Algebra per l'informatica

73 Pages·0.555 MB·Italian

by  Alessio Caminata

Algebra per Informatica
Alessio Caminata
Universita` di Genova
Anno accademico 2021–22
1
Indice
1 Insiemi e funzioni 4
1.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Insiemi indiciati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Composizione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Numeri interi 15
2.1 Principio d’induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Algoritmo euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Equazioni diofantee lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Numeri primi e teorema di fattorizzazione unica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Appendice: rappresentazione di un intero in base b . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Numeri complessi 26
3.1 Rappresentazione dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Forma trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso . . . . . . . . . . 28
3.3 Radici n-esime di un numero complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Relazioni d’equivalenza 33
5 Cardinalit`a 36
5.1 Le cardinalit`a di Q e R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Calcolo combinatorico 42
7 Relazioni d’ordine 46
7.1 Appendice: insiemi bene ordinati e ben fondati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8 Aritmetica modulare 52
8.1 Operazioni binarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2 Le operazioni in Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
n
8.3 I teoremi di Eulero e Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.4 Appendice: il crittosistema RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9 Monoidi e gruppi 58
9.1 Definizioni e esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.2 Sottogruppi e gruppi quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.3 Ordine di un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.4 Sottogruppi ciclici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.5 Omomorfismi di gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10 Anelli e campi 72
2
Notazioni
In queste note utilizzeremo le seguenti notazioni.
(cid:136) Con il simbolo := intendiamo “uguale per definizione”.
(cid:136) ConilsimboloNdenotiamol’insiemedeinumerinaturaliincluso0,cio`eN := {0,1,2,3,...}.
(cid:136) ConilsimboloN∗denotiamol’insiemedeinumerinaturaliescluso0,cio`eN∗ := {1,2,3,...}.
(cid:136) ConilsimboloZdenotiamol’insiemedeinumeriinteri,cio`eZ := {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.
(cid:136) Con il simbolo Q denotiamo l’insieme dei numeri razionali, cio`e
(cid:110)m (cid:111)
Q := : m ∈ Z, n ∈ N∗, MCD(m,n) = 1 .
n
(cid:136) Con il simbolo R denotiamo l’insieme dei numeri reali.
Supponiamo note le definizioni e le elementari propriet`a degli insiemi numerici precedenti.
I numeri complessi C verranno introdotti nel Capitolo 3.
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1 Insiemi e funzioni
1.1 Insiemi
I concetti di insieme e appartenenza sono primitivi e non verranno definiti in questa sede;
rimandiamo al corso di Logica per una discussione piu` approfondita.
SeA`euninsiemeex`eunelementodiAscriveremox ∈ A. Sel’elementoxnonappartienead
Ascriveremox (cid:54)∈ A. SetuttiesoliglielementidiAsonox ,...,x scriveremoA = {x ,...,x }.
1 n 1 n
Useremo anche la scrittura A = {x : P(x)}, dove P `e una qualche propriet`a che descrive gli
elementi di A. In altre parole, gli elementi di A sono tutti e soli quelli per cui vale la propriet`a
P. Affinch´e l’insieme sia ben definito, la propriet`a P dev’essere un criterio oggettivo e non
soggettivo. Vediamo qualche esempio.
Esempio 1.1. (i) A = {x : x `e un numero intero pari} `e un insieme.
(ii) B = {x : x `e un libro interessante} non `e un insieme.
(iii) C = {x : x `e una citt`a in Italia} `e un insieme.
(iv) 2 ∈ A, 3 (cid:54)∈ A, Taranto ∈ C, Parigi (cid:54)∈ C.
(v) L’insieme A si pu`o scrivere anche cos`ı A = {x ∈ Z : x = 2n, n ∈ Z}.
Un insieme che contiene soltanto un elemento {∗} viene chiamato singoletto. L’insieme
privo di elementi viene detto insieme vuoto e si denota con ∅ o { }.
Faremo uso dei connettivi logici per relazionare le propriet`a che definiscono gli insiemi e dei
quantificatori. Li ricapitoliamo brevemente ora, e rimandiamo nuovamente al corso di Logica
per una discussione piu` approfondita delle loro propriet`a. Siano P e D due propriet`a e A un
insieme.
(cid:136) P ∧D, si legge “P e D”, `e la congiunzione;
(cid:136) P ∨D, si legge “P o D”, `e la disgiunzione;
(cid:136) ¬P, si legge “non P”, `e la negazione;
(cid:136) P ⇒ D si legge “P implica D”, `e l’implicazione;
(cid:136) P ⇔ D si legge “P se e solo se D”, `e l’equivalenza;
(cid:136) ∀x ∈ A.P(x) si legge “per ogni x in A P(x)”, vuol dire che per tutti gli elementi di A vale
la propriet`a P. E` il quantificatore universale.
(cid:136) ∃x ∈ A.P(x)silegge“esistexinAtalecheP(x)”, vuoldirecheesistealmenounelemento
di A per cui vale la propriet`a P. E` il quantificatore esistenziale.
(cid:136) (cid:64)x ∈ A.P(x) si legge “non esiste x in A tale che P(x)”, vuol dire che per nessun elemento
di A vale la propriet`a P.
(cid:136) ∃!x ∈ A.P(x) si legge “esiste unico x in A tale che P(x)”, vuol dire che esiste uno ed un
solo elemento di A per cui vale la propriet`a P.
Si possono usare i quantificatori e i connettivi per definire le principali relazioni tra insiemi.
4
Definizione 1.2. Siano A e B due insiemi. Diremo che A `e contenuto in B o che A `e un
sottoinsieme di B se ∀x ∈ A.x ∈ B, cio`e se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B.
In simboli si scrive A ⊆ B oppure A ⊂ B, o anche B ⊇ A o B ⊃ A.
Gli insiemi A e B sono uguali se vale
x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B,
cio`e se A e B hanno gli stessi elementi. In simboli scriviamo A = B.
Equivalentemente, il principio di estensionalit`a afferma che
(cid:0) (cid:1)
A = B ⇐⇒ (A ⊆ B)∧(B ⊆ A) ,
cio`e A e B coincidono se e soltanto se A `e un sottoinsieme di B e B `e un sottoinsieme di A.
SeA`eunsottoinsiemediB manon`eugualeaB diciamocheA`econtenuto strettamente
in B o che A `e un sottoinsieme proprio di B. A volte lo denotiamo con A (cid:40) B.
Dato un insieme A, l’insieme delle parti di A `e l’insieme i cui elementi sono tutti e soli i
sottoinsiemi di A. Si denota con P(A).
Esempio 1.3. (i) Sia A = {1,2,3}, l’insieme delle parti di A `e
P(A) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},A}.
(ii) L’insieme delle parti dell’insieme vuoto `e un singoletto P(∅) = {∅}.
Definizione 1.4. Siano A e B due insiemi.
(cid:136) L’unione di A e B `e l’insieme A∪B i cui elementi sono elementi di A o elementi di B,
cio`e
A∪B := {x : (x ∈ A)∨(x ∈ B)}.
(cid:136) L’intersezione di A e B `e l’insieme A ∩ B i cui elementi sono sia elementi di A che
elementi di B, cio`e
A∩B := {x : (x ∈ A)∧(x ∈ B)}.
Gli insiemi A e B si dicono disgiunti se A∩B = ∅.
(cid:136) La differenza tra B e A (anche detta il complementare di A in B) `e
B\A := {x ∈ B : x ∈/ A}.
Si vede facilmente che
A ⊆ A∪B e B ⊆ A∪B. (1)
Inoltre, l’unione `e il piu` piccolo insieme che soddisfa la propriet`a (1). Infatti se C soddisfa (1),
cio`e se A ⊆ C e B ⊆ C, allora anche A∪B ⊆ C: dato x ∈ A∪B allora x ∈ A o x ∈ B ed in
entrambi i casi segue x ∈ C.
5
Analogamente si ha che
A∩B ⊆ A e A∩B ⊆ B. (2)
E l’intersezione `e il piu` grande insieme che soddisfa la propriet`a (2). La verifica `e lasciata per
esercizio.
Le operazioni di intersezione e unione verificano le seguenti propriet`a che seguono dalle
corrispondenti propriet`a dei connettivi logici ∨ e ∧.
Proposizione 1.5. Siano A, B, e C tre insiemi. Allora
(i) A∪B = B∪A (propriet`a commutativa dell’unione);
(ii) (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (propriet`a associativa dell’unione);
(iii) A∪A = A (idempotenza dell’unione)
(iv) A∩B = B∩A (propriet`a commutativa dell’intersezione);
(v) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) (propriet`a associativa dell’intersezione);
(vi) A∩A = A (idempotenza dell’intersezione).
Dimostrazione. Dimostriamo soltanto la prima propriet`a, a titolo esplicativo.
(i) x ∈ A∪B ⇐⇒ (x ∈ A)∨(x ∈ B) ⇐⇒ (x ∈ B)∨(x ∈ A) ⇐⇒ x ∈ B∪A.
Esercizio 1.6. Dimostrare le seguenti propriet`a:
(i) A∩B = A ⇐⇒ A ⊆ B;
(ii) A∪B = A ⇐⇒ B ⊆ A;
(iii) (B\A) = ∅ ⇐⇒ B ⊆ A;
(iv) (B\A) = B ⇐⇒ A∩B = ∅;
(v) B = (B\A)∪(A∩B);
(vi) (B\A)∩(A∩B) = ∅.
Proposizione 1.7 (Propriet`a distributiva). Siano A, B, e C tre insiemi. Allora
(i) (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C);
(ii) (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C).
Dimostrazione. (i) Sia x ∈ (A∩B)∪C allora (x ∈ A∩B)∨(x ∈ C). Distinguiamo due casi:
(cid:136) se x ∈ A∩B allora x ∈ (A∪C)∩(B∪C), perch´e A∩B ⊆ (A∪C)∩(B∪C);
(cid:136) se x ∈ C allora x ∈ (A∪C)∩(B∪C), perch´e C ⊆ (A∪C)∩(B∪C).
Inentrambiicasiabbiamomostratol’inclusione(A∩B)∪C ⊆ (A∪C)∩(B∪C). Viceversa,
sia x ∈ (A∪C)∩(B∪C) allora (x ∈ A∪C)∧(x ∈ B∪C):
(cid:136) se x ∈ C allora x ∈ (A∩B)∪C poich´e C ⊆ (A∩B)∪C;
(cid:136) se x ∈ A∩B allora x ∈ (A∩B)∪C poich´e A∩B ⊆ (A∩B)∪C;
(cid:136) se x ∈ A, max ∈/ B (o sex ∈ B, max ∈/ A) allora necessariamente x ∈ C e ricadiamo
nel caso precedente.
Questo dimostra l’altra inclusione (A∪C)∩(B∪C) ⊆ (A∩B)∪C.
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(ii) Se x ∈ (A∪B)∩C allora (x ∈ A∪B)∧(x ∈ C), quindi (x ∈ A∩C)∨(x ∈ B ∩C),
cio`e x ∈ (A∩C)∪(B ∩C). Pertanto (A∪B)∩C ⊆ (A∩C)∪(B ∩C). Viceversa se
x ∈ (A∩C)∪(B∩C) allora (x ∈ A∩C)∨(x ∈ B∩C), quindi (x ∈ A∪B)∧(x ∈ C), cio`e
x ∈ (A∪B)∩C. Quindi vale anche l’altra inclusione (A∩C)∪(B∩C) ⊆ (A∪B)∩C e
pertanto l’uguaglianza.
Teorema 1.8 (Leggi di De Morgan). Siano A e B sottoinsiemi di un insieme X. Allora
(i) X \(A∩B) = (X \A)∪(X \B);
(ii) X \(A∪B) = (X \A)∩(X \B).
Dimostrazione. (i) “⊆” Se x ∈ X \(A∩B) allora x ∈/ (A∩B), ossia (x ∈/ A)∨(x ∈/ B) cio`e
x ∈ (X \A)∪(X \B).
“⊇”Sex ∈ (X\A)∪(X\B)allora(x ∈/ A)∨(x ∈/ B)cio`ex ∈/ (A∩B),quindix ∈ X\(A∩B)
come richiesto.
(ii) Dimostriamo la propriet`a con una catena di equivalenze:
x ∈ X\(A∪B) ⇐⇒ (x ∈/ A)∧(x ∈/ B) ⇐⇒ (x ∈ X\A)∧(x ∈ X\B) ⇐⇒ x ∈ (X\A)∩(X\B).
Introduciamo ora il concetto di prodotto cartesiano di insiemi.
Definizione 1.9. Siano A e B due insiemi non vuoti, e siano x ∈ A e y ∈ B due elementi.
L’insieme{{x},{x,y}}sichiamacoppiaordinataconprimacoordinataxesecondacoordinata
y e si denota con (x,y). Il prodotto cartesiano A×B di A per B `e l’insieme di tutte le coppie
ordinate con prima coordinata un elemento di A e seconda coordinata un elemento di B, cio`e
A×B := {(x,y) : x ∈ A,y ∈ B}.
Nel caso in cui A = ∅ oppure B = ∅ si pone per definizione A×B = ∅.
Osservazione 1.10. Si osserva che due coppie ordinate (x ,y ) e (x ,y ) sono uguali se e solo
1 1 2 2
se sono uguali coordinata per coordinata, cio`e vale
(x ,y ) = (x ,y ) ⇐⇒ (x = x )∧(y = y ).
1 1 2 2 1 2 1 2
Il prodotto cartesiano si pu`o generalizzare in maniera naturale al prodotto di tre o piu`
insiemi1.
(cid:136) Per tre insiemi A,B,C si pone
A×B×C := {(a,b,c) : (a ∈ A)∧(b ∈ B)∧(c ∈ C)}.
Con la condizione che due triple ordinate (a ,b ,c ) e (a ,b ,c ) sono uguali se e solo se
1 1 1 2 2 2
a = a , b = b , e c = c .
1 2 1 2 1 2
1Si puo` dare una definizione piu` formale di tripla (e n-upla) ordinata nello stile della Definizione 1.9, ma ci
limiteremo a dare una definizione piu` intuitiva ed operativa.
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(cid:136) Per n insiemi A ,...,A si definisce
1 n
A ×···×A := {(a ,...,a ) : (a ∈ A )∧···∧(a ∈ A )},
1 n 1 n 1 1 n n
conl’uguaglianzatran-upleordinate(a ,...,a )definitaanalogamenteaprima. Useremo
1 n
n n
(cid:89) ×
anche le notazioni A e A per denotare A ×···×A .
i i 1 n
i=1 i=1
Nel caso gli insiemi siano tutti uguali, cio`e A = A = ··· = A = X si usa la notazione delle
1 2 n
potenze. Abbiamo quindi X2 = X ×X, X3 = X ×X ×X, e cos`ı via. Per comodit`a si pone
anche X1 = X e X0 = {∅}, il singoletto che ha come elemento l’insieme vuoto.
Esempio 1.11. Il piano cartesiano o piano euclideo `e il prodotto cartesiano R2 = R × R,
costituito dalle coppie ordinate di numeri reali (x,y) con x ∈ R e y ∈ R.
Figura 1: Il piano cartesiano R2 con il punto P = (x,y).
1.1.1 Insiemi indiciati
Nel caso di unione, intersezione e prodotto cartesiano di piu` insiemi faremo spesso uso delle
seguenti notazioni.
Definizione 1.12. Sia I un insieme, con famiglia F di insiemi indiciati su I si intendono
degliinsiemiA (i ∈ I)“etichettati”conglielementidiI. SidenotalafamigliaconF = {A } .
i i i∈I
Data una famiglia di insiemi indiciati F = {A } , denotiamo poi
i i∈I
(cid:91)
(cid:136) A = {x : ∃i ∈ I per cui x ∈ A }, unione di tutti gli insiemi di F;
i i
i∈I
(cid:92)
(cid:136) A = {x : ∀i ∈ I si ha x ∈ A }, intersezione di tutti gli insiemi di F.
i i
i∈I
8
Casi tipici sono I = {1,...,n} oppure I = N.
Esempio 1.13. (i) Data la famiglia A = {i} per i ∈ N, si ha (cid:83) A = N e (cid:84) A = ∅.
i i∈N i i∈N i
(ii) Sia I = {1,2,...,8}, e consideriamo la famiglia di intervalli reali A = [0,i]. Si ha quindi
i
(cid:91) (cid:92)
A = [0,8] e A = [0,1].
i i
i∈I i∈I
(iii) ScegliamoI = {k ∈ N : k ≥ 2}. Perognik ∈ N,k ≥ 2prendiamoA = {nk : n ∈ N},cio`e
k
A `e l’insieme dei quadrati dei numeri naturali, A `e l’insieme dei cubi e cos`ı via. Allora
2 3
(cid:83) A `e un sottoinsieme proprio di N (per esempio non contiene 3) e (cid:84) A = {0,1}.
k≥2 k k≥2 k
1.2 Funzioni
Definizione 1.14. Siano X e Y due insiemi, una relazione binaria R tra X e Y `e un
sottoinsieme R del prodotto cartesiano X ×Y, cio`e R ⊆ X ×Y. Useremo anche la notazione
xRy per indicare che due elementi x ∈ X e y ∈ Y sono in relazione rispetto a R, cio`e (x,y) ∈ R.
La relazione R = X ×Y viene detta relazione totale o universale, la relazione R = ∅ viene
detta relazione vuota. Se X = Y, la relazione diagonale, denotata con ∆, `e la relazione
∆ := {(x ,x ) ∈ X ×X : x = x }.
1 2 1 2
Data una relazione R, la relazione opposta, denotata con R◦, `e la relazione
R◦ := {(y,x) ∈ Y ×X : (x,y) ∈ R}.
Definizione 1.15 (funzione). Siano X e Y due insiemi, una funzione o applicazione o
mappa da X a Y `e una relazione f ⊆ X ×Y tale che ∀x ∈ X ∃!y ∈ Y tale che (x,y) ∈ f. Si
denota con f : X → Y. Inoltre per indicare che (x,y) ∈ f si scrive y = f(x). Si dice che y `e il
valore di f sull’argomento x o anche y `e l’immagine di x mediante f. L’insieme X viene detto
dominio di f e l’insieme Y codominio di f.
Intuitivamente un’applicazione f : X → Y `e una “regola” che permette di assegnare ad ogni
elementoxdiX ununico elementodiY denotatoconf(x). Inquest’otticatalvoltautilizzeremo
anche la seguente notazione per definire una funzione:
f : X → Y
x (cid:55)→ f(x).
Tuttavia non bisogna dimenticare che anche il dominio X e il codominio Y fanno parte del
“pacchetto di dati” che bisogna specificare per definire una funzione. Per esempio, la funzione
f : N → N tale che f(x) = x2 e la funzione g : Z → N tale che g(x) = x2 sono due funzioni ben
distinte.
Esempio 1.16. Consideriamo gli insiemi X = {1,2,3} e Y = {a,b,c,d,e,f} e le relazioni
ϕ,ψ ⊆ X ×Y date da:
ϕ = {(1,a),(1,d),(2,e),(3,a)}, ψ = {(1,c),(2,c),(3,a)}.
9
La relazione ϕ non `e una funzione perch`e all’elemento 1 di X corrispondono due elementi di Y.
Invece la relazione ψ `e una funzione ψ : X → Y perch`e associa ad ogni elemento di X uno e un
solo elemento di Y.
Definizione 1.17. Sia f : X → Y un’applicazione, se A `e un sottoinsieme di X, si dice
immagine di A mediante f l’insieme f(A) = {f(x) | x ∈ A}. Se B ⊆ Y, l’insieme f−1(B) =
{x ∈ X | f(x) ∈ B} si dice controimmagine (o immagine inversa) di B, se B = {y} ⊆ Y `e
un singoletto, si scrive f−1(y) invece di f−1({y}).
Definizione 1.18. Sia f : X → Y una funzione. f si dice iniettiva se ∀x ,x ∈ X, f(x ) =
1 2 1
f(x ) implica che x = x . f si dice surgettiva (o suriettiva) se f(X) = Y. f si dice
2 1 2
bigettiva o una corrispondenza biunivoca o una bigezione se `e iniettiva e suriettiva.
Quindi f `e iniettiva se e solo se elementi distinti di X hanno immagini distinte, ovvero se e
soloselacontroimmaginediognielementodiY contienealpiu` unelementodiX.f `esurgettiva
se e solo se per ogni y ∈ Y esiste almeno un x ∈ X tale che f(x) = y, ovvero se e solo se la
controimmagine di ogni elemento di Y `e non vuota. Infine f `e bigettiva se e solo se ∀y ∈ Y
∃!x ∈ X tale che y = f(x).
Definizione 1.19. Sia f : X → Y una funzione, il grafico di f `e l’insieme
Γ := {(x,y) ∈ X ×Y : y = f(x)},
f
cio`e la definizione di f come relazione.
Alcuni esempi di funzioni importanti.
Definizione 1.20. Una funzione f : X → Y `e costante se f(X) `e un singoletto, cio`e f(X) =
{y } per un y ∈ Y fissato. La funzione identit`a su un insieme X `e la funzione id : X → X
0 0 X
tale che id (x) = x ∀x ∈ X. Data una funzione f : X → Y e un sottoinsieme A ⊆ X, la
X
restrizione di f ad A `e la funzione f| : A → Y tale che f| (x) = f(x) ∀x ∈ A. Dati due
A A
insiemi A ⊆ X, la funzione inclusione di A in X `e la funzione ι (x) = x ∀x ∈ A.
A
La funzione identit`a `e sempre una funzione bigettiva. Una funzione costante f : X → Y
non `e iniettiva se X ha almeno due elementi e non `e surgettiva se X ha almeno due elementi.
Data una funzione f : X → Y si pu`o sempre ottenere una funzione surgettiva, restringendo il
codominio all’immagine. Cio`e la funzione f : X → f(X) `e surgettiva.
Esempio 1.21. (i) La funzione f : N → N tale che f(x) = x2 `e iniettiva, ma non suriettiva.
(ii) La funzione g : Z → N tale che g(x) = x2 non `e iniettiva e non `e suriettiva.
(iii) La funzione h : {regioni d’Italia} → {citt`a d’Italia} che associa ad ogni regione il suo
capoluogo di regione `e iniettiva, ma non suriettiva.
(iv) La funzione ϕ : {parole della lingua italiana} → {A,B,...,Z} che associa ad ogni parola
la sua lettera iniziale `e suriettiva, ma non iniettiva.
Esempio 1.22. La funzione parte intera PI : R → R `e definita da
∀x ∈ R.∀n ∈ Z n ≤ x =⇒ n ≤ PI(x).
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