Table Of ContentContenido iii
Á
LGEBRA
LINEAL
Séptima edición
Stanley I. Grossman S. José Job Flores Godoy
University of Montana Universidad Iberoamericana
University College London Ciudad de México
Revisión técnica:
Elsa Fabiola Vázquez Eleazar Luna Barraza María del Pilar
Valencia Universidad Autónoma Goñi Vélez
de Sinaloa, México
Universidad Iberoamericana Universidad Autónoma
Ciudad de México de Nuevo León, México
Carmen Judith Vanegas M. Rosalba Espinoza Adrián Infante
Universidad Simón Bolívar Sánchez Universidad Simón Bolívar
Caracas, Venezuela Caracas, Venezuela
Universidad de Guadalajara
México
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK
SAN JUAN • SANTIAGO • SÂO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL
NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO
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LGEBRA LINEAL
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Contenido
Prefacio ................................................................................................... XI
Agradecimientos ........................................................................................ XVIII
Examen diagnóstico ................................................................................. XXI
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales ..................... 1
1.1 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas .............................................. 2
1.2 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan
y gaussiana .............................................................................................. 8
1.3 Introducción a MATLAB ........................................................................ 30
1.4 Sistemas homogéneos de ecuaciones ........................................................ 38
Capítulo 2 Vectores y matrices .......................................... 45
2.1 Definiciones generales .............................................................................. 46
2.2 Productos vectorial y matricial ................................................................ 62
2.3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ............................................... 94
2.4 Inversa de una matriz cuadrada ............................................................... 102
2.5 Transpuesta de una matriz ....................................................................... 127
2.6 Matrices elementales y matrices inversas .................................................. 134
2.7 Factorizaciones LU de una matriz ........................................................... 146
2.8 Teoría de gráficas: una aplicación de matrices ......................................... 164
Capítulo 3 Determinantes ................................................. 175
3.1 Definiciones ............................................................................................. 176
3.2 Propiedades de los determinantes ............................................................ 192
3.3 Determinantes e inversas ......................................................................... 209
3.4 Regla de Cramer ...................................................................................... 219
3.5 Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia ................ 224
Capítulo 4 Vectores en R2 y R3 .......................................... 231
4.1 Vectores en el plano ................................................................................. 232
4.2 El producto escalar y las proyecciones en R2 ............................................ 247
4.3 Vectores en el espacio............................................................................... 258
4.4 El producto cruz de dos vectores ............................................................. 269
4.5 Rectas y planos en el espacio ................................................................... 279
VIII Contenido
Capítulo 5 Espacios vectoriales ......................................... 295
5.1 Definición y propiedades básicas ............................................................. 296
5.2 Subespacios vectoriales ............................................................................ 308
5.3 Combinación lineal y espacio generado ................................................... 315
5.4 Independencia lineal ................................................................................ 331
5.5 Bases y dimensión .................................................................................... 349
5.6 Cambio de bases ...................................................................................... 362
5.7 Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna ................................ 384
5.8 Fundamentos de la teoría de espacios vectoriales:
existencia de una base (opcional) ............................................................. 409
Capítulo 6 Espacios vectoriales con producto interno .... 417
6.1 Bases ortonormales y proyecciones en Rn ................................................ 418
6.2 Aproximaciones por mínimos cuadrados ................................................. 443
6.3 Espacios con producto interno y proyecciones ......................................... 464
Capítulo 7 Transformaciones lineales ............................... 479
7.1 Definición y ejemplos............................................................................... 480
7.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo ................ 493
7.3 Representación matricial de una transformación lineal ............................ 501
7.4 Isomorfismos ........................................................................................... 526
7.5 Isometrías ................................................................................................ 534
Capítulo 8 Valores característicos, vectores
característicos y formas canónicas ................ 545
8.1 Valores característicos y vectores característicos ...................................... 546
8.2 Un modelo de crecimiento de población (opcional) ................................. 569
8.3 Matrices semejantes y diagonalización..................................................... 578
8.4 Matrices simétricas y diagonalización ortogonal ..................................... 591
8.5 Formas cuadráticas y secciones cónicas ................................................... 600
8.6 Forma canónica de Jordan ....................................................................... 612
8.7 Una aplicación importante: forma matricial
de ecuaciones diferenciales ....................................................................... 622
8.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton
y Gershgorin ............................................................................................ 635
Apéndice A Inducción matemática ................................................................. 647
Apéndice B Números complejos ..................................................................... 655
Apéndice C El error numérico en los cálculos y la complejidad
computacional ............................................................................. 665
Apéndice D Eliminación gaussiana con pivoteo .............................................. 675
Apéndice E Uso de MATLAB ........................................................................ 683
Contenido IX
Respuestas a los problemas impares ................................ 685
Capítulo 1 ........................................................................................................ 685
Capítulo 2 ........................................................................................................ 687
Capítulo 3 ........................................................................................................ 698
Ejercicios de repaso capítulo 3 .......................................................................... 700
Capítulo 4 ........................................................................................................ 701
Ejercicios de repaso capítulo 4 .......................................................................... 706
Capítulo 5 ........................................................................................................ 707
Capítulo 6 ........................................................................................................ 714
Ejercicios de repaso capítulo 6 .......................................................................... 717
Capítulo 7 ........................................................................................................ 717
Capítulo 8 ........................................................................................................ 722
Ejercicios de repaso capítulo 8 .......................................................................... 731
Apéndices ........................................................................................................ 731
Índice onomástico ............................................................... 737
Índice analítico .................................................................... 738
Prefacio
Anteriormente el estudio del álgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alumnos
de matemáticas y física, principalmente, y también recurrían a ella aquellos que necesitaban
conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como la estadística mul-
tivariable. Hoy en día, el álgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las
computadoras y al aumento general en las aplicaciones de las matemáticas en áreas que, por
tradición, no son técnicas.
Prerrequisitos
Al escribir este libro tuve en mente dos metas. Intenté volver accesibles un gran número de
temas de álgebra lineal para una gran variedad de estudiantes que necesitan únicamente cono-
cimientos firmes del álgebra correspondientes a la enseñanza media superior. Como muchos
estudiantes habrán llevado un curso de cálculo de al menos un año, incluí también varios ejem-
plos y ejercicios que involucran algunos temas de esta materia. Éstos se indican con el símbolo
Cálculo. La sección 8.7 es opcional y sí requiere el uso de herramientas de cálculo, pero salvo
este caso, el cálculo no es un prerrequisito para este texto.
Aplicaciones
Mi segunda meta fue convencer a los estudiantes de la importancia del álgebra lineal en sus
campos de estudio. De este modo el contexto de los ejemplos y ejercicios hace referencia a
diferentes disciplinas. Algunos de los ejemplos son cortos, como las aplicaciones de la multipli-
cación de matrices al proceso de contagio de una enfermedad (página 67). Otros son un poco
más grandes; entre éstos se pueden contar el modelo de insumo-producto de Leontief (páginas
18 a 19 y 111 a 113), la teoría de gráficas (sección 2.8), la aproximación por mínimos cuadrados
(sección 6.2) y un modelo de crecimiento poblacional (sección 8.2).
Además, se puede encontrar un número significativo de aplicaciones sugestivas en las sec-
ciones de MATLAB®.
Teoría
Para muchos estudiantes el curso de álgebra lineal constituye el primer curso real de matemáticas.
Aquí se solicita a los estudiantes no sólo que lleven a cabo cálculos matemáticos sino también
que desarrollen demostraciones. Intenté, en este libro, alcanzar un equilibrio entre la técnica y la
teoría. Todas las técnicas importantes se describen con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos
que ilustran su utilización. Al mismo tiempo, se demuestran todos los teoremas que se pueden
probar utilizando los resultados dados aquí. Las demostraciones más difíciles se dan al final de
las secciones o en apartados especiales, pero siempre se dan. El resultado es un libro que propor-
XII Prefacio
cionará a los estudiantes tanto las habilidades algebraicas para resolver los problemas que surjan
en sus áreas de estudio como una mayor apreciación de la belleza de las matemáticas.
Características
La séptima edición ofrece nuevas características y conserva la estructura ya probada y clásica
que tenía la edición anterior. Las nuevas características se enumeran en la página XIV.
Examen diagnóstico
El examen diagnóstico, nuevo en esta edición, busca identificar si el alumno posee las nociones
mínimas necesarias para un curso exitoso de álgebra lineal. Este examen se compone de 36
reactivos divididos en 7 problemas, cada uno de los cuales evalúa alguna habilidad matemática
especifíca. En la pregunta 1 se evalúa la habilidad de manipular operaciones aritméticas sim-
ples. En la pregunta 2 se estima el concepto de conjuntos, que son los elementos que tienen una
o varias propiedades en común. En la pregunta 3 se aprecia la manipulación de conjuntos con
sus operaciones de unión, intersección y complemento. En el problema 4 se revisan las habili-
dades básicas de álgebra. En el problema 5 se evalúa la habilidad de factorizar expresiones al-
gebraicas simples. En la pregunta 6 se calcula la habilidad para resolver ecuaciones lineales sim-
ples. Finalmente, en la pregunta 7 se estima la habilidad para encontrar raíces de polinomios.
Ejemplos
Los estudiantes aprenden matemáticas mediante ejemplos completos y claros. La séptima edi-
ción contiene cerca de 350 ejemplos, cada uno de los cuales incluye todos los pasos algebraicos
necesarios para completar la solución. En muchos casos se proporcionaron secciones de ayuda
didáctica para facilitar el seguimiento de esos pasos. Adicionalmente, se otorgó un nombre a
los ejemplos con el objeto de que resulte más sencillo entender el concepto esencial que ilustra
cada uno.
Ejercicios
El texto contiene cerca de 2 750 ejercicios. Al igual que en todos los libros de matemáticas,
éstos constituyen la herramienta más importante del aprendizaje. Los problemas conservan
un orden de acuerdo con su grado de dificultad y existe un equilibrio entre la técnica y las de-
mostraciones. Los problemas más complicados se encuentran marcados con un asterisco (*) y
unos cuantos excepcionalmente difíciles con dos (**). Éstos se complementan con ejercicios de
problemas impares, incluyendo aquellos que requieren demostraciones. De los 2 750 ejercicios,
alrededor de 300 son nuevos. Muchos son aportaciones de profesores destacados en la materia.
También hay varios problemas en las secciones “Manejo de calculadora” y “MATLAB”.
Teorema de resumen
Una característica importante es la aparición frecuente del teorema de resumen, que une temas
que en apariencia no tienen nada en común dentro del estudio de matrices y transformaciones
lineales. En la sección 1.1 (página 5) se presenta el teorema por vez primera. En las secciones
2.4 (p. 114), 2.6 (p. 138), 3.3 (p. 215), 5.4 (p. 337), 5.7 (p. 395), 7.4 (p. 529) y 8.1 (p. 557) se en-
cuentran versiones cada vez más completas de dicho teorema.
Prefacio XIII
Autoevaluación
Los problemas de autoevaluación están diseñados para valorar si el estudiante comprende las
ideas básicas de la sección, y es conveniente que los resuelva antes de que intente solucionar los
problemas más generales que les siguen. Casi todos ellos comienzan con preguntas de opción
múltiple o falso-verdadero que requieren pocos o ningún cálculo.
Manejo de calculadora
En la actualidad existe una gran variedad de calculadoras graficadoras disponibles, con las
que es posible realizar operaciones con matrices y vectores. Desde la edición anterior, el texto
incluye secciones de “manejo de calculadora” que tienen por objeto ayudar a los estudiantes
a usar sus calculadoras en este curso. Para esta edición se han actualizado estas secciones con
uno de los modelos de vanguardia.
Se presentan secciones donde se detalla el uso de la calculadora Hewlett-Packard HP
50g para la resolución de problemas. Se han incluido problemas cuyo objetivo es utilizar la
calculadora para encontrar las soluciones.
Sin embargo, debe hacerse hincapié en que no se requiere que los alumnos cuenten con una
calculadora graficadora para que el uso de este libro sea efectivo. Las secciones de manejo de
calculadora son una característica opcional que debe usarse a discreción del profesor.
Resúmenes de secciones
Al final de cada sección aparece un repaso detallado de los resultados importantes hallados
en ésta. Incluye referencias a las páginas de la sección en las que se encuentra la información
completa.
Geometría
Algunas ideas importantes en álgebra lineal se entienden mejor observando su interpretación
geométrica. Por esa razón se han resaltado las interpretaciones geométricas de conceptos im-
portantes en varios lugares de esta edición. Éstas incluyen:
• La geometría de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (p. 20)
• La interpretación geométrica de un determinante de 2 3 2 (pp. 183, 272)
• La interpretación geométrica del triple producto escalar (p. 273)
• Cómo dibujar un plano (p. 282)
• La interpretación geométrica de la dependencia lineal en R3 (p. 334)
• La geometría de una transformación lineal de R2 en R2 (pp. 510-517)
• Las isometrías de R2 (p. 536)
Semblanzas históricas
Las matemáticas son más interesantes si se conoce algo sobre el desarrollo histórico del tema.
Para estimular este interés se incluyen varias notas históricas breves, dispersas en el libro. Ade-
más, hay siete semblanzas no tan breves y con más detalles, entre las que se cuentan las de:
• Carl Friedrich Gauss (p. 21)
• Sir William Rowan Hamilton (p. 54)
