Table Of ContentA. L.Oni§éik R. Sulanke
ALGEBRA UND
- GEOMETRIE
Eine Einffihrung
A.L.0ni§éilu Sulanko
Algebra and Goometrio l
Hochschulbficher ffir Mathematik
Gegriindet von H. Grell, K. Mamhn und W. Rinow
Band 87
Algebra und Geometrie
l. Eine Einfi'ihrung
von A. L. Oniééik und R. Sulanke
Mit 12 Abhildungen
I
VEB Deutscher Verlag derWissenschaften
Berlin 1986
ISBN 3-326-00020-0
ISSN 0073-2842
Verlagslektor: Erika. Arndt
Verlagshersteller: Sabine Ziebell, Norma Braun
Umschlaggestaltung: Alfred Mahler
© 1977 u_nd 1986 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, DDR- 1080 Berlin,
Postfach 1216
Lizenz-Nr. 206--435/65/86
Printed 1n the German Democratic Republic
Gesamtherstellung: IV/2/14 VEB Druckerei ”Gottfried Wilhelm Leibniz“,
4450 Grafenhainichen- 6547
LSV 1024
Bestellnummer: 5714402
03600
Vorwort
DieStrukturdesLehrbuchesblieberhalten,lediglichdieGliederungindieTeileI,II
wurde aufgehoben. Im einzelnen wurden zahlreiche Verbesserungen ausgefiihrt;
das betrifftbesondersdieUbungen. Gegeniiberdem1977erschienenenStudienbuch
wurdenfolgendeErginzungenvorg’enommen:EswurdendierationalenFunktionen
inmehrerenUnbestimmtenaufgenommen,diefiquiaffineGeometrieunddiespezielle
lineare Gruppe kurz erwfihnt und die Beziehungen zwischen den Begriffen ”alter—
nierend“ und ,,schiefsymmet-risch“ prizisiert. Ferner haben wir den Sturmsohen
Satz fiber die Nulls’oellen reeller Polynome eingefiigt. Dagegen konnten wir uns
nicht entschliefien, die Mengenlehre streng axiomatisch aufzubauen, wie es einer
unser Kritiker forderte; wir betrachten sie als einen Bestandteil der ,,naiven“
Logik,dieWirwieinjederWissenschaftfiblichanwenden,ohnesienéherzu begriin-
den. In diesel-n Sinne spielt das Kapitel0, die Einfiihrung, eine besondere Rolle
gegeniiberdenanderen; esdient nurderPrfizisierungdesmathematischen Sprach-
gebrauehsunderhebt nicht denAnsprucheinerstrengenEinffihrungindie Grund-
lagen der Mathematik. Gleichfalls muBten wir uns aus Zeit- und Raumgriinden
historischer Kommentare enthalten. Wenn mitunter einzelne Sfitze oder Begriffe
nach einem Mathematiker'benannt werden, so geschieht das derTraditionfolgend
und bedeutet keine Au‘ssage fiber die Quellen. SchlieBlich 'Wurde das Literatur-
verzeichnis aktualisiert; dem Inhaltsverzeichnis wurden Angaben fiber die folgen-
den Binde 2, ,,Moduln und Algebren“, und 3, ”Projektive und Cayley-Kleinsche
Geometrien“ angeffigt, die in den nichsten Jahren erscheinen werden.
W’ir danken Frau J. KERGER fiir die technische Vorbereitung des Manuskripts
der zweiten Auflage und Fraulein E. ARNDTfiir die wiederum sehr prizise redak-
tionelle Bearbeitung herzlich. Frau I. GRéGER machte uns beim Lesen der Kor-
rekturen auf eine Reihe von Druckfehlern aufmerksam und half, einige Fliichtig-
keitenzukorrigieren, wofiir wiruns verbindliehst bedanken. Dem VEB Druckerei
,,Gottfried WilhelmLeibniz“ gebiihrtDank undAnerkennung fiir den sorgféltigen
Sat-z und die ausgezeichnete Arbeit bei der Herstellung des Buehes.
Berlin und Moskau, im Juni 1986 A. L. omen:
R. SULANKE
Vorwort zur Studienbuchausgabe
Die Entwicklung derMathematik inder zweiten Hilfte unseresJahrhunderts'liBt
nebeneinerimmerweitergehendenAufspaltunginanwendungsorientierte Spezial;
gebiete zweifellos auch die Tendenz erkennen, die fiir die Vielfalt aller Anwendun-
gengrundlegendenklassischenDisziplinenGeometrie,AnalysisundAlgebra.alseine
Einheit zu betrachten und zu einer Synthese dieser Gebiete zu gelangen. Diese
fiir die mathematische Forschung sehrfruchtbare Tendenz zu ftirdern und sie be-
reits vom ersten Studienjahr an den Mathematikstudenten nahezubringen ist ein
wesentliches Anliegen unseresLehrbuches. Es beginnt nach einerkurzenBeschreié
bung dernotwendigen mengentheoretischenBegriffe miteinem algebraischenTeil,
den Kapiteln 1 bis 3, in dem die wichtigsten Tatsachen iiber Gruppen, Binge und
Kéirperdargestellt sind. DaraufaufbauendfiihrendieKapitel4 bis 6 vonderaxio-
matischen Begriindung der Punkt- und Vektorréume fiber die affine zur euklidi-
schenGeometric. Die BeziehungenzurAnalysiskommendirekt nurineinigenBeié
spielen und Bemerkungen zur Sprache; wir waren jedoch bemiiht, durch Stoffa
auswahlund ArtderDarstellung einengroBenTeil derfiir eine moderne Analysis.-
Ausbildungben6tigtenalgebraischenundgeometrischenHilfsmittelbereitzustellen.
Die Traditionenund Erfahrungeninder GrundausbildungderMathematikstudena
ten an der Humboldt-Universitfit zu Berlin und der Staatlichen Lomonosov-
Universitit in Moskau sind natfirlich in dieses Lehrbuch eingeflossen. Den Lei-
tungen der genannten Universititen méchten wir herzlich dafiir danken, daB sie
unser Vorhaben in ihren Freundschaftsvertrag aufnahmen und so unsere Zusam-
menarbeit erméglichten.
Fiir eine vielseitige und anwendungsbereite Darlegung der n-dimensionalen
affinen Geometrie iiber einem beliebigen Kfirper sind natijrlich einige algebraische
Kenntnisse notwendig. Daher ist der algebraische Teil dem geometrischen voran—
gestellt. EinLeser, der schneller zurGeometrie vordringen méchte, brauchtjedoch
nicht dasgesamtealgebraischeMaterialdurchzuarbeiten;esgenfigt,nebenderMen-
genlehre (Kapitel0) die' §§ 1.1, 1.2, 1.4, 2.1, 2.2,2.9zulesen.DiefibrigenbeimAuf-
bauderGeometrieben6tigtenalgebraischenHilfsmittelk6nnensp§ternachgeholtwer-
den. DurchvieleVerweise,einausfiihrlichesRegisterundeinkurzesVerzeichnisihn-
licher oder weiterfiihrender Literatur bemiihten wir uns, ein Lehrbuch zu schrei-
ben, das zu recht unterschiedlich konzipierten Vorlesungen benutzt werden kann.
Vorwort zur Studienbuchausgabe 7
Trotz verhiltnismfifiig knapper Darstellung waren der Stoffauswahl durch den
vorgesehenenUmfangengeGrenzengesetzt.DieAnzahlderAbbildungenundmoti-
vierenden einfachen Beispiele wurden auf ein Minimum beschrfinkt. Wir mfichten
denLeser daher ermuntern, sich selbst Skizzen anzufertigen, einfache Beispiele zu
bildenunddurchzurechnenundsichintensivmitdenzahlreicheingefiigtenUbungen
zu beschfiftigen, die zum Teil spiterim Haupttext angewandt werden. Die Arbeit
andenUbungenwirddurchHinweiseerleichtert.WirhabeneinenTeilderUbungen
aueh dazu benutzt, inkurzerForm wichtigeserginzendesMaterial bereitzustellen.
Fiir die sorgfiltige Ausfiihrung der miihevollen Schreibmaschinenarbeit danken
Wir Frau BKRWOLF und Frau ROHDE. Unser Dank gebiihrt auch Herrn Prof. Dr.
H. REICEABDT, der dasManuskript begutachtete und durch kritische und interes-
sante Bemerkungen zu seiner Verbesserung beitrug. Den Herren Dr. H. GOLLEK
undDr.J.LEHMANN danken wir fiir ihre sehr schnelle und wertvolleHilfe bei der
Bogenkorrektur. Die sachkundige und prizise redaktionelle Bearbeitung des
Manuskripts leistete Fraulein E. ABNDT, der Wir fiir za-hlreiche Ratschfige und
Korrekturen herzlich danken.
Berlin und Moskau, im Februar 1976 A. L. ONIééIK
R. SULANKE
