Algebra und Diskrete Mathematik für Informatiker

294 Pages·2003·10.02 MB·German

by  Klaus Denecke (auth.)

Klaus Denecke
Algebra und Diskrete Mathematik
fur Informatiker
Klaus Denecke
und
Algebra Diskrete
Mathematik
fur Informatiker
lrn
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig' Wiesbaden
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
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detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. rer. nat. habil. Dr. h. c. Klaus Denecke
Geboren 1944 in Thale (Harz). 5tudium der Mathematik und Physik von 1962 bis 1966 an der Martin
Luther-Universitat Halle-Wittenberg. Lehrer in Quedlinburg (Harz), Promotion 1978 an der Padagogi
schen Hochschule Potsdam, wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut fOr ZOchtungsforschung Qued
linburg, Habilitation 1983 an der PH Potsdam. Professor an der PH Potsdam seit 1989, Professor an der
Universitat Potsdam seit 1994. Gastprofessuren in Blagoevgrad (Bulgarien), Chiangmai, KhonKaen
(Thailand) und Kunming (China).
Mitorganisator der Veranstaltungsreihen "Konferenzen fOr Junge Aigebraiker" und "Arbeitstagungen
Allgemeine Algebra" .
Forschungsgebiete: Allgemeine Algebra und Anwendungen in der Theoretischen Informatik, Halb
gruppentheorie, Hyperidentitaten und solide Varietaten.
1. Auflage April 2003
Aile Rechte vorbehalten
© B. G. Teubner / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003
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jedermann benutzt werden dOrften.
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Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN-13: 978-3-519-02749-2 e-ISBN-13: 978-3-322-80109-8
DOl: 10.1007/978-3-322-80109-8
Vorwort
Die Frage, welche Mathematik Informatiker benotigen, laBt sich nur schwer
beantworten. Dazu sind die Arbeitsfelder der Informatiker zu vieWiltig. Immer
sHirker setzt sich aber die Erkenntnis durch, daB Diskrete Mathematik und
Algebra fUr Informatiker einen hoheren Stellenwert besitzen als beispielsweise
Analysis. Neben der Auswahl des konkreten Stoffes stehen bei der Mathematik
ausbildung von Informatikstudenten vor allem das Entwickeln und Trainieren
von Denkweisen, die Erarbeitung von Modellen und Losungsstrategien im Mit
telpunkt. Das solI die notwendige geistige Flexibilitat und Aufgeschlossenheit
fUr standiges Weiterlernen auch auf dem Gebiet der mathematischen Metho
den der Informatik schaffen.
Jedes der 11 Kapitel dieses Buches wird durch einen Aufgabenteil beendet. In
einem Anhang werden die Aufgaben kommentiert und Losungshinweise oder
vollstandige Losungen gegeben. Der interessierte Leser findet unter
http://www.users.math.uni-potsdam.de/..-.denecke/teaching/aufgaben.htm
im Internet weitere Aufgaben und Losungshinweise. 1m ersten Kapitel werden
Grundbegriffe tiber Zahlen, Zahlendarstellungen, Grundbegriffe der Aussagen
und Pradikatenlogik, der Mengenlehre und tiber Funktionen und Relationen
vermittelt. Hier solI der Leser unter anderem zu der Erkenntnis gelangen, daB
die klassische Aristotelessche Logik in der Mathematischen Logik zu einem
Kalkiil entwickelt wurde, der es gestattet, die logische Aquivalenz zu "be
rechnen". Die Entwicklung der mathematischen Logik durch G. Boole und E.
Schroder war damit der erste Meilenstein in der Entwicklung der Informatik.
1m zweiten Kapitel geht es urn das Bekanntmachen mit den wichtigsten kom
binatorischen Grundaufgaben und Formeln. Eine EinfUhrung in Methoden des
strukturellen Denkens wird im dritten Kapitel am Beispiel der Strukturbegriffe
Halbgruppe, Monoid, Gruppe, Ring, Korper, Boolesche Algebra und Verband
gegeben. Ais Beispiel fUr Halbgruppen und Monoide werden die Worthalbgrup
pe und das Wort monoid betrachtet. Permutationsgruppen, Restklassenringe,
Polynomringe und Restklassenkorper veranschaulichen die Strukturbegriffe der
Gruppe, des Ringes und des Korpers. Damit werden gleichzeitig einige algebrai
sche Fundamente der Codierungstheorie gelegt, der Vektorraumbegriff vorbe
reitet und die Entwicklung des Denkens von konkreten Objekten zu abstrakt
definierten getibt. Das vierte Kapitel wird dann mit der Graphentheorie wie
der ganz anschaulich, wenn auch auf den Unterschied zwischen einem Graphen
und seiner Veranschaulichung durch ein Diagramm Wert gelegt werden muB.
6 Vorwort
Hier findet der Leser auch erste Beispiele fur graphentheoretische Algorith
men. Kapitel 5 vermittelt einen umfassenden Einblick in die Lineare Algebra
und Analytische Geometrie. Vektorraume werden uber kommutativen Karpern
betrachtet. Kapitel 6 beschaJtigt sich mit der Verallgemeinerung der Struktur
begriffe zum Begriff der universalen Algebra. Am Beispiel deterministischer
Automaten werden auch mehrbasige Algebren betrachtet. Die Kapitel 7 und 8
befassen sich mit dem Homomorphiebegriff und mit direkten, beziehungsweise
mit subdirekten Produkten. Ein wichtiger Begriff in der Informatik ist der des
Terms, der in Kapitel 9 studiert wird. Identitaten, Varietaten und der alge
braische Folgerungsbegriff beenden mit Kapitel 10 diesen kleinen Einblick in
die Begriffswelt der Universellen Algebra. Der Leitgedanke des Kapitels 11 ist
die Anwendung algebraischer Strukturbegriffe bei der Erfassung, Erkennung,
Verschlusselung und Ubertragung von Daten, sowie der Auswertung von Da
tenmengen unter begriffiichem Aspekt. Damit erbringt dieses Kapitel einen
Beleg fur die eingangs aufgestellte These, daB Algebra und Diskrete Mathe
matik wichtige Grundlagen fur die Informatik liefern.
Der Autor hofft, daB dieses Lehrbuch dazu beitragen wird, die Mathematik
ausbildung der Studierenden der Informatik zu verbessern, sowie SpaB und
Freude am Studium zu erhahen. Es ist aus Vorlesungen entstanden, die der
Autor im Institut fur Informatik der Universitat Potsdam gehalten hat. Den
Mitarbeitern der Professur "Allgemeine Algebra und Diskrete Mathematik"
des Instituts fUr Mathematik der Universitat Potsdam, insbesondere Frau Dr.
Marlen Fritzsche, Herrn PD Dr. habil. Jarg Koppitz und Herrn Dr. Hippoly
te Hounnon, aber auch Frau PD Dr. habil. Christine Backmann, Frau Ilona
Iglewska-Nowak und Herrn Dr. Axel Bruckner sei an dieser Stelle fur ihre Mit
wirkung und kritischen Anregungen herzlich gedankt. Dank gilt auch Herrn
Jurgen WeiB in Leipzig und dem Teubner-Verlag fUr die Unterstutzung bei der
Verwirklichung dieses Projekts. Ganz besonders bedanke ich mich jedoch bei
meiner Frau Uta fUr ihre Geduld.
Potsdam, im Marz 2003 Klaus Denecke
Fur Kerstin
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe 13
1.1 Zahlenbereiche ......... . 13
1.2 Grundbegriffe der Aussagenlogik . 17
1.3 Quantifizierte Aussagen 22
1.4 Grundbegriffe der Mengenlehre 26
1.5 Relationen. 32
1.6 Funktionen 38
1.7 Aufgaben 41
2 Elemente der Kombinatorik 45
2.1 Permutationen und ihre Verkettung 45
2.2 Variationen von Elementen einer Menge 47
2.3 Kombinationen, binomischer Satz 49
2.4 Aufgaben ............ . 52
3 Algebraische Strukturen 53
3.1 Strukturen mit einer binaren Operation. 53
3.2 Permutationsgruppen .......... . 57
3.3 Strukturen mit zwei binaren Operationen . 62
3.4 Restklassenringe und -korper. . . . 65
3.5 Polynomringe . . . . . . . . . . . . 70
3.6 Boolesche Algebren und Verb an de . 80
3.7 Aufgaben ............. . 83
4 Graphentheorie 87
4.1 Grundbegriffe der Graphentheorie 87
4.2 Eulersche und Hamiltonsche Graphen . 95
4.3 Baume und Walder . . . 99
4.4 Planare Graphen . . . . . 101
4.5 Farbungen von Graphen .105
4.6 Gruppen und Graphen .107
4.7 Aufgaben ...... . .108
5 Lineare Algebra 111
5.1 Lineare Gleichungssysteme . 111
5.2 Vektorraume........ .116
10 Inhaltsverzeichnis
5.3 Matrizen und Determinanten ...... . · 131
5.4 Hauptsatze fUr lineare Gleichungssysteme . .149
5.5 Geometrische Anwendungen .. .153
5.6 Vektorraume mit Skalarprodukt . .158
5.7 Lineare Abbildungen ...... . .162
5.8 Anwendung linearer Abbildungen .167
5.9 Eigenwerte symmetrischer Matrizen · 168
5.10 Aufgaben ............. . .173
6 Universelle Algebra 177
6.1 Operationen in einer Menge, Algebren · 177
6.2 Beispiele................. .178
6.3 Unteralgebren, Erzeugung ...... . · 182
6.4 Kongruenzrelationen und Faktoralgebren .190
6.5 Aufgaben ................ . · 195
7 Homomorphie 197
7.1 Homomorphiesatz. · 198
7.2 Isomorphiesatze .206
7.3 Aufgaben ..... .209
8 Produkte von Algebren 211
8.1 Direkte Produkte .. .211
8.2 Subdirekte Produkte .216
8.3 Aufgaben .... .219
9 Terme und Baume 221
9.1 Terme und Baume .221
9.2 Termoperationen ......... . .227
9.3 Polynome und Polynomoperationen .230
9.4 Aufgaben ............. . · 231
10 Identitaten und Varietaten 233
10.1 Die Galoisverbindung (Id, Mod) .233
10.2 Vollinvariante Kongruenzrelationen .236
10.3 Die algebraische Folgerungsrelation .238
10.4 Relativ freie Algebren ..... .239
10.5 Varietaten . . . . . . . . . . . .242
10.6 Der Verband aller Varietaten . .248
10.7 Aufgaben .......... . .250
Inhal tsverzeichnis 11
11 Anwend ungen 251
11.1 Algebren und Automaten . .251
11.2 Lateinische Quadrate . . . .253
11.3 Fehlerkorrigierende Codes .257
11.4 Formale Begriffsanalyse . .265
11.5 Aufgaben ..... .269
Losung der A ufgaben 271
Literaturverzeichnis 290
Index 291
1 Grundbegriffe
1.1 Zahlenbereiche
Der Begriff der Zahl ist eine der grundlegenden Errungenschaften menschli
cher Kultur. Zahlen sind ein unentbehrliches Hilfsmittel jeder Tatigkeit. Sie
sind aus dem Bedurfnis entstanden, die Machtigkeit konkreter Mengen zu er
fassen und Mengen zu vergleichen oder die Elemente einer Menge zu zahlen.
Symbole fUr Zahlen wurden in den fruhesten Zeugnissen menschlichen Schrift
turns gefunden. Die erst en Computer waren Rechenmaschinen. Mit ihrer Hilfe
konnten arithmetische Operationen automatisch ausgefuhrt werden. Arithme
tische Operationen bilden aber nur einen Bruchteil der Tatigkeiten, die mo
derne Computer ausfUhren k6nnen.
Fur die Zahlenbereiche der natiirlichen, ganzen, gebrochenen, rationalen, reel
len und komplexen Zahlen wollen wir, wie es allgemein ublich ist, die Symbole
N, Z, Q, Q+, JR, C verwenden.
N: 0,1,2, ...
Z: ... ,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...
Q: !,p,q E Z,q i= 0.
Rationale Zahlen lassen sich auch als Dezimalb°ru che der Form
ao, ala2'" a1b1b2··· bk, mit ao E Z, ai, bj EN, ~ ai, bj ~ 9, i = 1 ... , l,j =
1, ... , k darstellen. Die Zifferngruppe b1b2··· bk wiederholt sich dabei peri
odisch. Daher werden derartige Dezimalbruche periodisch g°en annt. Endliche
Dezimalbruche k6nnen auch als periodisch mit der Periode aufgefaBt wer
den. Wir bemerken, daB zwischen der Menge {! I p, q EZ, q i= o} und der
Menge aller periodischen Dezimalbruche ohne Neunerperiode° ei ne eineindeuti
!,
ge Beziehung besteht. J edem Bruch der Form p, q E Z, q i= kann d urch den
Divisionsalgorithmus, das heiBt, indem p durch q dividiert wird, ein periodi
scher Dezimalbruch zugeordnet werden und naturlich ist das Ergebnis dieser
Division eindeutig bestimmt. Umgekehrt entspricht jedem periodischen De
!,
zimalbruch ohne Neunerperiode ein Bruch der Form p, q E Z, q i= 0. Fur
endliche Dezimalbruche bereitet diese Umrechnung keinerlei Probleme.
K. Denecke, Algebra und Diskrete Mathematik für Informatiker
© B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003