) (cid:3) I (cid:4)
De(cid:17)ne a mapping
(cid:4)
d(cid:5) R (cid:2) M (cid:6)a (cid:5)(cid:2) a(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)a(cid:9)I (cid:7)
Then clearly d is R(cid:0)(cid:3)linear(cid:4) Moreover(cid:2) for a(cid:3)b (cid:3) R
(cid:4)
d(cid:6)ab(cid:7) (cid:8) ab(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)ab(cid:9)I (cid:8)
(cid:4) (cid:4)
(cid:6)a(cid:8)(cid:14)(cid:7)(cid:7)(cid:6)b(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)b(cid:9)I (cid:7)(cid:9)(cid:6)(cid:14)(cid:8)b(cid:7)(cid:7)(cid:6)a(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)a(cid:9)I (cid:7) (cid:8)
(cid:4) (cid:4)
(cid:6)a(cid:8)(cid:14)(cid:7)(cid:7)(cid:6)b(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)b(cid:9)I (cid:7)(cid:9)(cid:6)b(cid:8)(cid:14)(cid:7)(cid:7)(cid:6)a(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:8)a(cid:9)I (cid:7) (cid:8) adb(cid:9)bda
The special importance of this derivation will be explained in the next section (cid:6)see (cid:19)(cid:4)(cid:20)(cid:7)(cid:4)
(cid:0)(cid:2)(cid:9)(cid:2) Rules about derivations(cid:2)
(cid:3)
If R(cid:0) is an algebra over a ring R(cid:0)(cid:2) then any R(cid:0)(cid:3)algebra (cid:6)any R(cid:0)(cid:3)module(cid:7) is also an
(cid:3) (cid:3) (cid:3)
R(cid:0)(cid:3)algebra (cid:6)an R(cid:0)(cid:3)module(cid:7)(cid:4) Clearly any R(cid:0)(cid:3)derivation is also an R(cid:0)(cid:3)derivation(cid:4) In
particular any R(cid:0)(cid:3)derivation is a Z (cid:3)derivation(cid:4)
(cid:0)(cid:2)(cid:10)(cid:2) Let d(cid:5) R (cid:2) M be an R(cid:0)(cid:3)derivation of R into an R(cid:3)module M(cid:4) Then(cid:5)
a(cid:7) d(cid:6)(cid:14)(cid:7) (cid:8) (cid:16)(cid:2) hence d(cid:6)n(cid:7)(cid:14)(cid:7) (cid:8) (cid:16) for all n (cid:3) Z (cid:4)
n
b(cid:7) d(cid:6)x(cid:2) (cid:7)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:7)xn(cid:7) (cid:8) x(cid:2) (cid:7)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:7)x(cid:21)i (cid:7)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:7)xndxi for all x(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)xn (cid:3) R(cid:2) in particular
P
i(cid:3)(cid:2)
n n(cid:2)(cid:2)
dx (cid:8) nx dx for all x (cid:3) R
(cid:20)
c(cid:7) P (cid:5)(cid:8) ker d (cid:5)(cid:8) f(cid:6) (cid:3) R j d(cid:6) (cid:8) (cid:16)g is a subring of R(cid:2) and d is a derivation of R(cid:2)P(cid:4) The
image of R(cid:0) in R is contained in P(cid:4)
d(cid:7) For any ideal I of R and any n (cid:9) (cid:16) we have
n n(cid:2)(cid:2)
d(cid:6)I (cid:7) (cid:4) I (cid:7)M
If R and M are endowed with the I(cid:3)topology(cid:2) then d is continuous(cid:4)
e(cid:7) Quotient formula(cid:2) If s (cid:3) R is a unit(cid:2) then for any r (cid:3) R
(cid:2)(cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:4)
d(cid:6)rs (cid:7) (cid:8) (cid:6)s (cid:7) (cid:6)sdr (cid:9)rds(cid:7)
in particular
(cid:2)(cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:4)
ds (cid:8) (cid:9)(cid:6)s (cid:7) ds
f(cid:7) Suppose N (cid:4) R(cid:0) is multiplicatively closed and R(cid:0) (cid:2) R induces a ring homomorphism
(cid:6)R(cid:0)(cid:7)N (cid:2) R(cid:4) Then d is also a derivation of R(cid:2)(cid:6)R(cid:0)(cid:7)N(cid:4)
g(cid:7) Derivation of polynomials(cid:2) Let f (cid:3) R(cid:0)(cid:12)X(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Xn(cid:13) be a polynomial and let
x(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)xn (cid:3) R(cid:4) Then
n
(cid:4)f
d(cid:6)f(cid:6)x(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)xn(cid:7)(cid:7) (cid:8) (cid:6)x(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)xn(cid:7)dxi
P
i(cid:3)(cid:2) (cid:4)Xi
In particular(cid:2)if g(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)gn (cid:3) R(cid:0)(cid:12)(cid:12)Y(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Ym(cid:13)(cid:13) arepowerseriesinindeterminates Y(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Ym
and h (cid:5)(cid:8) f(cid:6)g(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)gn(cid:7)(cid:2) then
n
(cid:4)h (cid:4)f (cid:4)gi
(cid:8) (cid:6)g(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)gn(cid:7)(cid:7) (cid:6)k (cid:8) (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)m(cid:7)
P
(cid:4)Yk i(cid:3)(cid:2) (cid:4)Xi (cid:4)Yk
More generally for f(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)ft (cid:3) R(cid:0)(cid:12)X(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Xn(cid:13) and hi (cid:5)(cid:8) fi(cid:6)g(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)gn(cid:7) (cid:6)i (cid:8) (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)t(cid:7) we
have the chain rule for the Jacobian matrices
(cid:4)(cid:6)h(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)ht(cid:7) (cid:4)(cid:6)f(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)ft(cid:7) (cid:4)(cid:6)g(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)gn(cid:7)
(cid:8) (cid:6)g(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)gn(cid:7)(cid:7)
(cid:4)(cid:6)Y(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Ym(cid:7) (cid:4)(cid:6)X(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Xn(cid:7) (cid:4)(cid:6)Y(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Ym(cid:7)
h(cid:7) Derivation of determinants(cid:2) Let (cid:15) (cid:8) det(cid:6)aik(cid:7) be the determinant of an n(cid:10) n(cid:10)
matrix (cid:6)aik(cid:7) with coe(cid:22)cients aik (cid:3) R(cid:4) Then
n
d(cid:15) (cid:8) (cid:15)ikdaik
P
i(cid:5)k(cid:3)(cid:2)
i(cid:5)k
where (cid:15)ik (cid:5)(cid:8) (cid:6)(cid:9)(cid:14)(cid:7) Aik and Aik is the minor of (cid:6)aik(cid:7) obtained by deleting the i(cid:3)th
row and k(cid:3)th column(cid:4)
(cid:23)
Proof(cid:3) a(cid:7) We have d(cid:6)(cid:14)(cid:7) (cid:8) d(cid:6)(cid:14) (cid:7) (cid:14)(cid:7) (cid:8) (cid:14) (cid:7) d(cid:6)(cid:14)(cid:7) (cid:9) (cid:14) (cid:7) d(cid:6)(cid:14)(cid:7)(cid:2) hence d(cid:6)(cid:14)(cid:7) (cid:8) (cid:16)(cid:4) Since d is
Z (cid:3)linear(cid:2) we obtain d(cid:6)n(cid:7)(cid:14)(cid:7) (cid:8) n(cid:7)d(cid:6)(cid:14)(cid:7) (cid:8) (cid:16) for all n (cid:3) Z (cid:4)
b(cid:7) The (cid:17)rst formulais obtainedfrom the product formulaby induction(cid:2) the second follows(cid:2)
if we set x(cid:2) (cid:8) (cid:7)(cid:7)(cid:7) (cid:8) xn (cid:8) x(cid:4)
c(cid:7) Clearly(cid:2) P is a subgroup of (cid:6)R(cid:3)(cid:9)(cid:7)(cid:4) The product formula shows that P is a subring
and that d is P(cid:3)linear(cid:4) For r(cid:0) (cid:3) R(cid:0) we have d(cid:6)r(cid:0) (cid:7)(cid:14)(cid:7) (cid:8) r(cid:0)d(cid:6)(cid:14)(cid:7) (cid:8) (cid:16)(cid:2) hence P contains
the image of R(cid:0) in R(cid:4)
n
d(cid:7) The elements of I are (cid:17)nite sums of products x(cid:2) (cid:7)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:7)xn with xi (cid:3) I (cid:6)i (cid:8) (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)n(cid:7)(cid:4)
The assertion follows from b(cid:7)(cid:4)
(cid:2)(cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:4)
e(cid:7) From (cid:16) (cid:8) d(cid:6)(cid:14)(cid:7) (cid:8) d(cid:6)s(cid:7)s (cid:7) (cid:8) sds (cid:9)s ds we obtain ds (cid:8) (cid:9)(cid:6)s (cid:7) ds(cid:4) The quotient
formula follows now by another application of the product formula(cid:4)
f(cid:7) By e(cid:7) the image of (cid:6)R(cid:0)(cid:7)N in R is contained in ker d(cid:4) So c(cid:7) can be applied(cid:4)
g(cid:7) Let
(cid:3)(cid:0) (cid:3)n
f (cid:8) P(cid:6)(cid:3)(cid:0)(cid:5)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5)(cid:3)nX(cid:2) (cid:5)(cid:5)(cid:5)Xn (cid:6)(cid:6)(cid:3)(cid:0)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:3)n (cid:3) R(cid:0)(cid:7)
(cid:3)(cid:0) (cid:3)n
Since d is R(cid:0)(cid:3)linear(cid:2) we have df(cid:6)x(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)xn(cid:7) (cid:8) P(cid:6)(cid:3)(cid:0)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:3)nd(cid:6)x(cid:2) (cid:5)(cid:5)(cid:5)xn (cid:7) and from b(cid:7) we
n
(cid:3)(cid:0) (cid:3)n (cid:3)(cid:0) (cid:3)i(cid:2)(cid:2) (cid:3)n
obtain d(cid:6)x(cid:2) (cid:5)(cid:5)(cid:5)xn (cid:7) (cid:8) P (cid:7)ix(cid:2) (cid:5)(cid:5)(cid:5)xi (cid:5)(cid:5)(cid:5)xn dxi(cid:4) Hence
i(cid:3)(cid:2)
n n
(cid:3)(cid:0) (cid:3)i(cid:2)(cid:2) (cid:3)n (cid:4)f
df(cid:6)x(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)xn(cid:7) (cid:8) P(cid:6)P(cid:7)i(cid:6)(cid:3)(cid:0)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:3)nx(cid:2) (cid:5)(cid:5)(cid:5)xi (cid:5)(cid:5)(cid:5)xn (cid:7)dxi (cid:8) P (cid:6)x(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)xn(cid:7)dxi
i(cid:3)(cid:2) i(cid:3)(cid:2) (cid:4)Xi
Observe that this proof does not work for power series(cid:4) Thus the proof does not cover
the chain rule for power series f(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)ft (cid:3) R(cid:0)(cid:12)(cid:12)X(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Xn(cid:13)(cid:13)(cid:2) though this chain rule is true
(cid:6)with a more complicated proof(cid:7) in case hi (cid:5)(cid:8) fi(cid:6)g(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)gn(cid:7) is de(cid:17)ned (cid:6)i (cid:8) (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)t(cid:7)(cid:4)
h(cid:7) If (cid:15) (cid:8) det(cid:6)Xik(cid:7) is a determinant with indeterminates Xik (cid:6)i(cid:3)k (cid:8) (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3)n(cid:7) as coef(cid:10)
(cid:2)(cid:6)
(cid:17)cients(cid:2) then (cid:2)Xik (cid:8) (cid:15)ik(cid:2) as is seen by expanding the determinant with respect to the
i(cid:3)the row(cid:4) The formula of h(cid:7) follows from g(cid:7)(cid:4)
Examples of algebras with only trivial derivations are given in the following two propo(cid:10)
sitions(cid:4) In these cases one cannot expect much information from the theory of derivations(cid:4)
(cid:3)
(cid:0)(cid:2)(cid:11)(cid:2) Proposition(cid:2) Let K(cid:2)K(cid:0) be an algebraic (cid:8)eld extension and let K be the sub(cid:8)eld
(cid:3)
of all separable elements of K(cid:2)K(cid:0)(cid:5) Then K (cid:4) ker d for any K(cid:0)(cid:4)derivation d(cid:5) K (cid:2) M(cid:5)
In particular(cid:7) if K(cid:2)K(cid:0) is separably algebraic(cid:7) any K(cid:0)(cid:4)derivation d(cid:5) K (cid:2) M is trivial(cid:5)
(cid:3)
Proof(cid:3) For x (cid:3) K let f (cid:3) K(cid:0)(cid:12)X(cid:13) be the minimal polynomial of x over K(cid:0)(cid:4) Since f
(cid:3)
is separable(cid:2) we have an equation f (cid:8) (cid:6)X (cid:9) x(cid:7) (cid:7) g with g (cid:3) K (cid:12)X(cid:13)(cid:2) g(cid:6)x(cid:7) (cid:11)(cid:8) (cid:16)(cid:4) Then
(cid:3)
f (cid:6)x(cid:7) (cid:8) g(cid:6)x(cid:7) (cid:11)(cid:8) (cid:16) by the product formula for derivations(cid:4) By (cid:14)(cid:4)(cid:24)g(cid:7)
(cid:3)
(cid:16) (cid:8) d(cid:6)(cid:16)(cid:7) (cid:8) d(cid:6)f(cid:6)x(cid:7)(cid:7) (cid:8) f (cid:6)x(cid:7)dx
hence dx (cid:8) (cid:16) and x (cid:3) ker d(cid:4)
(cid:25)
(cid:0)(cid:2)(cid:0)(cid:12)(cid:2)Proposition(cid:2) Let R be a ring whose characteristic is a prime number p(cid:5) Then
p
R (cid:4) ker d for any derivation d(cid:5) R (cid:2) M(cid:5) In particular(cid:7) if K is a perfect (cid:8)eld of
characteristic p (cid:9) (cid:16)(cid:7) any derivation d(cid:5) K (cid:2) M is trivial(cid:5)
p p(cid:2)(cid:2)
Proof(cid:3) For r (cid:3) R we have dr (cid:8) pr dr (cid:8) (cid:16)(cid:4) If K is a perfect (cid:17)eld of characteristic
p
p (cid:9) (cid:16)(cid:2) then K (cid:8) K (cid:2) hence da (cid:8) (cid:16) for any a (cid:3) K(cid:4)
For an algebra R(cid:2)R(cid:0) and an R(cid:3)module M let DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) denote the set of all
(cid:3)
R(cid:0)(cid:3)derivations d(cid:5) R (cid:2) M(cid:4) Clearly(cid:2) for d(cid:3)d (cid:3) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) and r (cid:3) R we have
(cid:3)
d(cid:9)d (cid:3) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) and rd (cid:3) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7)
hence DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) isan R(cid:3)module(cid:4) If I (cid:4) R isanidealwith IM (cid:8) (cid:16)(cid:2)then DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7)
is even an R(cid:2)I(cid:3)module(cid:4)
(cid:0)
(cid:0)(cid:2)(cid:0)(cid:0)(cid:2)Examples(cid:3) a(cid:7) Let X be an n(cid:3)dimensional C (cid:3)manifold(cid:2) P (cid:3) X(cid:2) and let EP be
(cid:0)
the R (cid:3)algebra of germs of C (cid:3)functions at P(cid:4) Then TP(cid:6)X(cid:7) (cid:5)(cid:8) DerR(cid:6)EP(cid:3) R(cid:7) is cal(cid:10)
led the tangent space of X at P(cid:4) It can be shown that TP(cid:6)X(cid:7) is an n(cid:3)dimensional
R (cid:3)vectorspace(cid:2) and that the derivations d(cid:5) EP (cid:2) R are in natural one(cid:10)to(cid:10)one correspon(cid:10)
dence with the (cid:18)tangent vectors(cid:18) de(cid:17)ned in a more geometric way (cid:6)tangent vectors of
curves passing through P(cid:7)(cid:2) see (cid:12)BJ(cid:13)(cid:2) x (cid:19)(cid:4)
b(cid:7) An algebraic version of this concept is the following(cid:4) Let X (cid:5)(cid:8) Spec R(cid:2) and let x (cid:3) X
be the point corresponding to the prime ideal p of R(cid:4) Let k(cid:6)x(cid:7) be the residue (cid:17)eld
of the local ring Ox (cid:8) Rp at x(cid:4) Further let X(cid:0) (cid:5)(cid:8) Spec R(cid:0) and (cid:7) (cid:5) X (cid:2) X(cid:0) the
morphism corresponding to the structure homomorphism R(cid:0) (cid:2) R(cid:4) The k(cid:6)x(cid:7)(cid:3)vector
space TX(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7) (cid:5)(cid:8) DerR(cid:2)(cid:6)Ox(cid:3)k(cid:6)x(cid:7)(cid:7) is called the tangent space of X(cid:2)X(cid:0) at x(cid:4) Its
elements are called tangent vectors of X(cid:2)X(cid:0) at x(cid:4) Later we will try to determine the
dimension of TX(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7) (cid:6)see (cid:23)(cid:4)(cid:14)(cid:24)c(cid:7)(cid:4)
For R(cid:2)R(cid:0) and M as above let N be another R(cid:3)module(cid:4) For each d (cid:3) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7)
and each (cid:10) (cid:3) HomR(cid:6)M(cid:3)N(cid:7) the composition (cid:10)(cid:12)d is an R(cid:0)(cid:3) derivation from R into N(cid:2) as
de(cid:17)nition (cid:14)(cid:4)(cid:14) immediately shows(cid:4) Thus we obtain an R(cid:3)linear map
DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)(cid:10)(cid:7)(cid:5) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) (cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)N(cid:7) (cid:6)d (cid:5)(cid:2) (cid:10)(cid:12)d(cid:7)
which makes DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) a covariant functor of M(cid:4)
(cid:3) (cid:7)
(cid:0)(cid:2)(cid:0)(cid:4)(cid:2)Proposition(cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7)(cid:7) asafunctorof M(cid:7) isleft exact(cid:2) If (cid:16) (cid:2) M (cid:9)(cid:2) N (cid:9)(cid:2) P
is an exact sequence of R(cid:4)modules(cid:7) then
DerR(cid:2)(cid:7)R(cid:5)(cid:3)(cid:8) DerR(cid:2)(cid:7)R(cid:5)(cid:7)(cid:8)
(cid:16) (cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) (cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)N(cid:7) (cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)P(cid:7)
is also exact(cid:5)
(cid:26)
(cid:5) (cid:5) (cid:5)
Proof(cid:3) Set (cid:7) (cid:5)(cid:8) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)(cid:7)(cid:7)(cid:2) (cid:11) (cid:5)(cid:8) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)(cid:11)(cid:7)(cid:4) It is clear that (cid:7) is injective
(cid:5) (cid:5) (cid:5)
and im (cid:7) (cid:4) ker (cid:11) (cid:4) Conversely(cid:2) if (cid:11) (cid:6)d(cid:7) (cid:8) (cid:11) (cid:12) d (cid:8) (cid:16) for d (cid:3) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)N(cid:7)(cid:2) then
(cid:5)
dR (cid:4) ker (cid:11) (cid:8) im (cid:7) and hence d (cid:3) im (cid:7) (cid:4)
Suppose now that S(cid:2)R(cid:0) is another algebra and (cid:12)(cid:5) S (cid:2) R is an R(cid:0)(cid:3)algebra homomor(cid:10)
phism(cid:4) Then for each R(cid:0)(cid:3)derivation d(cid:5) R (cid:2) M the composition d(cid:12)(cid:12) is an R(cid:0)(cid:3)derivation
from S into M(cid:2) if M is considered as an S(cid:3)module via (cid:12)(cid:4) In fact(cid:2) it su(cid:22)ces to show the
(cid:3)
product formula(cid:5) For s(cid:3)s (cid:3) S we have
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
d(cid:6)(cid:12)(cid:6)ss (cid:7)(cid:7) (cid:8) d(cid:6)(cid:12)(cid:6)s(cid:7)(cid:7)(cid:12)(cid:6)s (cid:7)(cid:7) (cid:8) (cid:12)(cid:6)s(cid:7)(cid:7)d(cid:12)(cid:6)s (cid:7)(cid:9)(cid:12)(cid:6)s (cid:7)(cid:7)d(cid:12)(cid:6)s(cid:7) (cid:8) s(cid:7)d(cid:12)(cid:6)s (cid:7)(cid:9)s (cid:7)d(cid:12)(cid:6)s(cid:7)
Therefore we obtain an S(cid:3)linear map
DerR(cid:2)(cid:6)(cid:12)(cid:3)M(cid:7)(cid:5) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) (cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)S(cid:3)M(cid:7) (cid:6)d (cid:5)(cid:2) d(cid:12)(cid:12)(cid:7)
(cid:0)(cid:2)(cid:0)(cid:5)(cid:2)Proposition(cid:2) The sequence
j DerR(cid:2)(cid:7)(cid:8)(cid:5)M(cid:8)
(cid:16) (cid:2) DerS(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) (cid:9)(cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) (cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)S(cid:3)M(cid:7)
is exact(cid:5) (cid:6)Any d (cid:3) DerS(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) is also an R(cid:0)(cid:4)derivation from R into M(cid:7) and j is de(cid:8)ned
to be the corresponding inclusion mapping(cid:3)(cid:5)
(cid:5) (cid:5)
Proof(cid:3) Set (cid:12) (cid:5)(cid:8) DerR(cid:2)(cid:6)(cid:12)(cid:3)M(cid:7)(cid:4) It is clear that im j (cid:4) ker (cid:12) (cid:4) Conversely(cid:2) if we have
(cid:5)
(cid:12) (cid:6)d(cid:7) (cid:8) d(cid:12)(cid:12) (cid:8) (cid:16) for d (cid:3) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7)(cid:2) then d is an S(cid:3)derivation and hence d (cid:3) im j(cid:4)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0)(cid:2)(cid:0)(cid:6)(cid:2) Examples(cid:3) a(cid:7) Let X and Y be C (cid:3)manifolds and F(cid:5) X (cid:2) Y a C (cid:3)mapping(cid:4)
Then F induces for any P (cid:3) X an R (cid:3) algebra homomorphism
(cid:12)P (cid:5) EF(cid:7)P(cid:8) (cid:2) EP (cid:6)(cid:12)g(cid:13) (cid:5)(cid:2) (cid:12)g(cid:12)F(cid:13)(cid:7)
where (cid:12)g(cid:13) denotes the germ of a function g(cid:4) The induced mapping
DerR(cid:6)(cid:12)P(cid:3) R(cid:7)(cid:5) DerR(cid:6)EP(cid:3) R(cid:7) (cid:2) DerR(cid:6)EF(cid:7)P(cid:8)(cid:3) R(cid:7)
maps the tangent space TP(cid:6)X(cid:7) (cid:8) DerR(cid:6)EP(cid:3) R(cid:7) at P into the tangent space TF(cid:7)P(cid:8)(cid:6)Y(cid:7) (cid:8)
DerR(cid:6)EF(cid:7)P(cid:8)(cid:3) R(cid:7) at F(cid:6)P(cid:7)(cid:4) In analysis this mapping is denoted TP(cid:6)F(cid:7) or dFP (cid:2) and is
called the di(cid:4)erential of F at P (cid:6)or the linear approximation of F at P(cid:7)(cid:4)
b(cid:7) Similarly let X (cid:5)(cid:8) Spec R(cid:2) Y (cid:5)(cid:8) Spec S(cid:2) and let F(cid:5) X (cid:2) Y be the map induced by
(cid:12)(cid:4) For x (cid:3) X set y (cid:5)(cid:8) F(cid:6)x(cid:7)(cid:4) Further let (cid:7) (cid:5) X (cid:2) X(cid:0) and (cid:11) (cid:5) Y (cid:2) X(cid:0) be induced by the
structuremapsof R(cid:2)R(cid:0) and S(cid:2)R(cid:0)(cid:4) The homomorphism (cid:12) inducesa local homomorphism
(cid:12)x (cid:5) Oy (cid:2) Ox of R(cid:0)(cid:3)algebras and an injection (cid:10) (cid:5) k(cid:6)y(cid:7) (cid:2) k(cid:6)x(cid:7) of their residue (cid:17)elds(cid:4)
Thus we have linear maps
DerR(cid:2)(cid:6)(cid:12)x(cid:3)k(cid:6)x(cid:7)(cid:7) (cid:5) DerR(cid:2)(cid:6)Ox(cid:3)k(cid:6)x(cid:7)(cid:7) (cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)Oy(cid:3)k(cid:6)x(cid:7)(cid:7)
(cid:27)
and
DerR(cid:2)(cid:6)Oy(cid:3)(cid:10)(cid:7) (cid:5) DerR(cid:2)(cid:6)Oy(cid:3)k(cid:6)y(cid:7)(cid:7) (cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)Oy(cid:3)k(cid:6)x(cid:7)(cid:7)
If (cid:10) is bijective(cid:2) i(cid:4)e(cid:4)if Oy and Ox have the same residue (cid:17)eld(cid:2) then DerR(cid:2)(cid:6)(cid:12)x(cid:3)k(cid:6)x(cid:7)(cid:7) is
denoted by TF(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7)(cid:4) Thus we have a k(cid:6)x(cid:7)(cid:3)linear map
TF(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7) (cid:5) TX(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7) (cid:2) TY(cid:6)X(cid:2)(cid:6)y(cid:7)
and by (cid:14)(cid:4)(cid:14)(cid:20) a canonical exact sequence relating the tangent spaces at x and y
TF(cid:2)X(cid:2)(cid:7)x(cid:8)
(cid:16) (cid:2) TX(cid:6)Y(cid:6)x(cid:7) (cid:2) TX(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7) (cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:2) TY(cid:6)X(cid:2)(cid:6)y(cid:7)
Considernow the canonical epimorphism (cid:13)(cid:5) R (cid:2) R(cid:2)I of R onto a residueclass algebra
R(cid:2)I and let M be an R(cid:2)I(cid:3)module(cid:4) For d (cid:3) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) the restriction d jI(cid:5) I (cid:2) M is
(cid:4) (cid:4)
an R(cid:3)linear map with d jI (cid:6)I (cid:7) (cid:8) (cid:16)(cid:4) It inducesan R(cid:2)I(cid:3)linear map I(cid:2)I (cid:2) M(cid:4) Therefore
we have an R(cid:3)linear map
(cid:4)
(cid:14)(cid:5) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) (cid:2) HomR(cid:6)I(cid:6)I(cid:2)I (cid:3)M(cid:7) (cid:6)d (cid:5)(cid:2) d jI(cid:7)
(cid:0)(cid:2)(cid:0)(cid:7)(cid:2)Proposition(cid:2) The following sequence of R(cid:4)modules is exact(cid:2)
DerR(cid:2)(cid:7)(cid:9)(cid:5)M(cid:8) (cid:10)
(cid:4)
(cid:16) (cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:2)I(cid:3)M(cid:7) (cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) (cid:9)(cid:2) HomR(cid:6)I(cid:6)I(cid:2)I (cid:3)M(cid:7)
(cid:5)
Proof(cid:3) Since DerR(cid:6)R(cid:2)I(cid:3)M(cid:7) (cid:8) (cid:16) itfollowsfrom(cid:14)(cid:4)(cid:14)(cid:20)that (cid:13) (cid:5)(cid:8) DerR(cid:2)(cid:6)(cid:13)(cid:3)M(cid:7) isinjective(cid:4)
If (cid:14)(cid:6)d(cid:7) (cid:8) (cid:16) for d (cid:3) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7)(cid:2) then d jI(cid:8) (cid:16) and an R(cid:0)(cid:3)derivation R(cid:2)I (cid:2) M is
(cid:5) (cid:5)
induced(cid:2) hence d (cid:3) im (cid:13) (cid:4) Clearly any d (cid:3) im (cid:13) belongs to ker (cid:14)(cid:4)
(cid:0)(cid:2)(cid:0)(cid:8)(cid:2)Example(cid:3) For Z (cid:5)(cid:8) Spec R(cid:2)I the map F (cid:5) Z (cid:2) X induced by (cid:13) is injective(cid:2) and
for x (cid:3) Z the local rings OZ(cid:5)x (cid:8) Ox(cid:2)IOx and Ox have the same residue (cid:17)eld k(cid:6)x(cid:7)(cid:4) By
(cid:14)(cid:4)(cid:14)(cid:25) we have an exact sequence of k(cid:6)x(cid:7)(cid:3)vector spaces
(cid:4)
(cid:16) (cid:2) TZ(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7) (cid:2) TX(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7) (cid:2) HomOZ(cid:3)x(cid:6)IOx(cid:2)I Ox(cid:3)k(cid:6)x(cid:7)(cid:7)
In particular TZ(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7) may be regarded as a subspace of TX(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7)(cid:2) and by Nakayama
dimk(cid:7)x(cid:8)TX(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7)(cid:2)TZ(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7) (cid:13) (cid:8)(cid:6)IOx(cid:7)
(cid:24)
(cid:0)(cid:2)(cid:0)(cid:9)(cid:2)Proposition(cid:2) For an R(cid:0)(cid:4)derivation d(cid:5) R (cid:2) M and a multiplicatively closed set
N (cid:4) R there is exactly one R(cid:0)(cid:4)derivation dN(cid:5) RN (cid:2) MN such that the canonical
diagram
d
R M
(cid:6)(cid:14)(cid:7)
(cid:0)(cid:2)(cid:3)(cid:4)
RN MN
dN
is commutative(cid:5) The derivation dN is given by the quotient formula
r (cid:15)dr(cid:9)rd(cid:15)
dN(cid:6) (cid:7) (cid:8) (cid:4) (cid:6)r (cid:3) R(cid:3)(cid:15) (cid:3) N(cid:7)
(cid:15) (cid:15)
Further
DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7) (cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)RN(cid:3)MN(cid:7) (cid:6)d (cid:5)(cid:2) dN(cid:7)
is R(cid:4)linear(cid:5) It induces an RN(cid:4)linear map (cid:11) (cid:5) DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)M(cid:7)N (cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)RN(cid:3)MN(cid:7)(cid:5)
Proof(cid:3) That dN has to satisfy the formulaabove followsfromthe quotient formula(cid:14)(cid:4)(cid:24)e(cid:7)(cid:4)
One checks easily that by the formula a well(cid:10)de(cid:17)ned map dN(cid:5) RN (cid:2) MN is given which
is an R(cid:0)(cid:3)derivation and makes the diagram (cid:6)(cid:14)(cid:7) commutative(cid:4) The last statement of the
proposition is clear(cid:4)
See(cid:19)(cid:4)(cid:24)forconditionsunderwhich (cid:11) isinjectiveorbijective(cid:4) The R(cid:3)module DerR(cid:2)(cid:6)R(cid:3)R(cid:7)
is called the derivation module of the algebra R(cid:2)R(cid:0)(cid:4) It is also denoted by DerR(cid:2)R(cid:4)
(cid:0)
(cid:0)(cid:2)(cid:0)(cid:10)(cid:2)Examples(cid:3) a(cid:7) Let R (cid:5)(cid:8) E(cid:6)X(cid:7) be the algebra of C (cid:3)functions on a di(cid:11)erential
manifold X and R(cid:0) (cid:5)(cid:8) R(cid:4) Then the elements V (cid:3) DerRE(cid:6)X(cid:7) are called vector (cid:17)elds
on X(cid:4) For P (cid:3) X the canonical homomorphism (cid:16)P (cid:5) E(cid:6)X(cid:7) (cid:2) EP associating with each
function f its germ (cid:12)f(cid:13) at P is surjective(cid:4) This corresponds to localization in algebra(cid:4)
Each R(cid:3)derivation V (cid:5) E(cid:6)X(cid:7) (cid:2) E(cid:6)X(cid:7) induces a unique derivation VP (cid:5) EP (cid:2) EP such
that (cid:16)P (cid:12)V (cid:8) VP (cid:12)(cid:16)P (cid:4) This is analogous to (cid:14)(cid:4)(cid:14)(cid:27)(cid:4) Let (cid:17)P (cid:5) EP (cid:2) R be the evaluation at
P(cid:4) Then V(cid:6)P(cid:7) (cid:5)(cid:8) (cid:17)P (cid:12)VP (cid:3) DerR(cid:6)EP(cid:3)R(cid:7) (cid:8) TPX is the tangent vector at P associated
with V (cid:4) Moreover for V(cid:3)W (cid:3) DerRE(cid:6)X(cid:7) we have V(cid:6)P(cid:7) (cid:8) W(cid:6)P(cid:7) for all P (cid:3) X if and
only if V (cid:8) W(cid:4) Thus the derivations (cid:6)vector (cid:17)elds(cid:7) V (cid:3) DerRE(cid:6)X(cid:7) can be identi(cid:17)ed with
the sets fV(cid:6)P(cid:7)gP(cid:4)X of their tangent vectors(cid:4)
b(cid:7) Similarlyfor R(cid:2)R(cid:0) resp(cid:4) X(cid:2)X(cid:0) as above DerR(cid:2)R is also called the module of vector
(cid:7)elds on X with respect to X(cid:0)(cid:4) For V (cid:3) DerR(cid:2)R and x (cid:3) X the image V(cid:6)x(cid:7) of V by
the composed map
(cid:2)(cid:4)(cid:2)(cid:9)
DerR(cid:2)R (cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:2) DerR(cid:2)Ox (cid:2) DerR(cid:2)(cid:6)Ox(cid:3)k(cid:6)x(cid:7)(cid:7) (cid:8) TX(cid:6)X(cid:2)(cid:6)x(cid:7)
(cid:28)