Table Of ContentCapítulo 1
Sistemas de ecuaciones lineales
1.1. Introducción
Unproblemafundamentalqueapareceenmatemáticasyenotrasciencias
eselanálisisyresolucióndem ecuacionesalgebraicasconn incógnitas.Eles-
tudiodeunsistemadeecuacioneslinealessimultáneasestáíntimamenteliga-
doalestudiodeunamatrizrectangulardenúmerosdefinidaporloscoeficien-
tesdelasecuaciones.Estarelaciónparecequesehanotadodesdeelmomento
enqueaparecieronestosproblemas.
Elprimeranálisisregistradodeecuacionessimultáneasloencontramosen
el libro chino Jiu zhang Suan-shu ( Nueve Capítulos sobre las artes matemáti-
cas),(véaseMcTutoryCarlosMaza)escritoalrededordel200a.C.Alcomienzo
delcapítuloVIII,apareceunproblemadelasiguienteforma:
Tresgavillasdebuencereal,dosgavillasdecerealmediocreyunagavillade
cereal malo se venden por 39 dou. Dos gavillas de bueno, tres mediocres y una
malasevendenpor 34dou.Yunabuena,dos mediocresytresmalas sevenden
por26dou.¿Cuáleselpreciorecibidoporcadagavilladebuencereal,cadaga-
villadecerealmediocre,ycadagavilladecerealmalo?
Hoyendía,esteproblemaloformularíamoscomounsistemadetresecua-
cionescontresincógnitas:
3x + 2x + x = 39,
1 2 3
2x + 3x + x = 34,
1 2 3
x + 2x + 3x = 26,
1 2 3
dondex ,x yx representanelpreciodeunagavilladebuen,mediocreymal
1 2 3
cereal,respectivamente.Loschinosvieronelproblemaesencial.Colocaronlos
coeficientesdeestesistema,representadosporcañasdebambúdecolor,como
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Depto.deÁlgebra
uncuadradosobreuntablerodecontar(similaraunábaco),ymanipulabanlas
filasdel cuadradosegúnciertasreglasestablecidas.Sutablerodecontarysus
reglasencontraronsucaminohaciaJapónyfinalmenteaparecieronenEuropa,
con las cañas de color sustituidas por números y el tablero reemplazado por
tintaypapel.
Figura1.1:Numeraleschinosconcañasdebambú
En Europa, esta técnica llegó a ser conocida como eliminación gaussiana,
enhonordelmatemáticoalemánCarlF.Gauss.
Figura1.2:C.F.Gauss(1777-1855)
Comolatécnicadeeliminaciónesfundamental,empezamoselestudiode
nuestramateriaaprendiendocómoaplicarestemétodoparacalcularlassolu-
cionesdelossistemaslineales.Despuésdequelosaspectoscomputacionales
semanejenbien,profundizaremosencuestionesmásteóricas.
1.2. Equivalencia de sistemas
Nota 1.2.1. En lo que sigue consideraremos fijado un cuerpo K de coeficien-
tes. En el texto nos referiremos a los elementos del cuerpo como números o
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Depto.deÁlgebra
escalares.EllectorbienpuedepensarqueKeselcuerpoQdelosnúmerosra-
cionales, R de los reales o incluso C de los complejos. Aunque debe tener en
cuenta que todo lo dicho sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices es
ciertoengeneralparacualquiercuerpoK.
Ecuaciónlineal
Sean≥1unnúmeronatural.Unaecuaciónlinealesunaexpresiónde
laforma
a x +a x +···+a x =b,
1 1 2 2 n n
dondea , a ,..., a yb sonnúmerosconocidosyx x ,..., x sonin-
1 2 n 1 2 n
cógnitas. Los números a se denominan coeficientes de la ecuación,
i
mientrasqueb eseltérminoindependiente.
Unasolucióndelaecuaciónlinealanterioresunaseriedenúmerosα ,α ,...,α
1 2 n
quelasatisfacen,esdecir,queverifican
a α +a α +···+a α =b.
1 1 2 2 n n
Diremostambiénquelasoluciónseescribecomox =α ,x =α ,...,x =α .
1 1 2 2 n n
Elcarácterlinealseaplicaporquelasincógnitasaparecencongradoiguala1.
Ejemplo 1.2.1.-Laexpresión3x +2x =−1esunaecuaciónlinealyx =1,x =
1 2 1 2
−2esunasolución.Laexpresión0·x =2esunaecuaciónlineal,peronotiene
1
solución.
ÁlgebraLinealyGeometría 3
Depto.deÁlgebra
Sistemalinealdeecuaciones
Seanm≥1yn≥1númerosnaturales.Unsistemalinealdeecuaciones
esunconjuntodem ecuacioneslinealesyn incógnitasdelaforma
a x + a x + ... + a x = b ,
11 1 12 2 1n n 1
a x + a x + ... + a x = b
21 1 22 2 2n n 2
S ≡ ...
a x + a x + ... + a x = b ,
m1 1 m2 2 mn n m
donde las x son las incógnitas y los a ,b son números. Los núme-
i ij i
ros a se denominancoeficientesdel sistema,y el conjuntodelos b
ij i
términosindependientesdelsistema.
Unasolucióndelsistemalinealanterioresunaseriedenúmerosα ,α ,...,α
1 2 n
quesatisfacecadaecuacióndelsistema,esdecir,queverifica
a α +a α +···+a α =b , paracadai =1,...,n.
i1 1 i2 2 in n i
Paraabreviar,hablaremosconfrecuencia deunsistemadeecuaciones,elimi-
nandolapalabra“lineal”,puesseránelobjetodecálculohabitualenelcurso.
Elproblemaesdeterminarsiunsistemadeecuacionestienesoluciónonoy,si
es posible,calcularlastodas.Yacon unaecuación a x =b nos encontramos
1 1 1
condiferentesposibilidades.
Sia 6=0,entonceslaecuacióntieneunaúnicasoluciónx =b /a .
1 1 1 1
Sia =0,b 6=0,entoncesnohaysolución.
1 1
Sia =0=b ,entoncescualquiervalordex essolución.
1 1 1
Ensistemasconmásecuacionesencontramoselmismofenómeno.
Ejemplo 1.2.2.- Consideremos el sistema lineal planteado por el problema
chinodelasgavillasdecerealvistoenlapágina1:
3x +2x +x =39,
1 2 3
S ≡ 2x +3x +x =34, (1.2.1)
1 2 3
x +2x +3x =26.
1 2 3
4 ÁlgebraLinealyGeometría
Depto.deÁlgebra
Despejando en la tercera ecuación, x = 26−2x −3x , y sustituyendo en las
1 2 3
otrasecuacionestenemos
−4x −8x =−39,
2 3
(1.2.2)
½ −x −5x =−18.
2 3
Ahora,enlasegundaecuación,es x =5x −18.Sustituyendoenlaotraecua-
2 3
ción,seobtiene
12x =33.
3
Luegodebeserx =11/4.Delaecuaciónx =5x −18seobtienex =17/4.Por
3 2 3 2
último,dex =26−2x −3x obtenemosx =37/4.
1 2 3 1
Esdecir,elsistemalinealS tienecomoúnicasolución
37/4
17/4 .
11/4
Ejemplo 1.2.3.-Consideremosahoraelsistemalineal
x +2x −x =−3,
1 2 3
S ≡ x +x =1, (1.2.3)
1 2
2x +x +x =0.
1 2 3
Despejando en la segunda ecuación, x = 1−x , y sustituyendo en las otras
1 2
obtenemos
x −x =−4,
2 3
(1.2.4)
½ −x +x =−2.
2 3
Enlaprimeraecuacióndespejamosx =−4+x .Sustituyendoenlaotraecua-
2 3
ciónseobtiene
−(−4+x )+x =−2⇒4−x +x =−2dedonde4=−2.
3 3 3 3
Como46=−2,deducimosquenohaysolucionesparaelsistemalinealS .
ÁlgebraLinealyGeometría 5
Depto.deÁlgebra
Losanterioressonejemplosdesistemasdeecuacionesconsoluciónúnica
osinsolución.Elsiguientepasoesestudiarquéocurreconlossistemaslineales
quenoestánenningunodeloscasosanteriores,esdecir,aquellosquetienen
másdeunasolución.
Veamoselsiguienteejemplo.
Ejemplo 1.2.4.-Vamosacalcularsolucionesdelsistema
x +x +2x =3,
1 2 3
S ≡ 2x +2x +x =3, (1.2.5)
1 2 3
x +x −3x =−2.
1 2 3
Como en los casos anteriores, resolveremos el sistema por el método de sus-
titución. Despejamos entonces x en la última ecuación, x = −2−x +3x .
1 1 2 3
Sustituyendoenlasotrasecuacionessetiene
5x =5,
3
(1.2.6)
½ 7x =7.
3
Se trata de un sistema lineal con dos ecuaciones y una incógnita, cuya única
soluciónesx =1.Respectoax yx solamentepodemosdecirque
3 1 2
x =1−x .
1 2
Esdecir,queparacadavalordistintodex seobtieneunvalordistintodex .El
2 1
conjuntodelassolucionesdelsistemalinealS es
1−x
2
x dondex ∈K.
2 2
1
Enestecasoelsistemalinealtienetantassolucionescomoelementoshayenel
cuerpodeescalaresK.
Veremosqueenlossistemasdeecuacionesengeneralsepresentanlasmis-
masposibilidadesquehemosvistoenlosejemplosanteriores.
6 ÁlgebraLinealyGeometría
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Compatibilidaddesistemaslineales
DecimosqueunsistemalinealS es
compatibledeterminadositieneunaúnicasolución.
compatibleindeterminadositienemásdeunasolución.
incompatiblesinotienesoluciones.
Sistemadeecuacionesequivalentes
Dossistemaslinealesconn incógnitassedicenequivalentessitienen
losmismosconjuntosdesoluciones.
Ejemplo 1.2.5.-
1. Sistemasequivalentescondistintonúmerodeecuaciones.
2. Sistemasnoequivalentes.
1.3. Eliminación gaussiana
La eliminación gaussiana es una herramienta que nos permitirá resolver
el problema planteado. Es un algoritmo que sistemáticamentetransforma un
sistemaenotromássimple,peroequivalente.Laideaesllegaraunsistemalo
más sencillo posible, eliminando variables, y obtener al final un sistema que
seafácilmenteresoluble.
ÁlgebraLinealyGeometría 7
Depto.deÁlgebra
Ejemplo 1.3.1.-Elsistema
2x +5x =−1,
S ≡ 1 2
½ 2x =3,
2
sepuederesolverfácilmente.Laúltimaecuaciónnospermitedespejarx =3/2
2
ysustituirestevalorenlaprimeraecuaciónparaobtener
3 1 15 17
2x +5 =−1, dedondex = (−1− )=− .
1 1
2 2 2 4
Elprocesodeeliminacióndescansasobretresoperacionessimplesquetrans-
formanunsistemaenotroequivalente.Paradescribirestasoperaciones,seaE
k
lak-ésimaecuación
E :a x +a x +...+a x =b
k k1 1 k2 2 kn n k
yescribamoselsistemacomo
E
1
E
2
S ≡ ... .
E
m
DadounsistemadeecuacionesS,cadaunadelassiguientestransformacio-
neselementalesproduceunsistemaequivalenteS ′.
1. Intercambiodelasecuacionesi-ésimay j-ésima(1≤i ≤ j ≤m).Estoes,
si
E E
1 1
. .
. .
. .
Ei Ej
S ≡ ... , entoncesS′≡ ... .
E E
j i
.. ..
. .
Em Em
8 ÁlgebraLinealyGeometría
Depto.deÁlgebra
2. Reemplazodelai-ésima ecuaciónporunmúltiplononulodeella.Esto
es,
E
1
.
.
.
S ′≡ αE , dondeα6=0.
i
.
.
.
Em
3. Reemplazo de la j-ésima ecuación por la suma de ella misma con un
múltiplodelai-ésimaecuación.Estoes,
E
1
.
.
.
Ei
S ′≡ ... .
E +αE
j i
..
.
Em
Ejemplo 1.3.2.-Seaelsistema
2x − x − 2x + 3x − x = 1
1 2 3 4 5
S ≡ x1 + 2x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0 . (1.3.1)
3x + x + x + x + x = 0
1 2 3 4 5
−x + x − x + x − x = 2
1 2 3 4 5
Elintercambiodelasecuaciones(2)y(4)produceelsistema
2x − x − 2x + 3x − x = 1
1 2 3 4 5
S ′≡ −x1 + x2 − x3 + x4 − x5 = 2 . (1.3.2)
3x + x + x + x + x = 0
1 2 3 4 5
x + 2x − x + x + 2x = 0
1 2 3 4 5
ÁlgebraLinealyGeometría 9
Depto.deÁlgebra
Ejemplo 1.3.3.-Seaelsistema
2x − x − 2x + 3x − x = 1
1 2 3 4 5
S ≡ x1 + 2x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0 . (1.3.3)
3x + x + x + x + x = 0
1 2 3 4 5
−x + x − x + x − x = 2
1 2 3 4 5
Lasustitucióndelacuartaecuaciónporeldobledeellamismaproduceelsis-
tema
2x − x − 2x + 3x − x = 1
1 2 3 4 5
S′≡ x1 + 2x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0 . (1.3.4)
3x + x + x + x + x = 0
1 2 3 4 5
−2x + 2x − 2x + 2x − 2x = 4
1 2 3 4 5
Ejemplo 1.3.4.-Seaelsistema
2x − x − 2x + 3x − x = 1
1 2 3 4 5
S ≡ x1 + 2x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0 . (1.3.5)
3x + x + x + x + x = 0
1 2 3 4 5
−x + x − x + x − x = 2
1 2 3 4 5
Lasustitucióndelaterceraecuaciónporeltripledelacuartaproduceelsiste-
ma
2x − x − 2x + 3x − x = 1
1 2 3 4 5
S ′≡ x1 + 2x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0 . (1.3.6)
4x − 2x + 4x − 2x = 0
2 3 4 5
−x + x − x + x − x = 2
1 2 3 4 5
Sistemasequivalentesportransformacioneselementales
Si el sistema S′ se obtiene a partir del sistema S por una concate-
nación de transformaciones elementales, entonces S′ es un sistema
equivalenteaS.
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