Algebra lineal. Problemas

262 Pages·2007·0.91 MB·Spanish

Algebra Lineal
Luisa Aburto H. Daniel JimØnez B Roberto Johnson H.
2003
2
˝ndice general
1. Matrices 5
1.1. `lgebra de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Inversi(cid:243)n de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2. Espacios Vectoriales 61
2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.1. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2. Espacios Generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4.3. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5. Dimensi(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6. Suma Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6.1. Sumas de Espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.6.2. Suma Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.7. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.8. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.8.1. Espacio Cuociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.8.2. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3. Transformaciones lineales 105
3.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2.1. Kernel o Nœcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2.2. Imagen o Recorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2.3. Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.2.4. `lgebra de Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.2.5. Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2.6. Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3. Matriz asociada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.1. Matriz Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3
4 ˝NDICE GENERAL
3.4. Espacio Vectorial Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.4.1. Base Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.4.2. Transformaci(cid:243)n Dual o Traspuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.5. Diagonalizaci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.6. Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.6.1. Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.6.2. Bases Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4. Programaci(cid:243)n Lineal 167
4.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.2. Transformaci(cid:243)n a la Forma EstÆndar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2.1. Variable de Holgura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2.2. Variable excedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.2.3. Variables Libres (Primer mØtodo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.2.4. Variables Libres (Segundo mØtodo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.3. Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.4. MØtodo del Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5. Ejercicios 195
5.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.1.1. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.2. Espacios Vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.2.1. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.3. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.3.1. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Cap(cid:237)tulo 1
Matrices
1.1. `lgebra de Matrices
Informalmente, una matriz es un arreglo rectangular de nœmeros dispuestos horizon-
talmente en (cid:133)las y verticalmente en columnas.
Una matriz se dice racional, real o compleja segœn sea el conjunto en el que se encuentren
los nœmeros del arreglo o elementos de la matriz (coe(cid:133)cientes de la matriz).
MÆs precisamente una matriz de orden m n con coe(cid:133)cientes reales, es un arreglo rec-
(cid:2)
tangular de nœmeros reales, con m (cid:133)las y n columnas.
a a a
11 12 1n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
a a a
21 22 2n
2 . . (cid:1)(cid:1)(cid:1) 3
A = Am n = .. .. = [aij]m n
(cid:2) 6 7 (cid:2)
6 7
6 7
6 am1 am2 amn 7
6 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 7
4 5
Convencionalmenteusaremosletrasmayœsculasparadenotarmatricesindicandosuorden
o formato con sub(cid:237)ndices. Dado que el texto se trabaja principalmente con matrices reales,
no se indica el conjunto numØrico en el que se de(cid:133)ne la matriz, salvo los casos que requieran
para mayor claridad de un desarrollo.
El elemento situado en la (cid:133)la i y columna j de una matriz cualquiera, se describe como
a . As(cid:237) la (cid:133)la i de A es
ij
a a a
i1 i2 in
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
y la anotamos f (A): Del mismo m(cid:2)odo, la columna j de (cid:3)A estÆ dada por
i
a
1i
a
2i
2 3
.
.
.
6 7
6 7
6 7
6 ami 7
6 7
4 5
5
6 CAP˝TULO 1. MATRICES
y la anotamos c (A): Cuando sea necesario, usamos la notaci(cid:243)n c (A) para indicar el coe(cid:133)-
i ij
ciente ij de la matriz A o simplemente a :
ij
El conjunto de la matrices de orden m n con coe(cid:133)cientes en K lo anotamos Mm n(K):
(cid:2) (cid:2)
Si m = n entonces las matrices se dicen cuadradas de orden n y el conjunto de todas ellas
se denota por Mn(K); si los coe(cid:133)cientes son nœmeros reales entonces denotamos Mm n o
(cid:2)
simplemente M
n
De(cid:133)nici(cid:243)n 1 Dos matrices A y B se dice que son iguales si y s(cid:243)lo si m = p; n = q,
m n p q
(cid:2) (cid:2)
y a = b con i = 1;:::;m; j = 1;:::;n
ij ij
Ejemplo 1 Notemos en los ejemplos siguientes, las matrices dadas son distintas:
1 3
1 3
a) 2 1 = ; ya que la primera tiene orden 3 2 y la segunda 2 2. Ellas
2 (cid:0) 3 6 2 1 (cid:2) (cid:2)
0 0 (cid:20) (cid:0) (cid:21)
4 tienen d5iferentes ordenes.
1 1 0 0 1 0
b) (cid:0) = (cid:0) ; ellas son distintas pues a = 1 = 0 = b
2 3 4 6 2 3 4 11 6 11
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:0) (cid:21)
Ejemplo 2 En cada caso hallar a;b;c y d; constantes reales, tales que
a2 +2a 1 3 1
a) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) ; en M
b 2 1+a 2 2
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
c2 c+1 d 3 2c
b) (cid:0) = ; en M
c+2d 1 6 1 2
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
a2 +2a+b 1 a2 +1 2c
c) (cid:0) = ; en M
a+b+c 2 b d 2
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
Desarrollo.
a2 +2a 1 3 1
a) Si (cid:0) = (cid:0) (cid:0) entonces
b 2 1+a 2
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
a2 +2a = 3
(cid:0)
1 = 1
(cid:0) (cid:0)
2 = 2
b = 1+a
las igualdades a estudiar son
(1) a2 +2a = 3
(cid:0)
(2) b = 1+a
De (1), a2 + 2a + 3 = 0; luego a = 1 + ip2 con i2 = 1, o sea a y b en C pero
(cid:0) (cid:0)
la igualdad se estudia en los nœmeros reales, entonces la soluci(cid:243)n es vac(cid:237)a, pues no es
posible encontrar a y b en R que satisfagan las igualdades (1) y (2).
1.1. `LGEBRA DE MATRICES 7
c2 c+1 d 3 2c
b) Si (cid:0) = , entonces
c+2d 1 6 1
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
(1) c2 c+1 = 3
(cid:0)
(2) d = 2c
(3) c+2d = 6
(4) 1 = 1
Si d = 2c entonces reemplazando en (3) tenemos 5c = 6, luego c = 6 cuyo valor no
5
cumple la igualdad c2 c+1 = 3, pues 6 2 6 +1 = 31:
(cid:0) 5 (cid:0) 5 25
As(cid:237) no hay c y d que cumplan la igualdad matricial (b) pues el sistema formado por
(cid:0) (cid:1)
las ecuaciones (1),(2),(3) y (4) tiene soluci(cid:243)n vac(cid:237)a.
a2 +2a+b 1 a2 +1 2c
c) Si (cid:0) = : En este caso se tiene:
a+b+c 2 6 d
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
(1) a2 +2a+b = a2 +1
(2) a+b+c = 6
(3) 1 = 2c
(cid:0)
(4) 2 = d
De (4) d = 2, de (3) c = 1 reemplazando en (2) y simpli(cid:133)cando (1) obtenemos:
(cid:0)2
(5) a+b = 13
2
(1(cid:146)) 2a+b = 1
restando (1(cid:146)) la ecuaci(cid:243)n (5) nos queda a = 11: Reemplazando en (5) se tiene que
(cid:0) 2
b = 12: Por lo tanto a = 11; b = 12, c = 1; d = 2 son las constantes reales que
(cid:0) 2 (cid:0)2
satisfacen la igualdad matricial c).
De(cid:133)nici(cid:243)n 2 Sean A=[a ] y B = [b ] matrices de orden m n, entonces la suma de A y
ij ij
(cid:2)
B es la matriz de orden m n de(cid:133)nida por:
(cid:2)
A+B = [a +b ]
ij ij
2 3 4 3 3 4
Ejemplo 3 Si A = y B = (cid:0) (cid:0) entonces
1 7 1 1 0 7
(cid:20) (cid:0) (cid:21) (cid:20) (cid:0) (cid:0) (cid:21)
2+3 3+( 3) 4+( 4) 5 0 0
A+B = (cid:0) (cid:0) =
( 1)+( 1) 7+0 1+( 7) 2 7 6
(cid:20) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:21) (cid:20) (cid:0) (cid:0) (cid:21)
Nota. La matriz nula de orden m n, denotada por 0 es una matriz compuesta s(cid:243)lo de
m n
(cid:2) (cid:2)
ceros, o sea, 0 = [a ] con a = 0 para todo i,j. Toda vez que se indique la matriz nula
m n ij ij
(cid:2)
sin especi(cid:133)car su orden, debe entenderse de(cid:133)nido por el contexto.
De la de(cid:133)nici(cid:243)n se deduce que dos matrices pueden sumarse solamente si son de igual
orden.
8 CAP˝TULO 1. MATRICES
De(cid:133)nici(cid:243)n 3 Sean c en R y A en Mm n entonces
(cid:2)
c A = A c = [c a ]
ij
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
es llamado el producto por escalar:
En particular, si c = 1 y A = [a ] entonces ( 1) A = [ a ]; denotada por A:
ij ij
(cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:0)
Proposici(cid:243)n 4 Sean A;B;C cualesquiera en Mm n y c;d R entonces:
(cid:2) 2
1. (A+B)+C = A+(B +C):
2. A+B = B +A:
3. A+0 = A:
4. A+( A) = 0, matriz nula de orden m n.
(cid:0) (cid:2)
5. c(A+B) = cA+cB:
6. (c+d)A = cA+dA:
De(cid:133)nici(cid:243)n 5 Sean A = [a ] y B = [b ] de(cid:133)nimos el producto de A y B como la
m n ij n q ij
(cid:2) (cid:2)
matriz
n
A B = [c ] donde c = a b :
(cid:1) ij m q ij ik kj
(cid:2)
k=1
X
Ejemplo 4 Dadas las matrices
1 7 3 1 2 0 8 1
A = ; B = ; C = :
1 5 4 0 4 1 1 0
(cid:20) (cid:0) (cid:21) (cid:20) (cid:0) (cid:21) (cid:20) (cid:0) 2 (cid:21)
Determinar una matriz X en M tal que
2 3
(cid:2)
2A+X BC = 0 :
2 3
(cid:0) (cid:2)
Desarrollo. Calculemos primero
2A+X BC = 0 Sumando Inverso Aditivo
(cid:0)
2A+2A+X BC = 0 2A Cancelando
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
X BC = 2A Sumando Inverso Aditivo y Cancelando
(cid:0) (cid:0)
X = BC 2A
(cid:0)
Ahora tenemos que
1 7 3 2 14 6
2A = 2 =
1 5 4 2 10 8
(cid:20) (cid:0) (cid:21) (cid:20) (cid:0) (cid:21)
1 2 0 8 1 2 9 1
BC = = (cid:0)
0 4 1 1 0 4 2 0
(cid:20) (cid:0) (cid:21)(cid:20) (cid:0) 2 (cid:21) (cid:20) (cid:0) (cid:21)
As(cid:237), obtenemos
2 9 1 2 14 6 4 5 5
X = (cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0)
4 2 0 (cid:0) 2 10 8 6 12 8
(cid:20) (cid:0) (cid:21) (cid:20) (cid:0) (cid:21) (cid:20) (cid:0) (cid:0) (cid:21)
1.1. `LGEBRA DE MATRICES 9
Ejemplo 5 Sean A;B en M : Determinar el valor de verdad de la proposici(cid:243)n
2
0 0 0 0 0 0
AB = A = B =
0 0 ) 0 0 _ 0 0
(cid:20) (cid:21) (cid:18) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:19)
Desarrollo.
0 3 1 10
Basta tomar A = (cid:0) y B = : Ambas diferentes de la matriz nula y
0 1 0 0
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
A B = 0: Luego la proposici(cid:243)n es falsa en general.
(cid:1)
Observaci(cid:243)n. El producto de dos matrices A B s(cid:243)lo es posible cuando el nœmero de
(cid:1)
columnas de A es el mismo que el nœmero de (cid:133)las B:
No hay ley conmutativa para el producto matricial, en general AB = BA; puede ocurrir
6
que AB estÆ de(cid:133)nida pero no BA; o que estando ambas de(cid:133)nidas, Østas sean diferentes.
1 3 1 10 1
Ejemplo 6 Sean A = (cid:0) y B =
2 1 1 p2 (cid:25)
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
1 3 1 10 1 2 10 3p2 1 3(cid:25)
AB = (cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) y
2 1 1 p2 (cid:25) 3 20+p2 2+(cid:25)
(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
1 10 1 1 3
BA = (cid:0) no estÆ de(cid:133)nido. Luego no tiene sentido pregun-
1 p2 (cid:25) 2 1
(cid:20) (cid:21)2 3(cid:20) (cid:21)2 2
tarnos por la propiedad co(cid:2)nmutativa. (cid:2)
1 3 1 10
Ejemplo 7 Sean A = (cid:0) y B =
2 1 1 p2
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
1 3 1 10 2 10 3p2
AB = (cid:0) = (cid:0) (cid:0) y
2 1 1 p2 3 20+p2
(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
1 10 1 3 21 7
BA = (cid:0) = : En este caso, existen AB y BA;
1 p2 2 1 1+2p2 3+p2
(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:0) (cid:21)
pero son diferentes.
Observaci(cid:243)n. Para que dos matrices A y B sean sumables y multiplicables es necesario que
sean cuadradas y de igual orden.
Por otra parte para que estØn de(cid:133)nidos los productos AB y BA la condici(cid:243)n general es
que las matrices sean de orden m n y n m:
(cid:2) (cid:2)
De(cid:133)nici(cid:243)n 6 Decimos que las matrices A y B conmutan si y s(cid:243)lo si
AB = BA
De(cid:133)nici(cid:243)n 7 Llamamos matriz identidad o unitaria de orden n a la matriz cuadrada de
orden n de(cid:133)nida por
1 0 0
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
0 1 0 1 si i = j
I = In = [(cid:14)ij] = 2 ... ... (cid:1).(cid:1)..(cid:1) 3 donde (cid:14)ij = 0 si i = j
(cid:26) 6
6 7
6 0 0 1 7
6 7
4 5
El s(cid:237)mbolo (cid:14) es llamado (cid:147)Delta de Kronecker(cid:148).
ij
10 CAP˝TULO 1. MATRICES
Teorema 8 Si cada suma y producto indicado existe, se cumple:
1. A(BC) = (AB)C:
2. (A+B)C = AC +BC:
3. D(E +F) = DE +DF:
4. AI = A; I A = A; donde A es de orden m n:
n m
(cid:2)
Ejemplo 8 Dadas A; B; C y D matrices cuadradas del mismo orden n tales que AB = I y
CD = B: Resuelva la ecuaci(cid:243)n matricial
(B +C)D BX = C +B
(cid:0)
Desarrollo.
(B +C)D BX = C +B Por distribuci(cid:243)n,
(cid:0)
BD+CD BX = C +B Reemplazando,
(cid:0)
BD+B BX = C +B Sumando inverso aditivo,
(cid:0)
BX = C +B BD B cancelando,
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
BX = C BD multiplicando por -1,
(cid:0) (cid:0)
BX = C +BD multiplicando por izquierda por A;
(cid:0)
A(BX) = A(BD C) Distributividad y Asociatividad,
(cid:0)
(AB)X = (AB)D AC Reemplazando,
(cid:0)
IX = ID AC Identidad.
(cid:0)
As(cid:237), obtenemos
X = D AC
(cid:0)
Corolario 9 Sean A y B matrices tales que AB existe entonces:
1. El coe(cid:133)ciente c (AB) de AB es el producto matricial de la (cid:133)la i de A y la columna j
ij
de B; es decir,
c (AB) = f (A) c (B):
ij i j
(cid:1)
2. La columna j de AB es el producto matricial de A y la columna j de B; es decir,
c (AB) = A c (B):
j j
(cid:1)
3. La (cid:133)la i de AB es el producto matricial de la (cid:133)la i de A y B; es decir,
f (AB) = f (A) B:
i i
(cid:1)
De(cid:133)nici(cid:243)n 10 Si A es una matriz cuadrada de orden n: Se de(cid:133)ne, por recurrencia, la
potencia de una matriz
A0 = I
n
Ak+1 = Ak A con k N0
(cid:1) 2