Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais

438 Pages·2011·1.19 MB·Portuguese

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS
EM ENGENHARIA

TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A
ENGENHARIA:
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações
Diferenciais,
por
Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
LUCAS MÁXIMOALVES

TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A
ENGENHARIA:
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações
Diferenciais,

CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
2
LUCAS MÁXIMOALVES

TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A
ENGENHARIA:
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações
Diferenciais,

Apostila organizada como resultado do estudo das aulas
para obtenção de créditos da Disciplina de TÓPICOS
EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A
ENGENHARIA do curso de Doutorado do Programa de
Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de
Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de
Engenharia Civil/Departamento de Matemática da
Universidade Federal do Paraná

Orientador: Prof. Dr. Maurício Gobbi

Orientador: Prof. Dr.

CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
3
Dedicatória

Dedico,

4
Agradecimentos

Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades
que a vida me trouxe. Quero também agradecer:
À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr.
....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com
que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC.

5
Epígrafe

“Não é possível provar uma verdade a partir
de uma mentira, mas é possível provar uma
mentira a partir de uma verdade” (citado por
Mauricio Gobbi em Março de 2007)

6
Sumário

Lista de Figuras........................................................................................................................16
Lista de Tabelas........................................................................................................................18
Lista de Siglas...........................................................................................................................19
Lista de Símbolos.....................................................................................................................20
Resumo ...................................................................................................................................21
Abstract ...................................................................................................................................22
Capítulo – I...............................................................................................................................23
INTRODUÇÃO.......................................................................................................................23
1. 1 – Apresentação do curso....................................................................................................23
1. 2 – Introdução a Álgebra e a Teoria de Grupos Algébricos.................................................24
Capítulo – II..............................................................................................................................26
SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES...................................................26
2. 1 – Introdução.......................................................................................................................26
2. 2 – Definição de um Sistema de Equações...........................................................................27
2. 3 – Exemplos e Aplicações...................................................................................................28
2. 4 – Exercícios e Problemas...................................................................................................29
Capítulo – III............................................................................................................................30
MATRIZES.............................................................................................................................30
3. 1 – Introdução.......................................................................................................................30
3. 2 – Definição de uma Matriz................................................................................................31
3.2.1 - Matriz Linha..................................................................................................................32
3.2.2 - Matriz Coluna................................................................................................................32
3.2.3 - Diagonal Principal.........................................................................................................33
3.2.4 - Diagonal Secundária.....................................................................................................33
3. 3 – Espaço Algébrico das Matrizes......................................................................................34
3.3.1– Igualdade de Matrizes....................................................................................................34
3. 4 – Operações Simétricas com Matrizes...............................................................................35
3. 5 – Propriedades das Operações Simétricas com Matrizes..................................................36
3. 6 – Definição de Operações Algébricas com Matrizes.........................................................37
3. 7 – Propriedades do Espaço de Matrizes..............................................................................38
3. 8 – Operações Singulares com Matrizes e Invariantes das Matrizes....................................40
3.8.1 - Definição.......................................................................................................................40
3.8.2 - Invariante 1 – Operação de Traço de uma Matriz.........................................................40
3.8.3 - Propriedades do Traço de uma Matriz..........................................................................40
3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma Matriz..................................................................41
3.8.5 - Propriedades dos Determinantes...................................................................................42
3.8.6 – Matriz Inversa...............................................................................................................43
3. 9 – Tipos de Matrizes...........................................................................................................45
3.9.1 – Matriz Simétrica...........................................................................................................45
3.9.2 – Matriz Anti-Simétrica...................................................................................................45
3.9.3 – Matriz Real...................................................................................................................45
3.9.4– Matriz Complexa...........................................................................................................45
3.9.5 – Matriz Imaginária Pura.................................................................................................46
3.9.6 – Matriz Hermitiana.........................................................................................................46
3.9.7 – Matriz Anti-Hermitiana................................................................................................46
7
3.9.8 – Matriz Normal..............................................................................................................46
3.9.9 – Matriz Ortogonal..........................................................................................................46
3.9.10 – Matriz Unitária...........................................................................................................46
3.9.11 – Matriz Identidade........................................................................................................47
3.9.12 – Matriz Diagonal..........................................................................................................47
3.9.13 – Matriz Adjunta............................................................................................................47
3.9.14 – Matriz Transposta.......................................................................................................47
3.9.15 – Matriz Elementar........................................................................................................47
3.9.16 – Matriz Complexo Conjugado.....................................................................................47
3.9.17 – Matriz Associada........................................................................................................48
3.9.18 – Matriz Idempotente.....................................................................................................48
3. 10 – Subdivisão das Matrizes em Bloco de Matrizes Menores............................................49
3. 11 – Álgebra dos Comutadores............................................................................................50
3. 12 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................52
3. 13 – Exercícios e Problemas.................................................................................................53
Capítulo – IV............................................................................................................................54
ESPAÇO VETORIAL LINEAR.............................................................................................54
4. 1 – Objetivos do Capítulo.....................................................................................................54
4. 2 – Introdução.......................................................................................................................54
4. 3 – Definição de Espaço Vetorial.........................................................................................56
I) Definição da Operação de Adição de Vetores......................................................................56
II) Definição da Operação Produto Escalar com Vetores.........................................................57
III) Definição da Operação Produto Interno de Vetores...........................................................57
IV) Definição da Operação Produto Externo de Vetores.........................................................58
V) Definição da Operação Produto Tensorial de Vetores........................................................59
4. 4 – Geradores e Sub-Espaço Vetorial...................................................................................60
4.4.1 – Geradores......................................................................................................................60
4. 5 – Dependência Linear........................................................................................................61
4.5.1 – Dependência e Indepedência Linear.............................................................................61
4.5.2 - Dimensão de um K-espaço vetorial..............................................................................62
4. 6 – Base de um K-espaço Vetorial.......................................................................................63
4.6.1 - Corolário – 1.................................................................................................................63
4.6.2 – Mudança de Base..........................................................................................................64
4.6.3 – Transformações de Coordenadas..................................................................................67
4. 7 – Espaço Euclidiano..........................................................................................................69
4.7.1 – Produto Escalar.............................................................................................................69
4.7.2 – Ortogonalidade.............................................................................................................69
Teorema 1.1.............................................................................................................................70
Prova ...................................................................................................................................70
Teorema 1.2.............................................................................................................................70
4.7.3 – Desigualdade de Cauchy-Schwartz..............................................................................71
4. 8 – Bases Recíprocas............................................................................................................72
4.8.1 – Observação importante.................................................................................................73
4. 9 – Bases Ortonormais..........................................................................................................75
4. 10 – ................................................................................................................................76
4. 11 – Processo de Diagonalização de Gram-Schmidt...........................................................77
4. 12 – Operadores Lineares....................................................................................................80
4.12.1 - Definição.....................................................................................................................80
8
4. 13 – Auto-Valores e Auto-Vetores.......................................................................................89
4. 14 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................96
4. 15 – Exercícios e Problemas.................................................................................................97
Capítulo – V.............................................................................................................................98
ESPAÇO TENSORIAL LINEAR...........................................................................................98
5. 1 –Introdução........................................................................................................................98
5. 2 – Definição de Tensores....................................................................................................99
5.2.1 - Formas Funcionais Lineares..........................................................................................99
5. 3 – Cálculo Tensorial de Funções ......................................................................................101
5. 4 – Aplicação a Redes-Neurais Matemáticas.....................................................................102
5. 5 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................103
5. 6 – Exercícios e Problemas.................................................................................................104
Capítulo – VI..........................................................................................................................105
ESPAÇO VETORIAL DE FUNÇÕES.................................................................................105
6. 1 –Introdução......................................................................................................................105
6. 2 – Definição de Espaço Vetorial de Funções ou Espaço Funcional Linear......................106
6.2.1 – Equivalência entre o Operador Matricial e o Operador Funcional no Espaço de
Funções ..............................................................................................................................108
6.2.2 – Notação de Dirac........................................................................................................109
6.2.3 – Propriedades do Espaço de Funções...........................................................................110
6. 3 –Transformações de Coordenadas...................................................................................111
6. 4 – Ortogonalidade e Espaço Dual de Funções..................................................................112
6. 5 – Operadores Lineares, Matrizes e Transformações Lineares.........................................113
6.5.1 – Operadores no Espaço de Funções.............................................................................113
6.5.2 – Operadores Lineares no Espaço de Funções..............................................................116
6.5.3 – Operadores, Auto-vetores e Auto-valores no Espaço de Funções .............................117
6.5.4 – Multiplicação de Operadores no Espaço de Funções.................................................117
6. 6 – Mudança de Base para funções....................................................................................121
6. 7 – Transformação de Funções...........................................................................................122
6. 8 – Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt..........................................................123
6. 9 – Auto-Funções e Auto-Valores......................................................................................124
6. 10 – Operadores Hermitianos e seus auto-valores.............................................................126
6.10.1 - Ortogonalidade das Auto-funções que pertencem a auto-valores diferentes............128
6. 11 – Espaço das Funções Quadráticas L2...........................................................................129
6. 12 – Serie de Funções Ortogonais......................................................................................130
6. 13 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................131
6. 14 – Exercícios e Problemas...............................................................................................132
Capítulo – VII.........................................................................................................................133
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS..133
7. 1 – Introdução.....................................................................................................................133
7. 2 – Funções Pares e Ímpares ..............................................................................................134
7.2.1 - Operações com funções pares e ímpares.....................................................................135
7.2.2 - Teorema.......................................................................................................................135
7.2.3 - Integral de funções pares e ímpares:...........................................................................136
7. 3 – Funções Periódicas.......................................................................................................137
7.3.1 – Teorema de Bloch.......................................................................................................137
7. 4 – Cálculo em RN..............................................................................................................138
7.4.1 - Conectividade..............................................................................................................138
7.4.2 - Pontos Limítrofes........................................................................................................138
9
7.4.3 - Derivadas Parciais.......................................................................................................138
7.4.4 - Exemplo......................................................................................................................139
7.4.5 – Série de Taylor no RN.................................................................................................139
7. 5 – Funções Implícitas........................................................................................................141
7.4.1 –Teorema da Função Implicita......................................................................................141
7.4.2 - Caso Multivariado.......................................................................................................143
Análogo para n dimensões......................................................................................................145
Ex. Sistema de Coordenadas Polares......................................................................................147
Solução ..............................................................................................................................147
7.4.3 – Teorema dos Extremos...............................................................................................150
7. 6 – Problemas de Máximo e Mínimo com Vínculo ...........................................................151
7.5.1 – Método de Lavenberg-Marquardt...............................................................................151
7.5.2 – Método dos Multiplicadores de Lagrange..................................................................152
7.5.3 – Exemplo......................................................................................................................154
7. 7 – Regra de Derivação de Leibnitz...................................................................................155
7.6.1 - Exemplos.....................................................................................................................158
7. 8 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................159
7. 9 – Exercícios e Problemas.................................................................................................160
Capítulo – VIII.......................................................................................................................161
CURVAS SUPERFÍCIES E VOLUMES .............................................................................161
8. 1 - Introdução .....................................................................................................................161
8. 2 –Diferenciação de funções escalares...............................................................................162
8. 3 – Diferenciação de vetores ou funções vetoriais............................................................163
8.3.1 - Cálculo do Comprimento de Arco..............................................................................164

8.3.2 - Cálculo da variação da Função R ao longo de um comprimento de arco.................165
8. 4 – Integral de linha de funções escalares e vetoriais.........................................................167
8.4.1 – Integral de linha de funções escalares........................................................................167
8.4.2 – Integral de linha de funções vetoriais.........................................................................168
8.4.3 - Cálculo do Comprimento de Arco..............................................................................171
8.4.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................172
8.4.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................173
8. 5 – Integral de superfície de funções escalares e vetoriais.................................................174
8.5.1 – Integral de superfícies de funções escalares...............................................................174
8.5.2 – Integral de superfície de funções vetoriais.................................................................175
8.5.3 - Cálculo do Comprimento de Arco..............................................................................178
8.5.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................179
8.5.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................180
8. 6 – Integral de volume de funções escalares e vetoriais.....................................................181
8.6.1 – Integral de volume de funções escalares....................................................................181
8.6.2 – Integral de volume de funções vetoriais.....................................................................182
8.6.3 - Cálculo do Comprimento de Arco..............................................................................185
8.6.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................186
8.6.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................187
8. 7 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................188
8. 8 – Exercícios e Problemas.................................................................................................189
Capítulo – IX..........................................................................................................................190
TEORIA DO CAMPO ESCALAR E VETORIAL E TENSORIAL DE FUNÇÕES...........190
9. 1 - Introdução .....................................................................................................................190
9. 2 - Gradiente de um Campo Escalar e Vetorial..................................................................191
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