Table Of ContentFrank Ayres Jr.
Algebra
moderna
McGraw-Hill Libri Italia srl
Milano • New York • St. Lou1s • San Francis.::o · Oklahoma City • Auckland
Bogotà • Caracas • Hamburg • Usboa • London • Madrid • Montreal • New Oelhi
P:ris • San Juan • Sito Paulo • Singapore • Sydney • Tokyo • Toronto
Indice
V Prefazione
Caoitolo l - lnskmi
Eguaglianza; Sottoinsiemi di un insieme; Universi; Intersezione e unione; Diagrammi di Venn;
Operazioni insiemistiche; Prodotto cJrtcsimo; Applicazioni: Applicazioni iniettive: Biiezione su
un insieme; Problemi risolti
15 Capitolo 2 - R~lazioni ~ op~raLioni
Proprietà delle relaz.ioni binarie; Rdalioni di equivalenz.a: CIJs1i di equivalenza: Relnioni
d'ordine; Operazioni: Tipi di operazioni binarie: Operazioni ben dcfìnitc; Isomorfismi. Pem1u·
tazioni; Trasposizioni; Strutture algebriche; Problemi risolti
Titolo originale
Modem Algebra 30 Capitolo 3 - I numeri naturali
Copyright© 1965 McGraw-H1ll lnc. Gli assiomi di Peana; La somma in N: Il prodotto in N; L'induzione matematica; Relazioni
d'ordine; Multipli e potenze: Isomorfismo; Problemi risolti
Copyright i:> 1981 Gruppo Editoriale Fabbri-8omp1ani. Sorzogr>o, Etas spa
Copyr:ght © 1993 ETAS srl
38 Capitolo 4 - Gli interi
Copyright © i 994 McGraw-H1ll Libri Italia srl
piazza Emilia, 5 Introduzione; La relazione binaria -; Somma e prodotto in~; Gli interi positivi; Zero e gli
20129 M11ano interi negativi; Gli interi; Relazioni d'ordine; Sottrazione "- "; Valore assoluto lai; Somma e
prodotto in Z; Ulteriori proprietà degli interi; Multipli e potenze: Problemi risolti
Traduzione
Paolo Pagli
Grafica di copertina 49 Capitolo 5 - Proprietà degli interi
Achill1 & Piazza e Associati
Divisibilità; Numeri primi; Massimo comun divisore; Interi primi tra loro; Fattori primi;
Stampa
Congruenze; L'algebra delle classi di resti; Congruenze lineari; La notazione posizionale per gli
Tip.Le Co. . s. Sonico (PCI interi; Problemi risolti
60 Capitolo 6 - I numeri raziona]i
Somma e prodotto; Sottrazione e divisione; Una convenzione; Relazioni d'ordine; Riduzione ai
minimi tennini; Rappresentazione decimale: Problemi risolti
I diritti di riproduzione. di memonzzaz1one elettronica e d1 adattamento
totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le cop!~ fotostatiche) 65 Capitolo 7 - I numeri reali
sono riservati per tutti 1 paesi.
L'editore potrà concedere a pagamento l'autorizzazione a riprodurre
Introduzione; Sezioni di Dedekind; Saioni positive; Inversi moltiplicativi; Inversi additivi; Il
uLne ar ipcohrizeisotne ed in orinp rsoudpuezrioionree vaa unnn od eineo.mltroa tdee .la pll'rAessseonc1tea zv1oolruiem Itea.l iana prodotto in 'K.; Sottrazione e divisione; Relazioni d'ordine; Proprietà dei numeri reali: Som
per 1D ir11t1 di Riproduzione delle Opere a Stampa IAIDROSl. mario; Problemi risolti
via delle Erbe 2. 2012 i M lano. tel. 02/86463091. fax 02/89010853
Printed 1n ltaly 75 Capitolo 8 - I numeri complessi
1234567890TIPTIP907654
Pnma edizione luglio 1994
15.e.tJ 88 386 5020-9 Il sistema C dei numeri complessi, Somma e prodotto in C; Proprietà dei numeri ~omple!l'
Sottrazione e divisione in C: R:ipprcsentazionc trigonometrica; Radici; Radici primitive dell'un.·
tà; Problemi risolti
111 ..... J. r1 ·"'·
Prarr.c ;a 'Ori\.!t.J ~e <. u ~:Jpp1 Cru;:iy1 ... :..:11 ... 1. C.r. .. ?pl 1..11 >·J.>ltt•:.::1 m1 Omo? Jrd'.'ii1 1
Isomorfismo; LJtculi Sottogruppi normali, Gruppo quol1entc. Prodotto d1 S<Htogrupp1. Sene
238 Indice dei simboli
di compu>1z1one: Problemi nsolt1
239 indice analitico
I O I Capitolo I O - A ne lii
Propnct~ degli anelli. Sonoanelli, Tipi particolari di anelli. Carmeristica di un anello; Divisori
dello zero: Omomorfismo e isomorrismo; Ideali; lde~li pnncipali. Ideali pnm1 e ideali massi·
mah. Anello quol!ente; Anelli euclidei. Problemi risolti
I 14 Capitolo 11 Q.)1111111 Ji inkgrit:i. corpi. CJmpi
Domini d1 intcgritl. E!cmcnt1 invcrlibili. assu~IJ!i. div1sur>. Sottndomini, Dom11!1 d1 integrit:t
ordinJll. L'algoritmo della divisione: l'attunu:izwne uni~J: C<>rp1, Cm1pi. Prnblemi risolti
12.i ._àpirulo 12 - P0iin0mi
Introduzione; Forme; Polinomi rnonici; Divisione; A'.lelli di poìinnmi commutativi con unit~;
Sostituzione: Il dominio di integrità f' (x]: Polinomi pri1ni, li dominio Clx); Massimo comun
divisore; Propriet:t del dominio di polinomi ,"[x]: Problemi risolti
143 Capitolo 13 - Spazi \·,:ttoriali
lntrodulione: Spazi vettoriali; Sottospazi di uno spazio vettoriale: Dipendenza lineare: Basi di
uno spuio vettorial~: Propn~ti dei sottospl1 di uno spuio v~ttoriale; Spazi vettoriali su R:
Trasformazioni lineari; L'algrbra delle trasformazioni lincJri; Problemi risolti
164 Capitolo 14 - MJ tric i
Introduzione; Matrici quadrate: Algebra Ji matrici completa; Soluzioni di un sistema di
equazioni lineari; TrasformJzioni elementari su una matrice: Matrici tri3ngolari superiori, trian
golari inferiori e matrici diagon3li; Forma canonica: Trasformazioni elementari sulle colorine;
Matrici elementari: Jnv,•. · •''. rnatrid elementari: Matrice inversa di una matrice regolare;
Polinomio minimo di una matrice quadrata; Sistemi di equazioni lineari; Determinante di una
matrice quadrata; Proprict:t d~i determinanti: Calcolo dei determinanti; Problemi risolti
198 Capitolo 15 - Polinomi di matrici
Matrici aventi polinomi c0me elementi: Tra~formaziuni elementari; Forma normale di una
À·matricc; Polinomi a coefficienti matriciali: L'algoritmo della divisione: Autovalori e autovet·
tori di una matrice; Matrici simili: Matrici reali _simmetriche: ~atrici orto~onali; Coniche e
quadriche: Problemi risolti
:! 19 Capitolo 16 - Algebre lin~ari
Algebre lineari: lsomortìsmo: Prubkmi risolti
222 Capitolo i 7 Algebre ùi 8ook
Algebre di Duole: Fun1ioni buukane: F•)rme normali: Trasformazioni di funzioni booleane:
Prefazione
Questo volume sulle strutture algebriche è concepito per servire come testo ausiliario ai
manuali soliti, o come manuale esso stesso per un corso in algebra astratta a livello di primo
biem.io universitario. Come tale esso vuol fornire delle solide basi per studi successivi su varie
strutture, piuttosto che sviluppare in profondità una o due di esse.
Gli elementi fondamentali delle strutture algebriche - insiemi, relazioni, operazioni,
applicazioni - vengono tratt:l!i nei primi due capitoli. Lo schema qui riportato:
(i) presentazione semplice e concisa di ogni argomento,
(ii) ampia varietà di esempi familiari,
(iii) dimostrazioni di quasi tutti i teoremi incluse nei problemi risolti,
(iv) ulteriori esercizi, frutto di una scelta accurata, dati senza soluzione,
viene mantenuto per tutto il libro.
I vari sistemi di numeri dell'algebra ·elementare sono costruiti, uno alla volta, cominciando
dal cap. 3, in cui si presentano gli assiomi di Peano per i numeri naturali, e volta a volta se ne
mostrano le proprietà fondamentali. In questo modo non ~olo si pone il lettore di fronte a uno
sviluppo dettagliato e rigoroso dei vari sistemi, ma gli viene fornita una certa "manualità", ancora
più necessaria per la deduzione delle proprietà relative ai sistemi astratti che vengono dopo.
La prima struttura algebrica astratta, i gruppi, sono presentati nel cap. 9. Si studiano i
laterali relativi a un sottogruppo, i sottogruppi normali e i gruppi quozienti, e il capitolo termi
na con il teorema di Jordan-Holder per i gruppi finiti.
I capp. I O e 1 I trattano gli anelli, i domini di integrità e i campi. Nel cap. 12 si considerano
i polinomi a coefficienti in un anello o in un campo, e si sviluppa una parte della teoria elemen
tare delle equazioni. In tutti questi capitoli una particolare attenzione è rivolta agli anelli finiti.
Gli spazi vettoriali vengono introdotti nel cap. 13. L'algebra delle trasformazioni lineari di
uno spazio vettoriale in sé porta in modo naturale all'algebra delle matrici (cap. 14 ). Si appli
cano poi le matrici alla soluzione dei sistemi lineari, e si risolvono quindi in maniera più sempli
ce vari problemi connessi con gli spazi vettoriali. Nel cap. 15 sono considerati i polinomi di' ma
trici, come esempio di un anello di polinomi non commutativo. Gli autovalori e gli autovettori
delle matrici reali simmetriche vengono utilizzati per ridurre le equazioni delle coniche e qua
driche a forma normale. Le algebre lineari sono definite nel cap. 16, con qualche rapido esempio.
Nell'ultimo capitolo si introducono le algebre di Boole e si inizia lo studio della loro appli
cazione, di notevole importanza, a circuiti elettrici semplici.
L'autore è lieto di cogliere questa occasione per esprimere il suo ringraziamento al Perso
nale della Schaum Publishing Company, in particolare a Jeffrey Albert e Alan Hop..:nwal~er,
per la loro cosrante collaborazione
Frf/lrJ.. Ayr"1. jr.
CAPITOLO l
Insiemi
INSIEMI
Una qualunque collezione di oggetti come: (a) 1 punti di un segmento, (b) le curve passan
ti per un punto fissato nello spazio ordinario, (e) i numeri naturali minori di dicci, (d) i cinque
ragazzi Rossi e il loro cane, (e) ie pagine di questo libro, ... sarà chiamata un insieme o una
classe. I singoli punti, le curve, i numeri, i ragazzi e il cane, le pagine, ... saranno detti ele
menti dei relativi insiemi. Di solito useremo lettere maiuscole per indicare gli insiemi, e lettere
minuscole per gli elementi.
Sia A un insieme, e siJno p, q degli oggetti. s~ p è un .:kmento di A, indicheremo questo
scrivendo p E A, se p e q sono ambèdue elementi di A, scriveremo p, q E A invece di p E A e
q E A; se q non è un elemento di A scriveremo q !$A.
In quasi tutto il nostro studio sugli insiemi non avrà importanza la natura degli elementi;
tuttavia gli insiemi di numeri compariranno in modo naturale in molti esempi e in molti degli
esercizi. Per comodità li indicheremo con i simboli seguenti
N : insieme dei numeri naturali
Z : insieme dei numeri interi
Q : insieme dei numeri razionali
R : insieme dei numeri reali
Esempio I: (a) I E Ne 205 E N perché I e 205 sono numeri naturali;! , -5 ~N perché non sono
numeri namrali.
(b) li simbolo E indica l'appartenenza e può essere letto come "appartiene" o "è ele
mento di'', "è in", "sono in" a seconda del contesto. Così "sia r E Q" può leggersi
"sia rin Q" e "per ogni p, q E Z" come "per ogni p, q appartenenti a Z". Scriveremo
talvolta n ;é OE Z invece di n ;é O, n E Z; e anche p ;é O, q E Z invece di p, q E Z, con
p ;60.
Gli insiemi che prenderemo in considerazione saranno sempre univocamente definiii, cioè
sarà sempre possibile ~tabilire se un oggetto dato appartit:ne o non appartiene all'insieme in
questione. Gli insiemi del primo paragrafo erano definiti mediante un enunciato linguistico non
ambiguo. Talvolta un insieme verrà espresso in forma tabulare, esibendo i suoi elementi all'in
terno di una coppia di parentesi: ad esempio,
A {a}: l'insieme che consta del solo elemento a.
B {a, b}: l'insieme formato dai due elementi a e b.
C { 1, 2, 3, 4}: l'insieme dei numeri naturali minori di 5.
K (2, 4, 6, ...} : l'insieme di tutti i pari. .
L ( ... , -15, -1 O, -5, O, S, 1O , 15 . ...} : l'insieme degli interi multipli di 5.
Gli insiemi C, K. L possono essere definiti anche nel modo seguente:
e
(x: X E N, X< Sj
K = (x : x E N, x è pari}
L {x : x E Z, x è divisibile per 5}
In questa forma ogni insieme è formato da tutti gli oggetti x che soddisfano le condizioni che
seguono i due punti.
Si veda il problema I.
2 l'-'SIF\41 3
Esempio i: Conmlcnamo i t:quaz1one
EGUAGLIANZA
(x - l)(2x - 3)(3.r + ·l)(J'' - ~H"' ~ l) = O
Due insiemi A e B che hanno gli stessi elementi si dicono uguali. Scriveremo in, tal caso
*
A = B. Per indicare che A e B non sono uguali scriveremo A B. Essa ha come insieme delle soluzioni, cioè l'insieme i cui elementi sono le soluzioni del
l'equazione, l'insieme S = {-!, 3/2, -4/3, .,/2, - .,/2, i, -i}, supposto che l'universo
Esempio 2: (i) Siano A = {Maria, Elena Giovanni} e B = {Elena, Giovanni, Maria}. Allora A =B. sia l'insieme dei numeri complessi. Se invece si assume R come universo, l'insieme delle
Si noti che variare l'ordine in cui sono elencati gli elementi di un insieme è inessen soluzioni è A= {-1, 3/2, -4/3, .J2. - '12}. Qual è l'insieme delle soluzioni se l'uni
ziale. verso è Q? Z? N!
(ii) Sapiapnaor tAie n=e a{2 B, e3 ,v 4ic ì eev eBr s=a. S{i3 ,n 2o,t i3 c, h2e, 4l'i}n.s iAemlloe ran oAn =ca Bm bpioai crhipée otegnndi oe leumnoe not op idùi sAu oi Se d'altronde sono dati due insiemi A = {I, 2, 3} e B = {4 , 5, 6, 7} e nient'altro, si
(iii) Selieamnoe nAt i.= { 1, 2} e B = (I, 2, 3, 4}, allora A * B perché 3 appartiene a B e non p{uI,ò 2d, ir3e, p.o.c.o 7 d}e, ll{'uxn:i vXe rEso N U, dX,i; ;c; u1i 0e0s0si} s. oNn,o z s. o.tt.o.in Psiaermlain. dUo dpio ptrieùb ibnes ieesmsei reA, ,a Bd , ees,e m.p..io ,
tuttavia li supporremo sempre sottoinsiemi di un qualche universo U non necessariamente
appartiene ad A
definito in modo esplicito. Rrlativamente a tale universo. i complementari dei sottoinsiemi
SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME A, B, C, ... verranno indicati rispettivamente con A', B', C', ...
Si:i S un insieme. Ogni insieme A i cui elemenri sono elt:menti anche di S è detto contenu
w in S, e viene chiamaco un softoinsieme di S. INTERSEZIONE E UNIONE DI INSIEMI
Esempio3: GliinsiemiA= {2}, B= {l,2,3}eC= {4,5}sonosottoinsiemidiS= {J,2,3,4,5}. Siano A e B insiemi. L'insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono sia ad
L'insieme D = {I, 2, 3, 4, 5} = S è anch'esso un sottoinsieme di S. A che a B è detto intersezione di A e B. Sarà indicato con A n B (da leggersi come "l'inter
L'insieme E= {I, 2, 6} non è un sottoinsieme di S perché 6 E E e 6 ~ S. sezione di A e B" oppure '.~! intersezione B"). Quindi
*
Sia A un sottoinsieme di S. Se A S diremo che A è un sottoinsieme proprio di S e scrive A n B {:e: x E A ex E B}
remo A e S (da leggersi "A è un sottoinsieme proprio di S" o "A è contenuto propriamente in
L'insieme di tutti gli elementi che appartengono solo ad A, o solo a B oppure ad A e
S''). Più spesso, e in particolare quando non si esclude la possibilità A = S, scriveremo A ç_ S
B contemporaneamente, viene detto l'unione di A e B. Lo indicheremo con A u B (da leg
(da leggersi "A è un sottoinsieme di S'' o "A è contenuto in S"). Fra tutti i sottoinsiemi di un da
gersi come "l'unione di A e B" oppure "A unione B"). Quindi
to insieme S, solo S stesso è improprio cioè non è un sottoinsieme proprio di S.
Esempio 4: Relativamente agli insiemi dell'esempio 3 possiamo scrivere A ç S, B C S. C ç S, D ç; S, E e/. S. A U B = {x : x E A soltanto oppure x E B soltanto oppure x E A n B }
Gli enunciati precisi naturalmente sono: A e S, B e S, Ce S, D =S , E r/ S. Il più delle volte tuttavia scriveremo
E' opportuno fare particolarmente attenzione al fatto che E è una relazione tra un ele A U B = {x : x E A ~ x E B}
mento e un insieme, mentre e e ç sono relazioni tra insiemi. Cosi 2 ES e {2} C S sono
enunciati corretti, mentre 2 e Se {2) ES non lo sono. Le due cose sono equivalenti dal momento che ogni elemento di A n B appartiene ad A.
~- I =
Sia A un sottoinsieme proprio di S. S risulterà formato dagli elementi di A e da altri elemen Esempio 8: Siano A= {I, 2,3,4} eB {2, 3, 5, 8, IO}; allora A UB= {I, 2, 3,4, 5,8, IO} e
ti che non appartengono ad A Questi ultimi cioè {x: x ES, x ~A} costituiscono un altro sotto A nB= {2,3}.
insieme proprio di S, detto complementare di A in S. Si vedano anche i problemi 2-4.
Esempio 5: Sia S = {I, 2, 3, 4, 5} come nell'esempio 3. li complementare di A = {2} in S è F = {I, 3, Due insiemi A e B saranno detti disgiunti se non hanno elementi comuni, cioè se
4, 5}. Anche B ={I, 2, 3} e C= {4, 5} sono l'uno il complementare dell'altro inS. A n B = </). Nell'esempio 6 due insiemi qualsiasi scelti tra {a}, (b), {e} sono disgiunti; anche
In questa discussione sui sottoinsiemi complementari era implicito che i sottoinsiemi in gli insiemi {a, b} e {e}, {a, e} e {b}, {b, e} e {a} sono disgiunti.
questione fossero propri. Il motivo è semplicemente che, fino ad ora, abbiamo considerato gli
insiemi da un punto di vista intuitivo: cioè abbiamo assunto tacitamente che ogni insieme aves
DIAGRAMMI DI VENN
se almeno un elemento. Per eliminare questa restrizione (e anche per fornire un complemento
in S al sottoinsieme improprio S), introduciamo l'insieme vuoto o "nullo", (/),visto come insieme Il complementare, l'intersezione e l'unione di insiemi possono essere rappresentati per
privo di elementi. Facilmente si ricava: mezzo dei diagrammi di Yt:nn. Nei diagrammi che seguono, l'universo U è rappresentato dai
punti (non indicati) interni al rertangolo,e ciascun sottoinsiem.e non vuoto dai punti interni alle
(i) (/J è sottoinsieme di ogni insieme S. '!
* 7 curve chiuse (per evitare ambiguità converremo che i punti della frontiera di queste curve non
• ~ tr (ii) <!>è un sottoinsieme proprio di ogni insieme S <!>. / - rappresentino alcun punto di U). Nella fig. 1-1 (a) i sottoinsiemi A e B di U sono tali che A e B;
e Ese:npio 6: I sottoinsiemi di S ={a, b, e} sono'©, {a},{b}, {e}, {a, b}, {a, e}, {b, e}, e {a, b, e}. Le nella fig. 1-1 (b ), A* n B = (/); nella fig. 1-1 (e), A e B hanno almeno un elemento in comune, di
I coppie dei sottoinsiemi complementari sono: modo che A n B <!> .
lf'l-Z
{a, b, e} e 0 {a, b} e {e} u
() o u
{a, e} e {b} {b.c) e {a}
Se l'insieme ha 3 '.ementi il numero dci sottoinsiemi risulta pari, quindi, quello dei sotto·
iruiemi propri è dispari. E' vero questo se l'insieme ha 303 elementi? e se ne ha 303000?
UNIVERSI
*
Se U (/)è un insieme e si considerano i suoi sottoinsiemi, spesso si designerà U come (a) (b) (e)
univer$O. Fig.l·l
Supponiamo H;1 J1 mbreggiar<! la z, ·1:i 1ar~rn.i a l. ~1.:-:~tto quella mt.:rna .id A in tutti 1
d1agrlmm1 precedenti. In ciascun caso la pane ombreggiata rappresenterà ti complementare A' ~empio 10: D1mosrrare .:he (A - B) v (B A) - (A u 8) - (A ~ BJ.
di A in U La dimostrazione consiste nel provare che ogni elemento di (A - B) U (B - A) appame
L'unione A U Be l'intersezione A n B dei due insiemi A e B della fig. 1-1( e) sono rappre ne a (A u B)-(A n B) e, reciprocamente, che ogni elemento di (A UB) - (A n B) ap·
partiene a (A - B) U (B - A). Ogni passaggio deriva da una definizione già nota, e ne 1a·
sentati dalla zona ombreggiata ne!Je fig. l-2(a) e (b) rispettivamente. Ne!Ja fig. J-2(a) la zona sceremo la dimostrazione al lettore.
non ombreggiata rappresenta (A U B)', il complementare di A U B in U; nella fig. l-2(b) l'area
nriosnu lotmedb rcehgiagriaamtae rnatpep crehsee Ant aU ( BA =n BB )u'. AD aei Adi ang rBa m= mBi , nc oAsì. come dalle definizioni di U e n, Sedixi Xa ~xE EB {(;A As eu x -B BE) ) -BU (-(AB An aBlAl)o )er;a a xl loE rBnex Ex A~ A.B Ino apmpbuerdeuxe Ei cBas-iA x .ES Ae xUE BA e -xB ea lAl onr aBx. EQAui n·
Si vedano i problemi S-7. (A-R) L.. (8-A) ç (Au8} - (Ar 8)
Reciprocam~nte, sia x E (A u B) - (A n B); allora x E A U Be x E A n B. Ora nsulca.
x EA ex~ B, cioèx EA -B. oppure x EBex ~A. cioè x EB -A.
Quindi x E (A - B) U (B - A) e (A U B) - (A n B) C(A - 8) U (B - A).
Infine (A-B)u (B-A) r,: rA~B1 - rA~H) e
(A u B) - IA 'l ilJ ç; IA - 8) _ ( B - A J implicano (A - B) U (B - .4) =(A U B) - (A n B)
(<i) (b) Per futuri richiami, elenchiamo qui di seguito le proprietà più importanti che regolano le
operazioni fra insirmi. Gli insiemi A, B. C sono sottoinsiemi di un univerrn U.
Fir.1-2
OPERAZiONI INSIEMISTICHE
PROPRIETA' DELLE OPERAZIONI INSIEMISTICHE
Oltre alla complementazione, l'unione e l'intersezione, che chiameremo operazioni insie
mistiche, definiamo: (1.1) (A')' = A
La differenza A - B di due insiemi A e B, in quest'ordine, è l'insieme di tutti gli elementi (1.2) 0' = u (1.2') u· = ~l
di A che non appartengono a B, cioè (1.3) A - A = 0, A -~ = A, .4 -B = A n 8'
A - B = {x : x E A, x "F Bl (1.4) A uO = A c1.n AnU = A
Nella fig. 1-3,A - B è rappresentato dall'area ombreggiata, u (1.5) A u U = u (1.5') A·" 0 = p
e B-A da quella a tratteggio incrociato. Ne segue allora (1.6) A uA = A (1.6') ArA - A
A - B = A n B' = B' - A' (1.7) A UA' = u (1.7') A n A' = p
A - B = </) se e solo se A e: B ;.
Proprietà associativa
A - B = B - A se e solo se A = B e
A - B = -~ se e solo se A n B = </) -- A I; ~, ~ir.1-3 (1.8) (AuB) u = A u (BuC) (1.8') (A-n8) n C = A n (BnC)
Proprietà commutativa
Esempio 9: Dimostrare che : (a) A - B = A n B' = B' - A'; ( b) A - B = 0 se e solo se A ç; B: (1.9) A uB = BuA (1.9') A (' R = B n .4
(e) A - B =A se e solo se A n B = (/).
(a) A - B = {z: z E A, z i;;; B} = {z: z E A e z E B'} = A n B' Proprietà distributiva
{z: '.ti;;; A', o: E B'} = B' - A' (I.IO) A u (BnC) = (AU8) n (AUC) (1.10') .1 n (BUC) = (A nBJ u (AnC)
(b) Sia A - B = </). Allora, da (a), A n B' = </),cioè A e B' sono disgiunti. Ora Be B' sono
dRiescgiipurnotic.a em qeunitned, is,u epspseonndiaom Bo U AB 'e = BU. , riAsulllotara AA en BB.' = (i) e A - B = (i). (I.I I) (AUB)' = A' n /J' L!ggi di Dc Morga n ( 1.11 ·) (AnD)' = :t' u a·
(1.12) A - (BUC) = (A - B) n ( 4. - C) (1.12') A -(8...,C) = (A - 8) u (A - C)
(e) Sia A - B =A. Allora A n B' =A, cioè A e 8'. Quindi, per (b ),
A n (B')' =A n B = 0 Si vedano i problemi 8-16.
Reciprocamente, supponiamo A n B = </). Allora A - 8' = (i), A C B', A n B' = A
e A - B=A. PRODOTTO CARTESIANO
Siano A = {a, bì e B = {b, e, d}. L'insieme costituito dalle coppie ordinate distinte
Nei problemi 5-7, i diagrammi Venn sono serviti per illustrare un certo numero di proprie e= {(a, b), (a, e), (a, d). (b, b), (b, e), (b, d)}
tà delle operazioni tra insiemi. Reciprocamente, dalla lettura dei diagrammi possono ricavarsi
ulteriori proprietà. Ad esempio, la fig. 1-3 suggerisce in cui il primo elemento di ogni coppia appartiene ad A e il secondo appartiene a B, viene det:o
(A - B) U (B - A) = (A U B) - (A n B) prodollo cartesiano C = A X B (in questo ordine) dei due insiemi dati. Quindi, se A e B sono 111-
siemi arbitrari, definiamo
Deve essere chiaro, tuttavia, che mentre si può esemplificare un teorema, o una proprietà,
A X B = { (x, y ) : x E A , y E 0}
mediante un diagramma di Venn, questo non può essere usato per una dimostrazione.
,,
1:-.s1~"!1 l'SfE\.11 7
. . .
Esempio 11: Si considerino gli elementi di X= {l, 2, 3} Nell'applicazione a,A è il dominio e B è sia il codominio si<! l'inunagine. Nell'applica
come coordinate di punti sull'asse x (fig. o. o c2. ~ es.•> zione {3,B è ildominio,A il codominio e C= {a,b} C A è l'immagine.
l-4),orientato e con unità di misura, e gli • • • Se il numero di elementi in gioco è piccolo, si possono usare utilmente i diagranuni di
elementi di Y = {l, 2, 3, 4} come coordi· Cl,U <J.U U,SJ Venn. La fig. 1-5, che segue, rappresenta le applicazioni a e {3 dell'esempio.
nate di punti sull'asse y, ugualmente orien • • •
tato e dotato di unità di misura. Allora gli o .. 2> "· t> es. t>
elementi di X x Y sono le coordinate car • • •
tesiane dei 12 punti indicati. Analogamente, (l. t) (2, I) (3, 1)
se X = Y = N, l'insieme X x Y è costitui
to dalle coordinate di tutti i punti del pri
mo quadrante che hanno coordinate intere.
Fir.1-5
Un terzo modo di indicare un'applicazione viene discusso nell'esempio seguente:
APPLICAZIONI
Esempio 13: Consideriamo l'applicazione daN in sé, cioè da N a N,
Consideriamo l'insieme H = {h 1 , h 2, h 3, ... , h 8} costituito dalle case di un isolato
fissato di una certa strada e l'insieme C = {c1, c2, •.. , c39} formato dai bambini che abitano a: I -+ 3, 2 - 5, 3-+ 7, 4-+ 9, ...
nell'isolato. Ci interessa ora il modo naturale in cui si associa a ciascun fanciullo di C la
casa di H in cui abita. Supponiamo che il risultato sia che e 1 è associato a h2, c2 a h s, c3 o, in fo1ma più concisa, a:n-+211+1,nEN
a h2, c4 a h5, c5 a h8, .•• c39 a h3• Questo modo di associare, di far corrispondere, gli Denoteremo spesso un'applicazione di questo tipo ponendo
elementi di C a quelli di H, è detto un'applicazione da Ca H. L'elemento, uno solo, di H
associato a ogni elemento di e è detto l'immagine di quell'elemento (di C) nell'applicazione. a: la=3, 2a=5, 3a=7, 4a=9,
Si presentano ora due possibilità per l'applicazione in questione: (1) ogni elemento di o, più concisamente, a: na = 2n + l, n EN
H è un'immagine, cioè in ogni casa vive almeno un bambino; (2) almeno un elemento di H
non è un'immagine, cioè esiste almeno una casa priva di bambini. Nel caso (I) diremo la In questo caso N è il dominio (e anche il codominio~ma non l'immagine dell'applicazione.
corrispondenza un'applicazione suriettiva da Ca H. La parola "suriettiva" richiama l'atten L'immagine risulta il sottoinsieme proprio Mdi N dato da
zione sul fatto che ogni elemento di H è un'immagine nell'applicazione. Nel caso (2) diremo M = {x : x = 2n + 1, n E N}
che la corrispondenza è un'applicazione da Ca H, non suriettiva. Scrivendo "a è un'appli
cazione da A a B" non si esclude in effetti la possibilità che l'applicazione sia suriettiva. So oppure M = {x : x E N, x è dispari}
lo se è necessario distinguere i due casi scriveremo "a è un'applicazione suriettiva da A e B"
Le applicazioni da un insieme X a un insieme Y, particolarmente quando X e Y sono in
oppure "ix è un'applicazione da A a B, non suriettiva". siemi di numeri, sono meglio note al lettore con il nome di funzioni. Ad esempio, ponendo
Si può dare in molti modi la definizione di applicazione da un insieme a un altro. L'ap X= Ne Y = M nell'esempio 13 e scrivendo f invece di a, l'applicazione (funzione) può essere
plicazione precedente da C a H può definirsi elenc:-ndo le coppie ordinate espressa in notazione funzionale così
(i) y = f(x) = 2x + I
Si dice in tal caso che y è definito come funzione dix. E' oggi abituale distinguere tra "funzio
ne" e "funzione di". Così nell'esempio, dovremmo definire la funzione f come segue
f= {(x,y):y=2x+ l,xEX}
In questo modo è chiaro che a risulta semplicemente un sottoinsieme del prodotto cartesia
no di C e H, C X H. Definiamo quindi oppure f={(x,2x+l):xEX}
Un'applicazione da un insieme A a un insieme B è un sottoinsieme del prodotto carte cioè come il sottoinsieme in questione di X X Y, e considerare la (i) come la "legge" media~te
siano A X B tale che ogni elemento di A compare una e una sola volta come primo la quale questo sottoinsieme è determinato. Pe::r quasi tutto il libro use::remu il termin~ applica
componente degli elementi del sottoinsieme. zione piuttosto che quello di funzione e quindi impiegheremo limitatamente la notazione fun
Se a è un'applicazione da A a B, l'insieme A è detto dominio e l'insieme B codominio· di zionale.
a. Se l'applicazione è suriettiva B è detto anche l'immagine di a; altrimenti l'immagine di Sia a un'applicazione da A a Be fj un'applicazione da Ba C. L'effetto di ix è quello di
ix è il sottoinsieme proprio di B che è costituito dalle immagini di tutti gli elementi di A. far corrispondere ad a E A l'elemento aa E B e l'effetto di B è di far corrispondere ad aa E B
Un'applicazione da A a B possiamo indicarla anche collegando con il simbolo -+ gli l'elemento (aa)/3 E C. In conclusione il risultato ottenuto applicando prima a e poi 13 è un'ap
plicazione da A a C definita da
elemeEnsteim apsisoo 1c2ia: ti.S iano A= {a, b, e} e B = {l, 2}. Allora f(?';Y J· -_ 1P:r·J,""') cxl3: a(Q/J) = (aa)(J, a E A
a: a-+ 1, b-+ 2, e-+ 2 Chiameremo crf3 il prodotto (o la composizione) di a e 13 nell'ordine. Sfortunatamente non_e si
è un'applicazione suriettiva da A a B (ogni elemento di B è un'immagine), mentre ste una notazione uniforme e così talvolta al3 viene usato per indicare il risultato dell'applica
zione {3 seguita da a. Notiamo anche che si è Cl.sa to due volte in questo capitolo il termin~ _p~o
{3: 1 -+ a, 2 -+ b
dotto :on significati del tutto diversi dal familiare prodotto, ad esempio, di due inten. C10 e/.:
è un'applicazione da N"~ non suriettiva (non ogni elemento di A è un'immagine). inevitabile a meno che non si continuino a inventare nomi nuovi.
\3 .~ P." r
' .
(
.cnfi - \.( - l .; 31.r - l)
Esempio 14: Siano...!= {a,b,CJ, B= {d,ej, C= ff,g,h,1ì e
=
= 1r:entre (3.r)a 3r - l
a : aa = d, btl = e, co e
fJ : dfJ = f, •fJ = " si vede che: (i)
= = = = = =
allora a{J : a(a{J) (aa){J d{J f. b(a{J) e{J lt, c(cr/3) lt Tuttavia, (2i: - 5)8 = 2x - 6
= =
e .<a(to) (x.,- l)yS 2(,·-"-1)-6 "' 2.r-4
mentre .1·,, = (..: + l)y = 2.r - 3
1
;·(..-1)8 (2;· ·-3) - 1 = 2J' - 4
Quindi (ii) .r(1S) l'>y)5
Ora 1'1Y8 (J· ' l )S - X
Fig. 1-6 .rs,, (.r - l)n )"
APPLICAZIONI INIETTIVE
cioè, applicare a e poi [i (e analogamente ti e poi a) fa corrispondere 1 :i ciascun x E R se stesso.
Un'applicazione a ..... a' da un insieme A a un insieme B è detta un'applicazione iniettiva
fodic'.1iamo con 3,l'applicazione identica
da A a B se le immagini di elementi distinti di A sono elementi distinti di B; se, inoltre, ogni
elemento di B è un'immagine, l'applicazione è detta una biiezione tra A e B. In questo caso è
chiaro che l'applicazione a ..... a' induce un'applicazione a' ..... a da B ad A. Di solito le due ap Allora (iii) 118 = s,, = j
plicazioni vengono indicate congiuntamente con il simbolo a<+ a' e si dice talvolta che si ha
una corrispondenza biunivoca tra A e B. cioè [i annulla tutto ciò che fa a (e analogamente a annulla tutto ciò che fa o). Tenendo pr~
~ente (iii) si dice che [i è l'applicazione inversa di cresi scrive ti = or1 ; ci poi risulta l'inversa di
Esempio 15: (a) mL'eanptpil ibcaez eio, ndeis ati ndteil,l 'ceiis Aem hpainon 1o4 l an ostne sès au nim'apmpalgicinaez)io. ne iniettiva da A a 8 (gliele o e scriveremo a= 5-1•
Si veda il problema 18
(b) L'applicazione 13 dell'esempio 14 è un'applicazione iniettiva da Ba C, ma non è
una biiezione (g E C non è un'immagine). Nel problema 19 si dimostra il
(e) Se A = {a, b, e, d} e B = {p, q, r, s}, Teorema L Se o: è una biieì;·_.ne tra gli insiemi Se T, allora a ha un'unica inversa e viceversa.
(i) a1 : a. -t-+ p1 b +-+ q, e ++ 1", d +-+ a Nel problema 20 si dimostra il
e (ii) a2 : a ~ r, b +-+ p, e +-+ q, d +-+ s
Teorema Il. Se a è und biiezione tra gli insiemi Se Te (3 è una ~iiezior.e tra Te un insieme U,
sono esempi di biiez.ioni tra A e B. allora (a;IJr ' = 13-1 • o:-•.
Si dice che i due insiemi A e B hanno lo stesso numero di elementi se e solo se esiste una
biiezione tra A e B. Si dice che un insieme A han elementi se esiste una biiezione tra A e il sot
toinsieme di N, S = { 1, 2, 3, ... , n).In tal caso si dice che A è un insieme finito.
L'applicazione a: na = 2n, n E N
da N al sottoinsieme proprio di N, M = {x : x E N, x è pari}, è sia iniettiva che suriettiva. Ora
.V è un insieme infinito; si può definire in.fatti insieme infinito un insieme biiettivo a un suo sot·
toinsieme proprio.
Un insieme infinito è detto contabile o numerabile se esiste una biiezione tra l'insieme
stesso e l'insieme dei numeri naturali, N PROBLEMI RISOLTI
1. Porreinformatabulare:(a)A={a :aEN. 2<a <6). (b)B= {p: pEN, p<IO,
BIIEZIONI SU UN INSIEME p è dispari}, (e) e= {x : X E Z, 2x1 + X - 6 = O}.
Siano ": X ..... X+ 1, .B: X - 3x, y: X .... 2x - 5, a: X .... X - 1 (a) A è formato da tutti i numeri naturali (a E N) compresi tra 2 e 6: quindi A = {3, 4. 5}.
biiezioni su R, cioè da R a R. Avendosi, per ogni x E R, (b) B è formato da tutti i numeri naturali dispari minori di l O; quindi B = {i, 3, 5, 7, 9}.
(e) Gli elementi di Csono le radici intere di 2x2 + x - 6 = (2x - 3) (x + 2) = O; quindi C= {-2}.
li
I~òlL\11
., S1ano.rt={a,b,c.dr ll={a.c,g}. C'-(c,g,nz,np~ Trnv3rt:
A uB = (a,b,c,d,g,, A UC - \a,b,c d,g,m,n,p), B JC = (a,c,g,m,n,p);
A n B = {a,c). A nC ={e), BnC = {c,g); A n(BUC) = {a,c); xS iaE C.r. eS eA x~ E< 8A J Co)r. :r AEl lBor. :ua: lElo Ara o:rp Ep uAre u :rB E Bda -cuCi, :rd Ei m(,1o dco. B c)h eU xC E; Ase oXp Ep uCre a xl loEr aB ox pEp u(Are u B) U C.
(AnB)uC = (a,c;g,m,n,p), (A UB) nC = {c,g), (An8)U(AnC) = A n(B UC). Quindi A u (B u C) e (A u BJ u c.
Ora (AuB) J C ç; A u (8JC) e A u (BuC) C (AuB) u C implicano (AUB) u C =A U {BuCl
3. Si considerino i sottoinsiemi K = {2, 4, 6, 8}, L = {l, 2, 3, 4}, M = {3, 4, 5, 6, 8} di come richiesto. Quindi A u R u e è determinato.
U- {l,2,3, ... , 10}. (u)Pu~K',L',M'informatabulare. (b)Dimostrareche
(K U L)' = K' ri L'. 9. Dimostrare che: (A n 8) n C = A n (B n C).
=
(a) K' = {l, 3, 5, 7, 9, 10), U = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, M' {l, 2, 7, 9, 10}. Sia X E (A "8) ..., C. Allora r E A n 8 e X E c. così che X E A e .r E B e X E C. Poiché X E fJ e X E e
(b) K u L = {l, 2, 3, 4, 6, 8} e quindi (K U L)' = {5, 7, 9, LO}. Allora K' n L' = {5, 7, 9, 10} = allora -"E 8 n C: poichéx EA e :r E 8 n C, allora x E A r <8ri Cl. Quindi (A nBI ne ç A r (8~ Cl.
=(K UL)'. Si:i :rEAri(8'1C). AlloraxEA e :rEBnC, cosìchexEAexEBexEC. PoichéxEAe
4. (Pbe)r (g.4li nin sBie)m ni ede l= p roAb lne m(Ba 2n mCo).s trare che: (a) (A u B) U C = A u (8 U C). xçE {BA,a..,U 8or)a. , .e< EeA •r.<itB..., :8 p~o eic h=é A: rrE A(8' 1~ 8C> ceoxmEeC riaclhlioesrtao . QxuEinIdAi rAi8 .),' 1BC ...,. e Qèu dinedtei rm.4inna{toB. n CI <;:
(a) EEsssseennddoo AA u=B {a=, (ba, e,,b d,)c ,ed ,Bg u) Ce =C {=a{, ce,, gg,, mm,, 1n1., pp}}, , nrissutlùtat a.{( Au (J8B u) uCCl == {a[a. ,bb., cc. ,dd,. 1g,1 m,m, .nn, ,pp)) .= 10. Dimostrare che A r: (B u C) = (A n B) u (A n C).
(A u B) u C. Sia :reAn (B~C>. AlloraxEAe .r:E8ur; (xEBoppurexEC),dimodochexEAexEB
(b) Essendo A n B = {a,c), abbiamo (A n B) n C = {e}. (e) Essendo 8 ne = {c,u}. opoure x E A ex E C. Sex EA ex E B allora :r E A lì B e quindi x E (A n B) u (A n C); analogamente,
òsulta A n (B n G) = {e} = (A n B) n C. se~ EA ex E C,allora: x E A n C e quindi x E (A n 8) u (A nC). Quindi A n (BuC) e (AnB) u rAnC).
5. Nella fig. 1-l(c) siano. C =A n B, D =A n B', E= B n A' e F = (A U B)'. Sia x eEx (EA Bn rBoJs iu c h(Ae xn EC lA. e cxo sEì cBh eu xC :E aAn anlo gJ:Ja moepnpteu rsee xx EE AA lìn Cc, . alSloer a xx EE AA en xB E, Ca llooorsaì cxh Ee A
Verificare che: (a) (A u B)' = A' n B', (b) (A n B)' = A' u B'. x E A e o: E B u C. Quindi o: E A (\ (B u C) e (A n 8) u (A n C} C A lì (B u C). E in.fine
(a} A'n B' = (EuF)n(DuF) = F = (Au8)' A n (8 u C) = (A n B) u (A n C) con«~ richiesto.
(b) A'U B' = (EUF)u (DuF) = (EUF)uD = C' = (Alì8)'
11. Dimostrare che (A u B)' = A.' n 8'.
6. Utilizzando il diagramma di Venn della fig. 1-7 verificare che:
Sia x e (A u 8)'. Allora o: 6! A u B, di modo che x 6! A e x 6! B. AlloraxEA' e xEB', cioè
(a) E = (A n B) n C' (e) A u B n C r.on è univocamente determinato xE A'nB'; quindi (AUB)' C A'n B'.
(b) A u B u e = (A u B) u e = A u (B u C) (d) A' n C' = G u L S,,i ae .(r AE uA B' )n'; 8'ò.a cAulilo rAa'x nE B A' 'e e: x(AE uB B' o)'.o sì chQeu ion: dei A( A eu 8x ì'I l =8 . AA' nll oBra' oc: o6m! Ae rui c8hi,e sdtio .m odo che
=
(a) A n B D u E e C' = E u F u G u L; allora u
=
(A nB) ne· E 12. Dimostrare che (A n B) u C = (A u C) n (B u C).
(b) A u B u e = E u F u G u D u H u J u K. Ma Cu(AnB) = (CuA)n(Cu B) (per la ( 1.10) di pag. 5)
A u 8 = Eu F u GuDuHu J
e e= DuHuJuK Allora (A n8) u e (A u C) n (B u C) (per la (1.9) di pag. 5)
di modo che
(A u B) u C = E u F u G u D u H u J u K 13. Dimostrare che A - (B u C) = (A - B) n (A - C).
Fii:.1-7
= Au 8uC
Sia o:EA-(BuCJ. AlloraxEAe x6!EuC, cioèxEAma xll8 e xllC. AlloraxEA - .l:
Inoltre Bue = E uGJDUHuJuK e A= =E UFuDu H e X E A - e, quindi "E (A - B) n (A - C) e A - (B u C) ç (A - B) lì (A - C).
di modo che A u (B u C) = E u F u G u D u H u J u K A u B u C Sia xE(A-8)n(A-C). AllocaxEA-BexEA-C, cioèxEAma xe8 e x6!C. Quindi
(e) A u B n C può essere interpretata sia come (A u B) ri C che come A u (B n C). Ora e X E A ma :r= 6! 8 u e, così che X E A - (8 u C) e {A - B) n (A - C) e A - (B u C}. Così
(A UB) n C=D u HUJ, mentre A u (B n C) =A u (D UJ). =A UJ. Quindi, A uen non è A - (8 u C) (A - 8) n (A - C) come richieste.
determinato. •
(d) A'= G UJUK U L e C' =EU FU G UL; quindi A' n C' = G UL. 14. Dimostrare che (A u B) n B' = A se e solo se A n B = !Z).
7. Siano A e B sottoinsiemi di U. Verificare mediante i diagrammi di Venn che A n B' = A Utilizzando le (1.10') e (1.7'), di pag. 5 si trova
se e solo se AnB== (fJ. (A u B) lì B' = (A n B'=) u (8 n B') = A n 8'
Supponiamo A n 8 = 0 e consideriamo la fig. 1-l(b). Ora A e B': quindi A n 8' == .4. . D(ao)~ biSaumpop odinmiaomstor arAe qnu iBn d=i c h0e. AA nll o8ra' A Ae Bs' e ee s o.l-ot lsìe 8A' n= 8A .= O.
Supponiamo A n B .. 0 e consideòamo la fig. I ·!(e). Ora A <t 8'; quindi A r. 8' .,. A. (b) Supponiamo A n B' = A. Allora A e 8' e A n 8 = ~.
8. ADlilomrao sAt rna reB 'c h=e A (sAe eu s oBl)o use CA n= B A =u 0(.B u C). Quindi (A u B) ~ B' = A se (per (a}} e solo se (per (b)) A n 8 = 0.
Sia " E (A u 8) u c. Allora " E ~ ) B o X E C, di modo che :r E A o "E 8 o X E c. Se
QX uEin Adi, (Aal luo rBa ) Xu Ee Ae u A( 8u u (CB) ;u Cs)e. ' ' B o X E e, allora "E B u e e quindi "E A u (B u C).
