Algebra lineal con aplicaciones

558 Pages·2011·22.9 MB·Spanish

Algebra Lineal
con aplicaciones
Traducción:
Carlos Manuel Sánchez Trujillo
Licenciado en Física
Revisión Técnica:
Abel Clemente Reyes
Ingeniero Mecánico Electricista, UNAM
Coordinador de Algebra Lineal, UNAM
WILLIAM L. PERRY

Texas A & M University
McGRAW-HILL

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Algebra Lineal
con aplicaciones
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DERECHOS RESERVADOS © 1990, respecto a la primera edición en español por
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53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1890
ISBN 968-422-576-8
Traducido de la primera edición en inglés de
Elementary Linear Algebra
Copyright © MCLXXXVIII, by McGraw-Hill, Inc., U.S.A.
ISBN 0-07-049431-2
1234567890 I.R. —90 9123456780
Impreso en México Printed in México
Esta obra se terminó de
imprimir en Febrero de 1990
en Impresora Roma, S.A.
Tomás Vázquez No. 152
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SEMBLANZA DEL AUTOR

Nacido y educado en Missouri, Bill Perry recibió su doctorado de matemáticas
en la University of Illinois, Urbana-Champaign, en 1972. Desde entonces tra-
baja en la Texas A&M University, donde es actualmente profesor de matemá-
ticas. Su investigación se centra en las ecuaciones diferenciales, especialmente
las que tienen aplicaciones en la física y en la ingeniería. Ha recibido los pre-
mios University y College of Science por su labor docente.
Fuera de las horas de trabajo, Perry disfruta su tiempo en actividades con
su familia, sobre todo el alpinismo en el Parque Nacional de las Montañas Ro-
callosas.
A LINDA
Prólogo ix
Al estudiante xiii
1 SISTEMAS DE ECUACIONES Y ÁLGEBRA MATRICIAL 1
1.1 Fuentes de las ecuaciones lineales, 1
1.2 Método de eliminación, 11
1.3 Computadoras, errores relacionados con ellas y estrategia en la eliminación
gaussiana, 36
1.4 Matrices, 45
1.5 Álgebra matricial, 59
1.6 Determinantes y regla de Cramer para ecuaciones lineales, 80
1.7 Método de la inversa matricial, 96
1.8 Otros dos métodos de cálculo: descomposición LU e iteración de
Gauss-Seidel, 112
2 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 131
2.1 Vectores, 131
2.2 Ángulo entre vectores; proyecciones, 141
2.3 Matrices como transformadores del espacio, 149
2.4 Aplicaciones a la geometría analítica, 167
3 ESPACIOS VECTORIALES 179
3.1 Espacio euclidiano En, 179
3.2 Espacios vectoriales, 184
3.3 El problema del subespacio, 195
3.4 Conjuntos de vectores linealmente independientes, 202
3.5 Bases de espacios vectoriales; el problema de la base, 216
3.6 Perpendicularidad en espacios vectoriales, 234
3.7 Reconsideración del problema de la base, 242
3.8 Cambios de base en espacios vectoriales, 253
3.9 Parangón con el cálculo, 266
VIII CONTENIDO
4 TRANSFORMACIONES LINEALES Y SUS MATRICES 277
4.1 Transformaciones lineales, 277
4.2 El problema de la representación matricial de las transformaciones
lineales, 295
4.3 Matrices similares y cambio de base, 307
4.4 Transformaciones invertibles y clasificación de las transformaciones, 314
4.5 Parangón con el cálculo, 327
5 VALORES CARACTERÍSTICOS, VECTORES CARACTERÍSTICOS
Y DIAGONALIZACIÓN 337
5.1 Importancia de la similaridad diagonal; aplicación a cadenas de
Markov, 337
5.2 El problema de los valores característicos, 344
5.3 Diagonalización de matrices, 362
5.4 Diagonalización: matrices simétricas y hermitianas, 377
5.5 Postcálculo: sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer
orden, frecuencias fundamentales y estabilidad, 393
6 CÁLCULO NUMÉRICO DE LOS VALORES CARACTERÍSTICOS, 411
6.1 Estabilidad del problema numérico de valores característicos, 411
6.2 Método de las potencias, 416
6.3 Método QR, 432
7 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL 447
7.1 Ejemplos simples, 447
7.2 Reformulación del problema de PL, 454
7.3 Independencia lineal, soluciones accesibles de PL y el algoritmo simplex, 457
APÉNDICES 467
I. Números complejos, 467
II. Principio de la inducción matemática, 471
III. Ajuste de curvas, 473
Respuestas a los problemas de número impar 477
Índice 539
El álgebra lineal, nombre con que se conoce actualmente esta disciplina, cons-
tituye una bella estructura matemática; sus partes integrantes son herramientas
poderosas para ingenieros, científicos y matemáticos. Los que estudian estas
disciplinas llegan al álgebra lineal con una formación común; han aprendido
matemáticas resolviendo problemas y estudiando ejemplos. Teniendo presente
esta idea, en el libro he tratado de dirigir la atención del lector hacia lo que
considero que son los cinco problemas básicos del álgebra lineal:
1. El problema de la solución de las ecuaciones lineales
2. El problema de la construcción de una base para un espacio vectorial
3. El problema de la construcción de una matriz que represente una transfor-
mación lineal
4. El problema de los valores y los vectores propios
5. El problema de la diagonalización.
Estos problemas le indican al estudiante el camino a seguir y las habilida-
des y conocimientos que debe desarrollar en el curso.
Como es de esperarse, las soluciones a los cinco problemas básicos dan por
resultado los importantes teoremas del álgebra lineal. Éstos se enuncian con
precisión y luego se demuestran, excepto cuando rebasan el ámbito del álgebra
lineal elemental. Espero que el lector llegue a visualizar la estructura del álge-
bra lineal sostenida por esas cinco vigas maestras que son los cinco problemas
básicos, cuyos detalles se exponen en los ejemplos, las aplicaciones y los teoremas.
He incluido una gran variedad de aplicaciones del álgebra lineal. Sin em-
bargo, la mayor parte de ellas se centran en las ciencias y la ingeniería. Presentar
aplicaciones puede parecer un poco difícil ya que debe darse una idea exacta