ALGEBRA Una introducción a la Aritmética ya la Matemática Discreta

296 Pages·2014·1.59 MB·Spanish

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ALGEBRA
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Una introducci(cid:243)n la la AritmØtica
e
y a la MatemÆtica Discreta
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Ricardo PodestÆ y Paulo Tirao
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(cid:243)
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Versi(cid:243)n Preliminar
V
7 de marzo de 2014
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˝ndice general
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˝ndice general i
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Pr(cid:243)logo vi
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Introducci(cid:243)n ix
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I Fundamentos 1
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1 Enunciados y demostraciones 3
1.1 El lenguaje colonquial y el lenguaje matemÆtico . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Proposiciones, conectivos y tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Condicionales y equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
(cid:243)
1.4 Cuanti(cid:28)cadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
i
1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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2 Cronjuntos 33
2.1 C(cid:243)mo de(cid:28)nir conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
e
2.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Identidades de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
V
2.4 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Partes de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Relaciones y Funciones 59
3.1 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Cardinalidad * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
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˝NDICE GENERAL R. PodestÆ (cid:21) P. Tirao, 07/03/2014
II Nœmeros y AritmØtica 72
4 Nœmeros reales y su aritmØtica 74
4.1 Conjuntos numØricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r. . . . 74
4.2 Axiomas de los nœmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Propiedades bÆsicas de los nœmeros reales . . . . . . . . . . . .a. . . . . . . 81
4.4 El orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5 AritmØtica racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n. . . . . . . . . . 93
4.6 Cuerpos * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i. . . . . . . . . . . . . . 95
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5 Nœmeros naturales y el principio de inducci(cid:243)n 99
5.1 Nœmeros naturales . . . . . . . . . . . . .i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Inducci(cid:243)n matemÆtica . . . . . . . . .l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 De(cid:28)niciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
e
5.4 Sucesiones de(cid:28)nidas por recurrencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5 Propiedades de la sumatoria y la productoria * . . . . . . . . . . . . . . . . 114
r
5.6 Identidades con sumas. Sumas sumables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.7 Conjuntos inductivos y buena ordenaci(cid:243)n † . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
p
5.8 VariØtØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
n
6 AritmØtica entera 141
6.1 Divisibilid(cid:243)ad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2 El algoritmo de la divisi(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3 Nœimeros primos y factorizaci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4 sEl mÆximo comœn divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5 El Teorema Fundamental de la ArimØtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
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6.6 El m(cid:237)nimo comœn mœltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.7 El TFA, divisores, mcd y mcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
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6.8 Representaci(cid:243)n decimal y desarrollos s-Ædicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
V
7 AritmØtica modular 171
7.1 La congruencia de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.2 El anillo Z de enteros m(cid:243)dulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
m
7.3 Aplicaciones a la artimØtica entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4 Ecuaciones en congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.5 La funci(cid:243)n φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.6 Los Teoremas de Euler-Fermat y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.7 Sistemas de ecuaciones lineales en congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8 Nœmeros complejos 190
ii
˝NDICE GENERAL R. PodestÆ (cid:21) P. Tirao, 07/03/2014
8.1 De(cid:28)nici(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.2 La conjugaci(cid:243)n y el m(cid:243)dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
III Combinatoria r 192
a
9 Conteo I: principios bÆsicos 193
9.1 Principios bÆsicos de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . .n. . . . . . . . . . 194
9.2 Ordenar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.3 Elegir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i. . . . . . . . . . . . . . 206
9.4 Combinaciones, permutaciones y arreglos . . . . .m. . . . . . . . . . . . . . . 209
9.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.6 Ordenar con repeticiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
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9.7 Distribuir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
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9.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
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10 Nœmeros combinatorios 231
r
10.1 Nœmeros combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.2 Binomio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
p
10.3 El TriÆngulo de Pascal e identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10.4 Coe(cid:28)cientes multinomiales † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.5 Nœmeros de Stirling * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
n
10.6 Composiciones y particiones * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.7 El Teorema de Lucas † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
(cid:243)
10.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
11 ConteoiII: tØcnicas avanzadas 256
s
11.1 Funciones y cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
1r1.2 El principio del palomar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
11.3 El principio de inclusi(cid:243)n-exclusi(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
e 11.4 Contando funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
11.5 Desarreglos * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
V
11.6 VariØtØ * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
11.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
IV Suplementaria 262
A MiscelÆnea MatemÆtica 263
A.1 Numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
A.2 Popurr(cid:237) de Nœmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
A.3 Criptograf(cid:237)a RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
B Ep(cid:237)logo: algunas listas œtiles 267
iii
˝NDICE GENERAL R. PodestÆ (cid:21) P. Tirao, 07/03/2014
B.1 Lista de s(cid:237)mbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
B.2 Abreviaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
B.3 Lista de tablas y (cid:28)guras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
B.4 Lista de teoremas y resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
r
B.5 Lista de grandes matemÆticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
a
˝ndice alfabØtico 280
n
Bibliograf(cid:237)a 284
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(cid:243)
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(cid:243)
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V
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Pr(cid:243)logo
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Estas notas fueron escritas a partir de las notas de clase que oportunamente preparÆra-
m
mos para dictar la materia Algebra I de la Facultad de MatemÆtica, Astronom(cid:237)a y F(cid:237)sica
(FaMAF) de la Universidad Nacional de C(cid:243)rdoba (UNC), durante los primeros cuatrimes-
tres lectivos de 2012 y 2013. 1 i
l
Para muchos, este quizÆs sea el primer curso de matemÆtica que toman, o al menos el
primerodeÆlgebra.LaaritmØticayalgunasnocionesbÆsicasdelamatemÆticadiscretason
e
muy adecuadas como un primer contacto con la matemÆtica formal. Por ejemplo, permiten
introducir de manera bastante natural las formas y modos del quehacer matemÆtico, la
r
forma de escribir y enunciar en matemÆtica, la forma de validar los (cid:16)resultados(cid:17) a travØs
de demostraciones, la forma de de(cid:28)nir objetos abstractos y construir teor(cid:237)as con ellos.
p
Laspresentesnotasconstituyenesencialmenteuncursodeuncuatrimestre,deochohoras
de clase por semana, en el caso de FaMAF 4 horas de te(cid:243)rico y 4 horas de prÆctico. Todo
el material disponible nnecesita mÆs tiempo para ser cubierto. En un curso estÆndar hay
que elegir que dar y que dejar de lado. No es posbile desarrollar todos los t(cid:243)picos, todos
los ejemplos y disc(cid:243)utir todos los ejercicios que se presentan.
El curso tirata dos grandes temas: la aritmØtica y la combinatoria. La aritmØtica trata
sobre disstintos conjuntos numØricos, sobre sus operaciones y sus propiedades. TambiØn
incluye un estudio mÆs profundo sobre sus estructuras subyacentes.
r
Lacombinatoriasepresentacomoelartedecontarsincontar,elartedecontarinteligen-
temente. Se presentan mØtodos y formas de pensar novedosas, distintas de las utilizadas
e
en aritmØtica, pero complementarias.
V EltrabajarestasdosÆreasenunmismocursodaunaperspectivasobreeldinamismodela
matemÆtica y como Æreas diferentes, con caracter(cid:237)sitcas propias bien de(cid:28)nidas interactuan
enriqueciØndose mutuamente.
Los objetivos principales de este curso se pueden resumir en los siguientes 3 aspectos:
• Aprender a aprender matemÆtica.
• Aprender a hacer matemÆtica.
• Aprender aritmØtica y combinatoria.
1(cid:201)stas, aœn se encuentran en estado preliminar y deben aun ser corregidas y completadas. Todos los
comentarios, correcciones y sugerencias de parte del lector serÆn bienvenidos y se agradecen desde ya.
vi
R. PodestÆ (cid:21) P. Tirao, 07/03/2014
El primero implica el desarrollo de la capacidad de leer de(cid:28)niciones y enunciados ma-
temÆticos, de comprender como son sus objetos y c(cid:243)mo sus verdades se articulan entre
s(cid:237).
El segundo objetivo es de central importancia, ya que sin hacer algo de matermÆtica por
uno mismo dif(cid:237)cilmente se aprenda algo. Una parte importante del (cid:16)hacer(cid:17) matemÆtica es
una actividad individual, que se enriquece con el intercambio de ideas caon otros colegas
que hacen matemÆtica. Es muy importante hacerse y contestarse preguntas a uno mismo,
y no s(cid:243)lo a los otros.
n
Por œltimo, y muy importante desde lo prÆctico, estÆ el aprender contenidos espec(cid:237)(cid:28)cos.
En el camino que lleva a aprender estos contenidos se aprendei, lentamente, a aprender y a
hacer matemÆtica. m
En estas notas conviven lo riguroso, que a veces resulta algo tedioso y se sospecha no
i
demasiado œtil, con lo prÆctico, listo para usar, que a veces puede dejar la sensaci(cid:243)n de
l
falta de fundamento o de ser algo impreciso. Ambos modos se complementan para facilitar
el aprendizaje de cada tema expuesto, conetodos los fundamentos y rigor necesarios pero
tambiØn desarrollando habilidades prÆcticas para poder usar con con(cid:28)anza lo aprendido.
r
QueremosagradecerespecialmenteaIvÆnAngionoquiØnestuvoacargodelapreparaci(cid:243)n
p
de los prÆcticos cuÆndo nosotros dictÆbamos el te(cid:243)rico de este curso.
Esperamos que Østas notas les resulten œtiles y prÆcticas, y los alienten a trabajar duro
n
y con mucho entusiasmo, para que puedan disfrutar de aprender y aprender a disfrutar del
Ælgebra.
(cid:243)
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s
r Paulo y Ricardo, C(cid:243)rdoba, 7 de marzo de 2014.
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(cid:243)
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Introducci(cid:243)n
a
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Esta Introducci(cid:243)n a la AritmØtica y a la MatemÆtica Discreta consta de tres partes2:
m
Parte i. Fundamentos
i
Parte ii. Nœmeros y AritmØtica
l
Parte iii. Combinatoria
e
Las segunda y tercera partes son el nœcleo del curso, y es el material nuevo que preten-
r
demos enseæar. La primera parte, de fundamentos, es complementaria. EstÆ pensado como
un repaso de temas que se suponen conocidos del cursillo, aunquen desarrollados de forma
p
mÆs extensa, a disposici(cid:243)n de todos aquellos que no los tengan s(cid:243)lidamente incorporados.
n
Contenidos espec(cid:237)(cid:28)cos. En (cid:16)Fundamentos(cid:17), ademÆs de un presentaci(cid:243)n breve de con-
juntos,relacionesy(cid:243)funciones,hayuncap(cid:237)tuloreferidoalosenunciadosyalademostraci(cid:243)n
en matemÆtica. Creemos que vale la pena leerlo y re(cid:29)exionar sobre su contenido, ya que
sin dudas seirÆ de gran ayuda para hacer Øste y cualquier otro curso de matemÆtica.
s
Enlasegundaparte,(cid:16)NœmerosyAritmØtica(cid:17),comenzamosdiscutiendolosnœmerosreales
ysuraritmØticadesdeunpuntodevistaaxiomÆticosindejardeladoloquetodosconocemos
sobre ellos. Hacemos varias referencias a los racionales y su aritmØtica en relaci(cid:243)n con la
ede los reales. Esta secci(cid:243)n es muy instructiva, y por ser la primera requiere un esfuerzo
especial. Continuamos con los naturales, que luego de una breve introducci(cid:243)n, dan paso
V al principio de inducci(cid:243)n. Una herramienta bÆsica fundamental en la matemÆtica entera y
discreta. La aprehenci(cid:243)n de esta herramienta lleva tiempo y requiere de mucha prÆctica.
Esta secci(cid:243)n tiene muchos ejemplos y ejercicios que recomendamos enfÆticamente.
Luego discutimos la muy rica aritmØtica entera, empezando con el concepto fundamen-
tal de divisibilidad. Estudiamos el mÆximo comœn divisor, el m(cid:237)nimo comœn mœltiplo, los
nœmeros primos y la notaci(cid:243)n decimal para enteros. TambiØn hay una secci(cid:243)n dedicada al
desarrollo decimal de los racionales3 y al sistema binario y a otros sistemas de representa-
ci(cid:243)n. A continuaci(cid:243)n introducimos los enteros modulares y la aritmØtica modular. Este es
un t(cid:243)pico nuevo que requiere cierto grado de abstracci(cid:243)n. Constituye un primer ejemplo
2es idea de los autores (una insensatez mas) incluir en una versi(cid:243)n posterior de estas notas el tema de
(cid:16)grafos(cid:17) a la parte de combinatoria y posiblemente una cuarta parte de (cid:16)estructuras algebraicas(cid:17).
3r: falta..
ix