Algebra und Diskrete Mathematik

494 Pages·2004·3.14 MB·German

by  Dietlinde Lau

Springer-Lehrbuch
3
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Dietlinde Lau
Algebra und
Diskrete Mathematik 2
Lineare Optimierung,
Graphen und Algorithmen,
Algebraische Strukturen und
Allgemeine Algebra mit
Anwendungen
1 3
ProfessorDr.DietlindeLau
Universita¨tRostock
FBMathematik
Universitätsplatz1
18055Rostock
Deutschland
e-mail:[email protected]
MathematicsSubjectClassification(2000):68Rxx,08-01
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DieDeutscheBibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;
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ISBN3-540-20398-2 Springer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork
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Vorwort
In Fortsetzung von Band 1 in der Reihe Algebra und Diskrete Mathematik“
”
behandelt dieses Buch (in drei Teile untergliedert) die Gebiete
Lineare Optimierung
•
Graphen und Algorithmen sowie
•
Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen.
•
Teil I zeigt insbesondere, wie gut der mathematische Apparat der Linearen
Algebra aus Band 1 zum L¨osen von Linearen Optimierungsaufgaben, die sich
aus vielen praktischen Aufgaben ergeben, geeignet ist.
Auch die im Teil II behandelten Gebiete der Graphentheorie sind durch eine
ReihevonpraktischenAufgabenmotiviertundSchwerpunktediesesTeilssind
L¨osungsalgorithmen fu¨r diese Aufgaben.
Teil III setzt das Studium algebraischer Strukturen aus Band 1 im Rahmen
einer Einfu¨hrung in die Allgemeine Algebra fort, wobei in Form von Beispie-
len zu S¨atzen der Allgemeinen Algebra wichtige Teile der Gruppen-, Ring-,
K¨orper- und der Verbandstheorie (einschließlich der Theorie der Booleschen
Algebren)behandeltwerden.DieAuswahldeshierdargebotenenStoffeswird
bestimmt durch die Anwendungen, die viele Teile des hier gebotenen Stof-
fes in anderen Teilen der Mathematik und Informatik haben. Da es u¨ber die
Allgemeine Algebra nur wenige (und oft auch nicht fu¨r Studenten der ersten
Semester geschriebene) Lehrbu¨cher gibt, kann Teil III als Nachschlagewerk
beim Lesen weiterfu¨hrender Literatur benutzt werden.
Obwohl dieses Buch dem (verst¨andlichen) Wunsch der Leser nach angewand-
terMathematikRechnungtr¨agt,m¨ochteichdenLesernvonTeilIIIaberauch
etwas von der Leistungsf¨ahigkeit und der Sch¨onheit algebraischen Denkens
vermitteln, was z.B. durch das Begru¨nden der Unl¨osbarkeit gewisser (teilwei-
se aus der Antike stammender) Probleme geschieht.
Ausfu¨hrlichere Informationen u¨ber die Bedeutung der in diesem Buch behan-
delten mathematischen Gebiete und einen U¨berblick u¨ber die behandelten
VI Vorwort
Stoffkomplexe findet der Leser nachfolgend zu Beginn eines jeden Teils und
zu Beginn der einzelnen Kapitel.
Entstanden ist das vorliegende Buch aus Vorlesungen, die ich fu¨r Informatik-
Studenten im Rahmen eines Grundkurses im Fach Mathematik und eines
Vorlesungszyklus u¨ber Allgemeine Algebra und Mathematische Logik fu¨r
Informatik- und Mathematik-Studenten gehalten hat.
W¨ahrend die ersten beiden Teile (mehr oder weniger umfangreich) Bestand-
teil einer Grundkurs-Vorlesung u¨ber Mathematik sind, die fu¨r Informatik-
Studenten gehalten werden, ist der dritte Teil fu¨r Informatik-Studenten ge-
schrieben worden, die das Nebenfach Mathematik belegt haben bzw. sich fu¨r
solche Gebiete der Mathematik interessieren, die ein vertieftes Einarbeiten in
die Theoretische Informatik erm¨oglichen.
Ichhoffejedoch,daßsichauchMathematik-StudentenundStudentenanderer
naturwissenschaftlichen Richtungen sowie Praktiker fu¨r dieses Buch interes-
sieren.
Um verschiedene Leserkreise anzusprechen, sind die drei Teile dieses Buches
und die Kapitel der einzelnen Teile so aufgeschrieben worden, daß man die
Teile in beliebiger Reihenfolge lesen kann und ein U¨bergehen einzelner Kapi-
tel bzw. ein sich auf die Grundbegriffe beschr¨ankendes Lesen der Kapitel es
trotzdem erm¨oglicht, ohne Kenntnis der vorhergehenden Kapitel die nachfol-
genden zu verstehen.
W¨ahrend die Teile I und II Stoff fu¨r jeweils einen einsemestrigen Kurs ent-
halten, l¨aßt sich mit dem Stoff von Teil III eine dreisemestrige Vorlesung (a
4 Semesterwochenstunden) halten, wobei durch eine Kombination einzelner
Kapitel beliebig kleine Vorlesungen zusammenstellbar sind.
Wie im Band 1 sind mit U¨A U¨bungsaufgaben gekenzeichnet, die — neben
den in einzelnen Kapiteln (am Ende eines jeden Teils) zusammengestellten
Aufgaben — dem Leser zwecks Vertiefung des Stoffes empfohlen seien.
kennzeichnetwieu¨blichdasEndeeinesBeweises.BezeichnungenundBegriffe,
dieoftimBand1Verwendungfanden,werdenhieralsbekanntvorausgesetzt.
Nicht vers¨aumen m¨ochte ich es, mich bei meinen Rostocker Kollegen Prof.
Dr. K. Engel und Prof. Dr. H.-D. Gronau fu¨r das Korrekturlesen und die
wertvollen Hinweise zu den Teilen I und II zu bedanken. Herrn Dr. F. B¨orner
(Universit¨at Potsdam) gilt mein besonderer Dank fu¨r das Zusenden seines
Vorlesungsmanuskripts zur Graphentheorie und das Aufspu¨ren einiger Fehler
in einer alten Fassung vom Teil II.
EineersteFassungdesTeilsu¨berAllgemeineAlgebrahattesichHerrProf.Dr.
L.Berg(Rostock)voreinigenJahrenangesehen,fu¨rdessenHinweiseundVer-
besserungsvorschl¨age ich mich an dieser Stelle nochmals bedanken m¨ochte.
Da ich einige meiner Schreibfehler oft erst bemerke, wenn zwischen Schrei-
ben und nochmaligem Lesen viel Zeit vergangen ist, bin ich den Herren
Vorwort VII
Dr. W. Bannuscher (Rostock), Dr. F. B¨orner (Potsdam) und Dr. W. Har-
nau (Dresden) sehr dankbar, daß sie mir beim Korrekturlesen der vorletzten
FassungvonTeilIIIsehrgeholfenhabenundmichdavonu¨berzeugten,gewis-
se Beweisdetails abzu¨andern.
Rostock, im November 2003 Dietlinde Lau
Inhaltsverzeichnis
Teil I Lineare Optimierung
1 Einfu¨hrung in die Lineare Optimierung..................... 3
1.1 Das Lineare Optimierungsproblem ........................ 4
1.2 Die Normalform eines LOP............................... 7
1.3 Graphische L¨osungsmethoden fu¨r LOP mit nur zwei
Unbekannten ........................................... 9
2 Die Simplexmethode ....................................... 13
2.1 Die theoretischen Grundlagen der Simplexmethode.......... 13
2.2 Herleitung des Simplexalgorithmus ........................ 24
2.3 Der Simplex-Algorithmus und einige seiner Modifikationen ... 37
3 Das Dualit¨atsprinzip ....................................... 43
3.1 Primale und duale LOP.................................. 43
3.2 Der Dualit¨atssatz ....................................... 44
3.3 Die duale Simplexmethode ............................... 47
4 Ganzzahlige Lineare Optimierung .......................... 51
4.1 Problemstellung ........................................ 51
4.2 Das Gomory–Verfahren .................................. 53
5 Das Transportproblem ..................................... 63
5.1 Problemstellung und mathematische Modellierung .......... 63
5.2 Einige S¨atze zum Transportproblem ....................... 67
5.3 Der Transportalgorithmus................................ 78
6 Aufgaben zum Teil I ....................................... 85
6.1 Aufgaben zum Kapitel 1 ................................. 85
6.2 Aufgaben zum Kapitel 2 ................................. 86
6.3 Aufgaben zum Kapitel 3 ................................. 88
X Inhaltsverzeichnis
6.4 Aufgaben zum Kapitel 4 ................................. 89
6.5 Aufgaben zum Kapitel 5 ................................. 89
Teil II Graphen und Algorithmen
7 Grundbegriffe und einige Eigenschaften von Graphen....... 97
7.1 Gerichtete und ungerichtete Graphen ...................... 97
7.2 Teilgraphen von Graphen und Graphenoperationen..........102
7.3 Isomorphie von Graphen.................................103
7.4 Beschreibung von Graphen durch Matrizen.................104
7.5 Kantenfolgen und Zusammenhang von Graphen.............107
7.6 Abst¨ande in Graphen und bewertete Graphen ..............110
7.7 Algorithmen zum Bestimmen optimaler Wege in Graphen....112
7.8 Definitionen einiger spezieller Graphen.....................117
8 W¨alder, B¨aume und Geru¨ste ...............................121
8.1 W¨alder und B¨aume .....................................122
8.2 Geru¨ste................................................124
8.3 Minimalgeru¨ste .........................................127
9 Planare Graphen und F¨arbungen...........................129
9.1 Planare Graphen........................................130
9.2 F¨arbungen .............................................132
10 Tourenprobleme............................................139
10.1 Kantenbezogene Aufgaben ...............................139
10.1.1 Eulertouren......................................139
10.1.2 Das Chinesische Brieftr¨agerproblem.................143
10.2 Eckenbezogene Aufgaben ................................145
10.2.1 Hamiltonkreise...................................145
10.2.2 Das Problem des Handlungsreisenden
(Rundreiseproblem)...............................147
11 Matching- und Netzwerktheorie ............................151
11.1 Matchings .............................................152
11.2 Matchings in bipartiten Graphen..........................161
11.3 Netzwerke und Flu¨sse in Netzwerken ......................163
12 Allgemeines u¨ber Algorithmen .............................175
12.1 Suchen und Sortieren....................................175
12.2 Der Greedy-Algorithmus.................................178
12.3 U¨ber die Komplexit¨at von Algorithmen ....................182
Inhaltsverzeichnis XI
13 U¨bungsaufgaben zum Teil II................................189
13.1 U¨bungsaufgaben zum Kapitel 7...........................189
13.2 U¨bungsaufgaben zum Kapitel 8...........................191
13.3 U¨bungsaufgaben zum Kapitel 9...........................192
13.4 U¨bungsaufgaben zum Kapitel 10..........................193
13.5 U¨bungsaufgaben zum Kapitel 11..........................194
13.6 U¨bungsaufgaben zum Kapitel 12..........................196
Teil III Algebraische Strukturen und
Allgemeine Algebra mit Anwendungen
14 Grundbegriffe der Allgemeinen Algebra ....................203
14.1 Allgemeine Algebren ....................................203
14.2 Beispiele fu¨r allgemeine Algebren .........................206
14.2.1 Gruppoide.......................................206
14.2.2 Halbgruppen.....................................206
14.2.3 Monoide ........................................206
14.2.4 Gruppen ........................................207
14.2.5 Halbringe .......................................207
14.2.6 Ringe ...........................................207
14.2.7 K¨orper..........................................207
14.2.8 Moduln .........................................207
14.2.9 Vektorr¨aume.....................................208
14.2.10 Halbverb¨ande ....................................208
14.2.11 Verb¨ande........................................208
14.2.12 Boolesche Algebren ...............................209
14.2.13 Funktionenalgebren...............................209
14.3 Unteralgebren ..........................................210
15 Verb¨ande...................................................213
15.1 Zwei Definitionen eines Verbandes.........................213
15.2 Beispiele fu¨r Verb¨ande...................................217
15.3 Isomorphe Verb¨ande, Unterverb¨ande ......................217
15.4 Distributive und modulare Verb¨ande ......................220
15.5 Vollst¨andige Verb¨ande und A¨quivalenzrelationen ............226
16 Hu¨llensysteme und Hu¨llenoperatoren.......................229
16.1 Grundbegriffe ..........................................229
16.2 EinigeEigenschaftenvonHu¨llensystemenundHu¨llenoperatoren230
16.3 Eine Anwendung in der Formalen Begriffsanalyse ...........234