Álgebra: Una Introducción a la Aritmética y la Combinatoria [lecture notes]

414 Pages·2017·1.745 MB·Spanish

by  Ricardo Podestá, Paulo Tirao

ÁLGEBRA
Una Introducción a la Aritmética
y la Combinatoria
Ricardo Podestá y Paulo Tirao
Primera Edición
Marzo de 2017
“Elálgebraesgenerosa;amenudodamásdeloqueselepide.”
JeanLeRonddÁlembert
Índice general
Índicegeneral i
Prólogo vii
Introducción ix
I Fundamentos 2
1 Enunciadosydemostraciones 4
1.1 Ellenguajecoloquialyellenguajematemático . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Proposiciones,conectivosytablasdeverdad . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Negación,conjunciónydisyunción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Proposicionescompuestasytablasdeverdad . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Condicionalesyequivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Laproposicióncondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Recíproca,contrariaycontrarrecíproca . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Laproposiciónbicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4 Tautologíasycontradicciones† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.5 Proposicionesequivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.6 Negacióndeproposicionescompuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Funcionesproposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Proposicionescuantificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 Negacióndeproposicionescuantificadas . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1 Laimplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2 Tiposdedemostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.3 Conjeturas,ejemplosycontraejemplos† . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Conjuntos 36
2.1 Definicionesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
i
ÍNDICEGENERAL
R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017
2.2 Cómodefinirconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Operacionesconconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Identidadesdeconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Productocartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Partesdeunconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Relacionesyfunciones 65
3.1 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Propiedadesdeunarelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.2 Relacionesdeorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.3 Relacionesdeequivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1 Función,dominioeimagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.2 Restricciónyextensióndefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.3 Funcionessuryectivas,inyectivasybiyectivas . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.4 Funcionesinversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.5 Lacomposicióndefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.6 Funcionesylasoperacionesdeconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.7 Productocartesianoyfunciones† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3 Conjuntosfinitosycardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.1 Conjuntosinfinitosynumerabilidad† . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.2 Operacionesdeconjuntosynumerabilidad . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
II Númerosyaritmética 98
4 Númerosrealesysuaritmética 100
4.1 Conjuntosnuméricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.1 Sobrelaconstruccióndelosnúmerosreales . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.2 Lasuma,elproductoyelordendelosnúmerosreales . . . . . . . 103
4.2 Losaxiomasdelosnúmerosreales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Algunaspropiedadesaritméticasdelosnúmerosreales . . . . . . . . . . . 109
4.4 ElordendeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5 Aritméticaracionalyfraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.6 Cuerpos†. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.7 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5 Númerosnaturalesyelprincipiodeinducción 131
5.1 Númerosnaturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1.1 LosaxiomasdePeano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1.2 Losnaturalesylosreales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2 Inducciónmatemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
ii
ÍNDICEGENERAL
R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017
5.2.1 Elprincipiobásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.2 Induccióncorrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2.3 Inducciónfuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.2.4 Induccióngeneralizada†. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2.5 Induccióndoble‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3 Definicionesrecursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.1 Sumatoriayproductoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.2 Elfactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.3.3 Lapotenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.4 Sucesionesdefinidasporrecurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.5 Propiedadesdelasumatoriaylaproductoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.5.1 Propiedadesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.5.2 Cambiosdevariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.5.3 Sumasyproductosdobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.6 Identidadesconsumasysumassumables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.6.1 Sumadeenterosconsecutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.6.2 Lasumadelosimpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.6.3 Lassumasdeloscuadradosydeloscubos . . . . . . . . . . . . . . 169
5.6.4 Lasumadepotencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.6.5 Progresionesaritméticas† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.6.6 Progresionesgeométricas† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.7 Conjuntosinductivosybuenaordenación† . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.7.1 Conjuntosinductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.7.2 Buenaordenacióneinducciónfuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.8 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6 Aritméticaentera 188
6.1 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.1.1 Losconjuntosdedivisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.1.2 Losnúmerosprimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.2 Elalgoritmodeladivisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.2.1 Conjuntosdemúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.2.2 Ladivisiónentera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.3 Númerosprimosyfactorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.4 Elmáximocomúndivisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.4.1 Combinacioneslinealesenteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.4.2 ElalgoritmodeEuclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.5 ElTeoremafundamentaldelaaritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.6 Elmínimocomúnmúltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.7 ElTFA,divisores,mcdymcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.7.1 LafunciónϕdeEuler† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.8 Representacióndecimalydesarrolloss-ádicos . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.8.1 Representacióndecimaldeenteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.8.2 Elsistemaderepresentaciónbinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.8.3 Lossistemasderepresentacións-ádicos† . . . . . . . . . . . . . . . 225
iii
ÍNDICEGENERAL
R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017
6.9 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7 Númeroscomplejos 230
7.1 ¿Quéson? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.2 Sumayproducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.3 Laconjugaciónyelmódulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.4 Coordenadaspolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.5 RaícesdelaunidadyfórmuladeDeMoivre . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.6 Conjuntosytransformacionesdelplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.7 PolinomiosyelTeoremaFundamentaldelAlgebra† . . . . . . . . . . . . . 246
7.8 Ejerciciosyproblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
III Aritméticamodular 247
8 Congruenciasdeenteros 248
8.1 Lacongruenciadeenteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.1.1 Clasesdecongruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.1.2 Restosdeladivisiónentera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.2 Propiedadesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.2.1 Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.2.2 Reduccióndelmódulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.2.3 Otraspropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.3 Aplicacionesdecongruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.3.1 Aplicacionesalaaritméticaentera:cálculosconpotencias . . . . . 255
8.3.2 Aplicacionesalavidacotidiana† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
8.4 Reglasdedivisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.4.1 Reglasdedivisibilidadylanotacióndecimal . . . . . . . . . . . . . 264
8.4.2 Reglasdedivisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.4.3 Reglasdedivisibilidadyrepresentacioness-ádicas† . . . . . . . . 270
8.5 LosTeoremasdeFermat,EuleryWilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.5.1 LosteoremasdeFermatyEuler-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.5.2 SistemasresidualesyteoremadeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.5.3 ElToremadeWilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9 Enterosmodulares 285
9.1 Losenterosmodulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.2 Tablasdesumayproducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
9.2.1 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
2
9.2.2 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
3
9.2.3 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4
9.2.4 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5
9.2.5 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6
iv
ÍNDICEGENERAL
R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017
9.2.6 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7
9.2.7 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
8
9.2.8 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9
9.3 Aritméticamodular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.4 UnidadesydivisoresdeceroenZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
m
9.4.1 ElgrupodeunidadesZ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
m
9.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10 Ecuacionesencongruencias 300
10.1 Ecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.1.1 Unavariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.1.2 2y3variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.2 Elteoremachinodelresto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.3 Sistemasdeecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
IV Combinatoria 303
11 Principiosdeconteo 304
11.1 Principiosbásicosdeconteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.1.1 Elprincipiodeadición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
11.1.2 Elprincipiodemultiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
11.1.3 Elprincipiodelcomplemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
11.1.4 PrincipiosdeInyecciónyBiyección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.2 Acciónbásica:Ordenar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.2.1 Ordenarenfila(listar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.2.2 Ordenarencírculos(ciclar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.3 Acciónbásica:Elegir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11.4 Combinaciones,permutacionesyarreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
11.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
11.5.1 Ejemplosvariopintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.5.2 Caminosmáscortos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
11.5.3 Apareos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.5.4 Elegirdistinguiendo(equiposconlíderes) . . . . . . . . . . . . . . . 336
11.6 Acciónbásica:Ordenarconrepeticiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
11.7 Acciónbásica:Distribuir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
11.7.1 Bolasycajasdistintas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
11.7.2 Bolasigualesencajasdistintas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.8 Funcionesyconteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
11.8.1 Funciones,cardinalyprincipiosbásicos . . . . . . . . . . . . . . . . 341
11.8.2 Elprincipiodelpalomar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.8.3 Elprincipiodeinclusión-exclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
11.8.4 Contandofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
11.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
v
ÍNDICEGENERAL
R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017
12 Númeroscombinatorios 352
12.1 Coeficientesbinomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
12.1.1 Definiciónyfórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
12.1.2 Propiedadesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
12.2 BinomiodeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
12.3 ElTriángulodePascaleidentidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
12.3.1 EltriángulodePascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
12.3.2 Identidadesconcoeficientesbinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . 365
12.4 ElTeoremadeLucas† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
12.5 Coeficientesmultinomiales†. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
12.6 NúmerosdeStirling* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
12.6.1 NúmerosdeStirlingdeprimertipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
12.6.2 NúmerosdeStirlingdesegundotipo . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
12.6.3 Desarrollospolinomiales* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
12.7 Composicionesyparticiones* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
12.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
A Epílogo:algunaslistasútiles 381
A.1 Listadesímbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
A.2 Abreviaturasyacrónimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
A.3 Listadetablasyfiguras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
A.4 Listadeteoremasyresultadosimportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
A.5 Listadenotashistóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
A.6 Listadegrandesmatemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Índicealfabético 395
Bibliografía 400
vi
Prólogo
“Sinotegustatuanalista,visitaatualgebristalocal.”
GertAlmkvist
Apartirdelasnotasdeclasequeoportunamentepreparáramosparadictarlamateria
de la Facultad de Matemática, Astronomía y Física (FaMAF) de la Universidad
Algebra I
Nacional de Córdoba (UNC), durante las primeras mitades de 2012 y 2013, fuimos pre-
parandounmanuscritoquelosalumnosconocieroncomo‘NotasdeAlgebra’.Estelibro
surgiócomoconsecuencianaturaldeeseprimeresfuerzo;corrigiendo,completando,reor-
denando y embelleciendo los contenidos y la presentación de dichas notas primigenias.
Eneseprocesolasnotascrecieronymaduraronhastaconvertirseenunlibrodetextoque
excedeelcontenidodeuncursodeunqueocupelamitaddelaño.
Laaritméticaylasnocionesbásicasdelamatemáticadiscretasonmuyadecuadascomo
un primer contacto con la matemática formal. Permiten introducir de manera bastante
naturallasformasymodosdelquehacermatemático,laformadeescribiryenunciaren
matemática,laformadevalidarlos“resultados”atravésdedemostraciones,laformade
definirobjetosabstractosyconstruirteoríasconellos.
El libro puede usarse como libro de texto para un primer curso de álgebra o de mate-
máticadiscretadirigidoaalumnosdegradosinexperienciapreviaenmatemática.Dado
todo el material disponible el curso podría ocupar la mitad del año o el año completo y
puedeorientarseaagruposdealumnosconinteresesdistintos.Lostópicospresentados
sedesarrollandemaneracompletaymásomenosextensa;haymuchosejemplos,ejerci-
ciosyproblemas.Laseleccionesposibles,paraelprofesoracargo,sonmuyvariadas.
Ellibroseocupadedosgrandestemas:la yla .Laaritméticatrata
aritmética combinatoria
sobre distintos conjuntos numéricos, sobre sus operaciones y sus propiedades. También
incluye un estudio más profundo sobre sus estructuras subyacentes. La combinatoria se
presentacomoelartede‘contarsincontar’,elartedecontarinteligentemente.Sepresen-
tanmétodosyformasdepensarnovedosas,distintasdelasutilizadasenaritmética,pero
complementarias.
El trabajar estas dos áreas en un mismo curso da una perspectiva sobre el dinamismo
delamatemáticaycómoáreasdiferentes,concaracterísitcaspropiasbiendefinidasinter-
actuanenriqueciéndosemutuamente.
Ellectornotará,sinembargo,quehemosdedicadounabuenapartedellibro,laprimera,
alosfundamentosdelamatemática.Ennuestraexperienciadocentehemosnotadoqueun
vii
R.Podestá–P.Tirao,13/03/2017
gravedéficitenlacomprensióndeloscursoinciales(ydelamatemáticaengeneral),por
partedelosalumnos,eslafaltademanejoenloqueserefierealalógicadelosenunciados,
lasdemostracionesyaobjetosbásicoscomolosconjuntosylasfunciones.Estodaunabase
firmeparaelestudioylacomprensióndelrestodellibro(¡ydelamatemática!).
Los principalesdeestecursosepuedenresumirenlos3aspectossiguientes:
objetivos
• Aprenderaaprendermatemática.
• Aprenderahacermatemática.
• Aprenderaritméticaycombinatoria.
Elprimeroimplicaeldesarrollodelacapacidaddeleerdefinicionesyenunciadosmate-
máticos,decomprendercómosonsusobjetosydescubrircómosusverdadessearticulan
entresí.
Elsegundoobjetivoesdecentralimportancia,yaqueelhaceralgodematemáticapor
unomismoesunodelosmejorescaminosparaaprendermatemática.Estudiarmatemáti-
caesunprocesoactivo,querequieremuchoesfuerzo,muchaprácticaymuchaconstancia
por parte de quien lo acomete. Una parte importante del “hacer” matemática es una ac-
tividad individual,pero que seenriquece enormementecon el intercambiode ideascon
otroscolegasquehacenmatemática.Esmuyconvenientehacerseycontestarsepreguntas
aunomismoademásdehacerycontestarpreguntasalosotros.
Vamosadecirlounavezmas,esfundamentalplantearsesiemprenuevosinterrogantes,
aunque no tengamos idea de la respuesta. Esto nos llevará a entender lo que estamos
estudiando,areforzarloqueyasabemosy,primordialmente,agenerarnuevasideas.
Porúltimo,ymuyimportantedesdelopráctico,estáelaprendercontenidosespecíficos.
Enelcaminoquellevaaaprenderestoscontenidosseaprende,lentamente,aaprendery
ahacermatemática.
En este libro conviven, intencionalemnte, lo , que a veces resulta algo tedioso
riguroso
y se sospecha no demasiado útil, con lo , listo para usar, que a veces puede dejar
práctico
la sensación de falta de fundamento o de ser algo impreciso. Ambos modos se comple-
mentan para facilitar el aprendizaje de cada tema expuesto, con todos los fundamentos
yrigornecesariosperotambiéndesarrollandohabilidadesprácticasparapoderusarcon
confianzaloaprendido.
Esnuestrodeseoqueéstelibrolesresulteútilypráctico,yquesulecturaseaamena.Es
unlibro pensadoparaestudiar,pero tambienparaconsultary deleitarseluegodehaber
rendido la materia. Esperamos que los aliente a trabajar duro y con mucho entusiasmo,
paraquepuedandisfrutardeaprenderyaprenderadisfrutardelálgebra.
RicardoyPaulo,Córdoba,13demarzode2017.
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