Álgebra Linear e Multilinear Soluções

164 Pages·2017·0.616 MB·Portuguese

by  Roldão da Rocha

1 Cap´ıtulo 1
Ex.1: Vamos mostrar que as respectivas unidades de (K,+) e (K,∗) s˜ao u´nicas:
• Unidade de (K,+):
Sejam 0 e 0 unidades de (K,+). Ent˜ao:
1 2
Amboss˜aounidades
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
0 = 0 +0 = 0 → 0 = 0
1 1 2 2 1 2
• Unidade de (K,∗):
Sejam 1 e1 unidades de (K,∗). Ent˜ao:
1 2
Amboss˜aounidades
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
1 = 1 ∗1 = 1 → 1 = 1
1 1 2 2 1 2
Ex.2: Para a primeira pergunta: nos conjuntos num´ericos Q,R,C, o ponto crucial ´e
quanto a existˆencia do inverso multiplicativo
• K = Q. Se x = a, temos que o inverso ´e dado por x−1 = b
b a
• K = R. Dado x (cid:54)= 0 temos que o inverso ´e dado por x−1 = 1.
x
• K = C. Dado z = a+ib (cid:54)= (0,0), o inverso ´e dado por z−1 = a−ib
a2+b2
Em M(n,K), n ≥ 2 possui elementos n˜ao invert´ıveis. Por exemplo, para n = 2, basta
tomar uma matriz com determinante nulo:
(cid:18) (cid:19)
1 0
T =
0 0
Pois sabemos que na ´algebra M(n,K), a f´ormula do inverso multiplicativo depende do
inverso do determinante da matriz.
√ √
O conjunto R[ 2] = {a+b 2 | a,b ∈ R} n˜ao´e um corpo, pois por exemplo, se tomarmos
√ √ √
a = 2 e b = 1, temos o elemento w = 2+1. 2 que n˜ao ´e invert´ıvel. De fato, dado
√ √
ω ∈ R[ 2], temos que o inverso ´e dado por ω−1 = a−b 2, e no caso do elemento w, temos
a2−2b2
a2−2b2 = 0.
Os conjuntos num´ericos Z e Z n˜ao s˜ao corpos:
10
• Em Z, o elemento x = 2 n˜ao possui inverso multiplicativo
• Em Z , temos elementos que n˜ao possuem inverso multiplicativo. Por exemplo: 6
6
1
Ex.3: Temos duas estruturas a investigar: (Z ,+) e (Z ,∗)
10 10
• O grupo aditivo G = (Z ,+): aqui, todo elemento possui inverso, ent˜ao
10
grupodeunidades
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
U(G) = G
• O anel A = (Z ,∗). Aqui temos (ver [4], Proposic¸˜ao 19, p´agina 34):
10
U(A) = {n ∈ A | mdc(n,10) = 1} → U(A) = {1,3,7,9}
Ex.4: E´ necess´ario verificar os trˆes axiomas de uma rela¸c˜ao de equivalˆencia:
1) Reflexiva: xRx. De fato, pois:
x−x = 0 = 0k, k ∈ Z
2) Sim´etrica: xRy ⇒ yRx
xRy ⇒ x−y = nk, k ∈ Z → y−x = n(−k), k ∈ Z ⇒ yRx
3) Transitiva: se xRy e yRz ⇒ xRz
xRy → x−y = nk (I)
1
yRz → y−z = nk (II)
2
Fazendo (I) + (II), obtemos:
x−z = x−y+y−z = nk +nk = n(k +k ) → xRz
1 2 1 2
Ex.5: Dados (a,b),(c,d) ∈ Z×Z∗, definimos (a,b)R(c,d) ⇐⇒ ad = bc. Verifiquemos os
trˆes axiomas de uma rela¸c˜ao de equivalˆencia:
1) Reflexiva: (a,b)R(a,b). De fato, pois ab = ba
2) Sim´etrica: (a,b)R(c,d) → (c,d)R(a,b). De fato:
(a,b)R(c,d) → ad = bc → da = cb → (c,d)R(a,b)
3) Transitiva: (a,b)R(c,d) e (c,d)R(e,f) ⇒ (a,b)R(e,f). De fato:
2
(a,b)R(c,d) ⇒ ad = bc (I)
(c,d)R(e,f) ⇒ cf = de (II)
Agora basta uma pequena manipulac¸˜ao alg´ebrica
cf=de
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
ad = bc → adf = bcf = bde → afd = bed → af = be → (a,b)R(e,f)
Ex.6: As tabelas pedidas neste exerc´ıcio s˜ao dadas abaixo:
• A = Z
6
+ [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[1] [1] [2] [3] [4] [5] [0]
[2] [2] [3] [4] [5] [0] [1]
[3] [3] [4] [5] [0] [1] [2]
[4] [4] [5] [0] [1] [2] [3]
[5] [5] [0] [1] [2] [3] [4]
Observa¸c˜ao: No caso de (Z ,+), todos os elementos possuem inverso.
6
• [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[2] [0] [2] [4] [0] [2] [3]
[3] [0] [3] [0] [3] [0] [3]
[4] [0] [4] [2] [0] [4] [2]
[5] [0] [5] [4] [3] [2] [1]
Observa¸c˜ao: Nocasode(Z ,•),oselementosinvert´ıveisest˜aoindicadosemnegrito.
6
• A = Z
8
+ [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
[1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [0]
[2] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [0] [1]
[3] [3] [4] [5] [6] [7] [0] [1] [2]
[4] [4] [5] [6] [7] [0] [1] [2] [3]
[5] [5] [6] [7] [0] [1] [2] [3] [4]
[6] [6] [7] [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[7] [7] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]
Observa¸c˜ao: No caso de (Z ,+), todos os elementos possuem inverso.
8
3
• [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
[2] [0] [2] [4] [6] [0] [2] [4] [6]
[3] [0] [3] [6] [1] [4] [7] [2] [5]
[4] [0] [4] [0] [4] [0] [4] [0] [4]
[5] [0] [5] [2] [7] [4] [1] [2] [3]
[6] [0] [6] [4] [2] [0] [2] [4] [2]
[7] [0] [7] [6] [5] [4] [7] [2] [1]
Observa¸c˜ao: Nocasode(Z ,•),oselementosinvert´ıveisest˜aoindicadosemnegrito.
8
• A = Z
9
+ [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
[1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [0]
[2] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [0] [1]
[3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [0] [1] [2]
[4] [4] [5] [6] [7] [8] [0] [1] [2] [3]
[5] [5] [6] [7] [8] [0] [1] [2] [3] [4]
[6] [6] [7] [8] [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[7] [7] [8] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]
[8] [8] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
Observa¸c˜ao: No caso de (Z ,+), todos os elementos possuem inverso.
9
• [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
[2] [0] [2] [4] [6] [8] [1] [3] [5] [7]
[3] [0] [3] [6] [0] [3] [6] [0] [3] [6]
[4] [0] [4] [8] [3] [7] [2] [6] [1] [4]
[5] [0] [5] [1] [6] [2] [7] [3] [8] [4]
[6] [0] [6] [3] [0] [6] [3] [0] [6] [3]
[7] [0] [7] [5] [3] [1] [8] [7] [7] [2]
[8] [0] [8] [7] [3] [5] [4] [3] [2] [1]
Observa¸c˜ao: Nocasode(Z ,•),oselementosinvert´ıveisest˜aoindicadosemnegrito.
9
Ex.7: Consideremos o homomorfismo de corpos φ : K → K . Mostremos que essa
1 2
aplica¸c˜ao leva inverso em inverso.
Inverso da adi¸c˜ao
a+(−a) = 0 → φ(a+(−a)) = φ(0) → φ(a)+φ(−a) = 0, ∀a ∈ K
1
∴ φ(−a) = −φ(a)
Inverso da multiplica¸c˜ao
4
aa−1 = 1 → φ(aa−1) = φ(1) → φ(a)φ(a−1) = φ(1) = 1 ∀a ∈ K
1
∴ φ(a−1) = φ(a)−1
Ex.8: Amatrizemquest˜ao´eobtidadaR´algebraCviarepresenta¸c˜aoregular`aesquerda
(uma representac¸˜ao de ´algebras associativas):
L : C → End (R2)
R
z (cid:55)→ L : R2 → R2
z
L (w) := zw
z
Desta defini¸c˜ao, tomando z = (a,b) = a+ib, segue que:
L (1,0) = (a,b)(1,0) = (a,b)
z
L (0,1) = (a,b)(0,1) = (−b,a)
z
(cid:18) (cid:19)
a −b
∴ L =
z b a
Para mostrarmos que a aplica¸c˜ao L ´e um isomorfismo de ´algebras sobre a imagem, ´e
suficiente verificar que a mesma ´e injetora. De fato:
Seja z ∈ Ker(L), ent˜ao
L (w) = zw = 0, ∀w ∈ C
z
w(cid:54)=0
→ z = 0
Portanto, a representa¸c˜ao L ´e injetora, e se trata de um isomorfismo de ´algebras. Enfo-
cando como desejado (olhando C como corpo, C∗ como grupo, etc) temos outros isomor-
fismos.
Ex.9: Os corpos Q,R,C possuem caracter´ıstica zero, pois n˜ao existe um n (cid:54)= 0 que
satisfa¸ca a equa¸c˜ao abaixo:
n.1 = 0
Mas para o caso do corpo Z a caracter´ıstica ´e p por constru¸c˜ao do corpo. Observe:
p
[x] = {x+hp | h ∈ Z}
Ent˜ao, sequencialmente, temos:
5
[1] = {1+hp | h ∈ Z} (cid:54)= [0]
[2] = {2+hp | h ∈ Z} (cid:54)= [0]
..............................
[p−1] = {p−1+hp | h ∈ Z} (cid:54)= [0]
[p] = {p+hp | h ∈ Z} = {p(1+h) | h ∈ Z} = [0] ⇒ charZ = p
p
Ex.10: (Fonte: [4], Proposi¸c˜ao 2, p´agina 62)
Vamos supor que m = char(K) (cid:54)= 0 seja um nu´mero composto. Ent˜ao m = m .m , onde
1 2
os m s˜ao inteiros maiores do que 1 e menores do que m. Ficamos com:
i
0 = m1 = (m .m )1 = m (m 1) = (m 1)(m 1)
1 2 1 2 1 2
Dondetemosquem 1 = 0 ou m 1 = 0,oque´eumabsurdo,poiscontradizaminimalidade
1 2
de m.
Ex.11: Temos que char(K) = p (primo), ent˜ao usando a f´ormula do binˆomio de Newton,
temos:
p (cid:18) (cid:19)
(cid:88) p
(a+b)p = ap−kbk
k
k=0
Mas
(cid:18) (cid:19)
p p! p(p−1)!
= =
k k!(p−k)! k!(p−k)!
Comop´eprimoe(cid:0)p(cid:1)´eumnu´merointeiro,seguequenecessariamente(k!(p−k)!) | (p−1)!.
k
Ent˜ao, a menos nos casos em que k = 0 ou k = p temos:
(cid:18) (cid:19)
p
≡ 0 (modp)
k
Portanto, (a+b)p = ap+bp
Ex.12: Verifiquemos as afirma¸c˜oes
1. 0.a = 0. Verdadeira
0.a = (0+0).a = 0.a+0.a → 0.a = 0
6
2. (−1).a = −a. Verdadeira
Distributiva
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
(−1).a+a = (−1).a+1.a = (−1+1).a = 0.a = 0
3. (−a)(−b) = a.b. Verdadeira
Doitem(2)
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
(−a)(−b) = (−1).a(−b) = (−1).a(−1).b = (−1)2.ab = ab
4. 1+1 (cid:54)= 0. Falsa. Basta tomar o caso Z , no qual 1+1 = 0
2
5. Se a (cid:54)= 0 e b (cid:54)= 0 ent˜ao ab (cid:54)= 0. Verdadeira. Pois se trata de um corpo (n˜ao h´a
divisores de zero).
Ex.13: Segue a demonstrac¸˜ao de cada item pedido no problema:
1) φ(0K ) = 0K
1 2
φ(0K ) = φ(0K +0K ) = φ(0K )+φ(0K )
1 1 1 1 1
=0K2
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
φ(0K )+(−φ(0K )) = φ(0K )+φ(0K )+(−φ(0K ))
1 1 1 1 1
=0K2
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
0K = φ(0K )+(φ(0K )+(−φ(0K )))
2 1 1 1
0K = φ(0K )+0K = φ(0K )
2 1 2 1
∴ φ(0K ) = 0K
1 2
2) φ(1K ) = 1K
1 2
x = x1K1 = 1K1x ⇒ φ(x) = φ(x1K1) = φ(x)φ(1K1), ∀x ∈ (K1,+,∗)
3) φ(an) = (φ(a))n
A afirmac¸˜ao segue por induc¸˜ao finita. De fato: a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para n = 1.
Ent˜ao, existe k natural tal que φ(ak) = (φ(a))k. Mostremos agora que o resultado vale
para k+1:
HI
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
φ(ak+1) = φ(aka) = φ(ak)φ(a) = (φ(a))kφ(a) = (φ(a))k+1
4) φ−1 : K → K existe e tamb´em ´e um isomorfismo. Por se tratar de uma bije¸c˜ao,
2 1
existe φ−1, resta mostrar que se trata de um homomorfismo de corpos.
7
• φ−1 preserva o produto. De fato, dados x ,x ∈ K , ent˜ao existem y ,y ∈ K tal
1 2 2 1 2 1
que
φ(y ) = x
1 1
φ(y ) = x
2 2
Ficamos com:
φ−1(x1x2) = φ−1(φ(y1)φ(y2) = φ−1(φ(y1y2)) = φ−1◦φ(y1y2) = idK1(y1y2)
φ−1(x x ) = y y = φ−1(x )φ−1(x ) → φ−1(x x ) = φ−1(x )φ−1(x )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
• φ−1 preserva a soma. De fato:
φ−1(x +x ) = φ−1(φ(y )+φ(y )) = φ−1(φ(y +y )) = φ−1◦φ(y +y )
1 2 1 2 1 2 1 2
= idK1(y1+y2)
φ−1(x +x ) = y +y = φ−1(x )+φ−1(x )
1 2 1 2 1 2
∴ φ−1(x +x ) = φ−1(x )+φ−1(x )
1 2 1 2
5) A composic¸a˜o ´e uma bijec¸˜ao pois ´e a composi¸c˜ao de duas bije¸c˜oes. Resta mostrar que
se trata de um homomorfismo de corpos.
• ψ◦φ preserva o produto.
(ψ◦φ)(xy) = ψ(φ(xy)) = ψ(φ(x)φ(y)) = ψ(φ(x))ψ(φ(y)) = (ψ◦φ)(x)(ψ◦φ)(y)
∴ (ψ◦φ)(xy) = (ψ◦φ)(x)(ψ◦φ)(y)
• ψ◦φ preserva a soma.
(ψ◦φ)(x+y) = ψ(φ(x+y)) = ψ(φ(x)+φ(y)) = ψ(φ(x))+ψ(φ(y))
(ψ◦φ)(x+y) = (ψ◦φ)(x)+(ψ◦φ)(y)
∴ (ψ◦φ)(x+y) = (ψ◦φ)(x)+(ψ◦φ)(y)
Ex.14: Para mostrar que as propriedades M4 e Z n˜ao s˜ao satisfeitas para Z quando n
n
´e um inteiro composto, tomemos como exemplo o caso n = 4:
• Viola a propriedade Z:
22 = 2×2 = 4 = 0, mas 2 (cid:54)= 0
8
• Viola a propriedade M4: apenas o elemento 1 possui inverso
20 = 0
21 = 2
22 = 2×2 = 4 = 0
23 = 6 = 2
Passemos agora a demonstra¸c˜ao das outras propriedades:
A1) : a+b = b+a
a+b = a+b = b+a = b+a
A2) : (a+b)+c = a+(b+c)
(a+b)+c = a+b+c
a+b+c = a+b+c
A3) ∃z ∈ S tal que z+a = a+z = a
a+0 = a+0 = a
0+a = 0+a = a
A4) para cada a ∈ S, ∃a∗ ∈ S tal que a+a∗ = a∗+a = z
a+−a = a−a = z
−a+a = −a+a = z
M1) a.b = b.a
ab = ab = ba = ba
M2) (a.b).c = a.(b.c)
(ab)c = abc = abc
a(bc) = abc = abc
M3) ∃e ∈ S tal que e.a = a.e = a
a1 = a.1 = a
1a = 1.a = a
9
D) a.(b+c) = a.b+a.c e (a+b).c = a.c+b.c
a(b+c) = a(b+c) = ab+ac = ab+ac = ab+ac
(a+b)c = (a+b)c = ac+bc = ac+bc = ac+bc
Ex.15: Dado um espa¸co vetorial V sobre um corpo K, por defini¸c˜ao o par (V,+) ´e
um grupo abeliano (comutativo)
Ex.16: S˜ao duas afirmac¸˜oes a se demonstrar:
• 0.u = 0 ∀u ∈ V.
0.u+(−0.u)=0
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
0.u = (0+0).u = 0.u+0.u → 0.u+(−0.u) = 0.u+0.u+(−0.u)
∴ 0.u = 0
• (−a).u = −(a.u).
Peloitemanterior
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
(−a).u+a.u = (−a+a).u = 0.u = 0
Ex.17: Provemos item por item:
1. Pelos axiomas de corpo, temos que (K,+) ´e um grupo comutativo. Quanto `a
operac¸˜ao (V,∗) (multiplica¸c˜ao por escalar), se trata apenas de reinterpretar axiomas de
forma conveniente.
2. DadoKumcorpoeL ⊆ Kumsubcorpo. VamosmostrarqueK´eumLespa¸covetorial.
Axiomas da soma: n˜ao s˜ao afetados.
Axiomas de multiplica¸c˜ao por escalar
• Dado a ∈ L e x ∈ K, o produto ax est´a bem definido, pois L ⊆ K
• 1 ∈ L ⇒ 1x = x, ∀x ∈ K
• Os outros axiomas s˜ao imediatos (por restric¸˜ao dos elementos), por exemplo:
L⊆K
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
(a+b)x = ax+bx
10